Prólogo
1 Para los ratos libres
2 Para los jóvenes físicos
3 Una hoja de periódico
4 Otros 75 problemas y experimentos
5 Ilusiones ópticas
6 Distribuciones y transposiciones difíciles
7 Cortes y cosidos hábiles
8 Problemas con cuadrados
9 Problemas acerca del trabajo
10 Problemas acerca de compras y precios
11 El peso y la pesada
12 Problemas acerca de relojes
13 Problemas acerca de los medios de transporte
14 Cálculos inesperados
15 Situaciones embarazosas
16 Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17 Cuentos acerca de números enormes
18 Acertijos numéricos
19 Aritmética divertida
20 Sabe usted contar
21 Cálculos rápidos
22 Cuadrados mágicos
23 Juegos y trucos aritméticos
24 De un trazo
25 Acertijos geométricos
26 Sin regla graduada
27 Trucos y pasatiempos fáciles
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Capítulo 6
DISTRIBUCIONES Y TRANSPOSICIONES DIFICILES
- En seis filas
Usted conocerá probablemente el cuento de cómo nueve caballos
fueron puestos en 10 pesebres y en cada pesebre resultó haber un
caballo. El problema que ahora se plantea es semejante por su forma a esta
broma célebre, pero tiene una solución completamente real, y no
imaginaria como aquélla. El problema es el siguiente: distribuir 24
hombres en seis filas, de modo que en cada fila laya cinco hombres.
- En nueve casillas
Este es un problema en broma, medio problema, medio truco. Haga con cerillas un
cuadrado con nueve casillas y ponga en cada casilla una moneda, de modo que en
cada fila y en cada columna haya 6 copeikas (fig. 159).
- Un cambio de monedas
Trace a tamaño mayor el dibujo representado en 1a fig. 160, y designe
cada una de sus casillas con una letra en un ángulo.
- Nueve ceros
Nueve ceros se hallan dispuestos así:
- Treinta y seis
En las casillas de esta cuadrícula Ceros se han distribuido, como puede
ver, 36 ceros.
- Dos damas
En un tablero de damas vacío hay que colocar dos damas distintas.
¿Cuántas posiciones diferentes pueden ocupar estas dos damas en el
tablero?
- Las moscas en el visillo
En un visillo a cuadros se posaron nueve moscas. Casualmente se colocaron de
tal manera que, en ninguna fila, horizontal, vertical u oblicua, había
más de una mosca (fig. 161).
- Ocho letras
Las ocho letras colocadas en la casilla del cuadrado representado en la fig.
162 deben ponerse en orden alfabético, desplazándolas sucesiva-
mente hacia la casilla libre.
- Las ardillas y los conejos
Ante usted, en la fig. 163, hay ocho tocones numerados. En los tocones 1 y 3 se
han sentado unos conejos, en los 6 y 8, unas ardillas. Pero tanto a las
ardillas como a los conejos no les gustan los puestos que ocupan; quieren
cambiar de tocones: las ardillas quieren pasarse a los sitios de los conejos, y
éstos a los de aquéllas.
- Dificultades de la casa de campo
El dibujo adjunto representa el plano de una pequeña casa de campo, en
cuyas reducidas habitaciones se en- cuentran los muebles siguientes: una mesa
de escritorio, un piano de cola, una cama, un aparador y un armario de libros.
Hasta ahora sólo hay una habitación sin muebles, la número
2.
- Los tres caminos
Tres hermanos, Pedro, Pablo y Jaco- bo recibieron tres parcelas de tierra para
cultivarlas como huerta. Las parcelas estaban juntas y no lejos de las casas
respectivas. En la fig. 165 puede verse la disposición de las casas de
Pedro, Pablo y Jacobo y la de sus parcelas de tierra. Se nota en seguida que la
situación de las parcelas no es la más cómoda para los que
las trabajan, pero los hermanos no pudieron llegar a un acuerdo de cambio.
