Cap�tulo 17
CUENTOS ACERCA DE N�MEROS ENORMES

1. La recompensa

He aqu� lo que, seg�n la tradici�n, ocurri� hace muchos siglos en la Roma antigua.
El caudillo Terencio, por orden del emperador, realiz� una campa�a victoriosa y volvi� a Roma con trofeos. Cuando lleg� a la capital, solicit� ser recibido por el emperador.
El emperador lo recibi� afablemente, le agradeci� los servicios militares que hab�a prestado al imperio y le prometi�, en recompensa, darle una alta posici�n en el senado.
Pero como a Terencio no era esto lo que le hac�a falta, replic�:
-Muchas fueron las victorias que alcanc� para acrecentar tu poder�o y dar gloria a tu nombre. No he temido a la muerte, si hubiera tenido no una, sino muchas vidas, todas las habr�a inmolado por ti. Pero estoy cansado de guerrear; mi juventud ha pasado, la sangre corre ya m�s despacio por mis venas. Me ha llegado la hora de descansar en la casa de mis progenitores y de gozar las alegr�as de la vida familiar.
-�Qu� deseas de m�, Terencio? -le pregunt� el emperador.
-�Esc�chame, se�or, con indulgencia! Durante los largos a�os de mi vida militar, cuando cada d�a te��a con sangre mi espada, no tuve tiempo de asegurar mi bienestar monetario. Soy pobre, se�or...
-Prosigue, valeroso Terencio.
-Si quieres recompensar a tu humilde servidor continu� el caudillo alentado -, ay�dame con tu generosidad a vivir en paz y en la abundancia, junto al hogar de mi familia, los d�as que me resten. Yo no busco honores ni una alta posici�n en el Senado todopoderoso. Quisiera apartarme del poder y de la vida social, para descansar tranquilo. Se�or, dame dinero para asegurar el resto de mi vida.
El emperador -seg�n reza la tradici�n - no brillaba por su generosidad. Le gustaba acumular dinero para �l, pero era taca�o para gastarlo en otros. Por esto, la petici�n del caudillo le hizo pensar.
-�Qu� cantidad consideras suficiente para ti, Terencio? -le pregunt�.
-Un mill�n de denarios, se�or.
El emperador volvi� a quedarse pensativo. El caudillo esperaba cabizbajo.
Por fin dijo el emperador:
-Valeroso Terencio, t� eres un gran guerrero y tus gloriosas haza�as merecen una gran recompensa. Yo te dar� riqueza. Ma�ana a mediod�a oir�s aqu� lo que he resuelto.
Terencio hizo una reverencia y se retir�.

* * *

Al d�a siguiente, a la hora fijada, se present� el caudillo en el palacio del emperador.
-�Salve, esforzado Terencio! -dijo el emperador.
Terencio inclin� sumisamente la cabeza.
-He venido, se�or, a o�r tu decisi�n. Prometiste generosamente que me recompensar�as.
Y el emperador le respondi�:
-No quiero que un guerrero tan noble como t� reciba por sus haza�as una m�sera recompensa. Esc�chame. En mi tesorer�a hay 10 millones de ases de cobre. Atiende ahora mis palabras. Vas a la tesorer�a, coges una moneda, vuelves aqu� y la depositas a mis pies. Al d�a siguiente ir�s otra vez a la tesorer�a coges una moneda igual a dos ases y la colocas aqu� junto a la primera. El tercer d�a traer�s una moneda de 4 ases; el cuarto, una de 8, el quinto, una de 16, y as� sucesivamente duplicando el valor de la moneda. Yo ordenar� que cada d�a te hagan una moneda del valor correspondiente. Y mientras tengas fuerza suficiente para levantar las monedas, las ir�s sacando de mi tesorer�a. Nadie tiene derecho a ayudarte; debes utilizar solamente tu propia fuerza. Y cuando te des cuenta de que ya no puedes levantar la moneda, para: nuestro convenio habr� terminado, pero todas las monedas que hayas logrado sacar ser�n para ti y �sa ser� tu recompensa.
Terencio escuchaba codiciosamente cada palabra del emperador. Ve�a ya la cantidad enorme de monedas, una mayor que otra, que sacar�a �l de la tesorer�a del imperio.
-Tu recompensa es verdaderamente generosa -repuso sonriendo de gozo-. Estoy satisfecho de tu benevolencia, se�or.

