CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
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Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 11
EL PESO Y LA PESADA
Un mill�n de objetos
Un objeto pesa 89,4 g. Calcule mentalmente cu�ntas toneladas pesar� un mill�n de estos objetos. La miel y el queroseno
Un tarro de miel pesa 500 g. Este mismo tarro lleno de queroseno pesa 350 g. El queroseno es dos veces m�s ligero que la miel.
�Cu�nto pesa el tarro? El peso del tronco
Un tronco redondo pesa 30 kg.
�Cu�nto pesar�a si fuera el doble de grueso y la mitad de largo? Debajo del agua
En una balanza ordinaria hay: en un platillo, un canto que pesa 2 kg exactos, y en el otro, una pesa de hierro de 2 kg. Yo sumerg� con precauci�n este peso en agua.
�Siguen los platillos en equilibrio? La balanza decimal
100 kg de clavos de hierro se equilibran en una balanza decimal, con pesas tambi�n de hierro, y la balanza se hunde en agua.
�Se conserva el equilibrio debajo del agua? Un trozo de jab�n
En un platillo de una balanza se ha puesto un trozo de jab�n, en el otro, 3/4 partes de un trozo de jab�n igual, y, adem�s, una pesa de 3/4 de kg. La balanza est� en equilibrio.
�Cu�nto pesa el trozo entero de jab�n?
Este problema no es dif�cil. Procure resolverlo mentalmente, sin recurrir al l�piz y al papel. Las gatas y los gatitos
Por la figura 207 puede ver que cuatro gatas y tres gatitos pesan 15 kg, y tres gatas y cuatro gatitos pesan 13 kg.
�Cu�nto pesa cada gata y cada gatito, por separado?
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| Figura 207 |
Se supone que todas las gatas pesan lo mismo y que los gatitos tambi�n son iguales.
Procure resolver este problema mentalmente. Las conchas y las cuentas de vidrio
La figura. 208 representa c�mo tres cubos de un rompecabezas infantil y una concha se equilibran con 12 cuentas de vidrio y que, despu�s, la concha sola se equilibra con un cubo y ocho cuentas.
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| Figura 208 |
�Cu�ntas cuentas de vidrio habr� que poner en el platillo libre de la balanza, para equilibrar la concha que est� en el otro platillo? El peso de las frutas
Este es un problema del mismo tipo que el anterior. La figura. 209 muestra que tres manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y seis melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera.
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| Figura 209 |
�Cu�ntos melocotones ser�n necesarios para equilibrar la pera? �Cu�ntos vasos?
En la figura. 210 puede ver que una botella y un vaso se equilibran con una jarra; la propia botella se equilibra con el vaso y un plato peque�o; y dos jarras se equilibran con tres platos iguales que el anterior.
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| Figura 210 |
�Cu�ntos vasos hay que poner en el platillo libre de la balanza, para equilibrar la botella? Con una pesa y un martillo
Hay que distribuir 2 kg de az�car molida en paquetes de 200 gramos. S�lo se dispone de una pesa de 500 gramos y de un martillo, que pesa 900 g.
�C�mo conseguir los 10 paquetes de 200 g, utilizando �nicamente esta pesa y el martillo? El problema de Arqu�medes
El m�s antiguo de los acertijos relativos a pesadas es, sin duda, el que Hier�n II, antiguo tirano de Siracusa, le plante� al c�lebre matem�tico Arqu�medes.
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| Figura 211 |
Dice la tradici�n que Hier�n II encarg� a un maestro orfebre que hiciera una corona para una estatua y orden� que le entregasen la cantidad necesaria de oro y plata. Cuando le entregaron la corona acabada, la mand� pesar, y result� que pesaba lo mismo que el oro y la plata juntos que hab�a recibido el orfebre. Pero el tirano recibi� una denuncia, seg�n la cual el maestro se hab�a quedado con parte del oro y lo hab�a sustituido con plata. Hier�n II llam� a Arqu�medes y le propuso determinar las cantidades de oro y plata que hab�a en la corona reci�n hecha.
Arqu�medes resolvi� este problema partiendo de que el oro puro pierde en el agua la vig�sima parte de su peso, mientras que la plata s�lo pierde la d�cima parte.
Si quiere usted probar sus fuerzas intentando resolver un problema an�logo, suponga que al maestro orfebre le dieron 8 kg de oro y 2 kg de plata y que, cuando Arqu�medes pes� la corona dentro del agua, pes� aquella no 10 kg, sino 91/4 kg. Determine con estos datos con cu�nto oro se qued� el orfebre. Se supone que la corona es maciza.
SOLUCIONES 1. Un mill�n de objetos
Los c�lculos de este tipo se hacen mentalmente as�: hay que multiplicar 89,4 g, por un mill�n, es decir, por mil millares.
Multiplicamos en dos veces: 89,4 g X 1000 = 89,4 kg, porque el kilogramo es mil veces mayor que el gramo. Despu�s, 89,4 kg X 1000 = 89,4 t, porque la tonelada es mil veces mayor que el kilogramo.
