CONTENIDO
Pr�logo
1. Para los ratos libres
2. Para los j�venes f�sicos
3. Una hoja de peri�dico
4. Otros 75 problemas y experimentos
5. Ilusiones �pticas
6. Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7. Cortes y cosidos h�biles
8. Problemas con cuadrados
9. Problemas acerca del trabajo
10. Problemas acerca de compras y precios
11. El peso y la pesada
12. Problemas acerca de relojes
13. Problemas acerca de los medios de transporte
14. C�lculos inesperados
15. Situaciones embarazosas
16. Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17. Cuentos acerca de n�meros enormes
18. Acertijos num�ricos
19. Aritm�tica divertida
20. Sabe usted contar
21. C�lculos r�pidos
22. Cuadrados m�gicos
23. Juegos y trucos aritm�ticos
24. De un trazo
25. Acertijos geom�tricos
26. Sin regla graduada
27. Trucos y pasatiempos f�ciles
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Bajar parte 4
Bajar parte 5
Bajar parte 6
Bajar parte 7
Bajar parte 8
Bajar parte 9
Escribir @ Antonio
Cap�tulo 9
PROBLEMAS ACERCA DEL TRABAJO
Los cavadores
Cinco cavadores en cinco horas cavan 5 m de zanja. �Cu�ntos cavadores ser�n necesarios para cavar en 100 horas 100 m de zanja? Los aserradores
Unos aserradores sierran un tronco en trozos de a metro. El tronco tiene 5 m de longitud. El aserrado transversal del tronco requiere cada vez 11, minutos. �En cu�ntos minutos aserrar�n todo el tronco? El carpintero y los armadores
Una brigada de seis armadores y un carpintero se contrat� para realizar un trabajo. Cada armador ganaba 20 rublos y el carpintero, 3 rublos m�s que el salario medio de cada uno de los siete miembros de la brigada.
�Cu�nto ganaba el carpintero? Cinco trozos de cadena
A un herrero le trajeron cinco cadenas de tres eslabones cada una -representadas aqu�, en la figura 204- y le encargaron que las uniera formando una sola cadena. Antes de comenzar el trabajo, el herrero se dio a pensar cu�ntos eslabones tendr�a que abrir y volver a soldar. Lleg� a la conclusi�n de que tendr�a que abrir y soldar de nuevo cuatro eslabones.
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| Figura 204 |
�No ser�a posible realizar este trabajo abriendo menos eslabones? �Cu�ntos veh�culos?
En un taller fueron reparados durante un mes 40 veh�culos, entre autom�viles y motocicletas. El n�mero total de ruedas de los veh�culos reparados fue de 100 exactamente. �Cu�ntos autom�viles y cu�ntas motocicletas se repararon? La monda de patatas
Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres patatas por minuto, la otra, dos. La segunda trabaj� 25 minutos m�s que la primera.
�Cu�nto tiempo trabaj� cada una? Los dos obreros
Dos obreros pueden hacer un trabajo en siete d�as, si el segundo empieza a trabajar dos d�as despu�s que el primero. Si este mismo trabajo lo hiciera separadamente cada obrero, el primero tardar�a cuatro d�as m�s que el segundo.
�En cu�ntos d�as podr�a hacer todo el trabajo cada uno de los obreros por separado?
Este problema puede resolverse por procedimientos puramente aritm�ticos, incluso sin recurrir a operaciones con quebrados. La copia del discurso
La copia a m�quina de un discurso se ha encomendado a dos mecan�grafas. La mecan�grafa m�s ducha podr�a hacer todo el trabajo en 2 horas, la de menos experiencia, en 3 horas.
�En cu�nto tiempo copiar�n el discurso, si el trabajo se distribuye entre ellas de modo que lo hagan en el menor tiempo posible?
Los problemas de este tipo pueden resolverse siguiendo el modelo de los c�lebres problemas relacionados con dep�sitos de agua, a saber: en nuestro caso se halla qu� fracci�n del trabajo realiza en una hora cada mecan�grafa; despu�s, se suman los dos quebrados y se divide la unidad por esta suma.
