CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 14
C�LCULOS INESPERADOS
- El vaso de guisantes
- El agua y el vino
- El dado
- La cerradura Yale
- �Cu�ntos retratos?
- Las hojas del �rbol
- En el �baco
- Un mill�n de pasos
- El metro c�bico
- �Qui�n cont� m�s?
Usted habr� visto m�s de una vez guisantes y habr� tenido en sus manos vasos con mucha frecuencia. Por lo tanto, conocer� bien las dimensiones de unos y otros. Pues, fig�rese un vaso lleno hasta arriba de guisantes secos y que estos guisantes se ensartan como cuentas en un hilo.
Si este hilo, con los guisantes, se extiende, �qu� longitud tendr�?
En una botella hay un litro de vino, y en otra, un litro de agua. De la primera a la segunda se transvasa una cucharada de vino y, despu�s, de la segunda a la primera se transvasa una cucharada de la mezcla obtenida.
�Qu� hay ahora m�s, agua en la primera botella o vino en la segunda?
He aqu� un dado (figura 216), es decir, un peque�o cubo en cuyas caras van marcados puntos desde 1 hasta 6.
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| Figura 216 |
Pedro apuesta a que, si echa cuatro veces seguidas el dado, una de estas cuatro veces caer� con un punto solo hacia arriba.
Vladimiro, en cambio, asegura que el punto solo no saldr� en ninguna de las cuatro jugadas o que, si sale, ser� m�s de una vez.
�Qui�n tiene m�s probabilidades de ganar?
Aunque esta cerradura se usa desde hace ya mucho tiempo (porque fue inventada en el a�o 1865), son a�n pocos los que conocen su estructura. Por esto se oyen con frecuencia manifestaciones de duda acerca de que pueda existir un gran n�mero de cerraduras de este tipo y de llaves para ellas. Sin embargo, basta conocer el ingenioso mecanismo de estas cerraduras para convencerse de que es posible diversificarlas en alto grado.
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| Figura 217 |
En la figura 217, a la izquierda, se ve la parte �frontal� de la cerradura Yale. El nombre de esta cerradura es el de su inventor, el cerrajero norteamericano Limus Yale. Alrededor del ojo de la cerradura se observa un peque�o c�rculo: esta es la base del tambor, que pasa a trav�s de toda la cerradura. El problema de abrir la cerradura consiste en hacer girar este tambor, pero aqu� est� precisamente la dificultad. El tambor se mantiene en una posici�n determinada por medio de cinco tumbadores o clavijas de acero (figura 217, a la derecha). Cada una de estas clavijas est� cortada en dos y hasta que no se colocan de manera que todos estos cortes coinciden con la l�nea de contacto entre el tambor y el cilindro, es imposible conseguir que aqu�l gire.
Esta colocaci�n se le da a las clavijas con una llave que tiene en su borde los salientes adecuados. Basta meter la llave, para que los tumbadores ocupen la �nica posici�n que hace posible la apertura de la cerradura.
Ahora es f�cil comprender que el n�mero de distintas cerraduras de este tipo puede ser realmente muy grande. Este n�mero depende de la cantidad de procedimientos por que puede cortarse en dos cada clavija. En la pr�ctica, esta cantidad, como es l�gico, no es infinita, pero s� muy grande.
Suponga, por ejemplo, que cada clavija se puede cortar en dos partes s�lo por 10 procedimientos e intente calcular cu�ntas cerraduras diferentes, de este tipo, se pueden hacer con esta condici�n.
Dibuje un retrato en un cart�n y c�rtelo en tiras. Supongamos que lo corta en nueve tiras. Si sabe dibujar un poco, no le ser� dif�cil hacer otras tiras con las im�genes de las diversas partes de la cara, pero de tal modo, que dos tiras contiguas, aunque pertenezcan a diferentes retratos, puedan aplicarse la una a la otra sin que se note discontinuidad en los trazos. Si para cada parte de la cara hace usted cuatro tiras diferentes, tendr� 36 tiras, con las cuales, junt�ndolas de nueve en nueve, podr� formar diversos retratos.
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| Figura 218 |
En los almacenes, donde en un tiempo se vend�an juegos de tiras (o tarugos) para componer retratos (figura 218), dec�an los dependientes que con las 36 tiras se pod�an obtener mil fisonom�as distintas.
�Es esto cierto?
Si a un �rbol viejo cualquiera, por ejemplo, a un tilo, se le arrancan todas las hojas y se ponen unas al lado de otras, sin intervalos, �qu� longitud aproximada tendr� la fila que forman? �Bastar� para rodear con ella una casa grande?
