CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 12
PROBLEMAS ACERCA DE RELOJES
-
La cifra seis
- Los tres relojes
- Los dos relojes
- �Qu� hora es?
- �Cu�ndo se encuentran las manecillas?
- �Cu�ndo est�n las manecillas dirigidas en sentidos opuestos?
- A ambos lados de las seis
- �A qu� hora?
- Al contrario
- Tres y siete
- El tictac del reloj
-�Y cu�ntas veces al d�a mira usted su reloj?
-Unas veinte, poco m�s o menos -es la respuesta que sigue.
-Esto quiere decir que durante un a�o lo mira usted 6000 veces por lo menos, y en 15 a�os habr� visto su esfera unas 6000 X 15 veces, o sea, cerca de 100 mil veces. Supongo que si ha visto usted un objeto 100 mil veces lo conocer� y recordar� perfectamente.
-Sin duda.
-Entonces conocer� magn�ficamente la esfera de su reloj y no le costar� trabajo dibujar de memoria c�mo est� representada en ella la cifra seis.
Y ofr�zcale a su interlocutor papel y l�piz.
�l har� lo que usted le pide, pero... en la mayor�a de los casos la cifra que dibuje no ser� como la representada en su reloj.
�Por qu�?
Responda a esta pregunta sin mirar al reloj. Muestre c�mo dibuj� su conocido la cifra seis y c�mo la deb�a haber representado.
En casa hay tres relojes. El 1 de enero todos ellos indicaban la hora correctamente. Pero s�lo marchaba bien el primer reloj; el segundo se atrasaba 1 minuto al d�a, y el tercero se adelantaba 1 minuto al d�a. Si los relojes contin�an marchando as�; �al cabo de cu�nto tiempo volver�n los tres a marcar la hora exacta?
Ayer comprob� mi reloj de pared y mi despertador y puse sus manecillas en punto. El reloj de pared se atrasa 2 minutos por hora, y el despertador se adelanta 1 minuto tambi�n por hora.
Hoy se pararon los dos relojes: se les acab� la cuerda. En la esfera del reloj de pared las manecillas marcan las 7 en punto, y en la del despertador, las 8.
�A qu� hora comprob� ayer los relojes?
-�Ad�nde va tan deprisa?
-Al tren de las seis. �Cu�ntos minutos quedan hasta su salida? -Hace 50 minutos quedaban 4 veces m�s minutos despu�s de las tres. �Qu� significa esta rara respuesta?
�Qu� hora era?
A las 12 las manecillas del reloj est�n una sobre otra. Pero usted se habr� dado cuenta, probablemente, de que �ste no es el �nico instante en que las manecillas se encuentran: durante el d�a alcanza la una a la otra varias veces.
�Puede usted decir todos aquellos instantes en que esto ocurre?
A las 6 sucede lo contrario que a las 12, las manecillas est�n dirigidas en sentidos opuestos. Pero, �ocurre esto s�lo a las 6, o hay otros instantes en que las manecillas se sit�an tambi�n as�?
Yo mir� el reloj y vi que sus dos manecillas estaban a ambos lados de la cifra 6 y a distancias iguales. �A qu� hora fue esto?
�A qu� hora adelanta el minutero al horario en la misma distancia exactamente que �ste se halla por delante de la cifra 12 en la esfera? �Puede ocurrir esto en varios instantes durante el d�a, o no ocurre nunca?
Si ha seguido con atenci�n la marcha de un reloj es posible que haya observado precisamente una posici�n de las manecillas contraria a la que acabamos de mencionar, es decir, la posici�n en que el horario adelanta al minutero en tanto como este �ltimo ha pasado del n�mero 12.
�Cu�ndo ocurre esto?
Un reloj da las tres. Mientras suenan las campanadas pasan 3 segundos. �Cu�nto tiempo ser� necesario para que este reloj d� las siete?
Por si acaso, prevengo que no se trata de un problema de broma y que no encierra ninguna trampa.
Finalmente, haga el peque�o experimento siguiente. Ponga su reloj sobre la mesa, al�jese de �l tres o cuatro pasos y escuche su tictac. Si en la habitaci�n reina un silencio suficiente, escuchar� usted que su reloj parece que marcha con interrupciones: el tictac se oye durante cierto tiempo, luego deja de o�rse varios segundos, vuelve otra vez a sonar y as� sucesivamente.
