Cap�tulo 23
JUEGOS Y TRUCOS ARITM�TICOS

1. Una cadena de 28 fichas
   �Por qu� las 28 fichas del domin� se pueden colocar, cumpliendo las reglas del juego, en una cadena continua?
   Soluci�n
   
   
2. El principio y el fin de la cadena

Cuando las 28 fichas del domin� se colocaron formando cadena, en uno de los extremos de �sta result� haber 5 puntos.
�Cu�ntos puntos hab�a en el otro extremo?
Soluci�n


3. Un truco con el domin�
   Un camarada suyo coge una de las fichas del domin� y le propone a usted que, con las 27 restantes, forme una cadena continua, afirmando que esto siempre es posible, cualquiera que sea la ficha quitada y Ud. se va a otra habitaci�n para no ver la cadena que usted hace. Usted empieza su tarea y se convence de que el camarada ten�a raz�n: con las 27 fichas puede formar una cadena. Pero su sorpresa es a�n mayor cuando su camarada, sin salir de la habitaci�n contigua y sin ver la cadena que usted ha hecho, le dice desde all�, el n�mero de puntos que hay en sus extremos.
   �C�mo puede saberlos Y, por qu� est� seguro de que con 27 fichas cualesquiera del domin� se puede formar una cadena continua?
   Soluci�n
   
   
4. El cuadrado
   La figura 269 representa un cuadrado formado con las fichas del domin�, cumpliendo las reglas del juego. Los lados de este cuadrado tienen la misma longitud, pero las sumas de los puntos que hay en ellos son distintos: la fila superior y la columna de la izquierda contienen cada una 44 puntos, las otras dos, una 59 y la otra 32.
   
   

   Figura 269

   
   � Podr�a usted hacer un cuadrado de este tipo en el cual todos los lados contengan igual n�mero de puntos, es decir, 44?
   Soluci�n
   
   
5. Los siete cuadrados

Cuatro fichas de domin� pueden elegirse de tal modo que con ellas pueda hacerse un cuadrado, en el que cada uno de los lados contenga la misma suma de puntos. Una muestra puede verse en la figura 270: sumando los puntos que hay en cada lado del cuadrado, se obtiene 11 en todos los casos.



Figura 270


Disponiendo de un juego de domin� completo, �podr�a usted hacer, al mismo tiempo, siete cuadrados de este tipo? No se exige que la suma de los puntos de un lado sea la misma en todos los cuadrados. Lo �nico que hace falta es que cada cuadrado tenga en sus cuatro lados el mismo n�mero de puntos.
Soluci�n


6. Cuadrados m�gicos hechos con el domin�

La figura 271 muestra un cuadrado de 18 fichas de domin� que llama la atenci�n, porque la suma de los puntos de cualquiera de sus filas, columnas o diagonales es la misma: 73. Los cuadrados de este tipo se llaman m�gicos desde muy antiguo. Le proponemos a usted que haga con fichas de domin� varios cuadrados m�gicos de a 18 fichas, pero cuyas filas, columnas y diagonales de otra suma de puntos. 13 es la suma m�nima que pueden dar las filas de un cuadrado m�gico formado con 18 fichas.
La suma m�xima es 23.



Figura 271


Soluci�n


7. Una progresi�n de fichas de domin�

En la figura 272 pueden verse seis fichas de domin�, colocadas seg�n las reglas del juego, que se distinguen entre s� en que el n�mero de puntos de las fichas (es decir, de las dos mitades de cada ficha) aumenta sucesivamente en una unidad: la serie comienza en el 4 y consta de los n�meros de puntos siguientes: 4; 5; 6; 7; 8; 9.



Figura 272


Una serie de n�meros que aumentan (o disminuyen) sucesivamente en una misma cantidad, se llama �progresi�n aritm�tica�. En nuestra serie cada n�mero es mayor que el precedente en una unidad; pero en una progresi�n, la diferencia existente entre sus n�meros puede ser cualquiera otra.
El problema consiste en componer varias progresiones m�s, con seis fichas cada una.
Soluci�n


8. �El juego de las 15� o �taquin�

La popular cajita con 15 fichas cuadradas, numeradas, tiene una historia interesante, que pocos de los jugadores sospechan. La referiremos con las palabras del matem�tico alem�n, investigador de este juego, W. Arens.
�Hace cerca de medio siglo -a finales de los a�os 70 del siglo pasado- apareci� en los Estados Unidos el �juego de las 15�; se propag� r�pidamente y, debido al incalculable n�mero de jugadores asiduos que atrajo, se convirti� en una verdadera calamidad social.
Lo mismo ocurri� por este lado del oc�ano, en Europa. Aqu� pod�an verse las cajitas con las 15 fichas incluso en manos de los pasajeros de los tranv�as de caballos. Los due�os de oficinas y tiendas, desesperados por la afici�n de sus empleados a este juego, se vieron obligados a prohibirlo durante las horas laborales. Los propietarios de establecimientos de diversi�n aprovechaban esta man�a para organizar grandes concursos. Este juego penetr� hasta en las salas solemnes del Reichstag alem�n. �Como si fuera ahora veo en el Reichstag a se�ores honorables mirando atentamente las cajitas cuadradas que ten�an en sus manos� -recuerda el conocido ge�grafo y matem�tico S. G�nther, que era diputado durante los a�os de la epidemia del juego.
En Par�s este juego hall� acogida al cielo raso, en los bulevares, y pronto se propag� de la capital a todas las provincias. �No hab�a ni una sola casita de campo en donde no anidara esta ara�a, esperando una v�ctima propensa a caer en sus redes� -escrib�a un autor franc�s.
En el a�o 1880 lleg�, por lo visto, la fiebre del juego a su punto culminante. Pero poco despu�s de esto, el tirano era derribado y vencido por las armas de las matem�ticas. La teor�a matem�tica del juego descubri� que de los numeros�simos problemas que pueden proponerse, s�lo tienen soluci�n la mitad; la otra mitad es imposible de resolver, cualesquiera que sean los procedimientos que se sigan.
Qued� claro por qu� algunos problemas no ced�an ni a los mayores esfuerzos y por qu� los organizadores de concursos se atrev�an a ofrecer premios enormes a los que los resolvieran. En este sentido super� a todos el inventor del juego, que le propuso al editor de un peri�dico neoyorquino, para el suplemento dominical, un problema irresoluble con un premio de 1000 d�lares por su soluci�n; y como el editor se qued� dudando, el inventor dijo que estaba dispuesto a aportar la suma se�alada de su propio bolsillo. El inventor fue Samuel (Sam) Lloyd, que, adem�s, se hizo muy conocido como autor de problemas ingeniosos y de multitud de acertijos.



Figura 273


Sin embargo, es interesante el hecho de que no pudo patentar en Norteam�rica el juego que hab�a inventado. Seg�n las instrucciones, para obtener la patente deb�a presentar el �modelo pr�ctico� para llevar a cabo la partida de prueba; Lloyd le propuso al empleado de la oficina de patentes resolver un problema, y cuando este �ltimo le pregunt� si dicho problema ten�a soluci�n, el inventor tuvo que responder: �No, esto es imposible desde el punto de vista matem�tico�. �En este caso -replic� el empleado - no puede haber modelo pr�ctico y, sin �l, no hay patente�. Lloyd se conform� con esta resoluci�n, pero, si hubiera podido prever el �xito sin precedentes de su invento, es probable que hubiera sido m�s exigente�.
A continuaci�n vamos a citar la exposici�n que hace el propio inventor del juego acerca de algunos datos de su historia:
�Los antiguos habitantes del reino del ingenio -escribe Lloyd - recuerdan como a principios de los a�os 70 hice yo que todo el mundo se rompiera la cabeza con una cajita, que conten�a fichas m�viles y que recibi� el nombre de �juego de las 15�. El orden de las 15 fichas en la cajita cuadrada era correcto, pero las fichas 14 y 15 estaban trocadas como muestra la ilustraci�n que se adjunta (figura 274).



Figura 274


El problema consist�a en, moviendo sucesivamente las fichas, ponerlas en orden, corrigiendo la posici�n de las fichas 14 y 15.
El premio de 1000 d�lares ofrecido por la primera soluci�n correcta de este problema no lo consigui� nadie, a pesar de que se intent� sin descanso resolverlo. Se contaban graciosas historias de comerciantes que se olvidaban de abrir sus tiendas y de empleados honorables que se pasaban toda la noche debajo de un farol callejero, buscando la soluci�n. Nadie quer�a renunciar a la b�squeda de la soluci�n, porque todos estaban seguros de que les aguardaba el �xito. Se dice que los pilotos, distra�dos con el juego, encallaban los barcos, los maquinistas se olvidaban de parar el tren en las estaciones, los granjeros abandonaban sus arados�.

