Cap�tulo 22
CUADRADOS M�GICOS

1. El cuadrado m�gico m�s peque�o

La composici�n de cuadrados m�gicos es un entretenimiento matem�tico muy antiguo y a�n hoy muy extendido. El problema consiste en buscar una disposici�n tal de los n�meros sucesivos (empezando por el 1), en las casillas de un cuadrado cuadriculado, que las sumas de los n�meros en todas las filas y columnas y siguiendo las dos diagonales del cuadrado sean iguales.
El cuadrado m�gico m�s peque�o es el de 9 casillas; es f�cil convencerse, haciendo la prueba, de que es imposible la existencia de un cuadrado m�gico de cuatro casillas. He aqu� una muestra de cuadrado m�gico de 9 casillas:



Figura 253


Si sumamos en este cuadrado los n�meros 4 + 3 + 8, � 2 + 7 + 6, � 3 + 5 + 7, � 4 + 5 + 6, o cualquier otra fila, columna o diagonal, en todos los casos obtendremos la misma suma, 15. Este resultado puede preverse antes de componer el propio cuadrado, porque las tres filas del cuadrado, la superior, la de en medio y la inferior, deben contener todos sus 9 n�meros, que en conjunto dan la suma:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Por otra parte, esta suma deber� ser igual, evidentemente, al triple de la suma de una fila. De aqu� se deduce que cada fila debe sumar:

45 : 3 = 15.

De un modo semejante se puede determinar a priori la suma de los n�meros de una fila o columna de cualquier cuadrado m�gico, cualquiera que sea el n�mero de casillas de que conste. Para esto hay que dividir la suma de todos los n�meros del cuadrado por el n�mero de sus filas.
2. Rotaciones y reflexiones

Una vez compuesto un cuadradom�gico, es f�cil obtener sus variantes, es decir, hallar una serie de nuevos cuadrados m�gicos.



Figura 254


Por ejemplo, si se ha compuesto el cuadrado de la figura 254, haci�ndolo girar mentalmente un cuarto de vuelta completa (es decir, 90�), se obtiene otro cuadrado m�gico (figura 255):



Figura 255


Los sucesivos giros, de 180� (media vuelta completa) y de 270� (tres cuartos de vuelta completa), dan otras dos variantes del cuadrado inicial.
Cada uno de los nuevos cuadrados m�gicos obtenidos puede a su vez modificarse, si nos lo figuramos como si vi�ramos su imagen reflejada en un espejo.



Figura 256


En la figura. 256 se muestra el cuadrado inicial y una de sus im�genes especulares.
Sometiendo un cuadrado de 9 casillas a todas las rotaciones y reflexiones, obtenemos las siguientes modificaciones o variantes suyas (figura 257):



Figura 257






Figura 257 bis


Esta es la colecci�n completa de todos los cuadrados m�gicos que pueden formarse con los nueve primeros n�meros.
3. El procedimiento de Bachet

Vamos a dar a conocer un viejo procedimiento de componer cuadrados m�gicos impares, es decir, cuadrados con cualquier n�mero imparde casillas: 3 * 3; 5 * 5; 7 * 7, etc. Este procedimiento fue propuesto en el siglo XVII por el matem�tico franc�s Bachet. Como el procedimiento de Bachet sirve, entre otras cosas, para el cuadrado de 9 casillas, resulta conveniente empezar su descripci�n por este ejemplo, por ser m�s simple. As�, pues, comenzamos a componer el cuadrado m�gico de 9 casillas por el procedimiento de Bachet.
Despu�s de dibujar un cuadrado cuadriculado en nueve casillas, escribimos en orden creciente los n�meros del 1 al 9, disponi�ndolos en filas oblicuas, a tres en cada fila, como puede verse en la figura. 258.



Figura 258


Los n�meros que quedan fuera del cuadrado, los escribimos dentro de �l, de forma que pasen a los lados opuestos del cuadrado (pero permaneciendo en las mismas columnas o filas en que estaban). Como resultado obtenemos el cuadrado:



Figura 259


Apliquemos la regla de Bachet a la composici�n de un cuadrado de 5 * 5 casillas. Empezaremos por la disposici�n:



Figura 260


Queda solamente poner dentro del cuadrado los n�meros que han quedado fuera de su marco.



