Cap�tulo 19
ARITM�TICA DIVERTIDA

1. Una multiplicaci�n f�cil

Si no recuerda usted bien la tabla de multiplicar y tiene dudas cuando multiplica por 9, sus propios dedos le pueden ayudar.
Ponga las dos manos sobre la mesa: sus diez dedos le servir�n de m�quina calculadora.
Supongamos que hay que multiplicar 4 por 9. El cuarto dedo da la respuesta: a su izquierda hay tres dedos, a su derecha, seis; lea usted: 36; es decir, 4 x 9 = 36.
Otros ejemplos: �cu�ntas son 7 * 9?
El s�ptimo dedo tiene a la izquierda seis dedos, y ala derecha, tres. La respuesta es 63.
�Cu�ntas son 9 * 9? El noveno dedo tiene ocho dedos a su izquierda y uno a su derecha. La respuesta es 81.
Esta m�quina de calcular animada le ayudar� a recordar bien a qu� es igual 6 * 9, y no confundir, como hacen algunos, 54 y 56. El sexto dedo tiene a la izquierda cinco dedos, y a la derecha, cuatro; por lo tanto, 6 * 9 = 54.
Soluci�n
2. Las chovas y las estacas (Problema popular)




Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Si en cada estaca se posa una chova, hay una chova que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan dos chovas, en una de las estacas no habr� chova. �Cu�ntas eran las chovas? y, �cu�ntas las estacas?

Soluci�n



3. Las hermanas y los hermanos

Yo tengo tantas hermanas como hermanos. Pero mi hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos. �Cu�ntos somos?



Figura 242

Soluci�n



4. �Cu�ntos hijos?

Yo tengo seis hijos. Cada hijo tiene una hermana. �Cu�ntos hijos tengo?
Soluci�n



5. El desayuno

Dos padres y dos hijos se comieron en el desayuno tres huevos, con la particularidad de que cada uno se comi� un huevo entero. �c�mo explica usted esto?
Soluci�n



6. Tres cuartas partes de hombre

A un manijero le preguntaron cu�ntos hombres ten�a su cuadrilla. El respondi� de un modo bastante confuso:
-Los hombres no son muchos: tres cuartos de los que somos m�s tres cuartos de hombre, �sa es toda nuestra gente.
�Podr�a usted adivinar cu�ntos hombres hab�a en esta cuadrilla?
Soluci�n



7. �Cu�ntos a�os tienen?

-D�game, usted, abuelo, �qu� edad tiene su hijo?
-Tiene tantas semanas como mi nieto d�as,
-�Y qu� edad tiene su nieto?
-Tiene tantos meses como yo a�os.
-Entonces, �qu� edad done usted?
-Los tres juntos tenemos exactamente 100 a�os. Ing�niate y sabr�s qu� edad tenemos cada uno.
Soluci�n



8. �Qui�n es mayor?

Dentro de dos a�os mi hijo ser� dos voces mayor que era hace dos a�os. Y mi hija ser� dentro de tres a�os tres veces mayor que era hace tres a�os.



Figura 243


�Qui�n es mayor, el ni�o o la ni�a?
Soluci�n


9. La edad de mi hijo

Mi hijo es ahora tres veces m�s joven que yo. Pero hace cinco a�os era cuatro veces m�s joven.
�Cu�ntos a�os tiene?
Soluci�n

10. �Qu� edad tiene?