- Los ardides de la guardia
Este problema tiene muchas varian- tes. Damos una de ellas. La tienda de
campaña del jefe la custodia una guardia alojada en ocho tiendas. Al
principio en cada una de estas tiendas había tres soldados.
Después se permitió que los soldados de unas tiendas pudieran ir
a visitar a los de otras. Y el jefe de la guardia no imponía sanciones
cuando al entrar en las tiendas encontraba en unas más de tres soldados
y en otras, menos. Se limitaba a comprobar el número de soldados que
había en cada fila de tiendas: si en las tres tiendas de cada fila
había en total nueve soldados, el jefe de la guardia consideraba que
todos los soldados estaban presentes.
- Los diez castillos
Un regidor de la antigüedad quiso construir diez castillos unidos entre
sí por murallas; estas murallas debían extenderse formando cinco
líneas rec- tas con cuatro castillos en cada una. El constructor que
invitó le presentó el plano que puede ver en la fig. 167.
- El huerto frutal
En un huerto había 49 árboles. En la fig. 168 puede verse
cómo estaban dispuestos.
- El ratón blanco
Los 13 ratones (fig. 169) que rodean a este gato están condenados a ser
devorados por él. Pero el gato se los quiere ir comiendo en un orden
determinado, a saber: cada vez cuenta los ratones en el sentido en que miran
los roedores y al que hace 13 se lo come.
Solución
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| Figura 159 |
La figura muestra cómo hay que distribuir las monedas. Sobre una de las monedas ponga una cerilla.
Hecho esto, déle a sus camaradas la siguiente tarea: sin tocar la moneda en que descansa la cerilla, variar la colocación de las demás, de modo que en cada fila y en cada columna siga habiendo, lo mismo que antes, 6 copeikas.
Le dirán que esto es imposible. Pero con un poco de astucia logrará usted este «imposible». ¿Cómo?
Solución
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| Figura 160 |
En las tres casillas de la fila superior ponga monedas de cobre: de 1 copeika, 2 copeikas y 3 copeikas. En las tres casillas de la fila inferior coloque monedas de plata: de 10 copeikas, 15 copeikas y 20 copeikas. Las demás casillas estarán vacías.
Ahora propóngase la siguiente tarea: pasando las monedas a las casillas libres, conseguir que las monedas de cobre 3' las de plata cambien entre sí de puestos: la de 1 copeika, con la de 10 copeikas; la de 2 copeikas, con la 15; y la 3 copeikas, con la de 20. Puede usted ocupar cualquier casilla libre del dibujo, pero no se tolera poner dos monedas en una casilla. Tampoco se puede saltar por encima de una casilla ocupada ni salirse fuera de los límites de la figura.
El problema se resuelve con una larga serie de pasos. ¿Cuáles son?
Solución
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El problema consiste en tachar todos los ceros trazando solamente cuatro líneas rectas.
Para facilitar la resolución del problema añadiré que los nueve ceros se tachan sin levantar la pluma del papel.
Solución
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| Figura 160a |
Hay que tachar 12 ceros, pero de tal modo que, después de esto, en cada fila y en cada columna quede el mismo número de ceros sin tachar. ¿Qué ceros hay que tachar?
Solución
Solución
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| Figura 161 |
A1 cabo de unos minutos tres de las moscas cambiaron de sitio, pasándose a cuadros contiguos que estaban vacíos; las otras seis moscas permanecieron donde estaban antes. Y ocurrió una cosa curiosa: a pesar de que tres moscas pasaron a ocupar otros puestos, las nueve volvieron a encontrarse de modo que, en ninguna fila, horizontal, vertical u oblicua, había más de una mosca.
¿Puede usted decir qué tres moscas cambiaron de sitio y cuáles fueron los cuadrados que eligieron?
Solución
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| Figura 162 |
Conseguir esto no es difícil, si no se limita el número de jugadas. Pero el problema consiste en lograr la ordenación indicada en el menor número de jugadas posible. El lector debe deducir cuál es este número mínimo de jugadas.
Solución
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| Figura 163 |
Pueden hacer esto saltando de un tocón a otro, pero únicamente siguiendo las líneas marcadas en el dibujo.
