CONTENIDO

Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
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Escribir @ Antonio

Cap�tulo 18
ACERTIJOS NUM�RICOS



  1. Con siete cifras

    2. Escriba, una detr�s de otra, siete cifras del 1 al 7:

    1234567.

    Estas cifras pueden unirse entre s� por medio de signos m�s y menos, de modo que se obtenga el resultado 40:

    12 + 34 - 5 + 6 - 7 = 40.

    Procure usted encontrar ahora otra combinaci�n de estas mismas cifras que d� 55 y no 40.

  2. Nueve cifras

    3. Escriba sucesivamente nueve cifras: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Sin alterar su orden, puede usted poner entre ellas signos m�s y menos, de modo que el resultado que den sea exactamente 100.
    Por ejemplo, no es dif�cil, poniendo seis signos (m�s o menos), obtener el n�mero 100 del siguiente modo:

    12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

    Si s�lo quiere poner cuatro signos (m�s o menos), tambi�n puede obtener 100:

    123 + 4 - 5 + 67 - 89 - 100.

    Pero intente usted obtener 100 utilizando los signos m�s y menos s�lo tres veces.
    Esto es mucho m�s dif�cil, pero completamente posible; lo �nico que hay que hacer es buscar la soluci�n con paciencia.

  3. Con diez cifras

    4. Exprese usted el n�mero 100 empleando todas las 10 cifras.
    �Por cu�ntos procedimientos puede hacerlo?
    Existen no menos de cuatro procedimientos.

  4. La unidad

    5. Exprese usted la unidad vali�ndose de todas las diez cifras.

  5. Con cinco doses

    6. Dispone usted de cinco doses y de los signos de las operaciones matem�ticas que crea necesarios. Vali�ndose solamente de este material num�rico, aprovech�ndolo totalmente y utilizando los signos de las operaciones matem�ticas, exprese los n�meros siguientes: 15, 11 y 12 321.

  6. Otra vez con cinco doses

    7. �Puede expresarse el n�mero 28 con cinco doses?

  7. Con cuatro doses

    8. Este problema es m�s dif�cil que los precedentes. Hay que expresar el n�mero 111 por medio de cuatro doses. �Puede expresarse?

  8. Con cinco treses

    9. Usted sabe, como es natural, que con cinco treses y los signos de las operaciones matem�ticas se puede escribir el n�mero 100 as�:

    33 * 3 + 3 = 100.

    Pero, �puede escribirse el n�mero 10 con cinco treses?

  9. El n�mero 37

    10. Escriba de un modo semejante el n�mero 37, utilizando solamente cinco treses y los signos de las operaciones.

  10. Por cuatro procedimientos

    11. Exprese el n�mero 100, con cinco cifras iguales, por cuatro procedimientos diferentes.

  11. Con cuatro treses

    12. Expresar el n�mero 12 por medio de cuatro treses es muy sencillo:

    12 = 3 + 3 + 3 + 3.

    Un poco m�s ingenioso es expresar de un modo semejante los n�meros 15 y 18 con cuatro treses:

    15 = (3 + 3) + (3 * 3)


    18 = (3 * 3) + (3 * 3)

    Pero si fuera necesario expresar, de este mismo modo, el n�mero 5 por medio de cuatro treses, lo m�s probable es que no cayese pronto en que 5 = ((3 + 3)/3) + 3
    Pruebe ahora a buscar por su cuenta los procedimientos para expresar con cuatro treses los n�meros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, es decir, todos los n�meros del 1 al 10 (ya hemos dicho como se escribe el n�mero 5).

  12. Con cuatro cuatros

    13. Si ha conseguido resolver el problema anterior y le gustan estos rompecabezas, intente componer todos los n�meros del 1 al 100 con cuatro cuatros. Esto no es m�s dif�cil que expresar estos mismos n�meros con treses.

  13. Con cuatro cincos

    14. Hay que expresar el n�mero 16 vali�ndose de cuatro cincos unidos entre s� por los signos de las operaciones.
    �C�mo puede hacerse?

  14. Con cinco nueves

    15. Exprese el n�mero 10 con cinco nueves. H�galo, por lo menos, por dos procedimientos.

  15. Veinticuatro

    16. Es muy f�cil expresar el n�mero 24 por tres ochos: 8 + 8 + 8. Pero, �puede usted hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Este problema tiene m�s de una.

