CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 1
PARA LOS RATOS LIBRES
Tijeras y papel
- De un corte, en tres partes
- �C�mo poner de canto una tira de papel?
- Anillos en cantados
- Resultados inesperados de un corte a una cadena de papel
- �C�mo meterse por una hoja de papel?
En el rinc�n de un cuarto reci�n reparado me encontr� una vez con varias tarjetas postales viejas y un mont�n de tiras estrechas de las que suelen recortarse de los papeles pintados cuando se empapelan las habitaciones. �Esto, pens� yo, no vale m�s que para quemarlo en la estufa�. Pero result� que hasta estas cosas, tan in�tiles al parecer, pueden servir de pasatiempo interesante. Mi hermano mayor me ense�� una serie de ingeniosos rompecabezas que pueden hacerse con este material.
Empez� por las tiras de papel. Me dio una que tendr�a unos tres palmos de largo y me dijo:
- Coge unas tijeras y corta esta tira en tres partes...
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| Figura 1 |
Me dispon�a ya a cortar, cuando mi hermano me detuvo:
- Espera que a�n no he terminado. C�rtala en tres partes, pero de un solo tajo.
Esto ya era m�s dif�cil. Intent� hacerlo de varias formas y me convenc� de que el problema que me hab�a puesto era embarazoso. Al fin llegu� a la conclusi�n de que no se pod�a resolver.
-�Qu� quieres, re�rte de m�? le dije. Esto es imposible.
- Pi�nsalo mejor, quiz� comprendas lo que hay que hacer.
- Lo que yo he comprendido ya es que este problema no tiene soluci�n.
- Pues, lo has comprendido mal. Dame.
Mi hermano me quit� la tira y las tijeras, dobl� el papel y lo cort� por la mitad. Resultaron tres trozos.
- �Ves?
- Si, pero has doblado el papel.
-� Y por qu� no lo doblaste t�?
- Porque no me dijiste que se pod�a doblar.
- Pero tampoco te dije que no se pod�a. As� que, reconoce que no has sabido resolver el problema.
- Ponme otro. Ya ver�s como no me coges m�s.
- Toma esta otra tira. Ponla de canto sobre la mesa.
- �Para que se quede en pie, o para que se caiga?, le pregunt�, imagin�ndome que se trataba de una nueva trampa.
- Para que se quede en pie, claro est�. Si no, no estar�a de canto.
�Para que se quede ... de canto�, pens� yo, y de repente se me ocurri� que la tira se pod�a doblar. La dobl� y la puse sobre la mesa.
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| Figura 2 |
- Ah� la tienes, �de canto! De que no se pod�a doblar no dijiste nada.
- Est� bien.
-�Venga otro problema!
- Con mucho gusto. �Ves?, he pegado los extremos de varias tiras y han resultado unos anillos de papel. Coge un l�piz rojo y azul y traza a todo lo largo de la parte exterior del anillo una raya azul, y a lo largo de la parte interior, una raya roja.
-�Y qu� m�s?
- Eso es todo.
�Qu� tarea m�s simple! Y, sin embargo, no me sali� bien. Cuando cerr� la raya azul y quise empezar la roja, me encontr� con que, por descuido, hab�a trazado rayas azules a los dos lados del anillo.
- Dame otro anillo, le dije desconcertado -. Este lo he estropeado sin querer.
Pero con el segundo anillo me ocurri� lo mismo: no me di cuenta de c�mo ray� sus dos partes.
-�Qu� confusi�n es �sta?, tambi�n lo he estropeado. �Dame el tercero!
- C�gelo, no te preocupes.
Y, �qu� piensa usted? Esta vez tambi�n resultaron rayados con trazo azul los dos lados del anillo. Para el l�piz rojo no qued� parte libre.
Me apesadumbr�.
-�Una cosa tan f�cil y no puedes hacerla!, dijo mi hermano ri�ndose. A m� me sale enseguida.
Y, efectivamente, cogi� un anillo y traz� r�pidamente por su lado exterior una raya azul y por todo el interior, una raya roja.
Recib� un nuevo anillo y empec�, con el mayor cuidado posible a tramar la raya por una de sus partes.
Por fin, procurando no pasarme al otro lado inopinadamente, cerr� el trazo. Y... otra vez fracas�: �las dos partes quedaron rayadas! Cuando las l�grimas se me saltaban ya, mir� confuso a mi hermano y, s�lo entonces, por su sonrisa astuta, comprend� que pasaba algo anormal.
- Eh..., �has hecho un truco?, le pregunt�.
- S�. Los anillos est�n encantados, me respondi� -. �Son maravillosos!
-�Maravillosos? Son anillos como otros cualesquiera. Pero t� les haces algo.
- Intenta hacer con ellos alguna otra cosa. Por ejemplo, �podr�as cortar uno de estos anillos a lo largo, para que salieran dos m�s estrechos?
-�Vaya trabajo!
Cort� el anillo, y ya me dispon�a a ense�arle a mi hermano la pareja obtenida, cuando vi con sorpresa que ten�a en mis manos no dos anillos, sino uno m�s largo.
-�Qu�, d�nde est�n tus dos anillos?, me pregunt� �l con aire de burla.
- Dame otro anillo: probar� otra vez.
-�Para qu� quieres otro? Corta ese mismo que acabas de obtener.
As� lo hice. Y esta vez consegu�, indudablemente, tener dos anillos en mis manos. Pero cuando quise separarlos, result� que era imposible, ya que estaban enlazados. Mi hermano ten�a raz�n: �aquel anillo estaba encantado de verdad!
- El secreto de este encantamiento es bien sencillo, replic� mi hermano.
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| Figura 3 |
T� mismo puedes hacer anillos tan extraordinarios como �stos. Todo consiste en que, antes de pegar los extremos de la tira de papel, hay que volver uno de dichos extremos de esta forma (figura 3).
