CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 6
DISTRIBUCIONES Y TRANSPOSICIONES DIF�CILES
En seis filas
Usted conocer� probablemente el cuento de c�mo nueve caballos fueron puestos en 10 pesebres y en cada pesebre result� haber un caballo. El problema que ahora se plantea es semejante por su forma a esta broma c�lebre, pero tiene una soluci�n completamente real, y no imaginaria como aqu�lla. El problema es el siguiente: distribuir 24 hombres en seis filas, de modo que en cada fila laya cinco hombres. En nueve casillas
Este es un problema en broma, medio problema, medio truco. Haga con cerillas un cuadrado con nueve casillas y ponga en cada casilla una moneda, de modo que en cada fila y en cada columna haya 6 copeikas (figura 159).
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| Figura 159 |
La figura muestra c�mo hay que distribuir las monedas. Sobre una de las monedas ponga una cerilla.
Hecho esto, d�le a sus camaradas la siguiente tarea: sin tocar la moneda en que descansa la cerilla, variar la colocaci�n de las dem�s, de modo que en cada fila y en cada columna siga habiendo, lo mismo que antes, 6 copeikas.
Le dir�n que esto es imposible. Pero con un poco de astucia lograr� usted este �imposible�. �C�mo? Un cambio de monedas
Trace a tama�o mayor el dibujo representado en la figura 160, y designe cada una de sus casillas con una letra en un �ngulo.
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| Figura 160 |
En las tres casillas de la fila superior ponga monedas de cobre: de 1 copeika, 2 copeikas y 3 copeikas. En las tres casillas de la fila inferior coloque monedas de plata: de 10 copeikas, 15 copeikas y 20 copeikas. Las dem�s casillas estar�n vac�as.
Ahora prop�ngase la siguiente tarea: pasando las monedas a las casillas libres, conseguir que las monedas de cobre 3' las de plata cambien entre s� de puestos: la de 1 copeika, con la de 10 copeikas; la de 2 copeikas, con la 15; y la 3 copeikas, con la de 20. Puede usted ocupar cualquier casilla libre del dibujo, pero no se tolera poner dos monedas en una casilla. Tampoco se puede saltar por encima de una casilla ocupada ni salirse fuera de los l�mites de la figura.
El problema se resuelve con una larga serie de pasos. �Cu�les son? Nueve ceros
Nueve ceros se hallan dispuestos as�:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
El problema consiste en tachar todos los ceros trazando solamente cuatro l�neas rectas.
Para facilitar la resoluci�n del problema a�adir� que los nueve ceros se tachan sin levantar la pluma del papel. Treinta y seis
En las casillas de esta cuadr�cula Ceros se han distribuido, como puede ver, 36 ceros.
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| Figura 160 a |
Hay que tachar 12 ceros, pero de tal modo que, despu�s de esto, en cada fila y en cada columna quede el mismo n�mero de ceros sin tachar. �Qu� ceros hay que tachar? Dos damas
En un tablero de damas vac�o hay que colocar dos damas distintas. �Cu�ntas posiciones diferentes pueden ocupar estas dos damas en el tablero? Las moscas en el visillo
En un visillo a cuadros se posaron nueve moscas. Casualmente se colocaron de tal manera que, en ninguna fila, horizontal, vertical u oblicua, hab�a m�s de una mosca (figura 161).
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| Figura 161 |
Al cabo de unos minutos tres de las moscas cambiaron de sitio, pas�ndose a cuadros contiguos que estaban vac�os; las otras seis moscas permanecieron donde estaban antes. Y ocurri� una cosa curiosa: a pesar de que tres moscas pasaron a ocupar otros puestos, las nueve volvieron a encontrarse de modo que, en ninguna fila, horizontal, vertical u oblicua, hab�a m�s de una mosca.
�Puede usted decir qu� tres moscas cambiaron de sitio y cu�les fueron los cuadrados que eligieron? Ocho letras
Las ocho letras colocadas en la casilla del cuadrado representado en la figura 162 deben ponerse en orden alfab�tico, desplaz�ndolas sucesiva- mente hacia la casilla libre.