* * *
Ahora daremos a conocer a nuestro lector los rudimentos de la teor�a de este juego. En su forma general esta teor�a es muy complicada y est� �ntimamente relacionada con una de las partes del �lgebra superior (�teor�a de los determinantes�). Nosotros nos limitaremos solamente a ciertos razonamientos expuestos por V. Arens.
El problema del juego consiste de ordinario en que, vali�ndose de los movimientos sucesivos que permite hacer la existencia de un campo libre, hay que hacer que las 15 fichas, colocadas al principio de cualquier modo, queden ordenadas seg�n sus n�meros, es decir, en el �ngulo superior izquierdo estar� la ficha 1, a su derecha, la 2, despu�s, la 3 y luego, en el �ngulo superior derecho, la 4; en la fila siguiente se encontrar�n, de izquierda a derecha, las 5, 6, 7 y 8 y as� sucesivamente. Esta ordenaci�n normal definitiva se da en la figura 273.
Fig�rese ahora que las 15 fichas se encuentran en el mayor desorden. Por medio de una serie de movimientos siempre se puede trasladar la ficha 1 al lugar que ocupa en la figura.
De igual modo, sin tocar la ficha 1, se puede hacer que la ficha 2 ocupe el puesto inmediato de la derecha. Despu�s, sin tocar las fichas 1 y 2, se pueden colocar las 3 y 4 en sus puestos normales; si casualmente no se hallan en las dos �ltimas columnas, es f�cil trasladarlas primeramente a esta zona y luego, haciendo una serie de traslaciones, lograr el resultado apetecido. Ahora la fila superior 1, 2, 3, 4 ya est� puesta en orden y en las siguientes manipulaciones con las fichas no tocaremos esta fila. Por este mismo procedimiento procuraremos poner en orden la segunda fila: 5, 6, 7 y 8; es f�cil convencerse de que esto siempre se puede conseguir. Despu�s, en el espacio correspondiente a las dos �ltimas filas, hay que poner en la posici�n normal las fichas 9 y 13; esto tambi�n se logra siempre. Ninguna de las fichas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 13, puestas ya en orden, vuelven a moverse; queda un peque�o espacio de seis campos, de los cuales uno est� libre y los otros cinco ocupados por las fichas 10, 11, 12, 14 y 15 en orden arbitrario. Dentro de los l�mites de este espacio de seis puestos siempre pueden ponerse en sus lugares normales las fichas 10, 11 y 12. Cuando esto se ha conseguido, las fichas 14 y 15 resultan colocadas en la �ltima fila en orden normal o en orden inverso (figura 274). Por este procedimiento, que el lector puede comprobar en la pr�ctica, llegamos al siguiente resultado.
Cualquiera que sea la colocaci�n inicial de las fichas, �stas pueden ponerse en el orden representado en la figura 273, posici�n I, o en el orden que indica la figura 274, posici�n II.
Si una colocaci�n determinada, que llamaremos S para simplificar, puede transformarse en la posici�n I, es evidente que tambi�n ser� posible la transformaci�n inversa, es decir, la posici�n I en la posici�n S. Esto se explica porque todos los pasos de las fichas son reversibles: si, por ejemplo, en el esquema I podemos colocar la ficha 12 en el campo libre, este mismo paso podemos darlo al rev�s haciendo el movimiento contrario.
Tenemos, pues, dos series de colocaciones tales, que de las posiciones de una de ellas se puede pasar a la posici�n normal I y de las posiciones de la otra, a la posici�n II. Y viceversa, de la colocaci�n normal puede obtenerse cualquiera de las posiciones de la primera serie, y de la colocaci�n II, cualquier posici�n de la segunda serie. Finalmente, si se tienen dos posiciones cualesquiera pertenecientes a una misma serie, de la una se puede pasar a la otra y viceversa.
Y, continuando por este camino, �no podr�an unificarse las posiciones I y II? Puede demostrarse de un modo riguroso (aunque no entraremos en por menores) que de una de estas dos posiciones es imposible pasar a la otra, cualquiera que sea el n�mero de pasos que se den. Por esta raz�n, el n�mero enorme de posiciones posibles de las fichas se descompone en dos series independientes: 1�, aquella de cuyas posiciones se puede pasar a la posici�n normal I, es decir, la de las posiciones resolubles; y 2 ^a , aquella de cuyas posiciones puede pasarse a la posici�n II y de las que, por consiguiente, en modo alguno puede pasarse a la posici�n normal, es decir, �stas son las posiciones por cuya resoluci�n se ofrec�an premios enormes.
�C�mo puede saberse si una posici�n dada pertenece a la primera serie o a la segunda? Un ejemplo aclarar� esto.
Consideremos la colocaci�n representada en la figura 275.



Figura 275


La primera fila de fichas est� en orden, lo mismo que la segunda, a excepci�n de la �ltima ficha (9). Esta ficha ocupa el puesto que en la posici�n normal pertenece a la 8. La ficha 9 est� por lo tanto, antes que la 8: este adelantamiento del orden normal se llama �desorden�. Acerca de la ficha 9 decimos: aqu� existe un desorden. Si continuamos observando las fichas, descubrimos otro adelantamiento en la ficha 14, que est� colocada tres puestos antes (las fichas 12, 13 y 11) de su posici�n normal: aqu� hay tres des�rdenes (la ficha 14 est� antes que la 12; la 14, delante de la 13; y la 14, antes que la 11). En total contamos ya 1 + 3 = 4 des�rdenes. Despu�s, la ficha 12 est� colocada antes que la 11 y lo mismo ocurre con la ficha 13, que est� antes que la 11. Esto da dos des�rdenes m�s. En total tenemos seis des�rdenes. De un modo semejante se establece el n�mero total de des�rdenes que hay en cada colocaci�n, despu�s de dejar libre el �ltimo puesto en el �ngulo inferior derecho. Si el n�mero total de des�rdenes es par, como en el caso que hemos examinado, de la colocaci�n dada puede pasarse a la posici�n final normal, en otras palabras, la colocaci�n pertenecer� a la serie de las que puedan resolverse. Pero si el n�mero de des�rdenes es impar, la colocaci�n dada pertenecer� a la segunda serie, es decir, a la de las imposibles de resolver (el desorden nulo se considera par).
Gracias a la claridad que introdujeron en este juego las matem�ticas, ahora es ya completamente incomprensible el apasionamiento febril y el inter�s que despert� en su tiempo. Las matem�ticas crearon una teor�a exhaustiva de este juego, una teor�a que no deja ni un solo punto dudoso. El resultado del juego depende no de determinadas casualidades ni del ingenio, como en otros juegos, sino de factores puramente matem�ticos, que los predeterminan con absoluta fidelidad.
Ocup�monos ahora de los problemas de este campo.
He aqu� algunos problemas resolubles ideados por Loyd, el inventor del juego.
Primer problema
Partiendo de la colocaci�n representada en la figura 274, poner las fichas en el orden correcto, pero con el campo libre en el �ngulo superior izquierdo (figura 276).



Figura 276


Segundo problema
Partiendo de la colocaci�n que se ve en la figura 274, d�le a la caja un giro de un cuarto de vuelta a la derecha y mueva las fichas hasta que tomen la posici�n que indica la figura 277.



Figura 277


Tercer problema
Moviendo las fichas seg�n las reglas del juego, convierta la caja en un cuadrado m�gico, a saber: coloque las fichas de tal modo, que la suma de sus n�meros sea la misma en todas las direcciones e igual a 30.
Soluci�n


9. �El juego de las 11�

En este juego participan dos jugadores. Se colocan en la mesa 11 cerillas (o granos, chinas, etc.). El primer jugador coge una, dos o tres de ellas, las que quiera. Despu�s, el segundo jugador coge tambi�n una, dos o tres cerillas, seg�n desee. Luego vuelve a coger el primer jugador y as� sucesivamente. No se pueden coger m�s de tres cerillas de una vez. El que coge la �ltima cerilla, pierde.
�C�mo deber� jugar usted para ganar siempre?
Soluci�n


10. �El juego de las 15�

Ahora no se trata del �juego de las 15�, que consiste en mover fichas cuadradas, numeradas, dentro de una cajita. El juego que proponemos es de otro tipo y se parece m�s al juego de los ceros y los unos. Juegan dos jugadores sucesivamente. El primer jugador escribe una cifra cualquiera, del 1 al 9, en uno de los cuadrados de la cuadr�cula que se representa a continuaci�n


El segundo jugador escribe otra cifra, eligiendo el cuadrado de tal forma, que el primer jugador, en el turno siguiente, no pueda terminar una fila de tres cifras (la fila puede ser transversal o diagonal) con una suma igual a 15.
Gana el jugador que termina en uno de sus turnos una fila con la suma 15 o que llena el �ltimo cuadrado de toda la cuadr�cula.
�Qu� piensa usted, existe alg�n procedimiento de ganar siempre en este juego?
Soluci�n