-�Y de esto depende todo?
- Exactamente. Pero yo, como es natural, ray� con el l�piz un anillo... ordinario. A�n resulta m�s interesante si el extremo de la tira se vuelve no una, sino dos veces.
Mi hermano confeccion� ante mis ojos un anillo de este �ltimo tipo y me lo dio.
- C�rtalo a lo largo, me dijo, a ver que sale.
Lo cort� y resultaron dos anillos, pero enlazados el uno al otro. �Ten�a gracia! No se pod�an separar.
Yo mismo hice tres anillos m�s, iguales que �stos, y al cortarlos obtuve tres nuevos pares de anillos inseparables.
-Y �qu� har�as t�, me pregunt� mi hermano, si tuvieras que unir estos cuatro pares de anillos de modo que formaran una larga cadena abierta?
-Eso es f�cil: cortar�a uno de los anillos de cada par, lo ensartar�a y lo volver�a a pegar.
-Es decir, �cortar�as con las tijeras tres anillos? -aclar� mi hermano.
-Tres, claro est� -repuse yo.
-Y �no es posible cortar menos de tres?
-Si tenemos cuatro pares de anillos, �c�mo quieres unirlos cortando s�lo dos? Eso es imposible -asegur� yo.
En vez de responder, mi hermano cogi� las tijeras que yo ten�a en la mano, cort� los dos anillos de un mismo par y uni� con ellos los tres pares restantes. Result� una cadena de ocho eslabones. �M�s f�cil no pod�a ser!
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| Figura 4 |
No se trataba de ninguna artima�a. Lo �nico que me sorprendi� es que no se me hubiera ocurrido a m� una idea tan sencilla.
-Bueno, dejemos ya las tiras de papel. Creo que tienes por ah� unas tarjetas postales viejas. Tr�elas, vamos a ver que hacemos con ellas. Prueba, por ejemplo, a recortar en una tarjeta el agujero m�s grande que puedas.
Horad� con las tijeras la tarjeta, y con mucho cuidado, recort� en ella un orificio rectangular, dejando solamente un estrecho marco de cartulina.
-Ya est�. �M�s grande no puede ser! -dije yo satisfecho, mostr�ndole a mi hermano el resultado de mi trabajo.
Pero �l, por lo visto, pensaba de otro modo.
-Pues, es un agujero bastante peque�o. Apenas si pasa por �l la mano.
-�Y t�, qu� quer�as, que se pudiera meter la cabeza por �l? -repliqu� con iron�a.
-La cabeza y el cuerpo. Un agujero por el que se pueda meter uno entero: ese es el agujero que hace falta.
-�Ja, ja! Un agujero que sea m�s grande que la propia tarjeta, �eso es lo que t� quieres?
-Exactamente. Muchas veces mayor que la tarjeta.
-Aqu� no hay astucia que valga. Lo imposible es imposible.
-Pero lo posible es posible -dijo mi hermano y comenz� a cortar.
Aunque yo estaba convencido de que quer�a re�rse de m�, observ� con curiosidad lo que hac�an sus manos. Dobl� la tarjeta postal por la mitad, traz� con un l�piz dos rectas paralelas, pr�ximas a los bordes largos de la tarjeta doblada, e hizo dos cortes junto a los otros dos bordes.
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| Figura 5 |
Despu�s cort� el borde doblado, desde el punto A hasta el B, y empez� a dar cortes cercanos unos a otros, as�:
-�Listo! -anunci� mi hermano.
-Pues, yo no veo ning�n agujero.
-�Mira!
Mi hermano extendi� la cartulina. Y fig�rese usted: �sta se desarroll� formando una cadeneta tan larga, que el hermano me la ech� por la cabeza sin dificultad y ella cay� a mis pies rode�ndome con sus zigzagues.
-�Qu�, se puede meter uno por ese agujero?
-�Y dos tambi�n, sin apretarse -exclam� yo admirado!
Mi hermano dio con esto por terminados sus experimentos y rompecabezas y me prometi� que en otra ocasi�n me ense�ar�a toda una serie de pasatiempos vali�ndose exclusivamente de monedas. Pasatiempos de monedas
- Moneda visible e invisible.
- Un vaso insondable
- �Ad�nde fue a parar la moneda
- Problemas de distribuci�n de monedas
- �En qu� mano est� la moneda de diez copeikas?
- Juego de transposici�n de monedas
- Leyenda hind�
- Soluciones de los problemas
-�Desde por la ma�ana vamos a empezar con los trucos? Bueno. Vac�a este lavafrutas.
En el fondo de la vasija reci�n vac�a puso mi hermano una moneda de plata:
-Mira al lavafrutas sin moverte de tu sitio y sin inclinarte hacia adelante. �Ves la moneda?
-S�, la veo.
Mi hermano alej� un poco la vasija:
-�Y ahora?
-Veo nada m�s que el borde de la moneda. Lo dem�s est� oculto.
Alejando un poquit�n m�s la vasija, consigui� mi hermano que yo dejase de ver la moneda, la cual qued� completamente oculta por la pared del lavafrutas.
-Estate tranquilo y no te muevas. Yo echo agua en la vasija. �Qu� ocurre con la moneda?
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| Figura 6 |
-Otra vez la veo totalmente, como si hubiera subido junto con el fondo. �A qu� se debe esto?