  16. Treinta

    17. El n�mero 30 es f�cil de representar con tres cincos: 5 * 5 + 5. Hacer esto mismo con otras tres cifras iguales es m�s dif�cil. Haga la prueba. Quiz� logre encontrar varias soluciones.

  17. Mil

    18. �Puede usted expresar el n�mero 1000 con ocho cifras iguales? Adem�s de las cifras pueden utilizarse los signos de las operaciones.

  18. �C�mo obtener veinte?

    19. Aqu� ve usted tres n�meros, escritos uno debajo de otro,

    111
    777
    999

    Hay que tachar seis de estas cifras de tal modo, que los n�meros que queden sumen 20.
    �Puede usted hacerlo?

  19. Tachar nueve cifras

    20. La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares:

    111
    333
    555
    777
    999

    El problema consiste en tachar nueve cifras, eligi�ndolas de manera, que al sumar las columnas de las seis cifras restantes se obtenga el resultado 1111.

  20. En el espejo

    21. �Qu� a�o del siglo pasado aumenta 4 1/2 veces si se mira su imagen en el espejo?

  21. �Qu� a�o?

    22. �Hay alg�n a�o del siglo actual que no var�e al ponerlo �cabeza abajo�?

  22. �Qu� n�meros?

    23. �Qu� dos n�meros enteros, si se multiplican entre s� dan 7?
    No olvide que los dos n�meros han de ser enteros; por lo tanto, las soluciones del tipo 3 1/2 * 2 � 2 1/3 * 3 no valen.

  23. Sumar y multiplicar

    24. �Qu� dos n�meros enteros dan m�s sum�ndolos que multiplic�ndolos entre s�?

  24. Lo mismo

    25. �Qu� dos n�meros enteros dan lo mismo si se multiplican entre s� que si se suman?

  25. N�mero par primo

    26. Usted sabe, claro est�, qu� n�meros se llaman primos o simples: los que s�lo se dividen exactamente por s� mismos y por la unidad. Los dem�s n�meros se llaman compuestos.
    �Qu� piensa usted, son compuestos todos los n�meros pares o existen algunos que son primos?

  26. Tres n�meros

    27. �Qu� tres n�meros enteros, si se multiplican entre s�, dan lo mismo que se obtiene de su suma?

  27. Suma y multiplicaci�n

    28. Es indudable que usted ya se habr� fijado en la curiosa peculiaridad de las igualdades

    2 + 2 = 4, 2 x 2 = 4.

    Este es el �nico ejemplo en que la suma y el producto de dos n�meros enteros (iguales) dan el mismo resultado.
    Pero es muy posible que usted no sepa que existen n�meros que, sin ser iguales, poseen esta misma propiedad, es decir, su suma es igual a su producto.
    Procure encontrar ejemplos de estos n�meros. Para que no crea que su b�squeda ser� in�til, le dir� que hay muchos n�meros de �stos, pero que no todos son enteros.

  28. Multiplicaci�n y divisi�n

    29. �Qu� dos n�meros enteros, si se divide el mayor por el menor, dan lo mismo que se obtiene cuando se multiplican entre s�?

  29. Un n�mero de dos cifras

    30. Si cierto n�mero de dos cifras se divide por la suma de sus cifras, como resultado vuelve a obtenerse la suma de las cifras del dividendo. Halle este n�mero.

  30. Diez veces mayor

    31. Los n�meros 12 y 60 tienen una propiedad interesante: si se multiplican, se obtiene un n�mero exactamente 90 veces mayor que si se suman:

    12 * 60 = 720, 12 + 60 = 72

    Intente encontrar otra pareja como �sta. Si tiene suerte, quiz� pueda encontrar varios n�meros con esta misma propiedad.

  31. Con dos cifras

    32. �Cu�l es el menor n�mero entero y positivo que puede escribir usted con dos cifras?

  32. El n�mero mayor

    33. �Cu�l es el mayor n�mero que puede usted escribir con cuatro unos?

  33. Quebrados singulares

    34. F�jese atentamente en el quebrado 6729/13 458.
    En �l se ha utilizado una vez cada una de las nueve cifras significativas. Este quebrado, como es f�cil comprobar, es igual a 1/2.
    �Podr�a usted, siguiendo este modelo, componer con las nueve cifras los quebrados 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, y 1/9

  34. �Por cu�nto multiplic�?