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| Figura 162 |
Conseguir esto no es dif�cil, si no se limita el n�mero de jugadas. Pero el problema consiste en lograr la ordenaci�n indicada en el menor n�mero de jugadas posible. El lector debe deducir cu�l es este n�mero m�nimo de jugadas. Las ardillas y los conejos
Ante usted, en la figura 163, hay ocho tocones numerados. En los tocones 1 y 3 se han sentado unos conejos, en los 6 y 8, unas ardillas. Pero tanto a las ardillas como a los conejos no les gustan los puestos que ocupan; quieren cambiar de tocones: las ardillas quieren pasarse a los sitios de los conejos, y �stos a los de aqu�llas.
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| Figura 163 |
Pueden hacer esto saltando de un toc�n a otro, pero �nicamente siguiendo las l�neas marcadas en el dibujo.
�C�mo pueden hacerlo?
Recuerde las reglas siguientes:
1) de un toc�n a otro s�lo puede saltarse siguiendo las l�neas indicadas en el dibujo: cada animal puede saltar varias veces seguidas:
2) dos animales no pueden estar en u� mismo toc�n, es decir, s�lo se puede saltar a un toc�n que est� libre.
Tenga tambi�n en cuenta que los animales quieren intercambiar sus sitios dando el menor n�mero de saltos posible. Sin embargo, en menos de 16 saltos no pueden hacerlo. Dificultades de la casa de campo
El dibujo adjunto representa el plano de una peque�a casa de campo, en cuyas reducidas habitaciones se encuentran los muebles siguientes: una mesa de escritorio, un piano de cola, una cama, un aparador y un armario de libros. Hasta ahora s�lo hay una habitaci�n sin muebles, la n�mero 2.
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| Figura 164 |
Al inquilino de la casa de campo le fue necesario cambiar de sitio el piano de cola y el armario de los libros. Esto result� ser un problema nada f�cil: las habitaciones eran tan peque�as, que dos de las cosas mencionadas no cab�an al mismo tiempo en ninguna de ellas. La situaci�n pudo salvarse con ayuda de la habitaci�n 2, que estaba vac�a. Pasando los muebles de una habitaci�n a otra se logr� al fin la transposici�n deseada. �C�mo puede hacerse el cambio proyectado con el menor n�mero de traslaciones posible? Los tres caminos
Tres hermanos, Pedro, Pablo y Jacobo recibieron tres parcelas de tierra para cultivarlas como huerta. Las parcelas estaban juntas y no lejos de las casas respectivas. En la figura 165 puede verse la disposici�n de las casas de Pedro, Pablo y Jacobo y la de sus parcelas de tierra. Se nota en seguida que la situaci�n de las parcelas no es la m�s c�moda para los que las trabajan, pero los hermanos no pudieron llegar a un acuerdo de cambio.
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| Figura 165 |
Cada uno hizo su huerta en su parcela y los caminos m�s cortos entre las casas v �stas se cortaban entre s�.
Pronto empezaron los altercados entre los hermanos, que al fin acabaron disgust�ndose. Para evitar posibles encuentros, cada hermano resolvi� buscar un camino hasta su huerta que no cortara los caminos de los otros. Al cabo de largas b�squedas hallaron tres caminos que reun�an estas condiciones y ahora van cada d�a a sus parcelas sin encontrarse.
�Puede usted indicar estos caminos?
Existe una condici�n obligatoria: los caminos no deben pasar m�s all� de la casa de Pedro. Los ardides de la guardia
Este problema tiene muchas variantes. Damos una de ellas. La tienda de campa�a del jefe la custodia una guardia alojada en ocho tiendas. Al principio en cada una de estas tiendas hab�a tres soldados. Despu�s se permiti� que los soldados de unas tiendas pudieran ir a visitar a los de otras. Y el jefe de la guardia no impon�a sanciones cuando al entrar en las tiendas encontraba en unas m�s de tres soldados y en otras, menos. Se limitaba a comprobar el n�mero de soldados que hab�a en cada fila de tiendas: si en las tres tiendas de cada fila hab�a en total nueve soldados, el jefe de la guardia consideraba que todos los soldados estaban presentes.