Figura 261


Para esto hay que desplazar mentalmente las figuras formadas por los n�meros que est�n fuera del cuadrado (�terrazas�), de modo que pasen a ocupar dentro de �ste los lados opuestos. De esta manera se obtiene un cuadrado m�gico de 25 casillas (figura 261).
La base de este procedimiento tan sencillo es bastante complicada, pero los lectores pueden convencerse en la pr�ctica de que el procedimiento es correcto.
Despu�s de componer un cuadrado m�gico de 25 casillas, por medio de rotaciones y reflexiones puede usted obtener todas sus modificaciones.
4. El procedimiento hind�

El procedimiento de Bachet o, como tambi�n se llama el �procedimiento de las terrazas�, no es el �nico para componer cuadrados con n�mero impar de casillas. De los otros procedimientos que existen, es relativamente f�cil uno muy antiguo ideado, al parecer, en la India antes de nuestra era. Este procedimiento puede resumirse en seis reglas. Lea usted atentamente todas estas reglas y f�jese despu�s en c�mo se aplican en el ejemplo de cuadrado m�gico de 49 casillas representado en la figura. 262.



Figura 262


1. En la mitad de la fila superior se escribe la cifra 1, y en la casilla m�s baja de la columna inmediata de la derecha, la cifra 2.
2. Los n�meros siguientes se escriben por orden en direcci�n diagonal hacia arriba.
3. Cuando se llega hasta el borde derecho del cuadrado, se pasa a la casilla extrema izquierda de la fila inmediata superior.
Cuando se llega hasta el borde superior del cuadrado, se pasa a la casilla m�s baja de la columna inmediata de la derecha.
Observaci�n. Cuando se llega hasta la casilla del �ngulo superior derecho, se pasa al izquierdo inferior.
5. Cuando se llega a una casilla que ya est� ocupada, se pasa a la casilla que se encuentra inmediatamente debajo de la �ltima casilla llenada.
6.- Si la �ltima casilla llenada se encuentra en la fila inferior del cuadrado, se pasa a la casilla m�s alta de la misma columna.
Gui�ndose por estas reglas se pueden componer r�pidamente cuadrados m�gicos con cualquier n�mero impar de casillas.
Si el n�mero de casillas del cuadrado no es divisible por 3, la composici�n del cuadrado m�gico puede comenzarse no por la regla 1, sino por otra regla.
La unidad puede escribirse en cualquier casilla de la fila diagonal que va desde la casilla central de la columna extrema izquierda a la casilla central de la fila m�s alta del cuadrado. Todos los n�meros siguientes se escriben de acuerdo con las reglas 2 - 5.
Esto da la posibilidad de componer por el procedimiento hind� no un cuadrado, sino varios. Como ejemplo damos el siguiente cuadrado m�gico de 49 casillas (figura 263).



Figura 263


Ejercicio. Componga por el sistema hind� varios cuadrados m�gicos de 25 y 49 casillas. Con los cuadrados obtenidos componga varios m�s por medio de rotaciones y reflexiones.
5. Cuadrados con n�mero par de casillas

Para componer los cuadrados m�gicos de casillas a�n no se ha hallado una regla general y c�moda. S�lo existe un procedimiento relativamente f�cil para aquellos cuadrados pares cuyo n�mero de casillas es divisible por 16; el n�mero de casillas de los lados de estos cuadrados es divisible por 4, es decir, sus lados constan de 4. 8, 12, etc., casillas.
Convengamos en qu� casillas vamos a llamar �opuestas� entre s�. En la figura. 264 se muestran dos pares de casillas opuestas, que pueden servir de ejemplo: un par se se�ala con crucecitas y otro con circulitos.



Figura 264


Vemos que si una casilla se encuentra en el cuarto puesto por la izquierda, de la segunda fila por arriba, la casilla opuesta a ella se encontrar� en el cuarto puesto por la derecha de la segunda fila por abajo. (Al lector le conviene entrenarse hallando varios pares m�s de casillas opuestas). Advertimos que para las casillas tomadas en una fila diagonal, las casillas opuestas se encuentran en esta misma diagonal.
El procedimiento de componer cuadrados con el n�mero indicado de casillas por lado lo explicaremos poniendo como ejemplo el cuadrado de 8 * 8 casillas. Se empieza por escribir ordenadamente en las casillas todos los n�meros del 1 al 64 (figura 265).