    35. Un escolar hizo una multiplicaci�n y despu�s borr� del encerado gran parte de las cifras, de modo que s�lo se conserv� la primera fila de n�meros y dos cifras de la �ltima fila; de las dem�s �nicamente quedaron vestigios. Lo que sigui� escrito era:


    �Podr�a usted restablecer el n�mero por el cual multiplic� el escolar?

  35. �Qu� cifras faltan?

    36. En este ejemplo de multiplicaci�n m�s de la mitad de las cifras se han sustituido por asteriscos:

    �Podr�a usted restablecer las cifras que faltan?

  36. �Qu� n�meros?

    37. He aqu� otro problema del mismo tipo. Hay que establecer qu� n�meros son los que se multiplican en el ejemplo siguiente:



  37. Casos raros de multiplicaci�n

    38. Observe el siguiente caso de multiplicaci�n de dos n�meros:

    48 * 159 = 7632.

    Llama la atenci�n porque en �l participa una vez cada una de las nueve cifras significativas.
    �Podr�a usted seleccionar varios ejemplos m�s de este tipo? Si los hay, �cu�ntos son los que existen?

  38. Una divisi�n misteriosa

    39. Esto que aqu� se representa no es m�s que un ejemplo de divisi�n de dos n�meros de varias cifras, en el cual todas ellas se han sustituido por puntos:


    No se da ni una sola cifra del dividendo ni del divisor. Se sabe �nicamente que la pen�ltima cifra del cociente es 7. Hay que hallar el resultado de esta divisi�n.
    Advertimos, por si acaso, que todos los n�meros se consideran escritos aqu� seg�n el sistema de numeraci�n decimal.
    Este problema s�lo tiene una.

  39. �Qu� se dividi�?

    40. Restablezca las cifras que faltan en el siguiente ejemplo de divisi�n:


  40. Divisi�n por 11

    41. Escriba cualquier n�mero de mueve cifras, en que no se repita ninguna de ellas (es decir, que tenga todas las cifras diferentes), que sea divisible por 11 exactamente. Escriba el menor de estos n�meros. Escriba el mayor de estos n�meros.

  41. Tri�ngulo num�rico

    42. Distribuya las nueve cifras significativas por los c�rculos de este tri�ngulo (figura 230), de modo que en cada lado sumen 20.

    Figura 230

  42. Otro tri�ngulo num�rico

    43. Distribuir todas las cifras significativas por los c�rculos del mismo tri�ngulo de manera que en cada lado sumen 17.

  43. La estrella de ocho puntas

    44. Los n�meros del 1 al 16 deben situarse en los puntos de intersecci�n de las l�neas del dibujo representado en la figura 231, de moda que la suma de los n�meros que hay en cualquiera de los lados de cada cuadrado sea 34 y la de los que hay en los v�rtices de cada cuadrado tambi�n sea 34.

    Figura 231

  44. La estrella m�gica

    45. La estrella num�rica de seis puntas representada en la figura 232 posee una propiedad �m�gica�: todas sus seis filas de n�meros suman lo mismo:

    Pero la suma de los n�meros situados en las puntas de la estrella es otra:

    4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.

    �No podr�a usted perfeccionar esta estrella colocando los n�meros en los c�rculos de tal manera que no s�lo las filas rectas den la misma suma (26), sino que tambi�n compongan esta suma (26) los n�meros situados en sus puntas?

    Figura 232

  45. La rueda num�rica

    46. Las cifras del 1 al 9 deben disponerse en el dibujo de la figura 233, de modo que, estando una en el centro de la circunferencia v las dem�s en los extremos de los di�metros, la suma de las tres cifras de cada fila (di�metro) sea igual a 15.

    Figura 233

  46. El tridente
En las casillas del tridente aqu� representado (figura 234) hay que escribir los n�meros del 1 al 13 de tal manera, que la suma de las cifras en cada una de las tres columnas verticales (I, II, III) y en la fila horizontal (IV) sea la misma.
Procure hacerlo.