* * *

Y comenzaron las visitas diarias de Terencio a la tesorer�a imperial. Esta se hallaba cerca de la sala en que recib�a el emperador. Los primeros traslados de monedas no le costaron a Terencio ning�n trabajo.
El primer d�a sac� de la tesorer�a s�lo 1 as. Era una moneda peque�a, de 21 mm de di�metro y 5 g de peso.
Tambi�n fueron f�ciles los traslados segundo, tercero, cuarto, quinto y sexto, en que el caudillo sac� monedas 2, 4, 8, 16 y 32 veces m�s pesadas que la primera.
La s�ptima moneda pesaba, en nuestro sistema de medidas, 320 g y ten�a 81/2 cm de di�metro (m�s exactamente 84 mm).
El octavo d�a tuvo que sacar Terencio de la tesorer�a una moneda, equivalente a 128 monedas simples, que pesaba 640 g y ten�a cerca de 101/2 cm de anchura.
El noveno d�a llev� Terencio a la sala del emperador una moneda igual a 256 monedas simples, que med�a 13 cm de anchura y pesaba m�s de 11/4 kg.
El duod�cimo d�a el di�metro de la moneda alcanz� casi 27 cm y su peso de 101/4 kg.
El emperador, que hasta entonces hab�a mirado al caudillo amablemente, ahora lo hac�a con aire de triunfo. Ve�an que ya eran 12 los traslados hechos, y que d., la tesorer�a s�lo hab�an salido 2000 y pico peque�as monedas de cobre.
El d�a 13� le proporcion� al valiente Terencio una moneda igual a 4096 monedas simples. Ten�a cerca de 34 cm de anchura y su peso equival�a a 201/2 kg.
El d�a 14� sac� Terencio de la tesorer�a una pesada moneda de 41 kg y cerca de 42 cm de anchura.
-�No te has cansado, mi valiente Terencio? -le pregunt� el emperador, conteniendo la risa.
-No, se�or m�o -le repuso sombr�o el caudillo, limpi�ndose el sudor de la frente.
Lleg� el d�a 15�. Pesada fue este d�a la carga de Terencio. Poco a poco lleg� hasta el emperador llevando una enorme moneda equivalente a 16 384 monedas simples. Ten�a 53 cm de anchura y pesaba 80 kg lo mismo que un fuerte guerrero.
El 16� d�a, el caudillo se tambaleaba oprimido por la carga que llevaba acuestas. Era una moneda igual a 32 768 monedas simples, que pesaba 164 kg y cuyo di�metro alcanz� 67 cm.
El caudillo estaba agotado y respiraba con dificultad. El emperador se sonre�a...



Figura 228


Cuando Terencio lleg� al d�a siguiente a la sala en que recib�a el emperador, fue acogido � carcajadas. Ya no pod�a llevar la carga sobre la espalda, y la iba rodando. Esta moneda ten�a 84 cm de di�metro y pesaba 328 kg. Este peso correspond�a al de 65 536 monedas simples.
El decimoctavo d�a fue el �ltimo del enriquecimiento de Terencio. Este d�a terminaron sus visitas a la tesorer�a y sus pesadas peregrinaciones a la sala del emperador. Esta vez tuvo que llevar una moneda que equival�a a 131 072 monedas simples. Ten�a m�s de un metro de di�metro y pesaba 655 kg. Utilizando su lanza como palanca, Terencio a duras penas pudo hacerla rodar hasta la sala, donde cay� estrepitosamente a los pies del emperador.
Terencio estaba completamente extenuado.
-No puedo m�s... Basta -murmur�.
El emperador hizo un gran esfuerzo para contener la risa de satisfacci�n que le produc�a el rotundo �xito de su treta, y dio orden al tesorero de que calculase cu�ntos ases hab�a llevado Terencio a la sala de recepci�n. El tesorero cumpli� la orden y dijo:
-Soberano, gracias a tu benevolencia, el victorioso caudillo Terencio ha recibido como recompensa 262 143 ases.
As�, pues, el taca�o emperador s�lo le dio a su caudillo cerca de la 40 ^a parte de la suma, de un mill�n de denarios, que Terencio le hab�a pedido.

