CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 24
DE UN TRAZO
| Dibujo de figuras sin levantar el l�piz |
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El problema de los puentes de K�nigsberg
La atenci�n del genial matem�tico Euler la atrajo en una ocasi�n un K�nigsberg problema sui generis que �l enunci� de esta forma: �En K�nigsberg l) hay una isla que se llama Kneiphof. El r�o que la ba�a se divide en dos brazos (figura 284), sobre los cuales hay tendidos siete puentes.
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| Figura 284 |
�Pueden cruzarse todos es os puentes sin pasar por ninguno m�s de una vez? Hay quien afirma que es posible. Otros, por el contrario, consideran que es imposible cumplir esta condici�n�. �Qu� opina usted? �Qu� es la topolog�a?
Al problema de los puentes de K�nigsberg le dedic� Euler toda una investigaci�n matem�tica, que fue presentada en 1736 a la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Este trabajo comienza con las siguientes palabras, que determinan a qu� rama de las matem�ticas corresponde el estudio de estos problemas:
�Adem�s de la rama de la geometr�a que estudia las magnitudes y los procedimientos de medici�n, que fue ya cuidadosamente elaborada en la antig�edad, Leibniz hizo menci�n por vez primera de otra rama que �l llam� �geometr�a de posici�n�. Esta rama de la geometr�a se ocupa solamente del orden en que est�n dispuestas las partes de las figuras, unas con respecto a otras, prescindiendo de sus dimensiones.
Hace poco tuve ocasi�n de o�r una conversaci�n acerca de un problema de geometr�a de posici�n, y decid� exponer aqu�, a modo de ejemplo, el procedimiento que hall� para resolverlo�. Euler se refer�a al problema de los puentes de K�nigsberg.
Aqu� no vamos a reproducir los razonamientos del gran matem�tico. Nos limitaremos a dar unas ideas concretas que confirman su conclusi�n. Consiste �sta en que el recorrido que plantea el problema es imposible. An�lisis del problema
Para mayor claridad sustituimos el dibujo de la disposici�n de los brazos del r�o por el esquema simplificado de la figura 285. En el problema planteado no tienen ninguna importancia las dimensiones de la isla ni las longitudes de los puentes (�ste es el rasgo caracter�stico de todos los problemas topol�gicos: el no depender de las dimensiones relativas de las partes de la figura).
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| Figura 285 |
Por esto los lugares A, B, C y D (figura 284) podemos sustituirlos en el esquema por los puntos de igual denominaci�n en que se encuentran los caminos a seguir durante el recorrido. El problema se reduce ahora, como puede verse, a dibujar la figura 285 de un trazo, es decir, sin levantar la pluma del papel y sin recorrer una misma l�nea dos veces.
Demostraremos que es imposible dibujar nuestra figura de un solo trazo. En efecto, a cada uno de los puntos nodales A, B, C y D hay que llegar por uno de los caminos y luego salir de �l por otro camino; esta regla s�lo tiene dos excepciones, a saber: el primer punto, al cual no hay que llegar de ninguna parte, y el �ltimo, del cual no hay que salir. Por lo tanto, para poder recorrer nuestra figura sin levantar la pluma es necesario que en cada uno de los puntos nodales, menos dos, converjan dos a cuatro caminos, es decir, un n�mero par de ellos. Pero en cada uno de los puntos A, B, C y D de nuestra figura converge precisamente un n�mero impar de l�neas. Por esto es imposible dibujarla de un solo trazo de pluma y, por consiguiente, es imposible pasar los puentes de K�nigsberg como indica la condici�n del problema. Siete problemas
Intente dibujar de un solo trazo cada una de las siete figuras de la figura 286.