Figura 234



Cap�tulo 18

SOLUCIONES
1. Con siete cifras
Este problema tiene no una, sino tres soluciones distintas, a saber:

123 + 4 - 5 - 67 = 55;

1 - 2 - 3 - 4 + 56 + 7 = 55;

12 - 3 + 45 - 6 + 7 = 55

2. Nueve cifras
He aqu� por qu� procedimiento puede usted obtener 100 de una serie de nueve cifras y tres signos m�s y menos:

123 - 45 - 67 + 89 = 100

Esta es la �nica soluci�n posible; ninguna otra combinaci�n de las nueve cifras y de los signos m�s y menos, empleados tres veces, puede dar el resultado 100.
Lograr este mismo resultado utilizando los signos de sumar y restar menos de tres veces, es imposible.

3. Con diez cifras
Aqu� tiene cuatro soluciones:

70 + 24 9/18 + 5 3/5 5 = 100;

80 27/54 + 19 3/6 = 100;

87 + 9 4/5 +3 12/60 = 100;

50 1/2 + 49 38/76 = 100.

4. La unidad
Hay que representar la unidad como suma de dos quebrados;

148/296 + 35/70 = 1

Los que sepan �lgebra pueden dar otras soluciones, como, por ejemplo, 123 456 789 0 ;

234 567 (9-8-1) , etc., ya que todo n�mero elevado a la potencia cero es igual a la unidad.

5. Con cinco doses
El n�mero 15 puede escribirse as�:

Y el n�mero 11, as�:

22/2 + 2 - 2 = 11.

El n�mero 12 321. A primera vista parece que es imposible escribir este n�mero de cinco cifras con cinco n�meros iguales. Sin embargo, el problema puede resolverse. La soluci�n es:


6. Otra vez con cinco doses

22 + 2 + 2 + 2 = 28.

7. Con cuatro doses

222/2 = 111.

8. Con cinco treses
He aqu� la soluci�n del problema

(33/3) - (3/3) = 10

Es interesante el hecho de que este problema se resolver�a exactamente lo mismo, si el n�mero 10 hubiera que expresarlo no con cinco treses, sino con cinco unidades, cinco cuatros, cinco sietes, cinco nueves y, en general, por cualesquiera cinco cifras iguales.

En efecto:

11/1 - 1/1 = 22/2 - 2/2 = 44/4 - 4/4 = 99/9 - 9/9, ... etc

Existen otras formas de resolver este mismo problema:

(3 * 3 * 3 + 3)/3 = 10



9. El n�mero 37
Hay dos soluciones:

33 + 3 + 3 / 3 = 37;

333/3 * 3 = 37.

10. Por cuatro procedimientos
El n�mero 100 puede expresarse por medio de cinco cifras iguales, utilizando para ello unos, treses y -lo que es a�n m�s f�cil- cincos:

111 - 11 = 100;

33 * 3 + 3 / 3 = 100;

5 x 5 x 5 - 5 x 5 = 100;

( 5 + 5 + 5 + 5 ) x 5 = 100.

11. Con cuatro treses

1 = 33/33 (hay otros procedimientos):

2 = 3 / 3 + 3 / 3 ;

3 = 3 + 3 + 3 / 3 ;

4 = 3 x 3 + 3 / 3 ;

6 = (3 + 3 ) x 3 / 3


S�lo damos las soluciones hasta el n�mero seis. Las dem�s pi�nsalas usted mismo. Las soluciones indicadas tambi�n pueden componerse de otras combinaciones de treses.

12. Con cuatro cuatros



13.Con cuatro cincos
S�lo existe un procedimiento:

55/5 + 5 = 16.

14. Con cinco nueves
Dos procedimientos son:

9 + 99/99 = 10,

99/9 - 9/9 = 10

El que sepa �lgebra puede a�adir varias soluciones m�s, por ejemplo:


15. Veinticuatro
Aqu� tiene das soluciones:


16. Treinta
Damos tres soluciones:


17. Mil

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

18. �C�mo obtener veinte?
He aqu� como hay que hacer esto (las cifras tachadas han sido sustituidas por ceros):

011

000

009
En efecto,

11 + 9 = 20.