Mi hermano cogi� un l�piz y dibuj� en un papel el lavafrutas con la moneda. Y entonces todo qued� claro. Mientras la moneda se encontraba en el fondo de la vasija sin agua, ni un solo rayo de luz procedente de aqu�lla pod�a llegar a mi ojo, ya que la luz segu�a l�neas rectas y la pared opaca del lavafrutas se interpon�a en su camino entre la moneda y el ojo. Cuando ech� el agua, la situaci�n cambi�: al pasar del agua al aire, los rayos de luz se quiebran (o como dicen los f�sicos: �se refractan�) y salen ya por encima del borde del recipiente, pudiendo llegar al ojo. Pero nosotros estamos acostumbrados a ver las cosas solamente en el lugar de donde parten los rayos rectos y, por esto, suponemos inconscientemente que la moneda se encuentra no donde est� en realidad, sino m�s alta, en la prolongaci�n del rayo refractado. Por esto nos parece que el fondo de la vasija se elev� junto con la moneda.
-Te aconsejo que recuerdes este experimento -me dijo mi hermano-. Te servir� cuando te est�s ba�ando. Si te ba�as en un sitio poco profundo, donde se vea el fondo, no te olvides de que ver�s dicho fondo m�s arriba de donde est� en realidad. Bastante m�s arriba: aproximadamente en toda una cuarta parte de la profundidad total. Donde la profundidad verdadera sea, por ejemplo, de 1 metro, te parecer� que s�lo es de 75 cent�metros. Por esta causa ya han ocurrido no pocas desgracias con los ni�os que se ba�an: se dejan llevar por la enga�osa visi�n y no calculan bien la profundidad.
-Yo me he dado cuenta de que, cuando vas en barca por un sitio as�, donde se ve el fondo, parece que la profundidad mayor se encuentra precisamente debajo de la barca y que alrededor es mucho menor. Pero llegas a otro sitio, y otra vez la profundidad es menor alrededor y mayor debajo de la barca. Da la sensaci�n de que el sitio m�s profundo se traslada con la barca. �Por qu� ocurre esto?
-Ahora no te ser� dif�cil comprenderlo. Los rayos que salen del agua casi verticalmente, cambian de direcci�n menos que los dem�s, por lo que en estos puntos parece que el fondo est� menos elevado que en otros, de los cuales llegan a nuestro ojo rayos oblicuos. Es natural que, en estas condiciones, el sitio m�s profundo nos parezca que est� precisamente debajo de la barca, aunque el fondo sea llano. Y ahora hagamos otro experimento de un tipo completamente distinto.
Mi hermano llen� un vaso de agua hasta los mismos bordes:
-Qu� crees que ocurrir� si ahora echo en este vaso una moneda de veinte copeikas?
-Est� claro: el agua rebosar�.
-Hagamos la prueba.
Con mucho cuidado, procurando no agitar el agua, mi hermano dej� caer una moneda en el vaso lleno. Pero no se derram� ni una sola gota.
-Intentemos ahora echar otra moneda de veinte copeikas -dijo mi hermano.
-Entonces es seguro que se derramar� -le advert� yo con certeza.
Y me equivoqu�: en el vaso lleno cupo tambi�n la segunda moneda. A ella sigui� una tercera y luego una cuarta.
-�Este vaso es insondable! -exclam� yo.
Mi hermano, en silencio y sin inmutarse, continuaba echando en el vaso una moneda tras otra. La quinta, sexta y s�ptima moneda de veinte copeikas cayeron en el fondo del vaso sin que el agua se derramara. Yo no pod�a creer lo que mis ojos ve�an. Estaba impaciente por saber el desenlace.
Pero mi hermano no se daba prisa a explic�rmelo. Dejaba caer con precauci�n las monedas y no par� hasta la decimoquinta moneda de veinte copeikas.
-Por ahora basta -dijo por fin-. Mira corno ha subido el agua sobre los bordes del vaso.
Efectivamente: el agua sobresal�a de la pared del vaso aproximadamente el grueso de una cerilla, redonde�ndose junto a los bordes como si estuviera en una bolsita transparente.
-En esta �hinchaz�n� est� la clave del secreto, continu� diciendo mi hermano. Ah� es a donde fue a parar el agua que desplazaron las monedas.
-�Y 15 monedas han desplazado tan poca agua?, dije yo sorprendido. El mont�n de 15 monedas de veinte copeikas es bastante alto, mientras que aqu� s�lo sobresale una capa delgada cuyo espesor apenas si es mayor que el de una de dichas monedas.
-Ten en cuenta no s�lo el espesor de la capa, sino tambi�n su �rea. Supongamos que el espesor de la capa de agua no sea mayor que el de una moneda de veinte copeikas. Pero, �cu�ntas veces es mayor su anchura?
Yo calcul� que el vaso ser�a unas cuatro veces m�s ancho que la moneda de veinte copeikas.
-Cuatro veces m�s ancho y con el mismo espesor. Quiere decir -resum� yo-, que la capa de agua es solamente cuatro veces mayor que una moneda de veinte copeikas. En el vaso podr�an haber cabido cuatro monedas, pero t� has echado ya 15 y, por lo que veo, piensas echar m�s. �De d�nde sale el sitio para ellas?
-Es que t� has calculado mal. Si un c�rculo es cuatro veces m�s ancho que otro, su �rea no es cuatro veces mayor, sino 16 veces.
-�C�mo es eso?
-T� deb�as saberlo. �Cu�ntos cent�metros cuadrados hay en un metro cuadrado? �Cien?
-No: 100 * 100 = 10 000.
-�Ves? Pues, para los c�rculos sirve esa misma regla: si la anchura es doble, el �rea es cuatro veces mayor; si la anchura es triple, el �rea es nueve veces mayor; si la anchura es cu�druplo, el �rea es 16 veces mayor y as� sucesivamente. Por lo tanto, el volumen del agua que sobresale de los bordes del vaso es 16 veces mayor que el volumen de una moneda de veinte copeikas. �Comprendes ahora de donde sali� el sitio para que las monedas cupieran en el vaso? Y todav�a hay m�s, porque el agua puede llegar a sobresalir de los bordes unas dos veces el espesor de esta moneda.