A un aficionado a los acertijos le preguntaron cu�ntos a�os tenia. Su respuesta fue intrincada.
-Multipliquen por tres los a�os que yo tenga dentro de tres a�os y r�stenle el triple de los que ten�a hace tres a�os y obtendr�n precisamente los a�os que tengo.
�Qu� edad tiene ahora?
Soluci�n



11. Tres hijas y dos hijos

Un t�o fue a ver a sus dos sobrinos y tres sobrinas que ya hac�a bastante tiempo que no ve�a. Los primeros que salieron a su encuentro fueron el peque�o Bolonia y su hermanita Zhenia, y el rapaz le dijo muy ufano que �l era dos veces mayor que su hermana. Despu�s lleg� corriendo Nadia, y su padre le dijo al reci�n llegado que las dos ni�as juntas eran dos veces mayores que el ni�o.
Cuando volvi� de la escuela Aliosha, dijo el padre que los dos ni�os juntos ten�an el doble de a�os que las dos ni�as juntas.
La �ltima en llegar fue Lida y, cuando vio a su t�o exclam�:
-T�o, ha llegado usted precisamente el d�a de mi cumplea�os. Hoy he cumplido 21 a�os.
-Y sabes que -a�adi� el padre-, acabo de darme cuenta de que mis tres hijas juntas tienen el doble de a�os que mis dos hijos.
�Cu�ntos a�os ten�a cada hijo y cada hija?
Soluci�n



12. A�os de sindicato

Yendo en el tranv�a tuve la ocasi�n de o�r la siguiente conversaci�n entre dos pasajeros.
-�Entonces, t� llevas en el sindicato el doble do a�os que yo?
-S�, el doble.
-Pues, yo recuerdo que en una ocasi�n me dijiste que llevabas el triple.
-En efecto. Eso fue hace dos a�os. Entonces llevaba el triple de a�os, pero ahora s�lo el doble.
�Cu�ntos a�os lleva cada uno en el sindicato?
Soluci�n



13. �Cu�ntas partidas?

Tres amigos jugaron. a las damas. En total jugaron tres partidas. �Cu�ntas partidas jug� cada uno?
Soluci�n



14. El caracol

Un caracol decidi� subir a un �rbol de 15 m de altura. Durante cada d�a ten�a tiempo de subir 5 m; pero mientras dorm�a por la noche, bajaba 4 m.



Figura 244

�Al cabo de cu�ntos d�as llegar� a la cima del �rbol?
Soluci�n

15. A la ciudad

Un koljosiano fue a la ciudad. La primera mitad del camino fue en tren, 15 veces m�s deprisa que si hubiera ido andando. Pero la segunda mitad del camino tuvo que hacerla en una carreta de bueyes, dos veces m�s despacio que a pie.



Figura 245

�Cu�nto tiempo gan�, sin embargo, en comparaci�n con el caso en que hubiera ido todo el tiempo a pie?
Soluci�n

16. Al kolj�s

Desde la f�brica al kolj�s, la carretera no es lisa: primero va subiendo 8 km, y despu�s baja una cuesta de 24 km. Mij�ilov fue hacia all� en bicicleta y, sin detenerse, lleg� al cabo de 2 horas y 50 minutos. El regreso tambi�n lo hizo en bicicleta, sin descansar, y tard� 4 horas y 30 minutos.
�Podr�a usted decir a qu� velocidad sub�a Mij�ilov la cuesta y a qu� velocidad la baja?
Soluci�n

17. Dos escolares

-Dame una manzana y tendr� el doble que t� -le dijo un escolar a otro.
-Eso ser�a injusto. Es preferible que t� me des a m� una manzana, y entonces tendremos las mismas -le respondi� su camarada.
�Podr�a usted decir cu�ntas manzanas ten�a cada escolar?
Soluci�n

18. El precio de la encuadernaci�n

He aqu� un problema que parece f�cil, pero que al resolverlo son muchos los que se equivocan. Un libro encuadernado cuesta 2 rublos y 50 copeikas. El libro vale 2 rublos m�s que la encuadernaci�n.
�Cu�nto cuesta la encuadernaci�n?
Soluci�n


19. El precio de la hebilla

Un cintur�n con su hebilla vale 68 copeikas. La corroa cuesta 60 copeikas m�s que la hebilla.
�Cu�nto vale la hebilla?