11. �El juego de las 32�

Juegan dos jugadores. Ponen en la mesa 32 cerillas. El que empieza coge una, dos, tres o cuatro cerillas. Despu�s, el otro coge tambi�n las cerillas que quiere, pero no m�s de cuatro. Luego el primero vuelve a coger no m�s de cuatro cerillas y as� sucesivamente. El que coge la �ltima cerilla gana el juego.
Como ve, este juego es f�cil. Pero es adem�s interesante, porque el que empieza. el juego puede ganar siempre, si calcula bien el n�mero de cerillas que debe coger.
�Podr�a usted decir c�mo debe jugar para ganar?
Soluci�n


12. Lo mismo, pero al contrario

El �juego de las 32� se puede modificar: el que coge la �ltima cerilla no gana, sino que, por el contrario, pierde.
�C�mo hay que jugar en este caso para ganar?
Soluci�n


13. �El juego de las 27�

Este juego es parecido al anterior. Tambi�n toman parte en �l dos jugadores y, del mismo modo, cogen por turno no m�s de cuatro cerillas. Pero el final es distinto: se considera ganador el que, al terminar el juego, tiene un n�mero par de cerillas.
Aqu� tambi�n lleva ventaja el que empieza. Este, calculando bien sus jugadas, puede ganar siempre. �En qu� consiste el secreto para no perder en el juego?
Soluci�n


14. De otra forma

En el �juego de las 27� se puede poner tambi�n la condici�n inversa, es decir, que se considere vencedor aquel, que, una vez terminado el juego, resulte tener un n�mero impar de cerillas. �Cu�l ser� en este caso el procedimiento para no perder?
Soluci�n


15. Viaje matem�tico

En este juego pueden participar varias personas. Para esto hay que hacer lo siguiente:
1) un tablero para el juego (de cart�n):
2) un dado (de madera) y
3) varias fichas, una para cada jugador.
El tablero se recorta, en forma de cuadrado, de una hoja de cart�n. Es preferible que sea de grandes dimensiones. El cuadrado debe dividirse en 10 X 10 casillas, las cuales se numeran del 1 a 100, como muestra el dibujo en peque�o de la figura 278.



Figura 278


El dado, de 1 cm de altura aproximadamente, se corta de una varilla de madera de secci�n cuadrangular; sus caras se alisan con papel de lija y se marcan con las cifras del 1 al 6 (lo mejor es representar estas cifras por puntos, lo mismo que en las fichas del domin�).
De fichas pueden servir redondelitos o cuadrados de cart�n de distintos colores u otros objetos cualesquiera.
Los participantes, despu�s de coger sus fichas respectivas, comienzan el juego echando el dado sucesivamente. El que saca 6 puntos empieza a moverse por las casillas del tablero, poniendo su ficha en la n�mero 6. Cuando le llega su turno de echar otra vez el dado, adelanta su ficha en tantas casillas como puntos salen. Al llegar a una casilla en la cual comienza una flecha, la ficha deber� seguir dicha flecha hasta el fin, unas veces hacia adelante y otras hacia atr�s.
El que llega primero a la cent�sima casilla, gana la partida.
Soluci�n


16. Piense un n�mero

Haga atentamente todas las operaciones que aqu� se dicen con el n�mero que haya pensado y yo le dir� el resultado de sus c�lculos.
Si el resultado es otro, compruebe sus c�lculos y se convencer� de que el error es suyo y no, m�o.
N� 1
Piense un n�mero menor que 10(y que no sea cero)
Multipl�quelo por 3,
Al resultado, a��dale 2.
Multiplique por 3 lo obtenido
Al producto s�mele el n�mero pensado.
Tache la primera cifra del total.
Divida por 4 lo obtenido.
A��dale 19 al resultado.
(Ahora tendr� 21)
N� 2
Piense un n�mero menor que 10 (y que no sea cero)
Multipl�quelo por 5.
Duplique el producto.
Al resultado, a��dale 14.
De esta suma reste 8.
Tache la primera cifra del resto.
Divida por 3 lo que queda.
A��dele 10 al cociente.
(Ahora tendr� 12)
N� 3
Piense en un n�mero menor de 10 (y que no sea cero)
A��dele 29
Quite la �ltima cifra de la suma.
Multiplique lo que queda por 10.
S�mele 4 al producto.
Multiplique lo obtenido por 3.
R�stele 2 al resultado.
(Ahora tendr� 100)
N� 4
Piense un n�mero menor que 10 (y que no sea cero)
Multipl�quelo por 5.
Duplique lo obtenido.
Reste del resultado el n�mero que pens�.
Sume las cifras de la diferencia obtenida.
Al total, a��dale 2.
Eleve al cuadrado la suma.
R�stele 10 al n�mero obtenido
Divida la diferencia por 3.
(Ahora tendr� 37)
N� 5
Piense un n�mero menor que 10 (y que no sea cero)
Multipl�quelo por 25.
A��dale 3
Lo obtenido, multipl�quelo por 4
Tache la primera cifra de este producto
Eleve al cuadrado el n�mero que queda
Sume las cifras del resultado obtenido
A��dale 7
(Ahora tendr� 16)
N� 6
Piense un n�mero de dos cifras
S�mele 7
Reste de 110 esta suma
Al resto, a��dale 15
Al total, s�mele el n�mero pensado
Divida por dos el n�mero obtenido
Reste 9 del resultado
Multiplique por 3 la diferencia
(Ahora tendr� 150)
N� 7
Piense un n�mero menor que 100
S�mele 12
Reste de 130 esta suma
A��dale 5 a la diferencia
Al total, a��dale el n�mero pensado
Reste 120 de la suma obtenida
Multiplique por 7 la diferencia
R�stele 1 al producto
Divida por 2 el resto
S�mele 30 al cociente
(Ahora tendr� 40)
N� 8
Piense un n�mero cualquiera(que no sea cero)
Dupl�quelo.
A��dale 1 al n�mero obtenido.
Multiplique por 5 el nuevo resultado.
Deseche todas las cifras, menos la �ltima.
Multiplique por s� misma la cifra que queda.
Sume las cifras del resultado.
(Ahora tendr� 7)
N� 9
Piense un n�mero menor que 100
S�mele 20.
El n�mero obtenido r�stelo de 170.
Reste 6 de lo que quede.
S�mele a la diferencia el n�mero pensado.
Sume las cifras del n�mero obtenido.
Multiplique esta suma por s� misma.
R�stele 1 al total.
Divida por 2 la cantidad obtenida.
S�mele 8 al cociente.
(Ahora tendr� 48)
N� 10
Piense un n�mero de tres cifras
Escriba a su derecha este mismo n�mero.
Divida por 7 el n�mero que resulte.
Divida el cociente por el n�mero pensado.
Divida por 11 la cantidad obtenida.
Duplique el resultado.
Sume las cifras del n�mero que obtiene.
(Ahora tendr� 8)
Soluci�n


17. Vamos a adivinar

Juguemos ahora, amigo lector, a adivinar: usted pensar� n�meros, y yo los adivinar�. No importa que los lectores sean miles ni que est�n leyendo este libro en cualquier lugar, a millares de kil�metros de m�, el n�mero que tenga en su mente lo adivinar� de todos modos.
Empecemos.
Piense la cifra que quiera. Pero no confunda las palabras �cifra� y �n�mero�: cifras s�lo hay 10, del 0 al 9; los n�meros son, en cambio, una cantidad infinita. As�, pues, piense cualquier cifra. �La ha pensado ya? Bien, multipl�quela por 5; pero no se equivoque, de lo contrario no resultar� bien el juego.
�Ha multiplicado ya por 5?... �S�?, pues multiplique por 2 lo que haya obtenido. �Lo ha hecho?... S�mele 7 al producto.
Ahora t�chele la primera cifra al n�mero obtenido; deje solamente la �ltima cifra.
�Ya est�?... S�mele 4 a lo que haya quedado. R�stele 3. A��dale 9.
�Ha hecho todo lo que he dicho?... Pues, ahora le dir� cu�nto ha obtenido.
Ha obtenido 17.
�No es as�? Si quiere lo hacemos otra vez. �Venga!
�Ha pensado la cifra?... Tripl�quela. Lo que haya resultado vu�lvalo a triplicar. Ahora, s�mele al n�mero obtenido la cifra que haya pensado.
�Lo ha hecho?... A��dale 5 a lo obtenido. Tache en la suma resultante todas las cifras, menos la �ltima. �Las ha tachado? ... S�mele 7 a lo que quede. R�stele 3 y a��dale 6.
�Quiere que le diga qu� n�mero tiene ahora en su imaginaci�n?
El 15.
�He acertado? Si no he acertado, la culpa es de usted. Por lo visto, se ha equivocado en alguna de las operaciones.
Si quiere que probemos por tercera vez, yo no tengo inconveniente.
�Ha pensado la cifra? ... Dupl�quela. Lo que haya obtenido, vuelva a duplicarlo. Duplique otra vez el nuevo resultado. A�ada la cifra pensada. Vuelva a a�adir la cifra pensada. S�mele 8. Tache todas las cifras, menos la �ltima. Al n�mero que queda r�stele 3. Despu�s, s�mele 7.
Ahora tendr� usted 12.
Yo podr�a acertar cu�ntas veces fuera necesario, sin equivocarme nunca. �C�mo lo hago?
Debe pensar usted que todo lo que est� aqu� impreso lo escrib� yo varios meses antes de que este libro viese la luz y, por lo tanto, mucho antes de que usted pensara sus n�meros. Esto demuestra que el n�mero que yo acierto no depende en nada del que usted piensa.
Pero, �cu�l es el secreto?
Soluci�n