* * *

Comprobemos el c�lculo que hizo el tesorero y, a la, vez, el peso de las monedas que sac� Terencio:



1� d�a 2� 3� 4� 5� 6� 7� 8� 9� 10� 11� 12� 13� 14� 15� 16� 17� 18�

1 que pesaba 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 2 048 4 096 8 192 16 384 32 768 65 536 131 072

5 g 10 20 40 80 160 320 640 1 kg 280 2 y 560 5 kg y 120 10 y 240 20 y 480 40 y 960 81 y 920 163 y 840 327 y 680 655 y 360


La suma de los n�meros de estas series se puede calcular f�cilmente: la de la segunda columna es igual a 262 143, de acuerdo con la regla existente. Terencio le pidi� al emperador un mill�n de denarios, o sea, 10 millones de ases. Por consiguiente, recibi� una suma 10 000 000 / 263 143 = 38 veces menor que la que hab�a solicitado.
2. La leyenda del tablero de ajedrez

El ajedrez es uno de los juegos m�s antiguos que se conocen. Tiene ya muchos siglos de existencia y no es de extra�ar que haya muchas tradiciones relacionadas con �l, cuya veracidad, debido al mucho tiempo transcurrido, es imposible comprobar. Una de estas leyendas es la que quiero referir ahora. Para comprenderla no hay que saber jugar al ajedrez; basta saber que se juega sobre un tablero dividido en 64 casillas o escaques (negros y blancos alternativamente).
El ajedrez fue ideado en la India, y cuando el monarca hind� Sheram lo conoci�, qued� admirada de su ingeniosidad y de la diversidad de situaciones que pod�an darse en �l. Al saber que el juego hab�a sido inventado por un s�bdito suyo, orden� que lo llamasen, para premiarlo personalmente por su feliz idea.
El inventor, que se llamaba Zeta, se present� ante el trono del soberano. Era un sabio modestamente vestido, que viv�a de lo que le pagaban sus disc�pulos.
-Quiero premiarte dignamente, Zeta, por el magn�fico juego que has ideado -le dijo el monarca.
El sabio hizo una reverencia.
-Soy lo suficientemente rico para poder satisfacer tu deseo m�s atrevido -continu� el monarca -. Dime qu� premio quieres y lo recibir�s.
Zeta permaneci� callado.
-No seas t�mido -le anim� el monarca-. Expresa tu deseo. Para complacerte no escatimar� nada.
-Grande es tu bondad se�or. Pero dame un plazo para pensar la respuesta. Ma�ana, despu�s de reflexionar bien, te har� mi petici�n.



Figura 229


Cuando al d�a tente se present� de nuevo Zeta ante los pelda�os del trono, maravill� al monarca con la simpar modestia de su petici�n.
-Se�or -dijo Zeta-, ordena que me den por el primer escaque del tablero de ajedrez un grano de trigo.
-�Un simple grano de trigo? -se asombr� el monarca.
-S�, se�or. Por el segundo escaque ordena que me den dos granos, por el tercero, cuatro, por el cuarto 8 por el quinto, 16, por el sexto, 32 ...
-�Basta! -le interrumpi� el monarca irritado-. Recibir�s los granos de trigo por los 64 escaques del tablero, de acuerdo con tu petici�n, es decir, correspondi�ndole a cada uno el doble que al precedente. Pero ten presente que tu petici�n es indigna de mi generosidad. Pidiendo una recompensa tan insignificante, menosprecias irrespetuosamente mi gracia. En verdad que, como maestro que eres, deb�as dar mejor ejemplo de respeto a la bondad de tu soberano. �Puedes retirarte! Mis servidores de sacar�n el saco de trigo.
Zeta se sonri� al salir del sal�n y se puso a esperar a la puerta del palacio.

