CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 8
PROBLEMAS CON CUADRADOS
El estanque
Tenemos un estanque cuadrado (figura 194). En sus �ngulos crecen, cerca del agua, cuatro viejos robles. Hay que ensanchar el estanque, haciendo que su superficie sea el doble, conservando su forma cuadrada y sin tocar los viejos robles.
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| Figura 194 |
�Puede agrandarse estanque hasta las dimensiones deseadas, quedando los robles fuera del agua, en las orillas del nuevo estanque? El entarimador
Un entarimador, cuando cortaba los cuadrados de madera los comprobaba as�: comparaba las longitudes de los lados, y si los cuatro eran iguales, consideraba que el cuadrado estaba bien cortado.
�Es segura esta comprobaci�n? Otro entarimador
Otro entarimador comprobaba su trabajo de un modo distinto: no med�a los lados, sino las diagonales de los cuadrados. Si las dos diagonales eran iguales, el entarimador consideraba que el cuadrado estaba bien cortado.
�Usted piensa lo mismo? Un tercer entarimador
Un tercer entarimador, al comprobar los cuadrados, se cercioraba de que las cuatro partes en que las diagonales se dividen entre s� (figura 195) eran iguales. Seg�n �l esto demostraba que el cuadril�tero cortado era un cuadrado.
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| Figura 195 |
�Y usted, qu� piensa? La costurera
Una costurera tiene que cortar trozos de lienzo cuadrados. Despu�s de cortar varios trozos, comprueba su trabajo doblando el trozo cuadrangular por una de sus diagonales y viendo si coinciden sus bordes. Si coinciden, quiere decir, seg�n ella, que el trozo cortado tiene exactamente forma cuadrada.
�Es as� en realidad? Otra costurera
Otra costurera no se contentaba con la comprobaci�n que hac�a su amiga. Ella doblaba primero el cuadril�tero cortado por una diagonal, luego desdoblaba el trozo de lienzo y lo doblaba por la otra diagonal. S�lo cuando los bordes de la tela coincid�an en ambos casos consideraba ella que el cuadrado estaba bien cortado.
�Qu� dice usted de esta comprobaci�n? El problema del carpintero
Un joven carpintero tiene una tabla pentagonal como la que representa la figura 196. Como puede ver, la tabla parece estar formada por un cuadrado y un tri�ngulo aplicado a �l e igual a su cuarta parte. Al carpintero le hace falta convertir esta tabla, sin quitarle ni a�adirle nada, en un cuadrado. Para esto, claro est�, hay que cortarla antes en partes. Nuestro joven carpintero piensa hacer esto, pero no quiere cortar la tabla por m�s de dos l�neas rectas.
�Es posible, con dos l�neas rectas cortar la figura 196 en partes con las cuales se pueda componer un cuadrado? Si es posible, �c�mo hay que hacerlo? SOLUCIONES
El estanque
La superficie del estanque puede perfectamente duplicarse, conservando su forma cuadrada y sin tocar los robles.
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| Figura 197 |
En la figura 197 se muestra como hay que hacerlo: hay que cavar de tal modo que los robles queden frente al punto medio de los lados del nuevo cuadrado. Es f�cil convencerse de que el �rea del nuevo estanque es dos veces mayor que la del antiguo. Para esto no hay m�s que trazar las diagonales en el estanque viejo y calcular los tri�ngulos que se forman al hacer esto.
Esta comprobaci�n es insuficiente. Un cuadril�tero puede satisfacer esta prueba sin ser cuadrado. En la figura 198 se dan unos ejemplos de cuadril�teros que tienen todos los lados iguales, pero cuyos �ngulos no son rectos (rombos).
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| Figura 198 |
Otro entarimador
Esta comprobaci�n es tan insegura como la primera. El cuadrado, claro est�, tiene las diagonales iguales, pero no todo cuadril�tero que tenga las diagonales iguales es un cuadrado. Esto puede verse con toda claridad en los dibujos de la figura 199.
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| Figura 199 |
Los entarimadores deb�an haber practicado las dos comprobaciones con cada uno de los cuadril�teros que cortaban, con lo cual hubieran podido estar seguros de que el trabajo estaba bien hecho. Todo rombo cuyas diagonales sean iguales ser� indudablemente un cuadrado. Un tercer entarimador
Lo �nico que puede demostrar esta comprobaci�n es que el cuadril�tero que se somete a ella tiene los �ngulos rectos, es decir, que es un rect�ngulo. Pero, en cambio, no prueba que todos sus lados son iguales, como puede verse en la figura 200.
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| Figura 200 |
La costurera
La comprobaci�n dista mucho de ser suficiente. En la figura 201 se han dibujado varios cuadril�teros cuyos bordes coinciden cuando se doblan por una diagonal.
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| Figura 201 |
Y, sin embargo, no son cuadrados. Como puede ver, un cuadril�tero puede diferir mucho de la figura del cuadrado y, a pesar de esto, satisfacer esta comprobaci�n.
Con esta prueba podemos convencernos de que una figura es sim�trica, y nada m�s. Otra costurera
Esta comprobaci�n no es mejor que la anterior. Usted puede recortar tantos cuadril�teros de papel como quiera, que, aunque no sean cuadrados, satisfar�n esta prueba
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| Figura 202 |
Los cuadril�teros de la figura 202 tienen todos los lados iguales (son rombos), pero sus �ngulos no son rectos, por consiguiente. Para cerciorarse de verdad de que el trozo cortado tiene forma cuadrada, adem�s de lo que hac�a esta costurera, hay que comprobar si las diagonales (o los �ngulos) son iguales. El problema del carpintero
Una recta debe ir desde el v�rtice c al punto medio del lado de, y la otra, desde el punto medio hasta el v�rtice a.
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| Figura 203 |
Con los trozos obtenidos, 1, 2 y 3, se compone el cuadrado como indica el dibujo (figura 203).