�C�mo se explica esta marcha irregular?
La mayor�a de las personas no avisadas responden a esta pregunta dibujando una de las cifras 6 � VI.
Esto demuestra que una cosa puede verse 100 mil veces y no conocerse. El secreto est� en que, por lo general, en la esfera de los relojes de caballero no figura la cifra seis, porque en su lugar se halla el segundero. 2. Los tres relojes
Al cabo de 720 d�as. En este tiempo, el segundo reloj se atrasa 720 minutos, es decir, exactamente en 12 horas; el tercer reloj se adelanta igual tiempo. Entonces los tres relojes marcar�n lo mismo que el 1� de enero, o sea, la hora exacta. 3. Los dos relojes
El despertador se adelanta 3 minutos por hora con respecto al reloj de pared. Se adelantar� una hora, o sea, 60 minutos, al cabo de 20 horas. Pero durante estas 20 horas el despertador se habr� adelantado 20 minutos con relaci�n a la hora exacta. Por lo tanto, las manecillas fueron puestas en punto 19 horas y 20 minutos antes, es decir, a las 11 horas 40 minutos. 4. �Qu� hora es?
Entre las 3 y las 6 hay 180 minutos. No es dif�cil comprender que el n�mero de minutos que quedan hasta las seis se halla si 180 - 50, es decir, 130, se divide en dos partes tales, que una de ellas sea cuatro veces mayor que la otra. Por consiguiente, hay que hallar la quinta parte de 130. As�, pues, eran las seis menos 26 minutos.
En efecto, 50 minutos antes faltaban 26 + 50 = 76 minutos para las 6, y, por lo tanto, desde las 3 hab�an pasado 180 - 76 = 104 minutos; esta cantidad de minutos es cuatro veces mayor que los minutos que faltan ahora para las seis. 5. �Cu�ndo se encuentran las manecillas?
Comencemos a observar el movimiento de las manecillas a las 12. En este instante las dos manecillas est�n una sobre otra. Como el horario se mueve 12 veces m�s despacio que el minutero (puesto que describe una circunferencia completa en 12 horas, mientras que el minutero lo hace en 1 hora), durante la hora pr�xima no pueden encontrarse. Pero pas� una hora; el horario se�ala la cifra 1, despu�s de recorrer 1/12 parte de la circunferencia completa; el minutero ha dado una vuelta completa y se encuentra de nuevo en las 12, a 1/12 parte de circunferencia del horario. Ahora las condiciones de la competici�n son distintas que las de antes: el horario se mueve m�s despacio que el minutero, pero va delante y el minutero tiene que darle alcance. Si la competici�n durara una hora entera, el minutero tendr�a tiempo de recorrer una circunferencia completa, mientras que el horario s�lo recorrer�a 1/12 parte de la circunferencia, es decir, el minutero habr�a recorrido 11/12 de circunferencia m�s que aqu�l. Pero, para alcanzar al horario, el minutero s�lo tiene que recorrer, m�s que aqu�l, la 1/12 parte de circunferencia que los separa.
Para esto no hace falta una hora entera, sino tantas veces menos como 1/12 es menor que 11/12, es decir, 11 veces menos. Esto quiere decir que las manecillas se encuentran al cabo de 1/11 de hora, o sea, al cabo de 60/11 = 5 5/11 de minuto.
As�, pues, el encuentro de las manecillas ocurre 55/11 de minuto despu�s de pasar una hora, es decir, a la 1 y 5 5/11 de minuto.
�Cu�ndo se produce el encuentro siguiente?
No es dif�cil darse cuenta de que esto ocurrir� al cabo de 1 hora y 5 5/11 de minuto, es decir, a las 2 y 10 10/11 de minuto. El otro, 1 hora y 55/11 de minutos despu�s, o sea, a las 3 y 16 4/11 de minuto, y as� sucesivamente. En total habr� 11 encuentros; el und�cimo llegar� al cabo de 11/11 X 11 = 12 horas de producirse el primero, es decir, a las 12; en otras palabras, coincidir� con el primer encuentro, y, en adelante, los encuentros se repiten en los mismos instantes que antes.