Es indudable que usted sabr� contar en el �baco y que comprender� lo f�cil que es marcar en �l 25 rublos.
Pero el problema se complica si le ponen la condici�n de que mueva no siete bolas, como se hace de ordinario, sino 25 bolas.
En efecto, haga usted la prueba de marcar en el �baco la suma de 25 rublos, desplazando 25 bolas exactamente.
En la pr�ctica, claro est�, esto no se hace nunca, pero el problema tiene soluci�n y la respuesta es bastante interesante.
Usted sabe perfectamente lo que es un mill�n y tambi�n lo que es la longitud de un paso suyo. Si esto es as�, no le ser� dif�cil responder a la siguiente pregunta: �A qu� distancia se alejar� si da un mill�n de pasos, a m�s de 10 kil�metros o a menos?
En una escuela pregunt� el maestro: �qu� altura tendr�a la columna que se formara, si se pusieran uno encima de otro todos los mil�metros c�bicos que contiene un metro c�bico?
-Ser�a m�s alta que la torre Eiffel (300 metros) - exclam� uno de los alumnos.
- Y m�s alta que el Mont Blanc (5 kil�metros) -agreg� otro.
�Cu�l de los dos se equivoc� m�s?
�Qui�n cont� m�s transe�ntes? SOLUCIONES 1. El vaso de guisantes
Si resolvi�ramos este problema a ojo, es seguro que cometer�amos una gran equivocaci�n. Hay que hacer un c�lculo, aunque s�lo sea aproximado.
El di�metro de un guisante seco tiene cerca de 1/2, cent�metro. En un cent�metro c�bico caben, por lo menos, 2 * 2 * 2 = 8 guisantes (empaquetados densamente caben m�s). En un vaso, cuya capacidad sea de 250 cm 3 , el n�mero de guisantes ser�, por lo menos de 8 * 250 = 2000. Insertados en un hilo se extender�n 1/2, * 2000 = 1000 cm, es decir, 10 m. 2. El agua y el vino
Al resolver este problema es f�cil confundirse si no se tiene en cuenta que el volumen de los l�quidos que hay en las botellas despu�s de los transvases es igual al inicial, es decir, a 1 litro. Aclarado esto, razonaremos como sigue. Supongamos que, despu�s de hacer el trasiego, en la segunda botella hay n cm 3 de vino y, por lo tanto, (1000-n) cm 3 de agua. �Ad�nde fueron a parar los n cm 3 de agua que faltan? Es evidente que deber�n estar en la primera botella. Por consiguiente, despu�s de hacer el transvase, en el vino hay tanta agua como en el agua vino. 3. El dado
Si el dado se lanza cuatro veces, el n�mero total de las posiciones que puede tomar es igual a 6 * 6 * 6 * 6 = 1296. Supongamos que la primera jugada ya se ha hecho y que ha salido un solo punto. En este caso, en todas las dem�s tiradas, el n�mero total de las posiciones que le convienen a Pedro, es decir, en que salga cualquier n�mero de puntos que no sea uno, ser� 5 * 5 * 5 = 125. Del mismo modo ser�n posibles, cada vez, 125 posiciones favorables para Pedro, si el �nico punto sale solamente en la segunda tirada, solamente en la tercera o solamente en la cuarta. As�, pues, existen 125 + 125 + 125 + 125 = 5 000 posibilidades distintas de que el punto �nico salga una y s�lo una vez cuando el dado se lanza cuatro veces. En cambio, existen 1296 - 500 = 796 posibilidades adversas, ya que todos los dem�s casos son desfavorables.
Vemos, por lo tanto, que Vladimiro tiene m�s posibilidades de ganar que Pedro: 796 contra 500. 4. La cerradura Yale
No es dif�cil calcular que el n�mero de cerraduras diferentes es igual a 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000.
Cada una de estas 100 000 cerraduras tiene su llave correspondiente, �nica con que aqu�lla puede abrirse. La existencia de 100 mil cerraduras y llaves distintas constituye una garant�a suficiente para el poseedor de una de ellas, ya que el que quisiera penetrar en su domicilio, vali�ndose de otra llave, s�lo tendr�a una probabilidad de la 100 mil de hallar la necesaria.
Nuestro c�lculo ha sido al buen tunt�n: lo hemos hecho suponiendo que cada clavija de la cerradura puede dividirse en dos partes s�lo por diez procedimientos. En realidad es probable que pueda hacerse de m�s maneras, con lo que la cantidad de cerraduras diferentes aumenta considerablemente. De aqu� se deduce la ventaja de este tipo de cerradura (si est� bien hecha) frente a las ordinarias, entre las cuales, en cada docena hay una o dos iguales. 5. �Cu�ntos retratos?
