CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 10
PROBLEMAS ACERCA DE COMPRAS Y PRECIOS
�Cu�nto cuestan los limones?
Tres docenas de limones cuestan tantos rublos como limones dan por 16 rublos.
�Cu�nto vale la docena de limones? El impermeable, el sombrero y los chanclos
Un individuo compr� un impermeable, un sombrero y unos chanclos por 140 rublos. El impermeable vale 90 rublos m�s que el sombrero, y el sombrero y el impermeable juntos cuestan 120 rublos m�s que los chanclos.
�Cu�nto cuesta cada cosa por separado?
Este problema debe resolverse de memoria y sin ecuaciones. Las compras
Cuando sal� de compras llevaba en el portamonedas cerca de 15 rublos sueltos y en monedas de 20 copeikas. Cuando volv� tra�a tantos rublos sueltos como monedas de 20 copeikas llevaba cuando sal�, y tantas monedas de 20 copeikas como rublos sueltos ten�a antes. En total me qued� la tercera parte de la suma que cog� al salir.
�Cu�nto gast� en las compras? La compra de frutas
Por cinco rublos se han comprado 100 frutas distintas. Los precios de las frutas son los siguientes: las sand�as a 50 copeikas cada una, las manzanas a 10 copeikas cada una y las ciruelas a 10 copeikas la decena.
�Cu�ntas frutas de cada tipo se han comprado? Encarecimiento y abaratamiento
Una mercanc�a encareci� en un 10 % y luego se abarat� en un 10 % .
�Cu�ndo era m�s barata, antes de encarecerla o despu�s de abaratarla? Los barriles
A un almac�n llevaron seis barriles de kvas. La figura 205 indica cu�ntos litros hab�a en cada barril. El primer d�a se presentaron dos clientes: uno compr� dos barriles y el otro, tres, con la particularidad de que el primero compr� dos veces menos kvas que el segundo. No hubo que destapar ni un solo barril.
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| Figura 205 |
De los seis barriles s�lo qued� uno en el almac�n. �Cu�l? La venta de huevos
Este viejo problema popular parece, a primera vista, absurdo por completo, ya que en �l se habla de la venta de medio huevo. Sin embargo, puede resolverse perfectamente.
Una campesina lleg� al mercado a vender huevos. La primera cuenta le compr� la mitad de todos los huevos m�s medio huevo. La segunda clienta adquiri� la mitad de los huevos que le quedaban m�s medio huevo. La tercera clienta s�lo compr� un huevo. Con esto termin� la venta, porque la campesina no ten�a m�s huevos.
�Cu�ntos huevos trajo al mercado? El problema de Bened�ktov
Muchos aficionados a la literatura rusa no sospechan que el poeta V. Bened�ktov es autor del primer libro de acertijos matem�ticos en lengua rusa. Este libro no fue publicado; qued� en forma de manuscrito y no se encontr� hasta el a�o 1924. Yo tuve ocasi�n de conocer este manuscrito e incluso, bas�ndome en uno de sus acertijos, determin� el a�o en que fue compuesto: el de 1869 (que en dicho manuscrito no figura). El problema que proponemos a continuaci�n, planteado por el poeta en forma literaria, est� tomado de este libro. Se titula �Soluci�n ingeniosa de un problema dif�cil�.
�Una recovera, que dispon�a de nueve decenas de huevos para vender, mand� sus tres hijas al mercado y ella confi� a la mayor y m�s lista de ellas una decena, a la segunda, tres decenas, y a la tercera medio ciento. Cuando se iban les dijo:
-Poneos de acuerdo antes sobre el precio a que los vais a vender y no hag�is rebajas; mantened todas el mismo precio; pero yo espero que mi hija mayor, como es m�s despierta, sabr� sacarle a su decena tanto como la segunda a sus tres, y, adem�s, le ense�ar� a �sta a sacar por sus tres decenas tanto como la hermana menor por su medio ciento. Dejad que las ganancias y los precios sean iguales para las tres. Sin embargo, yo quisiera que vendierais todos los huevos de forma que redondeando resultaran a no menos de 10 copeikas la decena, y por las nueve decenas, no menos de 90 copeikas�.
Aqu� interrumpo la narraci�n de Bened�ktov, para dar al lector la posibilidad de acertar por su cuenta c�mo cumplieron las hijas el encargo de la madre. SOLUCIONES
1. �Cu�nto cuestan los limones?