He aqu� los instantes en que las manecillas se encuentran:
6. �Cu�ndo est�n las manecillas dirigidas en sentidos opuestos?
Este problema se resuelve de un modo muy parecido al anterior. Empecemos otra vez en las 12, cuando las dos manecillas coinciden. Hay que calcular cu�nto tiempo ser� necesario para que el minutero adelante al horario en media circunferencia exactamente; en este caso las manecillas estar�n dirigidas precisamente en sentidos opuestos. Ya sabemos (v�ase el problema precedente) que en una hora entera el minutero adelanta al horario en 11/12 de circunferencia completa; para adelantarlo solamente en 1/2 de circunferencia necesitar� menos de una hora -tantas veces menos como 1/2 es menor que 11/12, es decir, necesitar� nada m�s que 6/11 de hora. Esto quiere decir que, despu�s de las 12, las manecillas estar�n por primera vez dirigidas en sentidos opuestos al cabo de 6/11 de hora, o sea, de 32 8/11 de minuto. Mire el reloj a las 12 y 32 8/11 de minuto y ver� que las manecillas tienen sentidos opuestos.
�Es �ste el �nico instante en que las manecillas se sit�an as�? Est� claro que no. Las manecillas ocupan posiciones semejantes a �sta 32 8/11 de minuto despu�s de cada encuentro. Pero ya sabemos que durante 12 horas las manecillas se encuentran 11 veces; por lo tanto, tambi�n se situar�n en sentidos opuestos 11 veces en 12 horas. Hallar estos instantes no es dif�cil:
Doy a usted la posibilidad de que calcule los dem�s instantes. 7. A ambos lados de las seis
Este problema se resuelve lo mismo que el anterior. Supongamos que las dos manecillas estaban en las 12 y que, despu�s, el horario se separ� de las 12 en una parte determinada de vuelta completa que llamaremos x. Durante este intervalo, el minutero habr� tenido tiempo de girar en 12 x. Si el tiempo transcurrido no es mayor que una hora, para satisfacer la condici�n de nuestro problema es preciso que el minutero diste del fin de una circunferencia completa tanto como el horario haya tenido tiempo de separarse de su principio; en otras palabras:
1 - 12 * x = x.
De aqu� se deduce que 1 = 13 x (porque 13 * x - 12 * x = x). Por lo tanto, x = 1/13 parte de la vuelta completa. Esta fracci�n de vuelta la recorre el horario en 12/19 de hora, es decir, cuando marca las 12 y 55 5/13 de min. Durante este tiempo, el minutero habr� recorrido 12 veces m�s, es decir, 12/13 de vuelta completa; como ve, las dos manecillas est�n a la misma distancia de las 12 y, por consiguiente, lo mismo de separadas de las 6 por ambos lados.Hemos hallado una de las posiciones de las manecillas, la que se produce durante la primera hora. Durante la segunda hora vuelve a presentarse en posici�n semejante; la encontramos, razonando como en el caso precedente, por medio de la igualdad
1 - ( 12 x - 1 ) = x � 2 - 12 x = x
de donde 2 = 13 x (porque 13 x - 12 x = x) y, por consiguiente, x = 2/13 de vuelta completa. Las manecillas ocupar�n esta posici�n a la 1 y 11/13 de hora, o sea, a la 1 y 50 10/13 de min.Por tercera vez, las manecillas se hallar�n en la posici�n conveniente cuando el horario se aparte de las 12 en 3/13 de circunferencia completa, es decir, a las 2 y 10/13 de hora, y as� sucesivamente. En total habr� 11 posiciones, con la particularidad de que despu�s de las seis las manecillas cambiar�n entre s� sus puestos: el horario ocupar� los puntos en que estuvo antes el minutero y �ste, los que ocup� antes el horario. 8. �A qu� hora?