-�Ser� posible que metas en el vaso 20 monedas?
-Y m�s, siempre que se introduzcan con cuidado y sin mover el agua.
-�Jam�s hubiera cre�do que en un vaso lleno de agua hasta los bordes pudieran caber tantas monedas!
Pero tuve que creerlo cuando con mis propios ojos vi este mont�n de monedas dentro del vaso.
-�Podr�as t�, me dijo mi hermano, colocar once monedas en 10 platillos, de modo que en cada platillo no haya m�s que una moneda?
-�Los platillos tendr�n agua?
-Como quieras. Pueden estar secos -respondi� mi hermano, ech�ndose a re�r y colocando 10 platillos uno detr�s de otro.
-�Esto tambi�n es un experimento f�sico?
-No, psicol�gico. Empieza.
-11 monedas en 10 platillos y ... una en cada uno. No, no puedo, dije, y capitul� en el acto.
-Prueba, yo te ayudar�. En el primer platillo pondremos la primera moneda y, temporalmente, la und�cima.
Yo coloqu� en el primer platillo dos monedas y esper� perplejo el desenlace.
-�Has puesto las monedas? Est� bien. La tercera moneda ponla en el segundo platillo. La cuarta, en el tercero; la quinta, en el cuarto, y as� sucesivamente.
Hice lo que me dec�a. Y cuando la d�cima moneda la puse en el noveno platillo, vi con sorpresa que a�n estaba libre el d�cimo.
-En �l pondremos la und�cima moneda que temporalmente dejamos en el primer platillo -dijo mi hermano, y cogiendo del primer platillo la moneda sobrante, la deposit� en el d�cimo.
Ahora hab�a 11 monedas en 10 platillos. Una en cada uno. �Era como para volverse loco!
Mi hermano recogi� con presteza las monedas y no quiso explicarme lo que pasaba.
-T� mismo debes adivinarlo. Esto te ser� m�s �til e interesante que si conoces las soluciones acabadas.
Y sin atender a mis ruegos, me propuso un nuevo problema:
-Aqu� tienes seis monedas. Col�calas en tres filas, de manera que en cada fila haya tres monedas.
-Para eso hacen falta nueve monedas.
-Con nueve monedas cualquiera puede hacerlo. No, hay que conseguirlo con seis.
-�Otra vez algo inconcebible?
-�Que pronto te das por vencido! Mira que sencillo es.
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| Figura 7 |
Cogi� las monedas y las dispuso del modo siguiente:
-Aqu� hay tres filas y en cada una de ellas hay tres monedas -me explic�.
-Pero estas filas se cruzan.
-�Y qu�? �Dijimos acaso que no pod�an cruzarse?
-Si hubiera sabido que se pod�a hacer as�, lo habr�a adivinado yo mismo.
-Bueno, pues, adivina c�mo se resuelve este mismo problema por otro procedimiento. Pero no ahora, sino despu�s, cuando tengas tiempo libre. Y aqu� tienes tres problemas m�s del mismo tipo.
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| Figura 8 |
Primero: coloca nueve monedas en 10 filas, a tres monedas en cada fila. Segundo: distribuye 10 monedas en cinco filas, de modo que haya cuatro monedas en cada una. Y el tercero es el siguiente. Yo dibujo un cuadrado con 36 casillas. Hay que poner en �l 18 monedas, a una por casilla, de manera que en cada fila longitudinal o transversal haya tres monedas... Espera, acabo de acordarme de otro truco con monedas. Empu�a una moneda de 15 copeikas con una mano y otra de diez con la otra, pero no me ense�es ni me digas qu� moneda tienes en cada mano. Yo mismo lo adivinar�. Lo �nico que tienes que hacer es lo que sigue: duplica mentalmente el valor de la moneda que tienes en la mano derecha, triplica el de la que tienes en la izquierda y suma los dos valores as� obtenidos. �Lo has hecho ya?
-S�.
-�El n�mero que resulta, es par o impar?
-Impar.
-La moneda de diez copeikas la tienes en la mano derecha y la de quince, en la izquierda -dijo mi hermano inmediatamente y acert�.
Repetimos el juego. El resultado fue esta vez par, y mi hermano, sin confundirse, dijo que la moneda de diez copeikas estaba en la mano izquierda.
-Acerca de este problema, reflexiona tambi�n cuando tengas tiempo -me aconsej� mi hermano-. Y para terminar te ense�ar� un interesante juego con monedas.
Puso tres platillos en fila y coloc� en el primero un mont�n de monedas: debajo, una de a rublo, sobre ella, una de cincuenta copeikas, encima, una de veinte, luego, una de quince, y finalmente, una de diez.
-Este mont�n de cinco monedas debe trasladarse al tercer platillo ateni�ndose a las siguientes reglas. Primera regla: las monedas s�lo se pueden trasladar de una a una. Segunda: se proh�be colocar una moneda mayor sobre otra menor. Tercera: las monedas se pueden poner provisionalmente en el segundo platillo, pero cumpliendo las dos reglas anteriores, y al final todas las monedas deben estar en el tercer platillo y en el mismo orden que ten�an al principio. Como ves, las reglas no son dif�ciles de cumplir. Cuando quieras puedes empezar.
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| Figura 9 |
Comenc� a transponer las monedas. Puse la de diez copeikas en el tercer platillo, la de quince, en el segundo, y me qued� cortado. �D�nde poner la de veinte copeikas siendo mayor que la de diez y que la de quince?
-�Qu� te pasa?, intervino mi hermano. Pon la moneda de diez copeikas en el platillo de en medio, sobre la de quince. As� queda libre el tercer platillo para la moneda de veinte copeikas.