�Puede usted proponer otro procedimiento para resolver estos problemas, distinto del estereotipado? �C�mo pesar la harina?
Al gerente de un almac�n le fue necesario pesar cinco sacos de harina. En el almac�n hab�a una b�scula, pero faltaban algunas pesas y era imposible hacer pesadas entre 50 y 100 kg. Los sacos pesaban alrededor de 50-60 kg cada uno.
El gerente no se desconcert�, sino que empez� a pesar los sacos de dos en dos. Con cinco sacos se pueden formar 10 pares distintos; por lo tanto hubo que hacer 10 pesadas. Result� una serie de n�meros, que reproducimos a continuaci�n en orden creciente:
110 kg, 112 kg, 113 kg, 114 kg, 115 kg,
116 kg, 117 kg, 118 kg, 120 kg, 121 kg.
�Cu�nto pesa cada saco por separado? SOLUCIONES1. Los cavadores
En este problema es f�cil picar en el anzuelo: puede pensarse que si cinco cavadores en 5 horas cavan 5 m de zanja, para cavar 100 m en 100 horas hacen falta 100 hombres. Sin embargo, este razonamiento es completamente falso: se necesitan los mismos cinco cavadores, y nada m�s.
En efecto, cinco cavadores en cinco horas cavan 5 m; por lo tanto, cinco cavadores en 1 hora cavar�an 1 m, y en 100 horas, 100 m. 2. Los aserradores
Con frecuencia responden que en 11/2 * 5, es decir, en 71/2 minutos. Al hacer esto se olvidan que el �ltimo corte da dos trozos de a metro. Por consiguiente, al tronco de 5 metros hay que darle no cinco cortes transversales, sino solamente cuatro; en esto se tardar� en total 11/2 * 4 = 6 minutos. 3. El carpintero y los armadores
El salario medio de cada miembro d� la brigada es f�cil de hallar; para esto hay que dividir los 3 rublos de m�s, en partes iguales, entre los seis armadores. A los 20 rublos de cada uno hay que a�adir, pues, 50 copeikas �ste ser� el salario medio de cada uno de los siete.
De esto deducimos que el carpintero ganaba 20 rublos con 50 copeikas + 3 rublos, es decir, 23 rublos con 50 copeikas. 4. Cinco trozos de cadena
Basta abrir los tres eslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los otros cuatro. 5. �Cu�ntos veh�culos?
Si todos los veh�culos hubieran sido motocicleta, el n�mero total de ruedas ser�a 80, es decir, 20 menos que en realidad. La sustituci�n de una motocicleta por un autom�vil hace que el n�mero total de ruedas aumente en dos, es decir, la diferencia disminuye en dos. Es evidente que hay que hacer diez sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. Por lo tanto, se repararon 10 autom�viles y 30 motocicletas.
En efecto, 10 * 4 + 30 * 2 = 100. 6. La monda de patatas
En los 25 minutos de m�s, la segunda persona mond� 2 * 25 = 50 patatas. Restando estas 50 patatas de las 400, hallamos que, trabajando el mismo tiempo, las dos mondaron 350 patatas. Como cada minuto ambas mondan en com�n 2 + 3 = 5 patatas, dividiendo 350 por 5, hallamos que cada una trabaj� 70 minutos.
Este es el tiempo real que trabaj� la primera persona; la segunda trabaj� 70 + 25 = = 95 minutos. Efectivamente, 3 * 70 + 2 * 95 = 400.
(El rublo tiene 100 copeikas. N. del Tr.) 7. Los dos obreros
Si cada uno hiciera la mitad del trabajo por separado, el primero tardar�a dos d�as m�s que el segundo (porque en hacer todo el trabajo tardar�a cuatro d�as m�s). Como quiera que cuando hacen todo el trabajo juntos existe una diferencia de dos d�as, es evidente que, en siete d�as, el primero hace exactamente la mitad del trabajo; el segundo hace su mitad en cinco d�as. Por lo tanto, el primero podr�a hacer, �l solo, todo el trabajo en 14 d�as, y el segundo, en 10 d�as. 8. La copia del discurso
La v�a no estereotipada de soluci�n de estos problemas es la siguiente. En primer lugar hay que preguntarse: �c�mo deben repartirse el trabajo las mecan�grafas, para terminar al mismo tiempo? (Porque es evidente que s�lo si se cumple esta condici�n es decir, si ninguna se queda sin trabajo, podr�n tardar el menos tiempo posible). Como la mecan�grafa m�s experta escribe 1 1/2 veces m�s deprisa que la otra, est� claro que la parte que haga la primera deber� ser 1 1/2 veces mayor que la que haga la segunda, y entonces terminar�n de escribir al mismo tiempo. De esto se deduce que la primera deber� encargarse de escribir 3/5 partes del discurso, y la segunda, de 2/5 partes.