19. Tachar nueve cifras
Este problema admite varias soluciones. Damos cuatro ejemplos, sustituyendo por ceras las cifras tachadas:

100 111 011 101
000 030 330 303
005 000 000 000
007 070 770 707
999 900 000 000
1111 1111 1111 1111

20. En el espejo
Las �nicas cifras que no se desfiguran en el espejo son 1, 0 y 8. Por lo tanto, el a�o que se busca s�lo puede contener estas cifras. Sabemos adem�s que se trata de uno de los a�os del siglo XIX, cuyas primeras dos cifras son 18.
Ahora ya es f�cil comprender que este a�o es el 1818. En el espejo, el a�o 1818 se convertir� en 8181, que es exactamente 4 1/2 mayor que 1818:

1818 * 4 1/2 = 8181.

Este problema no tiene m�s soluciones.

21. �Que a�o?
En el siglo XX s�lo hay un a�o de este tipo, el 1961.

22.�Qu� n�meros?
La respuesta es f�cil: 1 y 7. Otros n�meros que den 7 no hay.

23. Sumar y multiplicar
N�meros de estos hay tantos como se quieran:

3 x 1 = 3; 3 + 1 = 4

10 x 1 = 10; 10 + 1 = 11

y, en general, toda pareja de n�meros enteros en que uno de ellos sea la unidad.
Esto se debe a que sum�ndole una unidad, el n�mero aumenta, mientras que si se multiplica por la unidad, el n�mero no var�a.

24. Lo mismo
Estos n�meros son 2 y 2. Otros n�meros enteros que tengan estas propiedades no existen.

25. N�mero par primo
Existe un n�mero par primo, el 2. Este n�mero s�lo es divisible por s� mismo (y por la unidad).

26. Tres n�meros
1, 2 y 3 dan el mismo resultado cuando se multiplican entre s� que cuando se suman:

1 + 2 + 3 = 6; 1 * 2 * 3 = 6

27. Suma y multiplicaci�n
Existe una cantidad innumerable de pares de n�meros de este tipo. He aqu� varios ejemplos:


28. Multiplicaci�n y divisi�n
N�meros as� hay muchos. Por ejemplo:

2 : 1 = 2, 2 x 1 = 2 ;

7 : 1 = 7, 7 x 1 = 7 ;

43 : 1 = 43, 43 x 1 = 43;

29. Un n�mero de dos cifras
El n�mero buscado debe ser, evidentemente, un cuadrado exacto. Como entre los n�meros de dos cifras s�lo hay seis cuadrados, por medio de pruebas puede hallarse f�cilmente la �nica soluci�n, es decir, el n�mero 81:

81/8+1 = 8 + 1

30. Diez veces mayor
He aqu� cuatro parejas de n�meros de este tipo:

11 y 110; 14 y 35; 15 y 30; 20 y 20

En efecto:

11 * 110 = 1210;11 + 110 = 121;

14 * 35 = 490;14 + 35 = 49;

15 * 30 = 450;15 + 30 = 45;

20 * 20 = 400;20 + 20 = 40;

Este problema no tiene otras soluciones. Buscar las soluciones a ciegas es bastante embarazoso. Teniendo nociones de �lgebra, el problema resulta m�s f�cil y es posible no s�lo buscar todas las soluciones, sino tambi�n cerciorarse de que no tiene m�s que cinco.

31. Con dos cifras
El n�mero menor que puede escribirse con dos cifras no es 10, como pensar�n posiblemente algunos lectores, sino la unidad expresada del modo siguiente:

1/1, 2/2, 3/3, 4/4 y as� sucesivamente hasta 9/9.


Los que saben �lgebra a�aden a estas expresiones una serie de otras:

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 y as� sucesivamente hasta 9 0

porque todo n�mero elevado a la potencia cero es igual a la unidad.

32. El n�mero mayor
Por lo general responden a esta pregunta escribiendo el n�mero 1111. Pero este n�mero dista mucho de ser el mayor. Mucho mayor -en 250 millones de veces es

11 11

Aunque representado nada m�s que por cuatro unidades, este n�mero contiene, si se calcula, m�s de 285 millares de millones de unidades.

33. Quebrados singulares
El problema tiene varias soluciones. He aqu� una de ellas:


Existe un gran n�mero de variantes; sobre todo puede representarse de muchas formas la fracci�n 1/8 (�por m�s de 40 procedimientos!).