Hice lo que dec�a, pero me encontr� con una nueva dificultad. �D�nde colocar la moneda de cincuenta copeikas? Sin embargo, pronto ca� en lo que hab�a que hacer: pas� primero la moneda de diez copeikas al primer platillo, la de quince al tercero y luego, la de diez tambi�n al tercero. Ahora pod�a poner la de cincuenta copeikas en el platillo de en medio, que hab�a quedado libre. Despu�s de muchas transposiciones logr� trasladar tambi�n el rublo y reunir, por fin, todo el mont�n de monedas en el tercer platillo.
-�Cu�ntas transposiciones has hecho en total?, me pregunt� mi hermano, aprobando mi trabajo.
-No las he contado.
-Vamos a contarlas. Lo m�s interesante es saber cu�l es el n�mero m�nimo de movimientos con que se puede lograr el fin propuesto. Si el mont�n fuera no de cinco monedas, sino de dos solamente, de la de quince copeikas y de la de diez, por ejemplo, �cu�ntos movimientos habr�a que hacer?
-Tres: pasar la diez al platillo de en medio, la de quince al tercero y luego la de diez, tambi�n al tercero.
-Muy bien. A�adamos ahora otra moneda -la de veinte copeikas- y contemos cu�ntos movimientos hay que hacer para trasladar el mont�n formado por estas monedas. Lo haremos as�: primero pasaremos sucesivamente las dos monedas menores al platillo de en medio. Para esto, como ya sabemos, hay que hacer tres movimientos. Despu�s pasaremos la moneda de veinte copeikas al tercer platillo, que est� libre y ser� un paso m�s. Y, por fin, trasladaremos las dos monedas del platillo de en medio al tercer platillo, para lo cual habr� que hacer otros tres movimientos. En total ser�n 3 + 1 + 3 = 7 movimientos.
-D�jame que cuente yo mismo los movimientos que hay que hacer para trasladar cuatro monedas. Primero pasar� las tres menores al platillo de en medio, haciendo siete movimientos, despu�s pondr� la moneda de cincuenta copeikas en el tercer platillo, y ser� un movimiento m�s, y luego volver� a trasladar las 3 monedas menores al tercer platillo, para lo que tendr� que hacer otros siete movimientos. En total ser�n 7 + 1 + 7 = 15.
-Perfectamente.. �Y para cinco monedas?
-15 + 1 + 15 = 31.
-Ves, ya sabes c�mo se hace el c�lculo. Pero te voy a ense�ar c�mo se puede simplificar. F�jate, todos los n�meros que hemos obtenido, 3, 7, 15, 31, son el producto de 2 por s� mismo, efectuado una o varias veces, pero rest�ndole una unidad. �Observa!, dijo mi hermano y escribi� la siguiente tabla:
3=2*2-1,
7=2*2*2-1,
15=2*2*2*2-1,
31=2*2*2*2*2-1.
-Entendido: hay que tomar el n�mero dos como factor tantas veces como monedas hay que trasladar, y luego restar una unidad. Ahora podr�a calcular el n�mero de pasos para cualquier mont�n de monedas. Por ejemplo, para siete monedas:2*2*2*2*2*2*2-1=128-1=127.
-Bueno, has comprendido este antiguo juego. Pero debes saber una regla pr�ctica m�s: si el n�mero de monedas del mont�n es impar, la primera moneda se pasa al tercer platillo, y si es par, se pasa al platillo de en medio.-Has dicho que es un juego antiguo. Entonces, �no lo has inventado t�?
-No, yo lo �nico que he hecho es aplicarlo a las monedas. Pero este juego es de procedencia muy antigua y quiz� sea de origen hind�. En la India existe una leyenda interesant�sima ligada a este juego. En la ciudad de Benar�s hay, por lo visto, un templo en el cual el dios hind� Brahma, cuando cre� el mundo, puso tres barritas de diamante y ensart� en una de ellas 64 discos de oro: el mayor debajo y cada uno de los siguientes, menor que el anterior. Los sacerdotes de este templo tienen la obligaci�n de pasar sin descanso, d�a y noche, estos discos de una barrita a otra, utilizando la tercera como auxiliar y siguiendo las reglas de nuestro juego, es decir, pasando cada vez un solo disco, sin poner nunca uno mayor sobre otro menor. Dice a leyenda que cuando los 64 discos hayan sido trasladados, se acabar� el mundo.
-�Entonces, ya hace tiempo que no deb�a existir!
-�T� crees que el traslado de los 64 discos no ocupa mucho tiempo?
-Naturalmente. Haciendo un movimiento cada segundo, se pueden hacer 3600 traslados en una hora.
-�Y qu�?
-Y en un d�a, cerca de 100 mil. En diez d�as, un mill�n. Con un mill�n de pasos creo que se pueden trasladar no 64 discos, sino todo un millar.
-Pues, te equivocas. Para trasladar 64 discos se necesitan aproximadamente 500 mil millones de a�os.
-�C�mo es eso? El n�mero de pasos es igual solamente al producto de 64 doses, y esto da...
-�Nada m�s� que 18 trillones y pico.
-Espera un poco, ahora hago la multiplicaci�n y veremos.
-Perfectamente. Y mientras t� multiplicas tendr� tiempo de ir a hacer algunas cosas -dijo mi hermano y se fue.
Yo hall� primeramente el producto de 16 doses y despu�s este resultado, 65.536, lo multipliqu� por s� mismo, y con lo que obtuve repet� esta operaci�n. El trabajo era bastante aburrido, pero me arm� de paciencia y lo llev� hasta el fin. Me result� el siguiente numero:
18 446 744 073 709 551 616.