Figura 246



Soluci�n


20. Los barriles de miel

En un almac�n quedaban siete barriles llenos de miel, otros siete llenos de miel hasta la mitad, y siete vac�os. Todo esto fue comprado por tres cooperativas, que despu�s tuvieron que repartirse los envases y la miel en partes iguales.
Se plantea la pregunta: �c�mo hacer este reparto sin transvasar la miel de un barril a otro?
Si cree que esto. puede hacerse por varios procedimientos, diga todos los procedimientos que haya ideado.
Soluci�n



21. Los gatitos de Misha

Si Misha ve en cualquier parte un gatito abandonado, lo recoge y se lo lleva a su casa. Siempre tiene varios gatitos, pero procura no decirle a sus camaradas cuantos tiene, para que no se r�an de �l. Una vez le preguntaron:
-�Cu�ntos gatos tienes ahora?
-Pocos -respondi� -, tres cuartos de todos los que tongo y tres cuartos de gato, �sos son los que tengo en total.
Sus camaradas pensaron que Misha quer�a burlarse de ellos. Sin embargo, �l les puso un problema f�cil de resolver.
�Resu�lvalo!
Soluci�n



22. Los sellos de correos

Un ciudadano compr� 5 rublos de sellos de correos de tres valores distintos: de 50 copeikas, de 10 copeikas y de 1 copeika, en total 100 sellos.
�Podr�a usted decir cu�ntos sellos compr� de cada tipa?
Soluci�n



23. �Cu�ntas monedas?

A un ciudadano le devolvieron 4 rublos y 65 copeikas en rublos, monedas de diez copeikas (gr�vennik) y monedas de una copeika. En total recibi� 42 monedas
�Cu�ntas monedas le dieron de cada valor?
�Cu�ntas soluciones tiene este problema?
Soluci�n



24. Calcetines y guantes

En un caj�n hay 10 pares de calcetines de color casta�o oscuro y 10 pares de calcetines negros; en otro caj�n hay 10 pares de guantes de color casta�o oscuro y la misma cantidad de pares de guantes negros.
�Cu�ntos calcetines y guantes ser� suficiente sacar de cada caj�n, para que con ellos se pueda formar un par, cualquiera, de calcetines y un par de guantes?
Soluci�n



25. �El gusanillo del libro�

Hay insectos que roen los libros hoja por hoja y de este modo se abren paso a trav�s de los tomos. Uno de estos �gusanillos de los libros�, royendo, se abri� camino desde la primera p�gina del primer tomo hasta la �ltima del segundo tomo, que estaba al lado del primero, tal como se representa en la figura.



Figura 247


Cada tomo tiene 800 p�ginas.
�Cu�ntas p�ginas roy� el �gusanillo�?
Este problema no es dif�cil, pero tampoco tan f�cil como usted, probablemente, cree.
Soluci�n


26. Las ara�as y los escarabajos

Un pionero reuni� en una caja ara�as y escarabajos. En total ocho. Si se cuentan todas las patas de los bichos que hay en la caja resultan 54.
�Cu�ntas ara�as y cu�ntos escarabajos hay en la caja
Soluci�n



27. Los siete amigos

Un ciudadano ten�a siete amigos. El primero ven�a a visitarlo cada tarde, el segundo, cada segunda tarde, el tercero, cada tercer tarde, el cuarto, cada cuarta tarde y as� sucesivamente hasta el s�ptimo, que ven�a cada s�ptima tarde.



Figura 248


�Con cu�nta frecuencia se encontraban los siete amigos y el anfitri�n la misma tarde
Soluci�n


29. Continuaci�n del anterior

Las tardes en que los siete amigos se reun�an, el anfitri�n los invitaba a beber vino y todos chocaban las copas entre s� por parejas.
Al hacer esto, �cu�ntas veces se oyen las copas chocar entre s�?