18. Adivinar un n�mero de tres cifras

Piense un n�mero de tres cifras. Sin ense��rmelo, duplique su primera cifra; de las dem�s cifras prescinda por ahora. A lo que haya resultado, s�mele 5. Lo obtenido multipl�quelo por 5, a��dale la segunda cifra del n�mero que pens� y multiplique por 10 el resultado. Al n�mero reci�n obtenido s�mele la tercera cifra del n�mero pensado y d�game lo que ha obtenido. Inmediatamente le dir� qu� n�mero pens� usted.
Pondr� un ejemplo. Supongamos que pens� usted el n�mero 387.
Haga con �l las operaciones siguientes: Duplique la primera cifra: 3 X 2 = 6. S�mele 5. 6 + 5 = 11. Multiplique por 5. 11 X 5 = 55. A�ada la segunda cifra: 55 + 8 = 63. Multiplique por 10. 63 X 10 = 630. Sume la tercera cifra: 630 + 7 = 637. Usted me dice que ha obtenido el n�mero 637, y yo le digo el n�mero que usted pens�. �C�mo lo adivino?
Soluci�n


19. Truco num�rico

Piense un n�mero. S�mele 1. Multiplique por 3. Vuelva a sumarle 1. A�ada el n�mero pensado. D�game el resultado que ha obtenido. Cuando usted me diga el resultado final de todas estas operaciones, yo le restar� 4, dividir� el resto por 4 y obtendr� el n�mero que usted hab�a pensado. Por ejemplo, usted piensa el n�mero 12. Le a�ade 1, y obtiene 13. Lo multiplica por 3, y resultan 39. Le suma 1, y tendr� 40. Le a�ade el n�mero pensado: 40 + 12 = 52. Cuando usted me dice que ha obtenido el n�mero 52, yo le resto 4, y la diferencia, 48, la divido por 4. Obtengo 12, que es el n�mero que usted hab�a pensado. �Por qu� se acierta siempre de este modo?
Soluci�n


20. �C�mo adivinar la cifra tachada?

P�dale a un compa�ero que piense un n�mero cualquiera de varias cifras y que haga lo siguiente: que escriba el n�mero pensado, que cambie como quiera el orden de sus cifras, que reste el n�mero menor del mayor, que tache una de las cifras del resto (que no sea cero), y que le diga las dem�s cifras en un orden cualquiera. En respuesta, usted le dice cu�l es la cifra tachada. Ejemplo. Su compa�ero piensa el n�mero 3857. Despu�s hace lo siguiente:

3857,
8735,
8735 - 3857 = 4878.
Despu�s de tachar la cifra 7, �l le dice a usted las dem�s cifras en el orden, por ejemplo, siguiente: 8, 4, 8. Por estas cifras puede usted hallar la tachada. �Qu� debe hacer para esto?
Soluci�n


21. �C�mo adivinar el d�a y el mes de nacimiento?

Prop�ngale a un compa�ero que escriba en una hoja de papel el d�a del mes en que naci� y que haga las operaciones siguientes: que duplique el n�mero escrito, que multiplique por 90 lo obtenido, que le sume 73 al producto, que multiplique por 5 la suma, y que, al total., le a�ada el n�mero de orden del mes en que naci�. El le dice a usted el resultado final de todas las operaciones y usted le dice a �l la fecha en que naci�. Ejemplo. Su compa�ero naci� el 17 de agosto, es decir, el d�a 17 del mes 8. El hace lo siguiente:

17 * 2 = 34.
34 * 10 = 340
340 + 73 = 413,
413 * 5 = 2065
2065 + 8 = 2073.
Su compa�ero le dice a usted el n�mero 2073 y usted le dice a �l la fecha en que naci�. �C�mo puede usted hacer esto?
Soluci�n


22. �C�mo se adivina la edad del interlocutor:?
    
Usted puede adivinar la edad que tiene su interlocutor, si le pide que haga lo siguiente:

• que escriba, una detr�s de otra, dos cifras que se diferencien entre s� en m�s de 1; que escriba entre ellas una tercera cifra cualquiera;
• que invierta el orden de las cifras del n�mero as� obtenido;
• que reste el n�mero menor del mayor;
• que ponga las cifras del resto en orden inverso;
• que le sume este nuevo n�mero al resto anterior;
• que le a�ada a esta suma la edad que tiene.

Su interlocutor le dice a usted el resultado final de todas las operaciones, y usted le dice la edad que �l tiene.
Ejemplo. Su interlocutor tiene 23 a�os. Hace lo siguiente:

• 25,
• 275,
• 572,
• 572 - 275 = 297,
• 297 + 792 = 1089,
• 1089 + 23 = 1112.
Su interlocutor le dice a usted el n�mero 1112,, y usted, partiendo de esto, halla la edad que �l tiene.
�C�mo puede usted hacerlo?
Soluci�n


23. �C�mo adivinar el n�mero de hermanos y hermanas?
    
Usted puede adivinar cu�ntos hermanos y hermanas tiene un camarada suyo, si le pide que haga lo siguiente:

• que a�ada 3 al n�mero de hermanos;
• que multiplique por 5 el n�mero obtenido;
• que a este producto le sume 20;
• que multiplique la suma por 2;
• que al resultado le a�ada el n�mero de hermanas y que a esta suma le agregue 5.
Su camarada le dice a usted el resultado final de estas operaciones, y usted le dice cu�ntos hermanos y hermanas tiene �l.
Ejemplo. Su compa�ero tiene cuatro hermanos y siete hermanas. El hace lo siguiente:

• 4 + 3 = 7,
• 7 x 5 = 35,
• 35 + 20 = 55,
• 55 x 2 = 110,
• 117 + 5 = 122.
Su camarada le dice a usted que ha obtenido el n�mero 122, y usted le dice cu�ntos hermanos y hermanas tiene �l.
�C�mo puede usted hacer esto?
Soluci�n


24. Truco con la gu�a de tel�fonos

Este truco no es menos sorprendente y se hace como sigue.
Prop�ngale a un compa�ero suyo que escriba cualquier n�mero de tres cifras diferentes. Supongamos que escribe el n�mero 648. D�gale que ponga las cifras del n�mero elegido en orden inverso y que del n�mero mayor reste el menor (Si el resto tiene s�lo dos cifras (99), se escribe con un cero delante (099).). El escribir� lo siguiente:

• 846
• -648
• 198
P�dale ahora que ponga tambi�n en orden inverso las cifras de esta diferencia y que sume los dos n�meros. Su compa�ero escribir�:

• 198
• +891
• 1089
Estas operaciones las har� sin que usted las vea, de manera que pensar� que usted no sabe el resultado total.
Entonces, usted le da una gu�a de tel�fonos, y le dice que la abra por la p�gina cuyo n�mero coincide con las tres primeras cifras del resultado final. Su camarada la abrir� por la p�gina 108 y quedar� en espera de lo que usted diga. Usted le pide que, en esta p�gina, cuente de arriba abajo (o de abajo arriba) tantos apellidos de abonados como indica la �ltima cifra del n�mero total (es decir, del n�mero 1089). El busca al abonado que hace nueve, y usted le dice c�mo se llama este abonado y cu�l es el n�mero de su tel�fono.
Su sabidur�a, como es natural, asombrar� a su compa�ero, ya que �l eligi� el primer n�mero que se le ocurri�, y usted acert� sin titubear el apellido del abonado y el n�mero de su tel�fono.
�En qu� consiste el secreto de este truco?
Soluci�n


25. �C�mo adivinar una ficha de domin�?

Este es un truco aritm�tico basado en el c�lculo. Supongamos que un compa�ero suyo se guarda en el bolsillo una ficha cualquiera de domin�. Usted puede adivinar qu� ficha es �sta, si �l hace, sin equivocarse, unas operaciones f�ciles. Fig�rese, por ejemplo, que la ficha que ocult� es la 6 - 3.
P�dale a su compa�ero que duplique uno de estos n�meros (por ejemplo, el 6):

• 6 * 2 = 12.
• Al n�mero duplicado, que le sume 7; 12 + 7 = 19.
• Despu�s, que multiplique por 5 el n�mero obtenido: 19 * 5 = 95.
• A este producto, que le sume el otro n�mero de la ficha de domin� (es decir, el 3): 95 + 3 = 98.
Su compa�ero le dice a usted este resultado final, y usted le resta mentalmente 35 y conoce la ficha que �l guard�:
98 - 35 = 63, es decir, la ficha 6 - 3.
�Por qu� resulta as� y por qu� hay que restar siempre 35?
Soluci�n


26. Una memoria sorprendente

Algunos ilusionistas llaman la atenci�n con su extraordinaria memoria: recuerdan largas series de palabras, n�meros, etc. Cualquiera de ustedes puede tambi�n admirar a sus camaradas con un truco semejante. He aqu� como hay que hacerlo.
Prepare 50 tarjetas de papel y escriba en ellas los n�meros y las letras que se indican en la tabla siguiente.