* * *

Durante la comida, el monarca se acord� del inventor del ajedrez y mand� que preguntaran si se hab�a llevado ya el desatinado Zeta su miserable recompensa
-Se�or -le respondieron-, tu orden se est� cumpliendo. Los matem�ticos de la corte est�n calculando el n�mero de granos de trigo que hay que entregar.
El monarca se disgust�, no estaba acostumbrado a que su mandato se cumpliera tan lentamente.
Por la noche, cuando iba a acostarse, volvi� Sheram a interesarse por el tiempo que hac�a que Zeta hab�a transpuesto con su saco de trigo la verja del palacio.
-Se�or -le respondieron-, tus matem�ticos siguen trabajando sin descanso y esperan que antes del alba terminar�n el c�lculo.
-�Por qu� demoran tanto este asunto? -exclam� el monarca-. Ma�ana, antes de que yo me despierte, debe serle entregado todo a Zeta, �hasta el �ltimo grano! Y, �que no tenga que dar dos veces la orden!
Por la ma�ana dieron cuenta al monarca de que el decano de los matem�ticos de la corte ped�a permiso para hacerle una informaci�n importante.
El monarca orden� que lo hicieran pasar.
-Antes de que me hables de tu asunto -dijo Sheram-, deseo saber si le ha sido entregada a Zeta la miserable recompensa que �l mismo fij�.
-Precisamente para eso me he atrevido a presentarme ante ti a una hora tan temprana -replic� el anciano-. Hemos calculado concienzudamente la cantidad de granos que desea recibir Zeta. Esta cantidad es tan grande...
-Por muy grandes que sea -le interrumpi� orgullosamente el monarca-, mis graneros no se empobrecer�n. La recompensa est� prometida y debe darse...
-Se�or, satisfacer ese deseo es imposible. En todos tus graneros no hay la cantidad de granos que pide Zeta. No los hay en todos los graneros de tu reino. Ni en toda la superficie de la Tierra se podr�a encontrar ese n�mero de granos de trigo. Si deseas cumplir tu promesa a toda costa, manda convertir en campos labrados los reinos de la Tierra, manda secar los mares y oc�anos, manda fundir los hielos y las nieves que cubren los desiertos lejanos del norte. Que todo ese espacio sea completamente sembrado de trigo. Y todo lo que nazca en esos campos, ordena que se lo den a Zeta. S�lo entonces podr� recibir su recompensa.
El monarca escuch� boquiabierto las palabras del sabio.
-Pero dime, �qu� monstruoso n�mero es ese? -le dijo pensativo.
-Dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil seiscientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince, se�or.

* * *

Esta es la leyenda. �Ocurri� en realidad lo que en ella se cuenta? No lo sabemos. Pero que el premio de que habla la leyenda deber�a expresarse por dicho n�mero, es cosa que puede usted comprobar si tiene paciencia para hacer el c�lculo. Empezando por la unidad, hay que sumar los n�meros 7, 2, 4, 8, 16, etc. El resultado de la 63 ^a duplicaci�n indicar� lo que hab�a que darle al inventor por el 64� escaque.
Procediendo como se explic� en la p�gina 271 hallamos sin dificultad la suma total de los granos debidos, si duplicamos el �ltimo n�mero y le restamos una unidad. Por lo tanto, el c�lculo se reduce solamente a multiplicar entre s� 64 doses: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 y as� sucesivamente 64 veces.
Para simplificar las operaciones, dividimos estos 64 factores en seis grupos de a 10 doses y en uno, el �ltimo, de cuatro doses. El producto de 10 doses, como es f�cil comprobar, es 1024, y el de cuatro doses, 16. Por consiguiente, el resultado que se busca es igual a 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * x 1024 * 16.
Haciendo la multiplicaci�n 1024 * 1024 obtenemos 1 048 576.
Ahora nos queda hallar 1 048 576 * 1 048 576 * 1 048 576 * 16 y restarle al resultado una unidad, con lo cual conoceremos el n�mero buscado de granos, es decir, 18 446 644 073 709 551 615.
Si desea usted saber lo enorme que es este n�mero gigantesco, calcule las dimensiones que deber�a tener el granero capaz de contener esta cantidad de granos de trigo. Se sabe que un metro c�bico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. Por lo tanto, la recompensa al inventor del ajedrez deber�a ocupar un volumen aproximado de 12 000 000 000 000 m ³ � 12 000 km ³ Si el granero tuviera 4 m de altura y 10 m de anchura, su longitud deber�a ser de 300 000 000 km, es decir, �dos veces mayor que la distancia de la Tierra al Sol!
Est� claro que el monarca hind� no pod�a dar un premio como �ste. Pero si hubiera sabido matem�ticas, le hubiese sido f�cil liberarse de una deuda tan onerosa. Para esto no hubiera tenido que hacer m�s que proponer a Zeta que �l mismo contara los granos, uno a uno, del trigo que deb�a recibir.
En efecto, si Zeta se hubiera puesto a contar sin descanso, d�a y noche, pasando un grano por segundo, el primer d�a s�lo hubiese contado 86 400 granos. En contar un mill�n de granos tardar�a no menos de 10 d�as. Un metro c�bico de trigo le llevar�a aproximadamente medio a�o. Contando continuamente durante 10 a�os no reunir�a m�s de 20 metros c�bicos. Como puede ver, aunque hubiera consagrado el resto de su vida a contar, Zeta s�lo hubiese recibido una parte insignificante del premio que pidi�.
3. Una propagaci�n r�pida