Sabemos que 36 limones cuestan tantos rublos como limones dan por 16 rublos. Pero 36 limones valdr�n
36 * (el precio de uno)
Y por 16 rublos dan
16/16 el precio de uno .
Por lo tanto,36 * (el precio de uno) = 16 / el precio de uno .
Si el segundo miembro no se dividiera por el precio de uno, el primer miembro resultar�a ser mayor en una cantidad dos veces igual al precio de uno, es decir, a 16:36 * (el precio de uno) * (el precio de uno) = 16.
Si el primer miembro no se multiplicara por 36, el segundo miembro resultar�a disminuido en 36 veces:(el precio de uno) * (el precio de uno) = 16/36.
Est� claro que el precio de un lim�n es igual a 4/6 = 2/3 rublos, y el precio de la docena de limones ser� 2/3 * 12 = 8 rublos. 2. El impermeable, el sombrero y los chanclos
Si en vez del impermeable, el sombrero y los chanclos s�lo hubiera comprado dos pares de chanclos, hubiese tenido que pagar no 140 rublos, sino tantos rublos menos como los chanclos son m�s baratos que el impermeable y el Bombero, es decir, 120 rublos menos. Por consiguiente, sabemos que dos pares de chanclos valen 140 - 120 = 20 rublos, de donde un par costar� 10 rublos.
Ahora podemos deducir que el impermeable y el sombrero juntos valen 140 - 10 = 130 rublos. Pero el impermeable cuesta 90 rublos m�s que el sombrero. Volvemos a razonar como antes: en vez del impermeable y el sombrero, se compran dos sabremos. En este caso habr� que pagar no 130 rublos, sino 90 rublos menos. Por lo tanto, dos sombreros valen 130 - 90 = 40 rublos, de donde el precio de un sombrero ser� 20 rublos.
As�, pues, los precios de las prendas compradas son: el de los chanclos 10 rublos, el del sombrero, 20 rublos; y el del impermeable, 110 rublos. 3. Las compras
Llamemos x al n�mero inicial de rublos sueltos e y al n�mero de monedas de 20 copeikas. Entonces, cuando sal� de compras llevaba en el portamonedas
(100x + 20y) copeikas.
Cuando volv� ten�a (100y + 20x) copeikas.Sabemos que la �ltima suma es tres veces menor que la primera; por lo tanto
3 (100y + 20x) = 100x + 20y.
Simplificando esta expresi�n, obtenemos:x = 7y.
Si y = 1, x = 7. Partiendo de esta suposici�n, yo ten�a al principio 7 rublos y 20 copeikas; esto no est� de acuerdo con la condici�n del problema (�cerca de 15 rublos�).
Hagamos y = 2; entonces x = 14. En este caso la suma inicial ser�a igual a 14 rublos y 40 copeikas, lo que concuerda bien con la condici�n antedicha.
Si se supone y = 3, resulta una suma demasiado grande: 21 rublos y 60 copeikas.
Por consiguiente, la �nica respuesta adecuada es 14 rublos y 40 copeikas. Despu�s de las compras quedaron 2 rublos sueltos y 14 monedas de 20 copeikas, es decir, 200 + 280 = 480 copeikas; lo que compone, efectivamente, la tercera parte de la suma inicial (1440 : 3 = 480).
Se gastaron 1440 - 480 = 960 copeikas, es decir, el precio de las compras es 9 rublos y 60 copeikas. 4. La compra de frutas
A pesar de la aparente indeterminaci�n, el problema s�lo tiene una soluci�n. Es esta:
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Sand�as Manzanas Ciruelas Total |
Cantidad
1 39 60 100 |
Precio
50 copeikas 3 rublos y 90 copeikas 60 copeikas 5 rublos y 00 copeikas |
5. Encarecimiento y abaratamiento
Es un error considerar que el precio ser� el mismo en ambos casos. Hagamos los c�lculos correspondientes. Despu�s de encarecer, la mercanc�a costaba el 110%, o sea, el 1,1 del precio inicial. Despu�s de abaratarla, su precio constitu�a el
1,1 * 0,9 = 0,99
es decir, el 99% del inicial. Por consiguiente, despu�s de la rebaja, la mercanc�a result� un 1 % m�s barata que antes de la subida del precio.
6. Los barriles
El primer cliente compr� un barril de 15 litros y otro de 18. El segundo, uno de 16 litros, otro de 19 y otro de 31.
En efecto,
15 + 18 = 33.