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| Figura 166 |
Los soldados se dieron cuenta de esto y encontraron el modo de burlarse del jefe. Una noche se marcharon cuatro soldados de la guardia y su ausencia no fue notada. La noche siguiente se fueron seis, que tampoco sufrieron castigo. M�s tarde los soldados de la guardia incluso empezaron a invitar a otros a que vinieran a visitarles: en una ocasi�n invitaron a cuatro, en otra, a ocho, y una tercera vez, a toda una docena. Y todas estas astucias pasaron desapercibidas, ya que en las tres tiendas de cada fila el jefe de la guardia contaba en total nueve soldados. �C�mo se las compon�an los soldados para hacer esto? Los diez castillos
Un regidor de la antig�edad quiso construir diez castillos unidos entre s� por murallas; estas murallas deb�an extenderse formando cinco l�neas rectas con cuatro castillos en cada una. El constructor que invit� le present� el plano que puede ver en la figura 167.
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| Figura 167 |
Pero al regidor no le gust� este proyecto, porque con esta disposici�n se pod�a llegar desde fuera a cualquiera de los castillos, y �l quer�a que, si no todos, por lo menos uno o dos castillos estuvieran protegidos de las incursiones por la muralla. El constructor objet� que era imposible satisfacer esta condici�n, puesto que los diez castillos deb�an disponerse de modo que en cada una de las cinco murallas hubiera cuatro de ellos. A pesar de esto, el regido insisti� en su deseo.
El constructor se rompi� la cabeza con este problema, y al cabo de bastante tiempo logr� resolverlo.
Intente usted encontrar una disposici�n tal de los 10 castillos y las cinco murallas rectas que los unen, que satisfaga la condici�n impuesta. El huerto frutal
En un huerto hab�a 49 �rboles. En la figura 168 puede verse c�mo estaban dispuestos.
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| Figura 168 |
Al hortelano le pareci� que hab�a demasiados �rboles y quiso despejar el huerto, cortando los �rboles que sobraban, para plantar mejor los cuadros de flores. Llam� a un pe�n y le orden�:
-Deja nada m�s que cinco filas de a cuatro �rboles cada una. Los dem�s �rboles, c�rtalos y, en pago de tu trabajo, qu�date con la le�a.
Cuando termin� la corta, sali� el hortelano y mir� el trabajo. �El huerto estaba casi arrasado! En vez de 20 �rboles, el pe�n s�lo hab�a dejado 70, y hab�a cortado 39.
-�Por qu� has cortado tantos? -le ri�� el hortelano- �Yo te dije que dejases 20!
-No, se�or, usted no me dijo �20�; lo que me orden� fue que dejara cinco filas de a cuatro �rboles. Y as� lo he hecho. M�relo usted.
En efecto, el hortelano comprob� con sorpresa que los 10 �rboles que quedaron de pie, formaban cinco filas de a cuatro �rboles cada una. La orden hab�a sido cumplida al pie de la letra y, a pesar de esto, en vez de 29 �rboles, el pe�n hab�a cortado 39.
�C�mo pudo hacer esto? El rat�n blanco
Los 13 ratones (figura 169) que rodean a este gato est�n condenados a ser devorados por �l. Pero el gato se los quiere ir comiendo en un orden determinado, a saber: cada vez cuenta los ratones en el sentido en que miran los roedores y al que hace 13 se lo come.
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| Figura 169 |
�Por qu� rat�n deber� empezar, para que el �ltimo que se coma sea el blanco? En seis filas
La condici�n que impone el problema es f�cil de satisfacer si los hombres se colocan formando un hex�gono, como indica la figura 170.
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| Figura 170 |
No toque la moneda prohibida,, pero pase toda la fila inferior de casillas a la parte superior (figura 171).
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| Figura 171 |
La disposici�n habr� cambiados pero la condici�n impuesta por el problema queda cumplida: la moneda con la cerilla encima no se ha movido de su sitio. Un cambio de monedas
He aqu� la serie de movimientos que hay que hacer para lograr el objetivo (el n�mero indica la moneda y la letra, la casilla a la cual se traslada):
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2-e
15-b 10-d 2-h 20-e 10-j |
15-i
3-g 20-c 1-e 3-a 15-b |
2-d
4-h 40-e 2-j 15-i 3-g |
10-a
3-e 15-b 2-d 3-j 2-i |
En menos de 24 transiciones es imposible resolver el problema
El problema se resuelve como muestra la figura 172.