Una c�psula de amapola est� llena de granitos min�sculos; de cada uno de ellos puede crecer una nueva planta. �Cu�ntas amapolas se obtendr�a si todas las semillas de una c�psula fueran f�rtiles? Para conocer esto hay que contar las semillas que hay en la c�psula. Esta ocupaci�n es algo aburrida, pero el resultado es tan interesante que vale la pena armarse de paciencia y llevar la cuenta hasta el fin. Resulta que una c�psula de amapola contiene cerca de 3000 semillas.
�Qu� se deduce de esto? Se deduce que, si alrededor de nuestra amapola hay una superficie suficiente de tierra apropiada, cada semillita germinar� y el verano siguiente crecer�n en este sitio 3000 amapolas. !Todo un campo de amapolas procedente de una sola c�psula!
Pero veamos lo que ocurre despu�s. Cada una de las 3000 plantas dar�, por lo menos, una c�psula (lo m�s frecuente es que d� varias), que contendr� 3000 semillas. Al germinar, las semillas de cada c�psula dar�n 3000 plantas nuevas y, por consiguiente, al segundo a�o tendremos no menos de 3000 x 3000 = 9 000 000 de plantas.
Es f�cil calcular que al tercer a�o el n�mero de descendientes de nuestra �nica amapola inicial alcanzar� ya

9 000 000 * 3000 = 27 000 000 000.

Y al cuarto a�o

27 000 000 000 * 3000 = 81 000 000 000 000.

Al quinto a�o el mundo les vendr� estrecho a las amapolas, porque el n�mero de plantas ser�a igual a

81 000 000 000 000 * 3000 = 243 000 000 000 000 000.

El �rea de todas las tierras emergidas, es decir, de todos los continentes e islas de la Tierra es igual a 135 millones de kil�metros cuadrados (135 000 000 000 000 de metros cuadrados, o sea, 2000 veces menor que el n�mero de amapolas que crecer�an).
Como puede ver, si todas las semillas de la amapola germinaran, la descendencia de una sola planta podr�an cubrir al cabo de cinco a�os la superficie de todas las tierras de la esfera terrestre, formando un tupido matorral, en el que habr�a 2000 plantas en cada metro cuadrado. �He aqu� el gigante num�rico que se oculta en cada diminuta semilla de amapola!
Haciendo un c�lculo semejante para otra planta cualquiera que d� menos semillas, llegar�amos al mismo resultado, con la �nica diferencia de que su descendencia cubrir�a toda la superficie de la Tierra no en cinco a�os, sino en un plazo un poco mayor. Tomemos, por ejemplo, el diente de le�n, que da anualmente cerca de 100 semillas. Si todas ellas germinaran, tendr�amos:



1er a�o 2� 3� 4� 5� 6� 7� 8� 9�

1 100 10 000 1 000 000 100 000 000 10 000 000 000 1 000 000 000 000 100 000 000 000 000 10 000 000 000 000 000

planta plantas � � � � � � �


Esta cifra es 70 veces mayor que el n�mero de metros cuadrados que tiene la superficie de todas las tierras emergidas.
Por consiguiente, al noveno a�o todos los continentes de la Tierra estar�an cubiertos de dientes de le�n, con una densidad de 70 plantas por metro cuadrado.
�Por qu� no observa en realidad esta reproducci�n extraordinariamente r�pida? Porque la inmensa mayor�a de las semillas perecen sin germinar: no caen en tierra apropiada y no germinan en absoluto, o dan brotes, pero son ahogados por otras plantas o destruidas por los animales. Si no existiera esta destrucci�n intensiva de las semillas y los brotes, cada planta podr�a cubrir completamente y en poco tiempo todo nuestro planeta.
Esto es cierto no s�lo para las plantas, sino tambi�n para los animales. De no ser por la muerte, la descendencia de una pareja de animales cualesquiera, m�s tarde o m�s temprano, llenar�a toda la Tierra. Las plagas de langosta, que cubren a veces enormes extensiones, pueden dar cierta idea de lo que ocurrir�a si la muerte no impidiera la multiplicaci�n de los animales. Al cabo de dos o tres decenas de a�os se cubrir�an los continentes de bosques y estepas intransitables, donde millones de animales luchar�an entre s� por un sitio. El oc�ano se poblar�a de peces tan densamente, que la navegaci�n ser�a imposible. Y el aire apenas si ser�a transparente, debido a la multitud de aves e insectos que pulular�an en �l.
Para terminar citaremos varios casos ver�dicos de multiplicaci�n extraordinariamente r�pida de animales colocados en condiciones propicias.
En Am�rica no exist�an gorriones al principio. Este p�jaro, tan corriente en nuestras tierras, fue importado premeditadamente por los Estados Unidos para que destruyera los insectos perniciosos. Como es sabido, los gorriones se alimentan en abundancia de gusanos voraces y de otros insectos perjudiciales para las huertas y jardines. A los gorriones les gust� el nuevo ambiente; en Am�rica no hab�a aves de rapi�a que los destruyeran y ellos empezaron a multiplicarse r�pidamente. La cantidad de insectos perniciosos empez� a disminuir notablemente, pero pronto los gorriones fueron tan numerosos, que faltos de alimento animal tuvieron que recurrir al vegetal, y empezaron a devastar los sembrados. Hubo que comenzar la lucha contra los gorriones. Esta lucha le cost� tan caro a los norteamericanos, que motiv� una ley que prohib�a en adelante la importaci�n a EE.UU. de toda clase de animales.
Segundo caso. Cuando los europeos descubrieron Australia, en este pa�s no hab�a conejos. El conejo fue llevado all� a finales del siglo XVIII, y como no exist�an animales carn�voros que se alimentaran de ellos, la multiplicaci�n de estos roedores adquiri� un ritmo extraordinariamente r�pido. Pronto una verdadera plaga de conejos invadi� toda Australia, ocasionando da�os horrorosos a la agricultura y convirti�ndose en un verdadero desastre. Medios enormes fueron lanzados a la lucha contra este azote de la agricultura, y solamente gracias a las en�rgicas medidas tomadas fue posible poner fin a este infortunio. Una cosa muy parecida ocurri� en California tambi�n con los conejos.
El tercer caso aleccionador tuvo lugar en la isla de Jamaica. En esta isla hab�a much�simas serpientes venenosas. Para acabar con ellas se acord� llevar a la isla el p�jaro llamado secretario, furioso destructor de las serpientes venenosas. El n�mero de serpientes disminuy�, en efecto, r�pidamente, pero, en cambio, se propagaron extraordinariamente las ratas de campo, que antes eran devoradas por las serpientes. Las ratas ocasionaron tales destrozos en las plantaciones de ca�a de az�car, que hubo que pensar seriamente en c�mo exterminarlas. Se sabe que uno de los mayores enemigos de las ratas es la mangosta de la India. Se resolvi� llevar a Jamaica cuatro parejas de estos animales y dejar que se propagaran libremente. Las mangostas se aclimataron bien a su nueva patria y pronto poblaron toda la isla. Antes de 10 a�os hab�an exterminado a las ratas casi por completo. Pero cuando se acabaron las ratas, las mangostas empezaron a alimentarse de lo que pod�an y se hicieron omn�voras: atacaban a los cachorros, cabritos, lechones y aves de corral, y se com�an los huevos. Y cuando se multiplicaron a�n m�s, empegaron con los �rboles frutales, los campos de trigo y las plantaciones. Los isle�os tuvieron que emprender la persecuci�n de las que fueron aliados, pero s�lo lograron limitar hasta cierto punto el da�o ocasionado por las mangostas.
4. El almuerzo gratuito