�Mi hermano ten�a raz�n!Cobr� �nimo y me puse a resolver los problemas que �l me hab�a propuesto para que yo los hiciera sin su ayuda. Result� que no eran dif�ciles y que algunos incluso eran muy f�ciles. Con las 11 monedas en los diez platillos la cosa ten�a gracia por su sencillez: en el primer platillo pusimos la primera y la und�cima moneda; en el segundo, la tercera, despu�s, la cuarta y as� sucesivamente. Pero, �d�nde pusimos la segunda? �En ninguna parte! Ah� est� el secreto. Tambi�n es muy f�cil el secreto para adivinar en qu� mano est� la moneda de diez copeikas: todo se reduce a que la moneda de 15 copeikas, cuando se duplica, da un n�mero par, y cuando se triplica, un n�mero impar; en cambio, la de diez copeikas da siempre un n�mero par; por esto, si de la suma resultaba un n�mero par, quer�a decir que la de 15 copeikas hab�a sido duplicada, es decir, que estaba en la mano derecha, y si la suma era impar, es decir, si la de 15 copeikas hab�a sido triplicada, se hallaba en la mano izquierda.
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| Figura 10 |
Las soluciones de los problemas referentes a colocaciones de monedas se ven claramente en los dibujos siguientes (figura 10).
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| Figura 11 |
Finalmente, el problema de las monedas y las casillas se resuelve como muestra la figura 11: las 18 monedas han sido alojadas en el cuadrado de 36 casillas y en cada fila hay tres monedas.
Perdidos en un laberinto
- Perdidos en un laberinto
- Hombres y ratas en un laberinto
- Regla de la mano derecha o de la mano izquierda
- Laberintos de la antig�edad
- Tournefort en la cueva
- Soluciones a los problemas sobre laberintos
-S�. Es el libro de Jerome �Tres en un bote�.
-Lo he le�do. Es interesante. �En qu� pasaje est�s?
-En el que cuenta c�mo un mont�n de gente se perdi� en el laberinto de un parque y no pod�a salir de �l.
-�Curioso cuento! L�emelo.
Le� en voz alta el cuento de los que se perdieron en el laberinto.
-�Harris me pregunt� si hab�a estado alguna vez en el laberinto del Hampton Court. El tuvo ocasi�n de estar all� una vez. Lo hab�a estudiado en el plano y la estructura del laberinto le pareci� que era simple hasta la necedad y que, por lo tanto, no val�a la pena pagar por entrar. Pero fue all� con uno de sus parientes.
Vamos, si quiere -le dijo �l-. Pero aqu� no hay nada interesante. Es absurdo decir que esto es un laberinto. Se da una serie de vueltas hacia la derecha y ya se est� a la salida. Lo recorreremos en diez minutos.
En el laberinto se encontraron con varias personas que paseaban ya por �l cerca de una hora y que celebrar�an el poder salir. Harris les dijo que, si quer�an, pod�an seguirle: �l acababa de entrar y s�lo quer�a dar una vuelta. Ellos le respondieron que lo har�an con mucho gusto y lo siguieron.
Por el camino se les fue incorporando m�s gente, hasta que por fin se reuni� todo el p�blico que se hallaba en el laberinto. Como hab�an perdido ya toda esperanza de salir de all� y de poder ver alguna vez a sus familiares y amigos, se alegraban de ver a Harris, se un�an a su comitiva y hasta lo bendec�an. Seg�n Harris, se juntaron unas veinte personas, entre ellas una mujer con un ni�o, que llevaba ya toda la ma�ana en el laberinto y que ahora se aferr� a su mano para no perderse por casualidad. Harris torc�a siempre hacia la derecha, pero el camino result� ser muy largo y su pariente le dijo que, por lo visto, el laberinto era muy grande.
-�S�, uno de los m�s grandes de Europa! -le asegur� Harris.
-Me parece -prosigui� el pariente- que ya hemos recorrido dos buenas millas.
Harris empezaba a sentirse preocupado, pero sigui� animoso hasta que se toparon con un trozo de galleta que estaba tirada en el suelo. Su pariente jur� que hab�a visto aquel trozo de galleta hac�a siete minutos.
-�No puede ser! -replic� Harris. Pero la se�ora que llevaba al ni�o asegur� que s� pod�a ser, porque a ella misma se le hab�a ca�do aquel trozo antes de encontrarse con Harris. Y despu�s a�adi� que mejor hubiera sido no encontrarse con �l, porque supon�a que era un embustero. Esto hizo que Harris se indignara: sac� el plano y explic� su teor�a.
-El plano vendr�a muy bien -le indic� uno de sus compa�eros de viaje- si supi�ramos d�nde nos encontramos.
Harris no lo sab�a y dijo que, a su parecer, lo mejor ser�a volver a la entrada y comenzar de nuevo. La �ltima parte de su proposici�n no despert� gran entusiasmo, pero la primera -referente a volver a la entrada- fue aceptada por unanimidad y todos le siguieron en su marcha atr�s. Al cabo de diez minutos se encontr� el grupo en el centro del laberinto.
Harris quiso decir que aqu� era a donde �l se hab�a dirigido, pero como vio que la gente estaba de mal humor, prefiri� aparentar que hab�a llegado all� casualmente.
De todas maneras hab�a que ir a alguna parte. Ahora ya sab�an donde estaban y, como es natural, echaron una ojeada al plano. Al parecer no era dif�cil salir de all� y, por tercera vez, emprendieron la marcha.
Tres minutos m�s tarde estaban... de nuevo en el centro del laberinto.
Despu�s de esto ya no hab�a manera de deshacerse de �l. Cualquiera que fuera la direcci�n que tomaran, volv�an inevitablemente al centro. Esto se repet�a con tal regularidad, que algunos decidieron quedarse all� y esperar a que los dem�s hicieran su recorrido siguiente y retornaran a donde ellos estaban. Harris sac� el plano, pero, al verlo, la multitud se puso furiosa.