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| Figura 172 |
Treinta y seis ceros
Como de los 36 ceros hay que tachar 12, deben quedar 36 - 12, es decir, 24. Por consiguiente, en cada fila o columna deber�n quedar cuatro ceros. La distribuci�n de los ceros no tachados ser�:
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| Figura172 a |
Dos damas
La primera dama puede colocarse en cualquiera de las 64 casillas del tablero, es decir, de 64 modos. Una vez que la primera dama se ha colocado, la segunda puede ponerse en cualquiera de las 63 casillas restantes. Por consiguiente, a cada una de las 64 posiciones que puede ocupar la primera dama hay que a�adir las 63 posiciones que puede ocupar la segunda. De aqu� se deduce que el n�mero total de posiciones diferentes que pueden ocupar las dos damas en el tablero ser�:
64 x 63 = 4032
Las moscas en el visilloLas flechas indican, en la figura 173, las moscas que cambiaron de sitio y los cuadrados de que partieron.
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| Figura 173 |
Ocho letras
El n�mero m�nimo de jugadas es 23, y son: A B F E C A B F E C A B D H G A B D H G D E F. Las ardillas y los conejos
A continuaci�n se indica el procedimiento m�s corto de cambio. Las cifras indican desde qu� toc�n a qu� toc�n hay que saltar (por ejemplo, 1 - 5 significa que la ardilla salta del primer toc�n al quinto). El total son necesarios 16, a saber:
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1 - 5
8 - 4 |
3 - 7
4 - 3 |
7 - 1
6 - 2 |
5 - 6
2 - 8 |
3 - 7
1 - 5 |
6 - 2
5 - 6 |
8 - 4
2 - 8 |
7 - 1
4 - 3. |
Dificultades de la casa de campo
El cambio consigue hacerse mediante 17 traslaciones como m�nimo. Los muebles deben trasladarse en el orden siguiente:
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1. El piano
2. El armario 3. El aparador 4. El piano 5. La mesa 6. La cama |
7. El piano
8. El aparador 9. El armario 10. La mesa 11. El aparador 12. El piano. |
13. La cama
14. El aparador 15. La mesa 16. El armario 17. El piano |
Los tres caminos
Los tres caminos que no se cortan se ven en la figura 174.
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| Figura 174 |
Pedro y Pablo tienen que seguir caminos bastante sinuosos, pero as� se evitan los encuentros enojosos entre los hermanos. Los ardides de la guardia
La soluci�n del problema se halla f�cilmente si se razona como sigue. Para que cuatro soldados puedan ausentarse sin que lo note el jefe de la guardia es necesario que en las filas I y III (figura 175,a) haya nueve soldados en cada una; pero como el n�mero total de soldados ser� 24 - 4 = 20, en la fila II deber� haber 20 - 18 = 2, es decir, un soldado en la tienda de la izquierda de esta fila y otro soldado en la de la derecha.
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| Figura 175 |
Del mismo modo hallamos que en la tienda superior de la columna V debe haber un soldado y en la inferior, otro. Ahora est� claro que en las tiendas de las esquinas tendr� que haber cuatro soldados en cada una. Por consiguiente, la distribuci�n buscada para el caso en que se ausentan cuatro soldados ser� la que se ve en la figura 175,b.
Por medio de an�logos razonamientos se encuentra la distribuci�n necesaria para que puedan ausentarse seis soldados (figura 175,c). Para cuatro invitados (figura 175,d). Para ocho invitados (figura 175,e).
Y, finalmente, en la figura 175,f se muestra la distribuci�n en el caso de 12 invitados.
Se ve claramente que, en las condiciones indicadas, no pueden ausentarse impunemente m�s de seis soldados ni pueden venir a la guardia m�s de 12 invitados. Los diez castillos
En la figura 176 (a la izquierda) se ve la disposici�n con la cual dos castillos quedan protegidos contra una agresi�n desde fuera.
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| Figura 176 |
Como puede ver, los 10 castillos est�n situados aqu� como impon�an las condiciones del problema: cuatro en cada una de las cinco murallas rectas. La figura 176 (a la derecha) da cuatro soluciones m�s a este mismo problema. El huerto frutal
Los �rboles que quedaron sin cortar estaban situados como indica la figura 177; as� forman cinco filas rectas y en cada una de ellas hay cuatro �rboles.
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| Figura 177 |
El rat�n blanco
El gato debe comerse primero al rat�n a que est� mirando, es decir, al sexto a partir del blanco.
Empiece a contar desde este rat�n, siguiendo la circunferencia, y tache cada decimotercero; se convencer� de que el rat�n blanco es el �ltimo que tacha.