16 + 19 + 31 = 66,
es decir, el, segundo cliente compr� dos veces m�s kvas que el primero.
Qued� por vender el barril de 20 litros.
Esta es la �nica respuesta posible. Otras combinaciones no dan la correlaci�n que se requiere. 7. La venta de huevos
El problema se resuelve partiendo del final. Despu�s de que la segunda clienta adquiri� la mitad de los huevos que quedaban m�s medio huevo, a la campesina s�lo le qued� un huevo. Es decir, 11/2 huevos constituyen la segunda mitad de lo que qued� despu�s de la primera venta. Est� claro que el resto completo eran tres huevos. A�adiendo 1/2 huevo, obtenemos la mitad de los que ten�a la campesina al principio. As�, pues, el n�mero de huevos que trajo al mercado era siete.
Hagamos la comprobaci�n:
7:2 = 3 1/2; 3 1/2 + 1/2 = 4; 7 - 4 = 3
3:2 = 1 1/2; 1 1/2 + 1/2 = 2; 3 - 2 = 1,
lo que est� en pleno acuerdo con la condici�n del problema. 8. El problema de Bened�ktovReproducimos la terminaci�n de la narraci�n, que interrumpimos, de Bened�ktov.
�El problema era dif�cil. Las hijas, mientras iban al mercado, empezaron a cambiar impresiones, pero la segunda y tercera recurr�an al talento y consejo de la mayor. Esta, despu�s de pensar, dijo:
-Hermanas, vamos a vender los huevos no por decenas, como es costumbre hasta ahora, sino por septenas: siete huevos son una septena. A cada septena le ponemos un precio que mantendremos firmemente, como ha dicho la madre. Al precio fijado no se le rebaja ni una copeika, �entendido? Por la primera septena pediremos un alt�n, �de acuerdo?
-Demasiado barato -dijo la segunda.
-Pero en cambio -replic� la mayor-, elevaremos el precio en los huevos que nos queden en los cestos despu�s de vender las septenas completas. Yo ya he visto que en el mercado, adem�s de nosotras, nadie vende huevos. No hay quien compita con nosotras. Cuando hay demanda y las mercanc�as se acaban, el precio de las que quedan sube. Por eso, nosotras nos resarciremos en los huevos que queden.
-�Y a cu�nto vamos a vender los restantes? -pregunt� la m�s joven.
-A 3 altines cada huevo. Si quieren, bien, y si no, nada. A quien le hagan mucha falta, los pagar�.
-Eso es caro -advirti� otra vez la de en medio.
-�Y qu�? -prosigui� la mayor-, �no vendemos acaso, baratos los primeros huevos por septenas? Lo uno compensa lo otro.
Quedaron de acuerdo.
Llegaron al mercado. Cada una de las hermanas se sent� en su sitio, separada de las otras, y se puso a vender. El p�blico, atra�do por la baratura, se agolp� junto a la hermana menor, que ten�a medio ciento de huevos, y le compr� todos. A cada uno de los siete primeros clientes le vendi� una septena, cobr� 7 altines y le qued� en el cesto un huevo. La segunda hermana que ten�a tres decenas, las vendi� a cuatro compradoras, una septena a cada una, y le quedaron dos huevos en el cesto: cobr� 4 altines. A la hermana mayor le compraron una septena, por 1 alt�n, y le quedaron tres huevos.
De improviso se present� una cocinera, a quien su se�ora mand� para que comprara no menos de una decena de huevos, al precio que fuera. Acababan de llegar, para pasar un poco de tiempo con su madre, los hijos de la se�ora, que se pirraban por los huevos fritos. La cocinera corri� de una parte a otra por el mercado. Ya hab�an vendido todos los huevos. Solamente a tres recoveras les quedaban seis huevos en total: uno a una, dos a otra, y tres a la tercera.
La cocinera, como es natural, se acerca primero a la que ten�a tres huevos (que era la hermana mayor, que hab�a vendido su �nica septena por un alt�n) y le pregunta:
-�Cu�nto quieres por los tres huevos?
Y ella le responde:
-3 altines por cada uno.
-�Qu� dices!, �te has vuelto loca? -exclama la cocinera.
-Como quiera -le replica la otra-, m�s baratos no los doy. Son los �ltimos.
La cocinera se dirige a la que ten�a dos huevos en el cesto.
-�A c�mo los vende?
-A 3 altines cada uno. Ese es el precio establecido. Se han vendido todos.