Por fin se desconcertaron y empezaron a llamar al guarda. Este apareci�, se subi� a una escalera de mano y les grit� hacia donde ten�an que ir.
Sin embargo, estaban ya tan atontados, que no consiguieron entender nada. Entonces, el guarda les grit� que no se movieran de donde estaban y que le esperasen. Ellos se api�aron dispuestos a esperar, y �l baj� de la escalera y se dirigi� hacia ellos.
El guarda era joven y no ten�a experiencia; una vez dentro del laberinto no consigui� encontrarlos, todos sus intentos de llegar a ellos fracasaron, y por fin, �l mismo se perdi�. De vez en cuando ellos le ve�an aparecer y desaparecer, ya en un punto ya en otro, al otro lado del seto vivo, y �l, al distinguirlos, corr�a hacia ellos, pero al cabo de un minuto volv�a a aparecer en el mismo sitio y les preguntaba d�nde se hab�an metido.
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| Figura 12 |
Y no tuvieron m�s remedio que esperar hasta que vino en su ayuda uno de los guardas antiguos. �
-A pesar de todo dije yo, despu�s de terminar la lectura, fueron torpes, porque, teniendo el plano en la mano, no encontrar el camino...
-Y �t� crees que lo encontrar�as enseguida?
-�Por el plano? �C�mo no!
-Pues, espera. Yo creo que tengo el plano de ese laberinto -dijo mi hermano y empez� a buscar en su estante.
-Pero, �este laberinto existe en realidad?
-�Hampton Court? Claro que existe. Est� cerca de Londres. Hace ya m�s de doscientos a�os que lo hicieron. Aqu� est� el plano. Resulta que no es tan grande: tiene en total 1000 metros cuadrados.
Mi hermano abri� el libro en que estaba representado el peque�o plano.
-Fig�rate que t� est�s aqu�, en la plazoleta central del laberinto, y que quieres salir fuera. �Qu� camino tomar�as para ello? S�cale punta a una cerilla e indica con ella la ruta a seguir.
Puse la punta de la cerilla en el centro del laberinto y la deslic� resueltamente por los sinuosos pasadizos del plano. Pero la cosa result� ser m�s dif�cil que lo que yo pensaba. Despu�s de dar varias vueltas, me encontr� de nuevo en el pradej�n central, lo mismo que los h�roes de Jerome de que me hab�a re�do.
-Lo ves: el plano tampoco ayuda mucho. Pero las ratas resuelven el problema sin necesidad de plano.
-�Las ratas? �Qu� ratas?
-Las ratas de que habla este libro. �T� crees que �sta es una obra sobre jardiner�a? No, es un tratado acerca de las facultades mentales de los animales.
Para comprobar la inteligencia de las ratas, los cient�ficos hacen, de escayola, una especie de laberinto y meten en �l a los animales que desean experimentar. Seg�n dice este libro, las ratas encontraban el camino en el laberinto de Hampton Court, de escayola, en media hora, es decir, m�s deprisa que la gente de que habla Jerome.
-A juzgar por el plano, el laberinto no parece complicado. No piensas que es tan traicionero.
-Existe una regla muy sencilla, conociendo la cual uno entra en un laberinto cualquiera sin temor a no encontrar el camino para volver a salir.
-�Qu� regla es esa?
-Hay que ir por el laberinto pasando por su pared la mano derecha -o la izquierda, es igual---, pero la misma durante todo el tiempo.
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| Figura 13 |
-�Y eso es todo?
-S�. Puedes probar esta regla en la pr�ctica d�ndote mentalmente un paseo por el plano.
Yo puse en camin� mi cerilla, teniendo en cuenta la regla antedicha, y, en efecto, bien pronto llegu� desde la entrada exterior hasta el centro del laberinto y desde aqu� hasta la salida al exterior.
-�Magn�fica regla!
-No del todo -repuso mi hermano-. Esta regla es buena para no perderse en el laberinto, pero no sirve para recorrer todos sus caminos sin excepci�n.
-Sin embargo, yo he pasado ahora por todos los paseos del plano sin omitir ninguno.
-Est�s equivocado: si hubieras marcado con una raya punteada el camino recorrido, hubieses descubierto que en uno de los paseos no has estado.
-�En cu�l?
-En este que se�alo con una estrellita en el plano (figura 13). Aqu� no has estado. En otros laberintos esta regla te llevar� a dejar de lado grandes partes de los mismos, de manera, que aunque saldr�s de ellos felizmente, no los ver�s en su totalidad.
-Pero, �existen muchos laberintos diferentes?
-S�, muchos. Ahora s�lo se hacen en jardines y parques: en ellos yerras al aire libre entre altos muros de setos vivos. Pero en la antig�edad hac�an laberintos dentro de vastos edificios y en subterr�neos. Se hac�a esto con el cruel objeto de condenar a los desgraciados que all� met�an a errar desesperados por una ingeniosa red de corredores, pasadizos y salas, hasta morir de hambre. As� era, por ejemplo, el laberinto legendario de la isla de Creta, construido, seg�n la tradici�n, por orden del rey Minos. Sus pasadizos estaban tan embrollados, que su propio constructor, D�dalo, al parecer, no pudo encontrar la salida. El poeta romano Ovidio describe as� este edificio:
Al hacer la casa laberinto, con ciegos muros y techo, D�dalo -genio constructor, c�lebre entonces erigi� un edificio, de peculiaridades exento, Cuyos largos corredores curvos, formando red, En sentidos diversos se extend�an para burlar ojos escrutadores.
Y m�s adelante dice que... Caminos sin cuento hizo D�dalo en la casa dicha, Tantos, que dif�cil le era a �l mismo hallar la salida.