10 j�venes decidieron celebrar con un almuerzo de camarader�a, en un restaurante, la terminaci�n de sus estudios en la escuela de ense�anza media. Cuando se reunieron todos y ya hab�an servido el primer plato, empezaron a discutir acerca de c�mo sentarse a la mesa. Unos propon�an colocarse por orden alfab�tico, otros, por edades, los terceros, por las calificaciones obtenidas, los cuartos, por estaturas, etc.
La discusi�n se prolong�, la sopa tuvo tiempo de enfriarse, pero a la mesa nadie se sentaba.
Los reconcili� el camarero, que les dirigi� las palabras siguientes:
-Amigos j�venes, dejad vuestra disputa, sentaos a la mesa de cualquier modo y escuchadme.
Todos se sentaron y el camarero prosigui�:
-Que uno de vosotros apunte el orden en que acab�is de sentarse. Ma�ana venid de nuevo a comer aqu� y sentaos en otro orden. Pasado ma�ana vu�lvanse a sentar de otro modo y as� sucesivamente hasta que prueben todas las colocaciones posibles. Cuando llegue el turno de volverse a sentar como ahora, yo prometo solemnemente que empezar� a invitarles diariamente con las comidas m�s exquisitas y sin cobrarles nada.
La proposici�n gust�. Acordaron reunirse cada d�a en este restaurante y probar todas las maneras posibles de sentarse a la mesa, para cuanto antes comenzar a disfrutar de las comidas gratuitas.
Pero ese d�a no lleg�. Y no porque el camarero no quisiera cumplir su promesa, sino porque el n�mero de todas las colocaciones posibles es demasiado grande. Este n�mero es igual a 3 628 800, ni m�s ni menos. Esta cantidad de d�as, como no es dif�cil calcular, constituye... �Casi 10 mil a�os!
A usted quiz� le parezca exagerado que 10 personas puedan sentarse a la mesa de tantas maneras distintas. En este caso, compruebe el c�lculo.
En primer lugar hay que aprender a determinar el n�mero de permutaciones. Para simplificar empezaremos el c�lculo con un n�mero peque�o de objetos, por ejemplo, con tres. Llam�mosles A, B y C.
Queremos saber de cu�ntas maneras se pueden cambiar de sitio, poniendo uno en lugar de otro. Razonamos as�. Si dejamos aparte el objeto C, los otros dos pueden colocarse solamente de dos maneras.
Ahora vamos a agregar el objeto C a cada una de estas parejas. Lo podemos hacer de tres modos:
1) poniendo C detr�s de la pareja
2) poniendo C delante de la pareja
3) poniendo C entre los objetos que forman la pareja.
El objeto C, adem�s de estas tres posiciones, es evidente que no puede tener otras. Pero cuando tenemos dos parejas, AB y BA, el n�mero total de maneras en que pueden colocarse los tres objetos ser� 2 * 3 = 6.
Sigamos adelante. Hagamos el c�lculo para cuatro objetos. Sean estos A, B, C y D. Lo mismo que antes, dejamos aparte uno de los objetos, por ejemplo, el D, y con los restantes hacemos todas las combinaciones posibles. Ya sabemos que el n�mero de estas combinaciones es seis. �Por cu�ntos procedimientos se puede a�adir el cuarto objeto, D, a cada una de estas seis tr�adas? Es evidente que se puede:
1) poner D detr�s de la tr�ada
2) poner D delante de la tr�ada
3) poner D entre el objeto primero y segundo
4) poner D entre el objeto segundo y tercero
Obtenemos, por consiguiente, en total 6 x 4 = 24 combinaciones; y como 6 = 2 * 3, y 2 = 1 * 2, el n�mero total de todas las permutaciones se puede representar en forma del producto 1 * 2 * 3 * 4 = 24.
Razonando de este modo, en el caso de cinco objetos sabremos que el n�mero de combinaciones correspondientes es igual a 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
Si los objetos son seis, tendremos 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720, y as� sucesivamente.
Volvamos ahora al caso de los 10 comensales. El n�mero de sus posibles permutaciones podremos determinarlo tom�ndonos la molestia de hacer la multiplicaci�n 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10.