-Y este huevo, �cu�nto vale? -le pregunta la cocinera a la hermana menor.
Y �sta le contesta:
-3 altines.
�Qu� hacer? Tuvo que comprar los huevos a aquel precio exorbitante.
-Vengan ac� todos los huevos que quedan.
Y la cocinera dio a la hermana mayor 9 altines por sus tres huevos, que con el alt�n que ya ten�a formaron 10; a la segunda le pag� 6 altines por el par de huevos, que con los 4 que hab�a cobrado antes por las cuatro septenas sumaron tambi�n 10 altines. La hermana menor recibi� de la cocinera 3 altines por su �nico huevo, y junt�ndolos a los 7 que antes le report� la venta de las 7 septenas, vio que, lo mismo que sus hermanas, ten�a 10 altines.
Luego las hermanas regresaron a su casa, cada una le dio a la madre 10 altines y le contaron c�mo hab�an vendido los huevos y c�mo, manteniendo una condici�n com�n con respecto al precio, hab�an logrado cobrar lo mismo por una decena que por medio ciento.La madre qued� muy satisfecha de que sus hijas hubieran cumplido su encargo al pie de la letra y de la ingeniosidad de la mayor, que les hab�a aconsejado lo que ten�an que hacer para cumplirlo; y a�n fue mayor su alegr�a por el hecho de que el dinero recaudado por sus tres hijas -30 altines, 0 90 copeikas- fuera el que ella quer�a�.
* * *
Al lector quiz� le interese conocer en qu� consiste el manuscrito no publicado de V. Bened�ktov, del que hemos copiado el problema anterior. La obra de Bened�ktov carece de t�tulo, pero de su car�cter y destino se habla con detenimiento en el pr�logo del libro.
�El c�lculo aritm�tico puede aplicarse a diversos pasatiempos, juegos, bromas, etc. Muchos de los llamados trucos (subrayado en el original. -Ya. P.) se basan en c�lculos num�ricos, realizados a veces por medio de naipes, en los que se toma en consideraci�n el n�mero de los propios naipes o el n�mero de puntos que se adjudican a unos u otros o ambas cosas a la vez. Algunos problemas, en cuya resoluci�n deben figurar los n�meros m�s enormes, representan hechos curiosos y dan una idea de estos n�meros que superan todo lo imaginable. Nosotros los incluimos en esta parte adicional de la aritm�tica. Algunos problemas requieren para su resoluci�n una inteligencia extraordinariamente despierta y pueden resolverse aunque a primera vista parezcan completamente absurdos y contradictorios del sentido com�n, por ejemplo, el que insertamos aqu� bajo el t�tulo:
Venta ingeniosa de huevos�. La parte pr�ctica, aplicada, de la aritm�tica requiere a veces no s�lo saber las reglas te�ricas que se exponen en la aritm�tica pura, sino tambi�n agudeza, que se adquiere por medio del desarrollo mental que reporta el conocimiento de las diversas facetas de las cosas serias y de simples entretenimientos, que por esto hemos cre�do conveniente que tengan aqu� su puesto�.
El libro de Bened�ktov est� dividido en 20 cap�tulos cortos, no numerados, pero s� titulados cada uno. Los primeros cap�tulos llevan los t�tulos siguientes: �Los llamados cuadrados m�gicos�, �Adivinaci�n de un n�mero pensado desde 1 hasta 30�, �Adivinaci�n de sumas distribuidas en secreto�, �La cifra pensada en secreto, se descubre por s� sola�, �Conocimiento de una cifra tachada�, etc. Sigue a continuaci�n una serie de trucos con naipes, de car�cter aritm�tico. Despu�s de ellos va un cap�tulo curioso: �El caudillo hechicero y el ej�rcito aritm�tico�, donde la multiplicaci�n con los dedos se presenta en forma de an�cdota; luego se encuentra el problema que reproducimos antes, acerca de la venta de huevos. El pen�ltimo cap�tulo -�La falta de granos de trigo para llenar las 64 casillas del tablero de ajedrez�- cuenta la conocida leyenda antigua sobre la invenci�n del juego del ajedrez.
Finalmente, el cap�tulo 20, �El n�mero enorme de los habitantes que han vivido en la Tierra�, contiene un intento interesante de calcular el n�mero total de la poblaci�n de la Tierra desde que existe la humanidad (un an�lisis detallado del c�lculo de Bened�ktov fue hecho por m� en el libro ��lgebra recreativa�).