En cada tarjeta habr� escrito, de este modo, un n�mero de bastantes cifras y, en el �ngulo superior izquierdo, un s�mbolo constituido por una letra latina o una letra y una cifra. Estas tarjetas rep�rtalas en sus compa�eros y d�gales que usted se acuerda perfectamente del n�mero que hay escrito en cada una de las tarjetas. Que le digan a usted solamente el s�mbolo de la tarjeta, y usted dir� en el acto el n�mero que hay escrito en ella. A usted le dicen, por ejemplo, �E4�, y usted responde inmediatamente:
-El n�mero 10 928 224.
Como los n�meros son de muchas cifras y suman, en total medio ciento, su arte debe, naturalmente, admirar a los presentes. No obstante, usted no se ha aprendido de memoria los 50 largos n�meros. El problema se resuelve de un modo mucho m�s f�cil. �Cu�l es el secreto de este truco?
Soluci�n


27. Una memoria extraordinaria

Despu�s de escribir en une hoja de papel una larga fila de cifras -20-25 cifras- declara usted que puede repetirla, sin equivocarse, cifra a cifra. Y en efecto, lo hace usted, a pesar de que en la sucesi�n de cifras no se nota ninguna regularidad.
�C�mo puede usted hacer estor
Soluci�n


28. Unos dados m�gicos

Haga varios cubos de papel (por ejemplo, cuatro) y marque sus caras con cifras situadas como muestra la figura 279. Con estos cubos podr� usted hacerle a sus amigos un truco aritm�tico interesante.



Figura 279



P�dales a sus compa�eros que, en ausencia de usted, pongan los cubos uno encima de otro, formando columna, en las posiciones que quieran. Despu�s de esto, usted entra en la habitaci�n, echa una ojeada a la columna de cubos y halla inmediatamente a qu� es igual la suma de todas las cifras que hay en las caras tapadas de los cuatro cubos. Por ejemplo, en el caso que representa la figura, usted dice 23. Es f�cil convencerse de que esto es cierto.
Soluci�n


29. Un truco con tarjetas

Haga siete tarjetas como las que se ven en la figura 280. Escriba en ellas los n�meros y h�gales los cortes rectangulares tal como est�n en las muestras indicadas. Una de las tarjetas se deja en blanco, pero en ella tambi�n se hacen cortes.



Figura 280


Al copiar los n�meros en las tarjetas hay que prestar mucha atenci�n para no equivocarse.
Cuando haya hecho esto, entr�guele las seis tarjetas con n�meros a un compa�ero suyo y p�dale que piense en uno cualquiera de los n�meros escrito en ellas. Despu�s, d�gale que le devuelva a usted todas aquellas tarjetas en que figure el n�mero pensado.
Una vez recibidas las tarjetas, las coloca usted cuidadosamente unas encima de otras, las cubre con la tarjeta en blanco y suma mentalmente los n�meros que se ven a trav�s de las ventanillas. El n�mero que ` resulta es el pensado.
Lo m�s probable es que ni usted mismo pueda descubrir el secreto del truco. Este se basa en un modo especial de elegir los n�meros que figuran en las tarjetas. El fundamento de esta elecci�n es bastante complicado y no voy a detenerme en �l. En otro libro m�o (�Problemas recreativos�), dedicado a lectores con mejor preparaci�n matem�tica, puede usted hallar una explicaci�n detallada de este nuevo truco y de sus variantes m�s curiosas.
�C�mo adivinar la suma de unos n�meros que no se han escrito?
Usted se compromete a predecir la suma de tres n�meros, de los cuales s�lo se ha escrito uno. Este truco se hace as�. Se le dice a un compa�ero que escriba un n�mero con tantas cifras como quiera: �ste ser� el primer sumando.
Supongamos que �l escribe el n�mero 84 706. En este caso, dejando sitio libre para los sumandos segundo y tercero, se escribe a priori la suma de los tres n�meros:



1 er sumando 2� sumando 3 er sumando Suma

84706 184705



Despu�s de esto su camarada escribe el segundo sumando (que debe tener tantas cifras como el primero), y usted escribe el tercer sumando:



1 er sumando 2� sumando 3 er sumando Suma

84706 30485 69514 184705


Es f�cil convencerse de que la suma se predijo bien.
�En qu� consiste el secreto de este truco?
Soluci�n


30. Predicci�n de la suma

Las supersticiones num�ricas, lo mismo que los prejuicios de otros tipos, eran muy frecuentes en la Rusia de antes de la revoluci�n. Como ejemplo de las consecuencias absurdas a que puede conducir la propensi�n a estas supersticiones, citaremos el caso de Ili� Teglev, h�roe de la narraci�n de Turgu�niev �Pon ... pon ...�, que bas�ndose en una coincidencia casual de n�meros, cree ser un Napole�n no reconocido. Este personaje se suicida, y en uno de sus bolsillos se descubre una hoja de papel con los c�lculos siguientes:



Napole�n naci� el 15 de agosto de 1769		Ili� Teglev naci� el 7 de enero de 1811
A�o D�a Mes (Agosto es el mes 8) Total Total 1+7+9+2	1769 15 8 1792 19	A�o D�a Mes (Enero es el mes 1) Total Total 1+8+1+9	1811 7 1 1819 19
Napole�n muri� el 5 de mayo de 1825		Ili� Teglev muri� el 21 de julio de 1834
A�o D�a Mes (mayo es el mes 5) Total Total 1+8+3+5	1825 5 5 1835 17	A�o D�a Mes (julio es el mes 7) Total Total 1+8+6+2	1834 21 7 1862 17



Adivinaciones num�ricas semejantes se pusieron en boga a comienzos de la primera guerra mundial. Entonces, por medio de ellas se pretend�a predecir c�mo terminar�a. En 1916 los peri�dicos suizos descubrieron a sus lectores el siguiente �misterio� acerca (le la suerte de los emperadores de Alemania y Austria-Hungr�a:



A�o de nacimiento A�o de la coronaci�n Edad A�os en el trono Total

Guillermo II 1859 1888 57 28 3832

Francisco Jos� 1830 1848 86 68 3832


Como puede ver, las sumas son iguales y cada una de ellas es el doble del a�o 1916. De esto se deduce que este a�o, fatal para ambos emperadores, predec�a una derrota.
En este caso nos encontramos no con una coincidencia casual, sino, simplemente, con una majader�a. La gente, cegada por la superstici�n, no se dio cuenta de que con s�lo modificar ligeramente el orden de los renglones en los c�lculos desaparec�a por completo su car�cter misterioso.
Ponga los renglones en este orden:

• a�o de nacimiento,
• edad,
• a�o de la coronaci�n,
• a�os en el trono.
Y ahora piense: �qu� a�o debe obtenerse si al de nacimiento de una persona se le a�ade su edad? Est� claro que resultar� el a�o en que se hace el c�lculo. El mismo a�o debe obtenerse si al a�o de la coronaci�n de un emperador se le suman los a�os que lleva en el trono. Por esto, es f�cil comprender por qu� la suma de estos cuatro n�meros daba, para ambos emperadores, el mismo total, es decir, el doble del a�o 1916. Otra cosa no se pod�a esperar.
Lo que acabamos de decir puede utilizarse para hacer un interesante truco num�rico. D�gale a un compa�ero suyo, que no conozca este sencillo secreto, que escriba en un papel, sin que usted lo vea, los cuatro n�meros siguientes:

• el a�o en que naci�,
• el a�o en que empez� a trabajar en la f�brica, (o que ingres� en la escuela, etc),
• su edad, y
• el n�mero de a�os que lleva trabajando en la f�brica (o estudiando en la escuela, etc).
Aunque usted no conozca ninguno de los cuatro n�meros escritos, no le costar� trabajo adivinar su suma: lo �nico que tendr� que hacer es duplicar el a�o en que se hace el truco.
Si repite el truco, su secreto puede ser f�cilmente descubierto. Para dificultar esto, introduzca entre los cuatro sumandos varios m�s, que usted conozca; si opera con discreci�n, la suma resultar� distinta cada vez y descubrir el secreto ser� m�s dif�cil.
Soluci�n

1. Una cadena de 28 fichas

Para simplificar los problemas prescindamos por ahora de las siete fichas dobles, es decir, de las 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, etc. Quedan 21 fichas, en las cuales cada n�mero de puntos se repite seis veces. Por ejemplo, 4 puntos (en un campo) figuran en las seis fichas siguientes:

4 - 0; 4 - l; 4 - 2; 4 - 3; 4 - 5; 4 - 6.
Como puede verse, cada n�mero de puntos se repite un n�mero par de veces. Est� claro que las fichas de este juego se pueden poner una al lado de otra, de modo que est�n juntos los campos de igual n�mero de puntos, hasta que se acaben todas las fichas. Y cuando ya se ha hecho esto, es decir, cuando nuestras 21 ficha est�n dispuestas formando una cadena continua, entre las juntas

0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, etc.
colocamos las siete fichas dobles que hab�amos apartado. Despu�s de esto las 28 fichas del domin� resultan puestas en cadena, cumpliendo las reglas del juego.
Volver


2. El principio y el fin de la cadena

Es f�cil demostrar que la cadena formada con las 28 fichas del domin� debe terminar con el mismo n�mero de puntos que comienza. En efecto, si no ocurriera as�, los n�meros de puntos que resultaran estar en los extremos de la cadena se repetir�an un n�mero impar de veces (puesto que dentro de la cadena los puntos forman parejas). Pero, como sabemos, en el juego completo de fichas de domin� cada n�mero de puntos se repite ocho veces, es decir, un n�mero de veces par. Por consiguiente, la suposici�n que hemos hecho, de que los n�meros de puntos que hay en los extremos sean distintos, es incorrecta: estos n�meros de puntos deben ser iguales. (Los razonamientos de este tipo reciben en matem�ticas el nombre de �demostraciones por reducci�n al absurdo�).
De la propiedad que acabamos de demostrar de la cadena de fichas se deduce la consecuencia siguiente: una cadena de 28 fichas siempre puede cerrarse y obtener un anillo. Es decir, el juego completo de fichas de domin� puede colocarse, cumpliendo las reglas del juego, no s�lo formando una cadena con los extremos libres, sino tambi�n formando un anillo cerrado.
Los lectores pueden preguntarse: �por cu�ntos procedimientos diferentes puede hacerse esta cadena o anillo? Sin entrar en los pesados pormenores del c�lculo, diremos que el n�mero de procedimientos distintos de formar la cadena (o el anillo) con las 28 fichas es enorme: superior a 7 billones. El n�mero exacto es:

7 959 229 931 520
(�ste es el resultado de multiplicar los factores siguientes: 213 * 38 * 5 * 7 * 4231).
Volver


3. Un truco con el domin�

La soluci�n de este acertijo se desprende de lo dicho anteriormente. Como ya sabemos, las 28 fichas del domin� siempre pueden colocarse de manera que formen un anillo cerrado; por lo tanto, si de este anillo se quita una ficha tendremos que:
1) las 27 fichas restantes formar�n una cadena continua, cuyos extremos no se cierran;
2) los n�meros de puntos de los extremos de esta cadena son precisamente los que hay en la ficha que se quit�.
Por esto, si escondemos una ficha del domin�, podemos predecir los n�meros de puntos que habr� en los extremos de la cadena que se forme con las dem�s fichas.
Volver


4. El cuadrado

La suma de los puntos de todos los lados del cuadrado que se busca debe ser igual a 44 * 4 = 176, es decir, 8 m�s que la suma total de los puntos que tiene el juego completo de fichas de domin� (168).



Figura 281


Ocurre esto, claro est�, porque los n�meros de puntos que ocupan los v�rtices del cuadrado se suman dos veces. Esto determina cu�l debe ser la suma de los puntos que haya en los v�rtices del cuadrado: 8. As� se simplifica un poco la b�squeda del orden en que hay que colocar las fichas, aunque el encontrarlo, a pesar de todo, es bastante dif�cil. La soluci�n se da en la figura 281.
Volver


5. Los siete cuadrados

Damos dos de las muchas soluciones posibles de este problema.



Figura 282


En la primera soluci�n (figura 282 arriba) tenemos:



1 cuadrado con la suma 1 cuadrado con la suma 1 cuadrado con la suma

3 6 8

2 cuadrados con la suma 1 cuadrado con la suma 1 cuadrado con la suma

9 10 16


En la segunda soluci�n (figura 282, abajo):



2 cuadrados con la suma 1 cuadrado con la suma

2 8

4 cuadrados con la suma 2 cuadrados con la suma

10 12


Volver


6. Cuadrados m�gicos hechos con el domin�

En la figura 283 se da una muestra de cuadrado m�gico en la cual la suma de los puntos en cada fila, columna o diagonal es 18.



Figura 283


Volver


7. Una progresi�n de fichas de domin�

Como ejemplo citamos dos progresiones en las cuales la diferencia es 2:
a) 0-0; 0-2; 0-4; 0-6; 4-4 (� 3-5); 5-5 (� 4-6).
b) 0-1; 0-3 (� 1-2); 0-5 (� 2-3); 1-6 (� 3-4); 3-6 (� 4-5); 5-6.
Progresiones de seis fichas se pueden hacer en total 23. Sus fichas iniciales son las siguientes:
a) para las progresiones con diferencia 1:

0-0, 1-1, 2-1, 2-2, 3-2
0-1, 2-0, 3-0, 3-1, 2-4
1-0, 0-3, 0-4, 1-4, 3-5
0-2, 1-2, 1-3, 2-3, 3-4
b) para las progresiones con diferencia 2:
0-0, 0-2,0-1.
Volver


8. �El juego de las 15� o �taquin�

Primer problema
La colocaci�n dada por el problema puede obtenerse, partiendo de la posici�n inicial, por medio de los 44 pasos siguientes:



14 4 12 9 10

11 3 8 12 6

12 6 4 4 2

8 4 10 8 1

7 7 8 5

6 14 4 4

10 11 14 8

12 15 11 9

8 13 15 13

7 9 13 14


Segundo problema
La colocaci�n dada por el problema se obtiene dando los siguientes 39 pasos:



14 5 9 13

15 1 5 9

10 2 1 5

6 3 2 1

7 4 3 2

11 8 4 3

15 12 8 4

10 15 12 8

13 10 15 12

9 13 14


Tercer problema
El cuadrado m�gico con suma 30 se obtiene despu�s de dar la serie de pasos siguientes:



12 14 4 5 14

8 12 7 1 3

4 8 10 2 2

3 4 9 3 1

2 7 6 6 13

6 10 2 5 14

10 9 3 3 3

9 14 10 2 12

13 12 9 1 15

15 8 6 13 3


Volver


9. �El juego de las 11�

Si usted es mano, debe coger dos cerillas; quedan nueve. Cualquiera que sea el n�mero de cerillas que coja el segundo jugador, usted deber� dejar en la mesa, despu�s de su segunda jugada, s�lo cinco cerillas; se comprende f�cilmente que esto siempre es posible. Y cuando su adversario haya cogido las cerillas que quiera de esas cinco, usted le deja una y gana. Si a usted no le toca hacer la primera jugada, s�lo podr� ganar si su adversario desconoce el secreto de c�mo hay que jugar para ganar siempre.
Volver


10. �El juego de las 15�

Si se quiere ganar con seguridad hay que empezar con la cifra 5. �En qu� casilla hay que escribirla? Veamos, uno a continuaci�n de otro, los tres casos posibles.
1. El cinco se escribe en la casilla de en medio.


Cualquiera que sea la casilla que elija su compa�ero de juego, usted podr� escribir en la casilla que quede libre en la misma fila.
15 - 5 - x (donde x es la cifra escrita por su adversario). El n�mero 15 - 5 - x, o sea, 10 - x, es, claro est�, menor que 9.
2. El cinco se escribe en una de las casillas de los �ngulos.


Su compa�ero elige la casilla x o la casilla y. Si �l escribe la cifra x, usted deber� escribir y = 10 - x; si escribe y, usted responder� con la cifra x = 10 - y. En ambos casos ganar� usted.
3. El cinco se escribe en la casilla de en medio de la columna extrema.