Figura 265


En el cuadrado obtenido, las filas diagonales dan la misma suma, 260, que es precisamente la que debe dar el cuadrado m�gico de 8 * 8 casillas. (Compruebe esto). Pero las filas y las columnas de este cuadrado dan otras sumas. As�, la primera fila por arriba da en total 36, es decir, 224 menos de lo necesario (260 - 36); la fila octava, es decir, la m�s baja, da como suma 484, o sea, 224 m�s de lo necesario (484 - 260).
Teniendo en cuenta que cada n�mero de la octava fila es 56 unidades mayor que el que se halla sobre �l en la primera fila y que 224 = 4 * 56, llegamos a la conclusi�n de que las sumas de estas filas pueden igualarse si la mitad de los n�meros che la primera fila intercambian sus puestos con los n�meros que se encuentran debajo de ellos en la octava fila; por ejemplo, los n�meros 1, 2, 3, 4 intercambian sus puestos con los n�meros 57, 58, 59 y 60.
Lo dicho acerca de las filas primera y octava es cierto tambi�n para las filas segunda y s�ptima, tercera y sexta y, en general, para cada par de filas equidistantes de las filas extremas. Haciendo el intercambio de n�meros en todas las filas, se obtiene un cuadrado cuyas filas dan sumas iguales.
Pero es necesario que las columnas tambi�n den la misma suma. En la disposici�n inicial de los n�meros podr�amos haber logrado esto haciendo un intercambio de n�meros semejante al que acabamos de hacer con los n�meros de las filas. Pero ahora, despu�s de las permutaciones hechas en las filas, el problema se complica. Para hallar r�pidamente los n�meros que hay que intercambiar, existe el siguiente procedimiento, que puede utilizarse desde el principio: en vez de las permutaciones -en las filas y en las columnas-, intercambian sus puestos los n�meros opuestos entre s�. Sin embargo, esta regla es insuficiente, ya que hemos establecido que deben intercambiarse no todos los n�meros de la fila, sino �nicamente la mitad; los dem�s n�meros contin�an en sus puestos. Pero, �qu� pares de n�meros opuestos son los que hay que intercambiar?
A esta pregunta responden las cuatro reglas siguientes:
1. El cuadrado m�gico debe dividirse en cuatro cuadrados, como muestra la figura. 266.



Figura 266


2. En el cuadrado superior de la izquierda se se�alan con crucecitas la mitad de todas las casillas, de manera que en cada columna y en cada fila de este cuadrado resulte se�alada exactamente la mitad de las casillas que figuran en ella. Esto puede hacerse por diversos procedimientos, por ejemplo, como se ve en la figura. 266.
3. En el cuadrado superior de la derecha se se�alan con crucecitas las casillas sim�tricas a las que se se�alaron en el cuadrado superior de la izquierda.
4. Ahora no queda m�s que intercambiar los n�meros que se encuentran en las casillas se�aladas, con los n�meros que se hallan en las casillas opuestas.
Como resultado de todas las permutaciones realizadas se obtiene el cuadrado m�gico de 64 casillas que se representa en la figura. 267.



Figura 267


Pero en el cuadrado superior de la izquierda podr�amos haber marcado las casillas de muchas maneras distintas, sin infringir la regla 2.
Esto puede hacerse, por ejemplo, como muestran los dibujos de la figura. 268.



Figura 268


El lector hallar�, indudablemente, otras muchas formas de distribuir las crucecitas en las casillas del cuadrado superior de la izquierda.
Aplicando despu�s las reglas 3 y 4, pueden obtenerse varios cuadrados m�gicos m�s, de 64 casillas.
Por este mismo procedimiento pueden construirse cuadrados m�gicos de 12 * 12, 16 * 16, etc., casillas.
Proponemos al lector que haga esto por s� mismo.
6. Por qu� se llaman as� los cuadrados m�gicos