Otros laberintos de la antig�edad -prosigui� mi hermano- ten�an por objeto guardar las sepulturas de los reyes, protegi�ndolos contra los ladrones. El sepulcro se hallaba en el centro del laberinto, de modo que si el avaricioso buscador de tesoros enterrados consegu�a llegar hasta ellos, no pod�a encontrar la salida: la tumba del rey se convert�a tambi�n en su tumba.
-Y �por qu� no aplicaban la regla de que t� me has hablado antes?
-En primer lugar, porque, al parecer, en la antig�edad nadie sab�a esa regla. Y, en segundo; porque, como ya te he explicado, no da siempre la posibilidad de recorrer todos los rincones del laberinto. Este puede construirse de manera, que el que utilice esta regla no pase por el sitio del laberinto en que se encuentran los tesoros ocultos.
-�Y se puede construir un laberinto del que sea imposible salir? Est� claro que el que entre en �l aplicando tu regla, podr� salir. Pero, �y si se mete dentro a alguien y se deja que se pierda?
-Los antiguos pensaban que, cuando los caminos del laberinto estaban suficientemente embrollados, era imposible salir de �l. Pero esto no es as�. Puede demostrarse con certeza matem�tica que es imposible construir laberintos de los cuales no se pueda salir. Es m�s: no s�lo se puede hallar la salida de cualquier laberinto, sino tambi�n recorrer absolutamente todos sus rincones. Lo �nico que hace falta es acometer la empresa siguiendo un sistema riguroso y tomando ciertas medidas de seguridad. Hace 200 a�os, el bot�nico franc�s Tournefort se atrevi� a visitar, en la isla de Creta, una cueva acerca de la cual exist�a la tradici�n de que, debido a sus innumerables pasadizos, era un laberinto sin salida. Cuevas como �sta hay varias en Creta y tal vez fueran ellas las que dieron origen en la antig�edad a la leyenda sobre el laberinto del rey Minos. �Qu� hizo el bot�nico franc�s para no perderse? He aqu� lo que acerca de esto cuenta el matem�tico Lucas, compatriota suyo.
Mi hermano cogi� del estante un libro viejo titulado �Distracciones Matem�ticas� y ley� en alta voz el siguiente pasaje, que yo copi� luego:
�Despu�s de deambular alg�n tiempo con nuestros compa�eros por toda una red de corredores subterr�neos, llegamos a una galer�a larga y ancha que conduc�a a una amplia sala en la profundidad de laberinto. En media hora, dijo Tournefort, hemos dado 1460 pasos por esta galer�a, sin desviarnos a la derecha ni a la izquierda... A ambos lados de ella hay tantos corredores, que si no tomamos las precauciones necesarias nos perderemos inevitablemente; y como ten�amos much�simas ganas de salir de aquel laberinto, nos preocupamos de asegurar el camino de retorno.
En primer lugar, dejamos a uno de nuestros gu�as a la entrada de la cueva y le ordenamos que, si no regres�bamos antes de que fuera de noche, reuniera gente de las aldeas vecinas para acudir en socorro nuestro. En segundo lugar, cada uno de nosotros llevaba una antorcha encendida. En tercero, en todos los recodos que pens�bamos ser�an dif�ciles de encontrar despu�s, fij�bamos en la pared derecha un papel con un n�mero. Y, en cuarto, uno de nuestros gu�as iba dejando por el lado izquierdo hacecillos de endrina, preparados de antemano, y otro gu�a rociaba el camino con paja cortada que llevaba en un saco�.
Todas estas engorrosas precauciones -dijo mi hermano, cuando termin� la lectura del trozo- no son tan necesarias como pueden parecerte. En la �poca de Tournefort no se pod�a proceder de otro modo, porque entonces a�n no hab�a sido resuelto el problema de los laberintos. Pero ahora ya se han elaborado unas reglas menos embarazosas para explorar los laberintos, y tan seguras como las medidas tomadas por el bot�nico franc�s.
-�Y t� conoces esas reglas?
-S�. No son dif�ciles. La primera regla consiste en que, una vez que se entre en el laberinto, se va por cualquier camino hasta que se llega a un corredor sin salida o a una encrucijada. Si se llega a un corredor sin salida, se vuelve atr�s y a su entrada se ponen dos piedrecitas, que indicar�n que dicho corredor ha sido recorrido dos veces. Si se llega a una encrucijada, se seguir� adelante por cualquiera de los corredores, se�alando cada vez con una piedrecita el camino por el cual se lleg� y el camino por el que se prosigue. Esta es la primera regla. La segunda dice lo siguiente: si por un nuevo corredor se llega a un cruce en el que ya se estuvo antes (lo que se nota por las piedrecitas), inmediatamente hay que retornar por dicho corredor y poner a su entrada dos piedrecitas. Finalmente, la tercera regla requiere que, si se llega a una encrucijada, ya visitada, por un corredor por el cual ya se ha pasado una vez, hay que se�alar este camino, con una segunda piedrecita y seguir por uno de los corredores a�n no recorridos ninguna vez. Si tal corredor no existe, se opta por uno a cuya entrada s�lo haya una piedrecita (es decir, por un corredor recorrido una sola vez). Observando estas reglas pueden recorrerse dos veces, una en un sentido y otra en el opuesto, todos los corredores del laberinto, sin dejar ni un solo rinc�n, y salir de �l feliz mente. Yo tengo varios planos de laberintos que recort� en su tiempo de revistas ilustradas (figuras 14, 15 y 16).
Si quieres puedes intentar recorrerlos. Espero que, despu�s de lo que ya sabes, no corras peligro de perderte en ellos.
Y si tienes bastante paciencia, puedes hacer en el patio de nuestra casa un laberinto semejante, por ejemplo, al de Hampton Court, del que escrib�a Jerome. Para ello puedes contar con la ayuda de tus amigos y con la nieve que hay all�.
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| Figura 14 | |
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| Figura 15 | |
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| Figura 16 | |