El n�mero que se obtiene, como ya se dijo antes, es 3 628 800.
El c�lculo ser� m�s dif�cil si entre los 10 comensales hubiese cinco muchachas y quisieran sentarse a la mesa alternando con los j�venes. Aunque en este caso el n�mero de los posibles traslados es mucho menor, su c�lculo es algo m�s complicado. `
Supongamos que uno de los, j�venes Se sienta a la mesa en un sitio cualquiera. Los cuatro restantes podr�n sentarse, dejando entre ellos sillas vac�as para las muchachas, de 1 * 2 x 3 * 4 = 24 maneras diferentes. Como el n�mero total de sillas es 10, el primer joven podr� sentarse en 10 sitios; por lo tanto, el n�mero total de combinaciones que pueden hacer los j�venes ser� 10 * 24 = 240.
�De cu�ntas maneras podr�n sentarse las muchachas en las sillas vac�as que hay entre los j�venes? Evidentemente que de 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 maneras. Combinando cada una de las 240 posiciones de los j�venes con cada una de las 120 posiciones de las muchachas, obtenemos el n�mero total de las colocaciones posibles, es decir, 240 * 120 = 28 800.
Este n�mero es mucho menor que el anterior y requerir�a solamente un poco menos de 79 a�os. Si los j�venes clientes del restaurante llegasen a vivir hasta los 100 a�os, podr�an recibir la comida gratuita, si no del mismo camarero, de uno de sus herederos.Sabiendo contar las permutaciones, podremos determinar ahora cu�ntas combinaciones diferentes pueden hacerse con las fichas en la cajita del �juego de los 15�. En otras palabras, podemos calcular el n�mero total de problemas que puede ofrecernos este juego. Es f�cil comprender que este c�lcalo se reduce a determinar el n�mero de permutaciones de 15 objetos. Como sabemos, para esto hay que multiplicar 1 * 2 * 3 * 4 * ... y as� sucesivamente ... * 14 * 15.
Este c�lculo da el resultado siguiente: 1 307 674 365 000, es decir, m�s de un bill�n.
De este enorme n�mero de problemas, la mitad es imposible de resolver. Existen, pues, m�s de 600 millares de millones de posiciones imposibles de resolver en este juego. Por esto se comprende en parte la epidemia de entusiasmo despertado por el � juego de los 15�, que se apoder� de la gente que no sospechaba la existencia de un n�mero tan enorme de casos insolubles.
Advertimos tambi�n, que si fuera imaginable dar a las fichas una nueva posici�n cada segundo, para probar todas las posiciones posibles ser�a necesaria trabajar sin descanso, d�a y noche, durante m�s de 40 mil a�os.
Para terminar esta charla acerca del n�mero de permutaciones, resolveremos un problema de este cipo tomado de la vida escolar.
En una clase hay 25 alumnos. �De cu�ntas formas pueden sentarse en los pupitres?
El camino a seguir para resolver este problema (para los que han asimilado lo dicho anteriormente) es muy sencillo: hay que multiplicar los 25 n�meros siguientes: 1 * 2 * 3 x 4 * 5 * 6 * . . . * 23 * 25.
Las matem�ticas ense�an procedimientos para simplificar los c�lculos, pero no saben facilitar las operaciones del tipo de la indicada. Para hacer con exactitud este c�lculo no existe m�s procedimiento que multiplicar atentamente todos los n�meros. Con lo �nico que puede ganar un poco de tiempo en las operaciones es agrupando eficazmente los factores. El resultado que se obtiene es un n�mero enorme, de 26 cifras, cuya magnitud es imposible imaginar.
Este n�mero es: 15 511 210 043 330 985 984 000 000.
De todos los n�meros con que nos hemos encontrado hasta ahora, �ste es, sin duda, el m�s grande, y a �l, m�s que a ning�n otro, le corresponde merecidamente el t�tulo de �n�mero enorme�. El n�mero de diminutas gotitas de agua que hay en todos los oc�anos y mares de la Tierra es modesto comparado con este n�mero descomunal.