El n�mero de retratos es mucho mayor que mil. Se pueden contar del modo siguiente. Designemos las nueve partes de los retratos por las cifras romanas I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII y IX; para cada parte tenemos cuatro tiras, que numeraremos con las cifras �rabes 1, 2, 3 y 4.
Tomamos la tira I, 1. A ella podemos aplicarle las II, 1; II, 2; II, 3 y II, 4.
Por consiguiente, aqu� pueden hacerse cuatro combinaciones. Pero como la parte I de la cabeza puede representarse por cuatro tiras (I1; I2; I3 y I4) y cada una de ellas puede acoplarse a la parte II por cuatro procedimientos distintos, resulta que las dos partes superiores de la cabeza I y II pueden unirse de 4 * 4 = 16 modos diferentes.
A cada una de estas 16 colocaciones se le puede adosar la parte III de cuatro maneras III, 1; III, 2; III, 3 y III, 4); por lo tanto, las tres primeras partes de la fisonom�a pueden combinarse de 16 * 4 = 64 modos distintos.
De la misma manera llegaremos a saber que las partes I, II, III y IV pueden disponerse de 64 * 4 = 256 formas diversas; las partes I, II, III, IV y V, de 1024; las I, II, III, IV, V y VI, de 4096, y as� sucesivamente. Y finalmente las nueve partes del retrato se pueden agrupar por 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4, es decir, 262144 procedimientos.
As�, pues, con nuestros nueve tarugos se pueden componer no 1000, sino m�s de un cuarto de mill�n de retratos diferentes.
Este problema es bastante aleccionador: por �l podemos comprender la causa de que sea tan dif�cil encontrar dos personas que tengan las mismas facciones. Ya en las �Ense�anzas� de Monomaj se expresa admiraci�n por el hecho de que siendo enorme la cantidad de personas que hay en el mundo, cada una tiene su propia fisonom�a. Pero nosotros acabamos de comprobar que, si el rostro humano se caracterizara solamente por nueve rasgos, que permitieran cada uno nada m�s que cuatro variantes, podr�an existir m�s de 260 000 caras diferentes. Sin embargo, los rasgos caracter�sticos del rostro humano son en realidad m�s de nueve y pueden variar por m�s de cuatro procedimientos. As�, si los rasgos son 20 y cada uno var�a de 10 modos, tendremos 10 * 10 *...* 10 * 10 ... (20 factores), es decir, 102 � 100 000 000 000 000 000 000 de caras distintas.
Esta cantidad es muchas veces mayor que el n�mero de personas que hay en todo el mundo. 6. Las hojas del �rbol
No s�lo una casa grande, sino hasta una ciudad no muy grande se podr�a rodear con las hojas puestas en fila de un �rbol, porque esta fila se extender�a... �unos doce kil�metros! Efectivamente, un �rbol viejo no tiene menos de 200-300 mil hojas. Si admitimos que sean 250 mil y consideramos que cada hoja tiene 5 cm de anchura, la fila que se obtiene tendr� 1 250 000 cm de longitud, o sea, 12 500 m � 121/a kil�metros. 7. En el �baco
25 rublos se pueden marcar en el �baco con 25 bolas, del modo siguiente:
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| Figura 219 |
En efecto, aqu� se han marcado 20 rublos + 4 rublos + 90 copeikas + 10 copeikas = 25 rublos.
Y el n�mero total de bolas es: 2 + 4 + 9 + 10 = 25. 8. Un mill�n de pasos
Un mill�n de pasos son mucho m�s de 10 km, incluso m�s de 100 km. Si la longitud de un paso es aproximadamente igual a 3/4 de metro, 100 000 pasos ser�n 750 km. Y como de Mosc� a Leningrado s�lo hay 640 km, si usted da un mill�n de pasos desde Mosc�, se alejar� m�s que la distancia que hay desde esta ciudad a Leningrado. 9. El metro c�bico
Las dos respuestas distan mucho de ser ciertas, porque la columna resultar�a ser 100 veces m�s alta que la monta�a m�s alta de la Tierra. En efecto, en un metro c�bico hay 1000 * 1000 * 1000, o sea, un millar de millones de mil�metros c�bicos. Puestos unos encima de otros, estos mil�metros c�bicos formar�an una columna de 1 000 000 000 mm de altura, es decir, de 1 000 000 m � 1000 km. 10. �Qui�n cont� m�s?
Las dos contaron el mismo n�mero de transe�ntes. Efectivamente, aunque la que estaba en la puerta cont� los transe�ntes que pasaban en ambos sentidos, la que iba y ven�a por la acera vio doble n�mero.