1. Una multiplicaci�n f�cil

Se resuelve en el mismo enunciado.
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2. Las chovas y las estacas

Este antiguo problema popular se resuelve as�. Nos preguntamos: �cu�ntas chovas m�s habr�a que tener en el segundo caso que en el primero, para llenar todos los puestos en las estacas? Es f�cil comprender que en el primer caso falt� sitio para una chova, mientras que en el segundo todas las chovas ten�an puesto y a�n faltaban dos chovas; por lo tanto, para ocupar todas las estacas, en el segundo caso, hubiera sido necesario tener 1 + 2, es decir, tres chovas m�s que en el primero. Pero en cada estaca se posa una chova m�s. Luego est� claro que las estacas eran tres. Si en cada una de estas estacas hacemos que se pose una chova y a�adimos un ave m�s, obtenemos el n�mero de p�jaros: cuatro.
As�, pues, la soluci�n del problema es: cuatro chovas y tres estacas.
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3. Las hermanas y los hermanos

En total son siete: cuatro hermanos y tres hermanas. Cada hermano tiene tres hermanas y tres hermanos, y cada hermana, cuatro hermanos y dos hermanas.
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4. �Cu�ntos hijos?

En total son siete hijos: seis varones y una hembra. (De ordinario responden que los hijos son doce; pero en este caso cada hijo tendr�a seis hermanas, y no una).
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5. El desayuno

La cuesti�n se explica f�cilmente. A la mesa no se sentaron cuatro personas, sino solamente tres: el abuelo, su hijo y el nieto. Tanto el abuelo como su hijo son padres, y tanto el hijo como el nieto son hijos.
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6. Tres cuartas partes de hombre

Sabemos que tres cuartas partes de la cuadrilla m�s tres cuartas partes de hombre constituyen la cuadrilla entera. Por lo tanto, estas tres cuartas partes de hombre es la cuarta parte que le falta a la cuadrilla. Despu�s ya es f�cil comprender que la brigada completa ser� cuatro veces mayor que tres cuartas partes de hombre. Pero tres cuartas partes tomadas cuatro veces (es decir, multiplicadas por cuatro) dan tres. Por consiguiente, en la cuadrilla hab�a en total tres hombres.
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7. �Cu�ntos a�os tienen?

Calcular los a�os que tiene cana uno no es dif�cil. Est� caro que el hijo es siete veces mayor que el nieto, y que el abuelo es 12 veces mayor. Si el ni�o tuviera un a�o, el hijo' tendr�a 7 y el abuelo 12, y todos juntos, 20. Esto es exactamente cinco veces menos de lo que ocurre en realidad. Por lo tanto, el nieto tiene cinco a�os, el hijo. 35 y el abuelo, 60. Hagamos la prueba: 5 + 35 + 60 = 100.
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8. �Qui�n es mayor?

Mayor no es ninguno de los dos: son mellizos y en el momento dado tiene cada uno seis a�os. La edad se halla por medio de un simple c�lculo: dentro de dos a�os el ni�o tendr� cuatro a�os m�s que hace dos a�os y ser� dos veces mayor que entonces; por lo tanto, cuatro a�os es la edad que ten�a hace dos a�os, y ahora tiene 4 + 2 = 6 a�os.
Esta misma es la edad de la ni�a.
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9. La edad de mi hijo

Si el hijo es ahora tres veces m�s joven que el padre, �ste ser� mayor que �l en dos veces su edad. Cinco a�os antes el padre, claro est�, tambi�n era mayor que el hijo en dos veces la edad actual de �ste. Por otra parte, como el padre era entonces cuatro veta mayor que el hijo, quiere decir que era mayor que �l en tres veces su edad de entonces. Por consiguiente, dos veces la edad actual del hijo es igual a tres veces su edad anterior o, lo que es lo mismo, el hijo es ahora 11/2 mayor de lo que era hace cinco' a�os. De donde es f�cil comprender que cinco a�os es la mitad de la edad anterior del hijo y, por lo tanto, hace cinco a�os �ste ten�a 10 a�os y ahora tiene 15 a�os.
As�, pues, el hijo tiene ahora 15 a�os, y el padre 45. En efecto, hace cinco a�os ten�a el padre 40 a�os y el hijo, 10, es decir, era cuatro veces m�s joven.
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10. �Qu� edad tiene?