Con esto el problema ya est� casi resuelto. Queda por saber cu�nto tiempo tardar� la primera mecan�grafa en hacer sus 3/5 partes del trabajo. Como sabemos, todo el trabajo puede hacerlo en 2 horas; por lo tanto, las 3/5 partes quedar�n hechas en 2 * 3/5 = 1 1/5 horas. En este mismo tiempo deber� hacer su trabajo la segunda mecan�grafa.
As�, pues, el tiempo m�nimo en que puede ser copiado el discurso por las dos mecan�grafas es igual a 1 hora y 12 minutos. 9. �C�mo pesar la harina?
El gerente comenz� por sumar los 10 n�meros. La suma obtenida -1156 kg- no era ni m�s ni menos que el peso cuadruplicado de los sacos, porque el peso de cada saco entra en esta suma cuatro veces. Dividiendo por cuatro hallamos que los cinco sacos pesan 289 kg.
Ahora, por comodidad, designaremos los sacos, en el orden de sus pesos, por n�meros. El m�s liviano ser� el N� 1, el segundo en peso, el N� 2 y as� sucesivamente; el m�s pesado ser� el N� 5. No es dif�cil imaginarse que en la serie de n�meros 110 kg, 112 kg, 113 kg, 114 kg, 115 kg, 116 kg, 117 kg, 118 kg, 120 kg y 121 kg, el primer n�mero est� compuesto por los pesos de los dos sacos m�s ligeros: el N� 1 y el N� 2; el segundo n�mero por los pesos del N� 1 y del N� 3; el �ltimo n�mero (121), por los de los dos sacos m�s pesados, es decir, por los del N� 4 y N� 5; y el pen�ltimo n�mero, por los de los sacos N� 3 y N� 5. As�, pues:
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El N� 1 y el N� 2 juntos pesan
el N� 1 y el N� 3 el N� 3 y el N� 5 el N� 4 y el N� 5 |
110 kg
112 kg 120 kg 121 kg |
Por consiguiente, es f�cil conocer lo que pesan en total los sacos N� 1, N� 2, N� 4 y N� 5: 110 kg + 121 kg = 231 kg. Restando esta cantidad del peso de todos los sacos (289 kg) se obtiene el peso del saco N� 3, que es de 58 kg.
Despu�s, de la suma de los pesos de los sacos N� 1 y N� 3, es decir, de 112 kg, restamos el peso del saco N� 3, que ya conocemos; de esto resulta el peso del saco N� 1, igual a
112 kg - 58 kg = 54 kg.
Del mismo modo hallamos lo que pesa el saco N� 2, restando 54 kg de 110 kg, es decir, de la suma de los pesos de los sacos N� 1 y N� 2. As� obtenemos el peso del saco N� 2, igual a110 kg - 54 kg = 56 kg.
De la suma de los pesos de los sacos N� 3 y N� 5, es decir, de 120 kg, restamos lo que pesa el saco N� 3, o sea, 58 kg, y encontramos que el saco N� 5 pesa 120 kg - 58 kg = 62 kg.Nos queda por determinar el peso del saco N� 4, conociendo la suma de los pesos de los N� 4 y N� 5 (121 kg). Restando 62 de 121, hallamos que el saco N� 4 pesa 59 kg.
Por lo tanto, los pesos de los sacos son: 54 kg, 56 kg, 58 kg, 59 kg, y 62 kg.
Hemos resuelto el problema sin recurrir a ecuaciones.