Su compa�ero podr� ocupar una de las cuatro casillas x, y, z, t.
A la cifra x responder� usted con y = 10 - z; a la y, con x = 10 - y; a la z, con t = 10 - z, y a la t, con z = 15 - t. En todos los casos ganar�.
Volver


11. �El juego de las 32�

El simple secret� que hay que saber para no perder nunca en este juego, se descubre con bastante facilidad si se intenta jugar una partida al rev�s, es decir, empezando por el final. No es dif�cil darse cuenta de que si en su pen�ltima jugada le deja a su adversario cinco cerillas en la mesa, ganar� usted con toda seguridad, porque �l no puede coger m�s de cuatro cerillas y, por consiguiente, usted puede coger despu�s todas las dem�s. Pero, �qu� hay que hacer para estar seguro de que en la pen�ltima jugada podr�n dejarse cinco cerillas? Para esto en la jugada precedente hay que dejarle al adversario 10 cerillas exactamente: entonces, por muchas que �l coja siempre quedar�n seis por lo menos, y usted despu�s siempre podr� dejarle cinco. Y, �qu� hay que hacer para lograr que al compa�ero le queden 10 cerillas para coger? En la jugada anterior hay que dejar en la mesa 15 cerillas.
As�, restando cada vez cinco cerillas, nos enteramos de que antes hay que dejar en la mesa 20, y con anterioridad, 25, y, finalmente, la primera vez, 30 cerillas, es decir, al comenzar el juego hay que coger dos cerillas.
Por lo tanto, el secreto para ganar siempre es: la primera vez hay que coger dos cerillas; luego, despu�s que su compa�ero haya cogido varias, se cogen las cerillas necesarias para que en la mesa queden 25; la vez siguiente se dejan en la mesa 20 cerillas, luego 10, y finalmente cinco. La �ltima cerilla ser� siempre para usted.
Volver


12. Lo mismo, pero al contrario

Si la condici�n del juego es la inversa, o sea, que el que coja la �ltima cerilla pierde, en la pen�ltima jugada deber� dejar en la mesa seis cerillas. Entonces, cualquiera que sea la cantidad que coja su compa�ero, no podr� dejarle a usted menos de dos ni m�s de cinco, es decir, en cualquier caso, podr� usted dejarle a �l en la jugada siguiente la �ltima cerilla. Para esto, en la jugada precedente hay que dejar en la mesa 11 cerillas, y en las jugadas anteriores a �sta, 16, 21, 26, y 31 cerillas respectivamente.
As�, pues, usted empieza cogiendo una sola cerilla, y en las siguientes jugadas le va dejando a su adversario 26, 21, 16, 11 y 6 cerillas; la �ltima cerilla le tocar� a �l inevitablemente.
Volver


13. �El juego de las 27�

Aqu� es m�s dif�cil hallar el procedimiento de ganar siempre que en el �juego de las 32�.
Hay que partir de los dos razonamientos siguientes:
1. Si al final de la partida tiene usted un n�mero impar de cerillas, deber� dejarle a su adversario cinco cerillas, con lo que estar� seguro de ganar el juego. En efecto, en la siguiente jugada su compa�ero le dejar� a usted cuatro, tres, dos o una cerilla; si le deja cuatro, usted coge tres y gana; si le deja tres, coger� las tres y ganar�; y si le deja dos, coger� una y tambi�n ganar�.
2. Si cuando la partida est� pr�xima a terminar usted tiene un. n�mero par de cerillas, deber� dejarle a su adversario seis o siete. Efectivamente, veamos como transcurre despu�s la partida. Si su adversario le deja seis cerillas, en la jugada siguiente coge usted una y, teniendo ya un numero de cerillas impar, puede dejarle tranquilamente cinco cerillas a su compa�ero, con las cuales �l perder� la partida inevitablemente. Si �l le deja a usted no seis cerillas, sino cinco, usted coge cuatro y gana. Si le deja cuatro, usted coge todas y gana. Si le deja tres, usted coge dos y gana. Y, finalmente, si le deja dos, tambi�n gana usted. Menos de dos no le puede dejar.
Ahora ya no es dif�cil hallar el procedimiento para ganar siempre. Este procedimiento consiste en que, si usted tiene un n�mero impar de cerillas, debe dejarle sobre la mesa a su adversario un n�mero de ellas que sea igual a un m�ltiplo de 6 menos una unidad, a saber, 5, 11, 17 � 23; y si tiene usted un n�mero par de cerillas, deber� dejarle a su adversario un n�mero de cerillas que sea m�ltiplo de 6 � mayor que �l en una unidad, es decir, 6 � 7, 12 � 13, 18 � 19, 24 � 25. El cero puede considerarse como n�mero par; por esto, al empezar la partida deber� usted coger dos o tres de las 27 cerillas, y despu�s proceder de acuerdo con lo antedicho.
Llevando la partida de este modo, ganar� usted con toda seguridad. Pero procure que su adversario no coja el hilo del juego.
Volver


14. De otra forma

Si la condici�n del juego es la inversa y se considera ganador el que tenga un n�mero impar de cerillas, deber� usted proceder del modo siguiente: si tiene usted un n�mero par de cerillas, d�jele a su adversario un n�mero de ellas que sea menor que un m�ltiplo de 6 en una unidad; y si tiene un n�mero impar, d�jele a �l un n�mero de cerillas que sea m�ltiplo de 6 � mayor que �l en una unidad. Esto debe conducir inevitablemente a que gane usted. Al empezar el juego tiene usted cero cerillas (es decir, un n�mero que se considera par); por lo tanto, en la primera jugada coja cuatro cerillas y d�jele a su adversario 23.
Volver


15. Viaje matem�tico

Se explica en el mismo texto
Volver

16. Piense un n�mero

Caso N� 1. Si el n�mero pensado es a, las operaciones que se hacen al principio son:

(3a + 2) * 3 + a = 10a + 6.
Se obtiene un resultado de dos cifras, la primera de las cuales es el n�mero pensado, y la segunda es 6.
Tachando la primera cifra se excluye el n�mero pensado.
Lo dem�s se comprende sin dificultad.
Los casos de adivinaci�n N�2, N�3, N�5 y N�8 son diversas variantes del caso que acabamos de analizar.
En los casos N�4, N�6, N�7 y N�9 se utiliza otro procedimiento para eliminar el n�mero pensado.
Por ejemplo, en el N�9 las operaciones que se hacen al principio son:

170 - (a + 20) - 6 + a = 114.
Lo dem�s no es dif�cil de comprender.
Para adivinar el N�10 se emplea un procedimiento especial. Escribir a la derecha de un n�mero de tres cifras el mismo n�mero, equivale a multiplicar dicho n�mero por 1001 (por ejemplo, 356 * 1001 = 356 356). Pero 1001 = 7 * 11 * 13. Por esto, si el n�mero pensado es a, las operaciones que se hacen al principio son:


El resto es comprensible.
Como puede ver, la adivinaci�n se basa en todos los casos en excluir el n�mero pensado al hacer las operaciones. Sabiendo esto, procure usted mismo idear varios ejemplos nuevos de adivinanza.
Volver


17. Vamos a adivinar

Para comprender en qu� consiste la adivinaci�n en estos casos, f�jese en las operaciones que yo le digo que haga con las cifras pensadas.
En el primer ejemplo usted empez� multiplicando por 5 la cifra; despu�s multiplic� por 2 lo obtenido. Es decir, multiplic� usted la cifra por 2 X 5, o sea, por 10, y todo n�mero multiplicado por 10 da un resultado que termina en cero. Sabiendo esto, yo le pido que le a�ada 7; ahora ya s� que el n�mero que tiene en su mente es de dos cifras: la primera la desconozco, pero la segunda s� que es 7. La cifra que desconozco le pido que la tache. �Qu� n�mero tiene ahora en su pensamiento? El 7, claro est�. Yo podr�a decirle ya este n�mero, pero como soy astuto, para que pierda usted la pista le pido que sume y reste a este siete diversos n�meros, cosa que yo tambi�n hago mentalmente. Y por fin, le digo que ha obtenido usted 17. Este n�mero tiene que resultarle a usted cualquiera que sea la cifra que piense.
La segunda vez sigo ya otro camino al hacer la adivinaci�n, de lo contrario descubrir�a usted demasiado pronto en qu� consiste el secreto. Yo hago que empiece usted por triplicar la cifra pensada, luego le pido que vuelva a triplicar el resultado y que al n�mero obtenido le a�ada la cifra que pens�. �Qu� debe resultarle a usted en fin de cuentas? Es f�cil de comprender, porque todo lo hecho equivale a multiplicar la cifra pensada por 3 * 3 + 1, es decir, por 10. Y otra vez s� que resulta un n�mero de dos cifras, cuya segunda cifra es cero. Y despu�s hago lo mismo que antes: digo que le sume a este n�mero cualquier cifra y que tache a continuaci�n la primera, que para m� es desconocida; queda la cifra que conozco, con la cual se hacen varias operaciones para borrar las huellas.
Tercer caso. Aqu� tambi�n se hace lo mismo, pero de otra forma. Yo le digo que duplique la cifra pensada, que lo obtenido vuelva a duplicarlo, que duplique tambi�n este segundo resultado y que a lo que salga le sume dos veces la cifra que pens�. �Qu� da todo estoy Da la cifra pensada multiplicada por 2 * 2 * 2 + 1 + 1, es decir, por 10. Lo dem�s se comprende f�cilmente. Incluso si el n�mero que usted pens� es 1 � 0, el truco no falla.
Ahora ya puede hacer usted, tan bien como yo, estos experimentos con aquellos amigos suyos que no hayan le�do este libro. Tambi�n podr� usted idear sus propios procedimientos para adivinar. Esto no es dif�cil.
Volver


18. Adivinar un n�mero de tres cifras

Fij�monos otra vez en las operaciones que se hicieron con cada cifra. La primera cifra se multiplic� primero por 2, luego por 5 y despu�s por 10, es decir, en total por 2 * 5 * 10 = 100. La segunda cifra se multiplic� por 10. La tercera se a�adi� sin variaci�n alguna. Adem�s, a todo esto se le sum� 5 * 5 * 10, o sea, 250.
Por lo tanto, si al n�mero obtenido se le resta 250, quedar�: la primera cifra multiplicada por 100, m�s la segunda multiplicada por diez, m�s la tercera. En resumen, queda precisamente el n�mero pensado.
De esto se deduce claramente lo que hay que hacer para adivinar el n�mero pensado: al resultado de todas las operaciones hay que restarle 250. Lo que queda es el n�mero de que se trata.
Volver


19. Truco num�rico

Fij�ndose atentamente en las operaciones hechas, es f�cil advertir que el adivinador debe obtener el n�mero pensado multiplicado por 4, m�s 4. Por lo tanto, si se restan estos 4 y se divide lo dem�s por 4, se obtiene el n�mero pensado.
Volver


20. �C�mo adivinar la cifra tachada?