La soluci�n aritm�tica es bastante complicada, pero el problema se resuelve f�cilmente si se recurre al �lgebra y se plantea una ecuaci�n. Llamemos x al n�mero de a�os que buscamos. En este caso, la edad al cabo de tres a�os deber� designarse por x + 3, y la edad hace tres a�os, por x - 3. Tendremos la ecuaci�n:
3 (x + 3) - 3 (x - 3) = x, que una vez resulta da x = 18. El aficionado a los acertijos tiene ahora 18 a�os.
Hagamos la prueba: dentro de tres a�os tendr� 21 a�os; hace tres a�os ten�a 15. La diferencia
3 x 21 - 3 x 15 = 63 - 45 = 18, es decir, igual a la edad actual del aficionado a los acertijos.
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11. Tres hijas y dos hijos

Sabemos que Volodia es dos veces mayor que Zhenia, y que Nadia y Zhenia juntos tienen el doble de a�os que Volodia. Por lo tanto, Nadia y Zhenia juntas tienen cuatro veces m�s a�os que Zhenia sola. De aqu� se deduce directamente que Nadia es tres veces mayor que Zhenia.
Sabemos tambi�n que los a�os de Aliosha y Volodia suman el doble que los a�os de Nadia y Zhenia. Pero la edad de Volodia es doble que la de Zhenia, y Nadia y Zhenia juntas tienen cuatro veces m�s a�os que Zhenia sola. Por consiguiente, la suma de los a�os de Aliosha m�s el doble de los de Zhenia es igual a 8 veces la edad de Zhenia. Es decir, Aliosha es seis veces mayor que Zhenia.
Finalmente, sabemos que la suma de las edades de Lida, Nadia y Zhenia es igual a la de las edades de Volodia y Aliosha.
Ante la vista tenemos la siguiente tabla:



Lida Nadia Volodia Aliosha

21 a�os, tres veces mayor que Zhenia, dos veces mayor que Zhenia, seis veces mayor que Zhenia,

podemos decir que la suma de 21 a�os m�s tres veces la edad de Zhenia, m�s la edad de Zhenia es igual a cuatro veces la edad de Zhenia m�s 12 veces la edad de Zhenia.
O sea: 21 a�os m�s cuatro veces la edad de Zhenia es igual a 16 veces la. edad de Zhenia.
De aqu� se deduce que 21 a�os es igual a 22 veces la edad de Zhenia y, por lo tanto,
Zhenia tiene 21/12 = 131, a�os.
Ahora ya es f�cil determinar que Volodia tiene 31/2 a�os, Nadia, 51/4 y Aliosha, 201/2 a�os.
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12. A�os de sindicato

Uno llena ocho anos en el sindicato y el otro, cuatro a�os. Hace das a�os el primero llevaba seis a�os y el segundo, dos, es decir, tres veces menos (el problema se resuelve f�cilmente vali�ndose de una ecuaci�n).
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13. �Cu�ntas partidas?

De ordinario responden que cada uno jug� una partida, sin pararse a pensar que tres jugadores (lo mismo que cualquier otro n�mero impar) no pueden jugar en modo alguna una partida solamente cada uno, porque, �con qui�n jugar�a entonces el tercer jugador? En cada partida tienen que participar dos jugadores. Si jugaron A, B y C y fueron jugadas tres partidas, esto quiere decir que jugaron

A con B A con C B con C

Se ve f�cilmente que cada uno jug� no una, sino dos partidas:

A jug� con B y con C B jug� con A y con C C jug� con A y con B

As�, pues, la respuesta correcta a este acertijo es: cada uno de los tres jug� dos veces, aunque s�lo se jugaron tres partidas en total.
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14. El caracol

Al cabo de 10 d�as (con sus noches) y un d�a m�s. Durante los primeros 10 d�as, el caracol sube 10 m (uno cada d�a), y durante el �ltimo d�a sube 5 m m�s, es decir, llega a la cima del �rbol. (De ordinario responden err�neamente que �al cabo de 15 d�as�). Volver