Por lo tanto, el peso buscado es 89,4 t. 2. La miel y el queroseno
Como la miel es dos veces m�s pesada que el queroseno, la diferencia de peso 500-350, es decir, 150 g, es el peso del keros�n que cabe en el tarro (el tarro lleno de miel pesa lo mismo que pesar�a si en �l cupiera doble cantidad de keros�n). De aqu� deducimos el peso neto del tarro: 350 - 150 = 200 g. En efecto, 500 - 200 = 300 g, es decir, la miel es dos veces m�s pesada que el mismo volumen de keros�n. 3. El peso del tronco
Suelen responder que si el grosor del tronco se duplica, pero su longitud se reduce a la mitad, su peso no debe variar. Pero esto es un error. Cuando el di�metro se duplica, el volumen del tronco redondo se cuadruplica, mientras que cuando su longitud se hace la mitad, el volumen s�lo disminuye hasta la mitad. Por esto el tronco grueso y corto deber� ser m�s pesado que el largo y delgado, es decir, deber� pesar 60 kg. 4. Debajo del agua
Todo cuerpo, cuando se sumerge en agua, se hace m�s ligero: �pierde� en peso tanto como pesa el agua que desaloja. Conociendo este principio (descubierto por Arqu�medes) podemos responder sin dificultad a la pregunta planteada en el problema.
El canto de 2 kg de peso ocupa un volumen mayor que la pesa de hierro de 2 kg, porque el material de aqu�l (granito) es m�s liviano que el hierro. De aqu� se deduce que el canto desaloja m�s volumen de agua que la pesa, y, por el principio de Arqu�medes, pierde dentro del agua m�s peso que la pesa. As�, pues, la balanza, dentro del agua, se inclinar� hacia el lado de la pesa. 5. La balanza decimal
Cuando se sumerge en agua un objeto de hierro (macizo), �ste pierde la octava parte de su peso. Por esto, las pesas pesar�n debajo del agua 7/8 de su peso inicial, los clavos tambi�n pesar�n 7/8 partes de su peso en seco. Y como las pesas eran 10 veces m�s ligeras que los clavos, debajo del agua tambi�n ser�n 10 veces m�s livianas y, por consiguiente, la balanza decimal seguir� en equilibrio debajo del agua. 6. Un trozo de jab�n
3/4 partes del trozo de jab�n + 3/4 de kg pesan tanto como el trozo entero. Pero este trozo entero contiene 3/4 partes del trozo + 1/4 parte del mismo. Por consiguiente, 1/4 parte del trozo pesa 3/4 de kg, y el trozo entero pesa cuatro veces m�s que 3/4 de kg, es decir, 3 kg. 7. Las gatas y los gatitos
Comparando ambas pesadas se ve f�cilmente que, con la sustituci�n de una gata por un gatito, el peso total disminuye en 2 kg. De aqu� se deduce que la gata pesa 2 kg m�s que el gatito. Conociendo esto, sustituimos en la primera pesada las cuatro gatas por gatitos: tendremos entonces 4 + 3 = 7 gatitos, que pesar�n no 15 kg, sino 2 X 4, o sea, 8 kg menos. Es decir, los 7 gatitos pesar�n 15 - 8 = 7 kg.
Est� claro, pues, que 1 gatito pesa 1 kg y una gata, 1 + 2 = 3 kg. 8. La concha y las cuentas de vidrio
Compare la primera pesada con la segunda. Ver� usted que, en la primera pesada, la concha puede sustituirse por un cubo y ocho cuentas de vidrio, puesto que lo uno y lo otro pesan lo mismo. En este caso tendr�amos en el platillo de la izquierda cuatro cubos y ocho cuentas, y esto estar�a equilibrado por 12 cuentas. Quitando ahora ocho cuentas de cada platillo no violaremos el equilibrio. Pero en el platillo de la izquierda quedan cuatro cubos, y en el de la derecha, cuatro cuentas. Esto quiere decir que un cubo pesa lo mismo que una cuenta.
Ahora est� claro cu�ntas cuentas de vidrio pesa la concha: sustituyendo (en la segunda pesada) un cubo por una cuenta, en el platillo de la derecha, sabemos que la concha pesa lo mismo que nueve cuentas de vidrio.
Este resultado es f�cil de comprobar.
Sustituya en la primera pesada los cubos y la concha, del platillo de la izquierda, por el n�mero correspondiente de cuentas, y obtendr� 3 + 9 = 12, como ten�a que ser. 9. El peso de las frutas
Sustituimos, en la primera pesada, la pera por seis melocotones y una manzana; tenemos derecho a hacer esto, porque la pera pesa tanto como seis melocotones y una manzana. Tendremos entonces en el platillo de la izquierda cuatro manzanas y seis melocotones, y en el derecho, 10 melocotones. Quitando de cada platillo seis melocotones, sabemos que cuatro manzanas pesan lo mismo que cuatro melocotones. De aqu� se deduce que un melocot�n pesa lo mismo que una manzana.
Ahora es ya f�cil comprender que la pera pesa lo mismo que siete melocotones. 10. �Cu�ntos vasos?