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| Figura 286 |
Recuerde las condiciones: dibujar todas las l�neas de la figura dada sin levantar la pluma del papel, sin hacer rayas de m�s y sin pasar dos veces por una misma l�nea. Un poco de teor�a
Los intentos de dibujar con una l�nea ininterrumpida las figuras 286, 1-6, conducen a diversos resultados. Algunas figuras pueden dibujarse cualquiera que sea el punto desde el cual se comience a trazar la l�nea ininterrumpida. Otras s�lo se pueden dibujar de un solo trazo cuando se empiezan desde puntos determinados. Finalmente, hay un tercer grupo de figuras que no puede dibujarse con una l�nea ininterrumpida. �A qu� se debe esta diferencia? �Existen indicios que permitan determinar a priori si una figura dada puede dibujarse de un solo trazo y, si esto es as�, el punto desde el cual debe comenzarse a trazar?
La teor�a da respuestas exhaustivas a estas preguntas. Veamos algunos de los postulados de esta teor�a.
Llamaremos �pares� a los puntos de la figura en que converge un n�mero par de l�neas, para diferenciarlos de los puntos �impares�, a los cuales concurre un n�mero impar de ellas.
Puede demostrarse (aunque no nos detengamos a hacerlo) que cualquiera que sea la figura, o no tendr� puntos impares o, si los tiene, ser�n dos, cuatro, seis o, en general, un n�mero par de ellos. Si la figura carece de puntos impares, podr� dibujarse siempre de un solo trazo, empezando por cualquiera de sus puntos. De este tino son las figuras. 286 1 y 5.
Si la figura tiene solamente dos puntos impares, se podr� dibujar de un solo trazo si se empieza por uno cualquiera de estos puntos impares. Se comprenda f�cilmente que el dibujo terminar� en el segundo punto impar. A este tipo pertenecen las figuras 2, 3 y 6; la figura 6, por ejemplo, debe empezarse a dibujar por el punto A o por el punto B.
Si la figura tiene m�s de un par de puntos impares, no puede dibujarse de un solo trazo. Las figuras 4 y 7, que tienen dos pares de puntos impares, san de este �ltimo tipo.
Lo expuesto es suficiente para conocer las figuras que no pueden dibujarse de un solo trazo y las que pueden dibujarse, as� como el punto desde el cual hay que comenzar a dibujarlas. El profesor W. Arras propone guiarse despu�s por la regla: �Todas las l�neas ya dibujadas de la figura dada deben considerarse inexistentes y, al elegir la siguiente l�nea a trazar, debe procurarse que la figura conserve su integridad (es decir, que no se descomponga), si esta l�nea tambi�n se quita del dibujo.�
Supongamos, por ejemplo, que la figura 5 comenz� a dibujarse siguiendo el camino ABCD. Si ahora se traza la l�nea DA, quedan sin dibujar dos figuras, la ACF y la BDE, que no est�n ligadas entre s� (la figura 5 se descompone). En este caso, despu�s de terminar la figura AFC no podemos pasar a la figura BDE, ya que no habr� l�neas a�n no dibujadas que las liguen entre s�. Por esto, una vez recorrido el camino ABCD, no se puede seguir adelante por la l�nea DA, sino que antes debe trazarse el camino DBED y luego, por la l�nea DA que queda, pasar a la figura AFC. Otros siete problemas
Dibuje sin levantar la pluma del papel las figuras siguientes:
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| Figura 287 |
Los puentes de Leningrado
Para terminar proponemos un problema que sirve de tema a una de las muestras de la sala de matem�ticas de la Casa de la Ciencia Recreativa. El problema consiste en pasar por los 17 puentes que unen entre s� las partes del territorio, que representa la figura, sin recorrer ninguno de ellos dos veces. A diferencia del problema de los puentes de K�nigsberg, el recorrido que se plantea esta vez es realizable y nuestro lector tiene ya los conocimientos te�ricos necesarios para poder resolver este problema sin necesidad de ayuda.
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| Figura 288 |
Cap�tulo 24 SOLUCIONES
Siete problemas y otros siete problemas
En las figuras. 289 y 290 se dan las soluciones correspondientes a los problemas del cap�tulo �De un solo trazo�.
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| Figura 289 |
Los puentes de Leningrado
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| Figura 290 |