15. A la ciudad

El koljosiano no gan� nada, al contrario, perdi�. En la segunda mitad del camino emple� tanto tiempo como hubiera tardado en hacer a pie todo el recorrido hasta la ciudad. Por lo tanto, no pudo ganar tiempo, sino que s�lo pudo perderlo.
Perdi� 1/5 parte del tiempo necesario para recorrer a pie la mitad del camino.
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16. Al kolj�s

La soluci�n de este problema queda clara si se parte de los siguientes c�mputos:
En 24 km subiendo cuesta y 8 km bajando cuesta tarda 4 horas y 30 minutos.
En 8 km subiendo cuesta y 24 km bajando cuesta tarda 2 horas y 50 minutos.
Multiplicando el segundo .rengl�n por tres, tenemos que:
En 24 km subiendo cuesta y 72 km bajando cuesta tardar�a 8 horas y 30 minutos.
De aqu� se deduce claramente que 72 menos 8, es decir, 64 km bajando cuesta, los recorre el ciclista en 8 horas y 30 minutos menos 4 horas y 30 minutos, o sea, en 4 horas. Por consiguiente, en una hora recorrer�a 64 : 4 = 16 km bajando cuesta.
De un modo semejante hallamos que subiendo cuesta recorr�a 6 km por hora. De la correcci�n de estas soluciones es f�cil convencerse haciendo la prueba.
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17. Dos escolares

Del hecho de que la entrega de una manzana iguale el n�mero de las que tienen los dos escolares se deduce, que uno de ellos tiene dos manzanas m�s que el otro. Si del n�mero menor se quita una manzana y se agrega al n�mero mayor, la diferencia aumenta en dos m�s y se hace igual a cuatro. Pero sabemos que en este caso el n�mero mayor ser� igual al doble del menor. Par lo tanto, el n�mero menor ser� entonces 4, y el mayor, 8.
Antes de la entrega de la manzana, una de los escolares ten�a 8 - 1 = 7, y el otro 4 + 1 = 5.
Comprobemos si estos n�meros se igualan cuando del mayor se quita una manzana y se le agrega al menor:

7 - 1 = 6; 5 + 1 = 6.

As�, pues, uno de los escolares ten�a siete manzanas y el oteo cinco.
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18. El precio de la encuadernaci�n

Por lo general responden sin pensar: la encuadernaci�n cuesta 50 copeikas.
Pero en este caso el libro costar�a 2 rublos, es decir, s�lo ser�a 2 rublo y 50 copeikas m�s caro que la encuadernaci�n.
La respuesta correcta es: el precio de la encuadernaci�n es 25 copeikas, y el del libro, 2 rublos 25 copeikas; entonces el libro resulta exactamente 2 rublos m�s caro que la encuadernaci�n.
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19. El precio de la hebilla

Usted quiz� haya pensado que la hebilla cuesta 8 copeikas. Si es as�, se ha equivocado, porque en este caso la correa costar�a no 60 copeikas m�s cara que la hebilla, sino s�lo 52. La respuesta correcta es: la hebilla cuesta 4 copeikas; entonces la correa vale 68 - 4 = - 60 copeikas, es decir, 60 copeikas m�s que la hebilla.



Figura 246

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20. Los barriles de miel

Este problema se resuelve con bastante facilidad, si se considera que en los 21 barriles comprados hab�a 7 + 31/2, es decir, 10 1/2 barriles de miel.
Por lo tanto, cada cooperativa debe recibir 31/2 barriles de miel y siete barriles vac�os.
El reparto puede hacerse de dos maneras. Por una de ellas las cooperativas reciben:


Por el otro procedimiento, las cooperativas reciben:


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21. Los gatitos de Misha

No es dif�cil comprender que 3/4 partes de gato es la cuarta parte de todos los gatitos.
Por lo tanto, el total de los gatitos era cuatro veces mayor que 3/4 partes, es decir, tres. En efecto, 3/4 de tres es 21/4, y quedan 3/4 partes de gato.
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22. Los sellos de correos

Este problema tiene s�lo una soluci�n.
El ciudadano compr�:



1 sellos de a 50 copeikas 39 sellos de a 10 copeikas 60 sellos de a 1 copeika.