Este problema puede resolverse por diversos procedimientos. He aqu� uno de ellos.
En la tercera pesada se sustituye cada jarra por una botella y un vaso (seg�n la primera pesada, al hacer esto la balanza debe seguir en equilibrio). Sabemos entonces que dos botellas y dos vasos equilibran tres platos peque�os. Bas�ndonos en la segunda pesada podemos sustituir cada botella por un vaso y un plato peque�o. Resulta que cuatro vasos y dos platos peque�os se equilibran con tres platos peque�os.
Quitando dos platos peque�os de cada platillo de la balanza, establecemos que cuatro vasos equilibran a un plato.
Por consiguiente, una botella se equilibra (por comparaci�n con la segunda pesada) con cinco vasos. 11. Con una pesa y un martillo
El orden en que deben hacerse las pesadas es el que sigue. Primero se pone en un platillo el martillo y en el otro, la pesa y la cantidad de az�car molida necesaria para que la balanza est� en equilibrio. Est� claro que el az�car echado en este platillo pesar� 900 - 500 = 400 g. Esta misma operaci�n se repite tres veces m�s. El az�car restante pesar� 2000 - (4 X 400) = 400 g.
Ahora no queda m�s que dividir en dos partes iguales cada uno de los cinco paquetes de 400 gramos as� obtenidos. Esto puede hacerse f�cilmente sin pesas: se va echando el contenido del paquete de 400 gramos en dos paquetes colocados en los platillos de la balanza, hasta que �sta queda en equilibrio.
12. El problema de Arqu�medes
Si la corona encargada estuviera hecha de oro puro, fuera del agua pesar�a 10 kg, y dentro del agua perder�a la vig�sima parte de su peso, es decir 1/2 kg. Pero, como sabemos, la corona no pierde dentro del agua 1/2 kg, sino 10 - 9 1/4 = 3/4 de kg. Esto ocurre porque la corona contiene plata -metal que sumergido en el agua pierde no la vig�sima parte de su peso, sino la d�cima. La corona debe tener tanta plata como se necesita para perder en el agua no 1/2 kg, sino 3/4 de kg, es decir 1/4 de kg m�s. Si en nuestra corona de oro puro sustituimos mentalmente 1 kg de oro por plata, la p�rdida que experimenta aqu�lla en el agua ser� mayor que antes en 1/10 - 1/20 = 1/20 kg. Por consiguiente, para que resulte la p�rdida de 1/4 de kg m�s de peso, hay que sustituir por plata tantos kilogramos de oro como veces 1/20 de kg est� contenido en 1/4 de kg; pero 1/4 : 1/20 = 5. Por lo tanto, la corona ten�a 5 kg de plata y 5 kg de oro en vez de 2 kg de plata y 8 de oro, es decir, 3 kg de oro hab�an sido substra�dos y sustituidos por plata.
Quitando dos platos peque�os de cada platillo de la balanza, establecemos que cuatro vasos equilibran a un plato.
Por consiguiente, una botella se equilibra (por comparaci�n con la segunda pesada) con cinco vasos. 13. Con una pesa y un martillo
El orden en que deben hacerse las pesadas es el que sigue. Primero se pone en un platillo el martillo y en el otro, la pesa y la cantidad de az�car molida necesaria para que la balanza est� en equilibrio. Est� claro que el az�car echado en este platillo pesar� 900 - 500 = 400 g. Esta misma operaci�n se repite tres veces m�s. El az�car restante pesar� 2000 - (4 X 400) = 400 g.
Ahora no queda m�s que dividir en dos partes iguales cada uno de los cinco paquetes de 400 gramos as� obtenidos. Esto puede hacerse f�cilmente sin pesas: se va echando el contenido del paquete de 400 gramos en dos paquetes colocados en los platillos de la balanza, hasta que �sta queda en equilibrio.
14. El problema de Arqu�medes
Si la corona encargada estuviera hecha de oro puro, fuera del agua pesar�a 10 kg, y dentro del agua perder�a la vig�sima parte de su peso, es decir 1/2 kg. Pero, como sabemos, la corona no pierde dentro del agua 1/2 kg, sino 10 - 91/4 = 3/4 de kg. Esto ocurre porque la corona contiene plata -metal que sumergido en el agua pierde no la vig�sima parte de su peso, sino la d�cima. La corona debe tener tanta plata como se necesita para perder en el agua no 1/2 kg, sino 3/4 de kg, es decir 1/4 de kg m�s. Si en nuestra corona de oro puro sustituimos mentalmente 1 kg de oro por plata, la p�rdida que experimenta aqu�lla en el agua ser� mayor que antes en 1/10 - 1/20 = 1/20 kg. Por consiguiente, para que resulte la p�rdida de 1/4 de kg m�s de peso, hay que sustituir por plata tantos kilogramos de oro como veces 1/20 de kg est� contenido en 1/4 de kg; pero 1/4 : 1/20 = 5. Por lo tanto, la corona ten�a 5 kg de plata y 5 kg de oro en vez de 2 kg de plata y 8 de oro, es decir, 3 kg de oro hab�an sido substra�dos y sustituidos por plata.