Si se comienzan a observar las manecillas a las 12 en punto, durante la primera hora no se nota la disposici�n buscada. �Por qu�? Porque el horario recorre 1/12 parte de lo que recorre el minutero y, por lo tanto, queda retrasado con respecto a �l mucho m�s de lo necesario para la disposici�n que se busca. Cualquiera que sea el �ngulo a que se aparte de las 12 el minutero, el horario girar� 1/12 parte de este �ngulo, y no 1/2, como se requiere. Pero pas� una hora; ahora el minutero est� en las 12 y el horario, en la 1, es decir, 1/12 partes de vuelta delante del minutero. Veamos si esta disposici�n de las manecillas puede producirse durante la segunda hora. Supongamos que este instante se produjo cuando el horario se apart� de las 12 en una fracci�n de vuelta que llamaremos x. Durante este tiempo el minutero habr� recorrido un espacio 12 veces mayor, es decir, 12 x. Si de aqu� se resta una vuelta completa, el resto 12 x - 7 deber� ser el doble que x, o sea, ser igual a 2 x. Vemos, por consiguiente, que 12 x - 1 = 2 x, de donde se deduce que una vuelta completa es igual a 10 x (en efecto, 12 x - 10 x = 2 x). Pero si 10 x es igual a una vuelta completa., 1 x = 1/10 parte de vuelta. Y �sta es la soluci�n del problema: el horaria se separ� de la cifra 12 en 1/lo parte de vuelta completa, para lo que se requieren 12/10 partes de hora o una hora y 12 minutos. Al ocurrir esto, el minutero se encontrar� a doble distancia de las 12, es decir, a la distancia de parte de vuelta, lo que responde a 60/5 = 12 minutos, como deb�a ser.
Hemos encontrado una soluci�n del problema. Pero tiene otras: durante las 12 horas, las manecillas se encuentran en posiciones semejantes no una vez, sino varias. Intentaremos hallar las dem�s soluciones.
Para esto esperaremos a que sean las 2; el minutero estar� entonces en las 12 y el horario en las 2. Razonando como antes, obtenemos la igualdad:
12 x - 2 = 2 x,
de donde dos vueltas completas son iguales a 10 x y, por lo tanto, x = 1/5 parte de vuelta entera. Esto corresponde al instante 12/5 = 2 horas y 24 minutos.Los dem�s instantes puede usted calcularlos ya f�cilmente. Entonces sabr� que las manecillas se sit�an de acuerdo con la condici�n del problema en los 10 instantes siguientes:
Despu�s de las explicaciones precedentes, ya no es dif�cil resolver este problema. Es f�cil comprender, razonando como antes que la disposici�n que se requiere de las manecillas se dar� por primera vez en el instante definido por la igualdad
12 x - 1 = x/2
de donde 1 = 11*x/2 � x = 2 / 23 partes de una vuelta completa, o sea, al cabo de 1 1 / 23 horas, despu�s de las 12. Es decir, a la 1 y 21 4 / 23 de minuto estar�n las manecillas dispuestas como se requiere. Efectivamente, el minutero debe estar en el punto medio entre las 12 y la 1 1 / 23 , o sea, en las 12 / 23 de hora, lo que constituye precisamente 1 / 23 de vuelta completa (y el horario recorrer� 2 / 23 de vuelta completa). Por segunda vez, las manecillas se situar�n como es debido en el instante definido por la igualdad:12x-2 = x/2,
de donde 2 = 11 1 / 2 * x, y x = 4 / 23 ; el instante buscado ser�, pues, el de las 2 y 5 5 / 23 de minuto. El tercer instante, las 3 y 7 19 / 23 de minuto, etc. 10. Tres y sieteGeneralmente responden: �7 segundos�. Pero, como ahora veremos, esta respuesta es falsa. Cuando el reloj da las tres, notamos dos intervalos: 1)entre la primera y la segunda campanada; 2)entre la segunda y la tercera campanada. Ambos intervalos duran 3 segundos; es decir, cada uno de ellos dura la mitad, o sea, 1 1 / 2 segundos. En cambio, cuando el reloj da las siete, el n�mero de estos intervalos es seis. Y seis veces por 1 1 / 2 segundos son 9 segundos. Por consiguiente, el reloj �da las siete� (es decir, da siete campanadas) en 9 segundos. 11. El tictac del reloj
Los intervalos incomprensibles en el tictac del reloj se deben simplemente al cansancio del o�do. Nuestro o�do, cuando se cansa, se debilita durante unos segundos, y en estos intervalos no o�mos el tictac. Al cabo de un corto espacio de tiempo pasa el cansancio y se recupera la agudeza inicial, con lo que volvemos a escuchar la marcha del reloj. Luego se produce otra vez el cansancio y as� sucesivamente.