Efectivamente, los sellos eran en total 1 + 39 + 60 = 100. costaban 50 + 390 + 60 = 500 copeikas .
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23. �Cu�ntas monedas?

El problema tiene cuatro soluciones, a saber:



	I procedimiento	II procedimiento	III procedimiento	IV procedimiento
Rublos	1	2	3	4
Monedas de 10 copeikas	36	25	14	3
Copeikas	5	15	25	35
Total de monedas	42	42	42	42

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24. Calcetines y guantes

Bastar�n tres calcetines, ya que dos de ellos ser�n siempre del mismo color. Con los guantes es m�s complicado el problema, ya que se diferencian entre s� no s�lo por el color, sino tambi�n porque la mitad de ellos son para la mano derecha y la otra mitad, para la izquierda. Aqu� bastar�n sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo, 20, puede ocurrir que todos sean de la misma mano (40 casta�os izquierdos y 10 negros izquierdos).
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25. �El gusanillo de libro�

De ordinario responden que el �gusanillo� roy� 800 + 800 p�ginas y dos tapas de encuadernaci�n. Pero esto no es cierto. Ponga juntos dos libros: uno al derecho y otro al rev�s, como muestra la figura 247. Mire ahora cu�ntas p�ginas hay entre la primera del primer libro y la �ltima del segundo.
Se convencer� de que entre ellas no hay nada m�s que las dos tapas.
�El gusanillo del libro� s�lo estrope�, pues, las tapas de los libros, sin tocar sus hojas.
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26. Las ara�as y los escarabajos

Para resolver este problema hay que empezar recordando lo que dice la historia natural acerca de cu�ntas patas tienen los escarabajos y cu�ntas, las ara�as: el escarabajo tiene seis patas y la ara�a, ocho.
Sabiendo esto, supongamos que en la caja s�lo hab�a ocho escarabajos. Entonces el n�mero total de patas ser�a 6 * 8 = 48, es decir, seis menos de las que indica el problema. Probemos ahora a sustituir un escarabajo por una ara�a. Con esto el n�mero de patas aumentar� en dos, porque la ara�a tiene ocho patas, en vez de seis del escarabajo.
Est� claro que si hacemos seis sustituciones como �sta, el n�mero total de las patas que hay en la caja llegar� a las 54 requeridas. Pero entonces s�lo quedar�n cinco de los ocho escarabajos, las dem�s ser�n ara�as.
As�, pues, en la caja hab�a cinco escarabajos y tres ara�as.
Hagamos la prueba: los cinco escarabajos tienen 30 patas, y las tres ara�as, 24. con lo que en total ser�n 30 + 24 = 54 como exige la condici�n del problema.
El problema tambi�n se puede resolver de otro modo, a saber: puede suponerse que en la caja s�lo hab�a ocho ara�as. Entonces el n�mero total de patas resultar�a ser 8 * 8 = 64, es decir, 10 veces m�s de las indicadas en la condici�n. Sustituyendo una ara�a por un escarabajo disminuiremos en dos el n�mero de patas. Hay que hacer cinco sustituciones de este tipo para reducir el n�mero de patas a las 54 que se requieren. En otras palabras, de las ocho ara�as s�lo hay que dejar tres y sustituir las dem�s por escarabajos.
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27. Los siete amigos

No es dif�cil comprender que los siete amigos s�lo podr�an encontrarse juntos al cabo de un n�mero de d�as divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El menor de estos n�meros es 420. Por lo tanto, todos los amigos se reun�an s�lo una vez cada 420 d�as.
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28. Continuaci�n del anterior