34. �Por cu�nto multiplic�?
Razonaremos as�. La cifra 6 se obtuvo de la suma de una columna de dos cifras, de las cuales, la inferior puede ser 0 � 5. Pero si la inferior es 0, la superior tendr� que ser 6. �Puede ser 6 la cifra superior? Hagamos la prueba. Resulta que cualquiera que sea la segunda cifra del multiplicador, es imposible obtener 6 en el pen�ltimo lugar del primer producto parcial. Por lo tanto, la cifra inferior de la pen�ltima columna debe ser 5; y, en este caso, sobre ella se encuentra un 1.
Ahora ya es f�cil reconstruir parte de las cifras borradas:


La �ltima cifra del multiplicador debe ser mayor que 4, de lo contrario el primer producto parcial no tendr�a cuatro cifras. Esta cifra no puede ser 5 (porque con ella no se obtendr�a 1 en el pen�ltimo lugar). Veamos si sirve 6. Tenemos:


Razonando de igual modo en adelante, hallamos que el multiplicador es igual a 96. �Qu� cifras faltan?
Las cifras que faltan se reponen gradualmente, si se razona como sigue.
Para mayor comodidad numeraremos las filas:


Se comprende f�cilmente que el �ltimo asterisco de la fila III es un 0, ya que 0 figura al final de la fila VI.
Ahora se determina el valor del �ltimo asterisco de la fila I: �sta es una cifra que multiplicada por 2 da un n�mero que termina en cero, y multiplicada por 3, un n�mero que termina en 5 (V fila). Por lo tanto, s�lo puede ser 5.
No es dif�cil darse cuenta de que el asterisco de la fila II es un 8, porque s�lo al multiplicarlo por 8, el n�mero 15 da un resultado que termina en 20 (IV fila).
Finalmente, queda claro el valor del primer asterisco de 1 a fila I: es la cifra 4, porque s�lo el 4 multiplicado por 8 da un resultado que empieza en 3 (fila IV).
Hallar las dem�s cifras desconocidas no ofrece ya dificultad: basta multiplicar los n�meros de las dos primeras filas, que ya est�n completamente determinados.
En fin de cuentas se obtiene el siguiente ejemplo de multiplicaci�n:


35. �Qu� n�meros?
Razonando de un modo semejante a como se hizo en el ejemplo anterior, descubrimos los valores de los asteriscos en este caso.
Se obtiene:



36. Casos raros de multiplicaci�n
El lector que tenga paciencia puede encontrar nueve casos de multiplicaci�n de este tipo, a saber:

12 * 483 = 5796

42 * 138 = 5796

18 x 297 = 5346

27 * 198 = 5346

39 * 186 = 7254

48 * 159 = 7632

28 * 157 = 4396

4 * 1738 = 6952

4 * 1963 = 7852

37. Una divisi�n misteriosa
Para mayor comodidad numeraremos las filas de puntos seg�n la posici�n dada.


Observando la fila II llegamos a la conclusi�n de que la segunda cifra del cociente es 0, ya que fue necesario bajar, una detr�s de otra, dos cifras del dividendo. Designemos todo el divisor por x. Las filas IV y V demuestran que el n�mero 7 x (producto de la pen�ltima cifra del cociente por el divisor) despu�s de restarlo de un n�mero que no supera a 999, dio un resto no menor que 100. Est� claro que 7x no puede ser mayor que 999 - 100. es decir, que 899, de donde x no es mayor que 128. Vemos despu�s que el n�mero de la fila III es mayor que 900, de lo contrario al restarlo de un n�mero de cuatro cifras no dar�a un resto de dos cifras. Pero en este caso la tercera cifra del cociente deber� ser 900 : 128, es decir, mayor que 7,03 y, por consiguiente, igual a 8 � a 9. Como los n�meros de las filas I y VII son de cuatro cifras, es evidente que la tercera cifra del cociente es 8 y la �ltima, 9.
Con esto queda resuelto, en realidad, el problema, puesto que el resultado que se buscaba de la divisi�n (es decir, el cociente) lo hemos encontrado: 90 879.
No hay necesidad de seguir adelante y buscar el dividendo y el divisor. El problema s�lo planteaba encontrar el resultado de la divisi�n, o sea, el cociente. El problema no exige descifrar todo lo escrito. Pero, adem�s, existe no una, sino 11 parejas de n�meros que satisfacen, al hacer la divisi�n, la disposici�n dada de los puntos y dan la cifra 7 en el cuarto lugar del cociente.
Estos n�meros son:

10 360 206 : 114 = 90 879

10 451 085 : 115 = 90 879

10 541 964 : 116 = 90 879

10 632 843 : 117 = 90 879

10 723 722 : 118 = 90 879

10 814 601 : 119 = 90 879

10 905 480 : 120 = 90 879

10 996 359 : 121 = 90 879

11 087 238 : 122 = 90 879

11 178 117 : 123 = 90 879

11 268 996 : 124 = 90 879

38. �Qu� se dividi�?
El caso de divisi�n buscado es:


39. Divisi�n por 11
Para poder resolver este problema hay que conocer la condici�n de divisibilidad por 11. Un n�mero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de lugar par y las de lugar impar es divisible por 11 o igual a cero. Probemos, por ejemplo, el n�mero 23 658 904. La suma de las cifras de lugar par es:

3 + 5 + 9 + 4 = 21;

Y la suma de las cifras de lugar impar:

2 + 6 + 8 + 0 = 16.

Su diferencia (descontando la menor de la mayor) es igual a:

21 - 16 = 5.

Esta diferencia (5) no es divisible por 11; por lo tanto, el n�mero que hemos tomado no puede dividirse por 11 sin que quede resto. Ensayemos otro n�mero, el 7 344 535:

3 + 4 + 3 = 10;

7 + 4 + 5 + 5 = 21;

21 - 10 = 11.

Y como 11 es divisible por 11, el n�mero ensayado tambi�n es m�ltiplo de 11. Ahora es f�cil comprender en qu� orden hay que escribir las nueve cifras para obtener un n�mero m�ltiplo de 11 que satisfaga las condiciones del problema. Por ejemplo: 352 049 786 Hacemos la prueba:

3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22, 5 + 0 + 9 + 8 = 22.

La diferencia 22 - 22 = 0; por consiguiente, el n�mero que hemos escrito es m�ltiplo de 11. El mayor de todos los n�meros de este tipo es: 987 652 413. El menor: 102 347 586.

40. Tri�ngulo num�rico
La soluci�n se muestra en la figura 235. Las cifras medias de cada fila pueden permutarse y, de este modo, obtener una serie de soluciones m�s.

Figura 235

41. Otro tri�ngulo num�rico
La soluci�n se da en la figura 236. Las cifras medias de cada fila se pueden permutar y obtener as� una serie de soluciones m�s.

Figura 236

42. La estrella de ocho puntas
La soluci�n puede verse en la figura 237.

Figura 237

43. La estrella m�gica
Para simplificar la b�squeda de la disposici�n que se requiere de los n�meros, nos atendremos a las siguientes consideraciones.
La suma de los n�meros que hay en las puntas de la estrella es igual a 26; y la de todos los n�meros de la estrella, 78. Por lo tanto, la suma de los n�meros del hex�gono interior ser� 78 - 26 = 52.
Consideremos ahora uno de los grandes tri�ngulos. La suma de los n�meros de cada uno de sus lados es igual a 26, y si sumamos los n�meros de sus tres lados, obtenemos 26 * 3 = 78, con la particularidad de que cada uno de los n�meros que hay en las puntas participa dos veces. Y como la suma de los n�meros de los tres pares internos (es decir, del hex�gono interior) debe, como sabemos, ser igual a 52, la suma duplicada de los n�meros que hay en los v�rtices de cada tri�ngulo ser� 78 - 52 = 26; la suma simple ser� 13.
El campo de las b�squedas se ha reducido ya considerablemente. Sabemos, por ejemplo, que ni 12 ni 11 pueden ocupar las puntas de la estrella (�por qu�?). Por lo tanto, podemos empezar los ensayos a partir de 10, en este caso se determinan inmediatamente los dos n�meros que deben ocupar los restantes v�rtices del tri�ngulo. Estos n�meros son 1 y 2.
Prosiguiendo por este camino, encontramos finalmente la disposici�n requerida. Esta disposici�n se muestra en la figura 238.

Figura 238

44. La rueda num�rica
La soluci�n se da en la figura 239.

Figura 239

45. El tridente
He aqu� la colocaci�n que se exige de los n�meros (figura 240). La suma de los n�meros en cada una de las tres columnas verticales y en la fila horizontal es igual a 25.

Figura 240

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