El que sabe c�mo se deduce la condici�n de divisibilidad por 9, conoce que la suma de las cifras de cualquier n�mero da, cuando se divide por 9, el mismo resto que el propio n�mero. Dos n�meros formados con las mismas cifras, pero colocadas en otro orden, deben, por esta raz�n, dar los mismos restos si se dividen por 9. Por consiguiente, si de uno de estos n�meros se resta el otro, la diferencia ser� divisible por 9 (porque la diferencia de los restos iguales es nula).
Sobre la base de lo expuesto puede usted saber que su compa�ero obtuvo, como resultado de la resta, un n�mero cuyas cifras dan una suma m�ltiplo de 9. Como las cifras que �l le dijo a usted son 8, 4, 8 y dan la suma 20, la cifra tachada tiene que ser, evidentemente, 7, que sumada a 20 da un n�mero divisible por 9.
Volver


21. �C�mo adivinar el d�a y el mes de nacimiento?

Para saber la fecha que se busca hay que restarle 365 al resultado final; en este caso, las dos �ltimas cifras de la diferencia indicar�n el n�mero de orden del mes, y las que est�n delante de ellas, el del d�a. En nuestro ejemplo

2073 - 365 = 1708.
Por el n�mero 17-08 deducimos la fecha: 17/VIII. La raz�n de por qu� esto es as� se comprende si el n�mero de orden del mes se designa por K, y el del d�a, por N, y se hacen con ellos las operaciones que se requieren.
Obtenemos (2K * 10 + 73) * 5 + N = 100K + N + 365.
Est� claro que al restar 365 debemos obtener un n�mero que contenga K centenas y N unidades.
Volver


22. �C�mo se adivina la edad del interlocutor?

Haciendo varias veces las operaciones, se nota f�cilmente que a la edad hay que a�adirle siempre un mismo n�mero, a saber, 1089. Por esto, si del n�mero total que le dicen a usted se resta 1089, debe obtenerse la edad buscada.
Si el truco se hace varias veces, para evitar que el secreto sea descubierto se puede variar la �ltima operaci�n proponiendo, por ejemplo, dividir por 9 el n�mero 1089 y sumar la edad al cociente.
Volver


23. �C�mo adivinar el n�mero de hermanos y hermanas?

Para saber el n�mero de hermanos y hermanas hay que restar 75 del resultado final. En nuestro ejemplo

122 - 75 = 47.
La primera cifra de la diferencia es el n�mero de hermanos, la segunda, el de hermanas.
En efecto, si el n�mero de hermanos es a y el de hermanas es b, las operaciones conducen a la expresi�n

[(a + 3) * (5 + 20)] * 2 + b + 5 = 10a + b + 75,
y en el resto deber� obtenerse un n�mero de dos cifras a y b unidades.
Este truco puede hacerse si se tiene la seguridad de que el n�mero de hermanas no es mayor que nueve.
Volver


24. Truco con la gu�a de tel�fonos

El secreto de este truco consiste sencillamente en que usted sab�a de antemano el resultado final de las operaciones hechas por su compa�ero: cualquiera que sea el n�mero de tres cifras con que se hagan las operaciones enumeradas, el resultado que se obtenga ser� siempre el mismo: 1089. De esto es f�cil convencerse haciendo la prueba. Mirar previamente la gu�a de tel�fonos y aprenderse el nombre y el apellido del abonado que figura en el rengl�n noveno (por abajo o por arriba) de la p�gina 108, ya no es cosa dif�cil.
Volver


25. �C�mo adivinar una ficha de domin�?

Veamos lo que se hizo con el primer n�mero. Primero lo multiplicamos por 2, despu�s por 5, y en total por 10. Adem�s, le sumamos el n�mero 7, que despu�s multiplicamos por 2; es decir, le a�adimos 7 * 5 = 35.
Por lo tanto, si al resultado le restamos 35, quedar�n tantas decenas como puntos hay en una de las mitades de la ficha. La suma de los puntos de la otra mitad da la segunda cifra del resultado.
Ahora est� claro por qu� las cifras del resultado dan de una sola vez los dos n�meros de puntos.
Volver


26. Una memoria sorprendente

El secreto de este truco consiste en que el s�mbolo de la tarjeta -la letra y la cifra le indica a usted el n�mero que hay escrito en ella.
Ante todo debe recordar usted que la letra A significa 20; la B, 30; la C, 40; la D, 50 y la E, 60. Por esto, la letra junto con la cifra que lleva al lado significa cierto n�mero. Por ejemplo, Al significa 21; C3, 43; E5, 65.
Conociendo este n�mero y siguiendo la regla que veremos a continuaci�n, puede usted formar el n�mero de muchas cifras que figura en la tarjeta. Pondremos un ejemplo para demostrar como se hace esto.
Supongamos que el s�mbolo nombrado es E4, es decir, 64. Con este n�mero hace usted lo siguiente:
Primero, suma sus cifras: 6 + 4 = 10.
Segundo, lo duplica:

64 * 2 = 128.
Tercero, de la cifra mayor resta la menor:

6 - 4 = 2.
Cuarto, multiplica entre s� las dos cifras:

6 * 4 = 24.
Y los resultados obtenidos los escribe unos a continuaci�n de otros:

10 128 224.
Este es el n�mero que hay escrito en la tarjeta.
Las operaciones que hay que hacer se pueden representar as�



+ 2 - *


es decir, suma, duplicaci�n, resta y multiplicaci�n.
Otros ejemplos.
El s�mbolo de la tarjeta es D3.
�Qu� n�mero hay escrito en ella?

D3 = 53,
5 + 3 = 8,
53 * 2 = 106,
5 - 3 = 2
5 * 3 = 15
El n�mero es el 8 106 215.
El s�mbolo de la tarjeta es B8. �Qu� n�mero hay escrito en ella?

B8 = 38
3 + 8 = 11
38 * 2 = 76,
8 - 3 = 5,
8 * 3 = 24.
El n�mero es 1 176 524.
Para no cansar la memoria, puede usted ir diciendo las cifras a medida que las obtiene o irlas escribiendo despacio en el encerado.
Como descubrir el ardid que usted utiliza no es f�cil, este truco suele desconcertar bastante al p�blico.
Volver


27. Una memoria extraordinaria

El secreto es simple hasta m�s no poder: usted escribe sucesivamente los n�meros de los tel�fonos de varios amigos suyos.
Volver

28. Unos dados m�gicos

Todo consiste en el orden en que est�n dispuestos los n�meros en las caras de cada dado. Los n�meros est�n colocados de manera que la suma de los que hay en las caras opuestas de cada dado es igual siempre a siete (compru�belo en la figura 279). Por esto la suma de los n�meros que hay en las caras superiores e inferiores de los cuatro dados que forman la columna es igual a 7 X 4 = 28. Rest�ndole a 28 el n�mero que hay escrito en la cara superior del dado que hay en lo alto, se puede hallar sin temor a equivocaci�n la suma de los n�meros que hay en las siete caras que no se ven de los dados de la columna.
Volver


29. Un truco con tarjetas

Se explica en el texto
Volver


30. �C�mo adivinar la suma de unos n�meros que no se han escrito?
Si a un n�mero de cinco cifras se le suman 99 999, es decir, 100 000 - 1 , delante del n�mero aparece un uno y la �ltima cifra disminuye en una unidad. En esto se funda el truco. Sum�ndole mentalmente 99 999 al primer sumando

84 706
+99 999
escribe usted la suma futura de los tres sumandos: 184 705. Lo �nico que tiene que hacer ahora es procurar que el segundo y el tercer sumandos juntos sumen 99 999. Para esto, al escribir el tercer sumando, restar� usted mentalmente de nueve cada una de las cifras del segundo sumando. En nuestro ejemplo el segundo sumando es 30 485; por lo que usted escribir� 69 514. Y como

30 485
+69 594
-------
99 999
el resultado escrito a priori tiene que ser exacto inevitablemente.
Volver