¿Cómo pueden hacerlo?
Recuerde las reglas siguientes:
1) de un tocón a otro sólo puede saltarse siguiendo las líneas indicadas en el dibujo: cada animal puede saltar varias veces seguidas:
2) dos animales no pueden estar en u» mismo tocón, es decir, sólo se puede saltar a un tocón que esté libre.
Tenga también en cuenta que los animales quieren intercambiar sus sitios dando el menor número de saltos posible. Sin embargo, en menos de 16 saltos no pueden hacerlo.
Solución
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| Figura 164 |
A1 inquilino de la casa de campo le fue necesario cambiar de sitio el piano de cola y el armario de los libros. Esto resultó ser un problema nada fácil: las habitaciones eran tan pequeñas, que dos de las cosas mencionadas no cabían al mismo tiempo en ninguna de ellas. La situación pudo salvarse con ayuda de la habitación 2, que estaba vacía. Pasando los muebles de una habitación a otra se logró al fin la transposición deseada. ¿Cómo puede hacerse el cambio proyectado con el menor número de traslaciones posible?
Solución
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| Figura 165 |
Cada uno hizo su huerta en su parcela y los caminos más cortos entre las casas v éstas se cortaban entre sí.
Pronto empezaron los altercados entre los hermanos, que al fin acabaron disgustándose. Para evitar posibles encuentros, cada hermano resolvió buscar un camino hasta su huerta que no cortara los caminos de los otros. A1 cabo de largas búsquedas hallaron tres caminos que reunían estas condiciones y ahora van cada día a sus parcelas sin encontrarse.
¿Puede usted indicar estos caminos?
Existe una condición obligatoria: los caminos no deben pasar más allá de la casa de Pedro.
Solución
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| Figura 166 |
Los soldados se dieron cuenta de esto y encontraron el modo de burlarse del jefe. Una noche se marcharon cuatro soldados de la guardia y su ausencia no fue notada. La noche siguiente se fueron seis, que tampoco sufrieron castigo. Más tarde los soldados de la guardia incluso empezaron a invitar a otros a que vinieran a visitarles: en una ocasión invitaron a cuatro, en otra, a ocho, y una tercera vez, a toda una docena. Y todas estas astucias pasaron desapercibidas, ya que en las tres tiendas de cada fila el jefe de la guardia contaba en total nueve soldados. ¿Cómo se las componían los soldados para hacer esto?
Solución
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| Figura 167 |
Pero al regidor no le gustó este proyecto, porque con esta disposición se podía llegar desde fuera a cualquiera de los castillos, y él quería que, si no todos, por lo menos uno o dos castillos estuvieran protegidos de las incursiones por la muralla. El constructor objetó que era imposible satisfacer esta condición, puesto que los diez castillos debían disponerse de modo que en cada una de las cinco murallas hubiera cuatro de ellos. A pesar de esto, el regido insistió en su deseo.
El constructor se rompió la cabeza con este problema, y al cabo de bastante tiempo logró resolverlo.
Intente usted encontrar una disposición tal de los 10 castillos y las cinco murallas rectas que los unen, que satisfaga la condición impuesta.
Solución
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| Figura 168 |
A1 hortelano le pareció que había demasiados árboles y quiso despejar el huerto, cortando los árbo- les que sobraban, para plantar mejor los cuadros de flores. Llamó a un peón y le ordenó:
-Deja nada más que cinco filas de a cuatro árboles cada una. Los demás árboles, córtalos y, en pago de tu trabajo, quédate con la leña.
Cuando terminó la corta, salió el hortelano y miró el trabajo. ¡El huerto estaba casi arrasado! En vez de 20 árboles, el peón sólo había dejado 70, y había cortado 39.
-¿Por qué has cortado tantos? -le riñó el hortelano- ¡Yo te dije que dejases 20!
-No, señor, usted no me dijo «20»; lo que me ordenó fue que dejara cinco filas de a cuatro árboles. Y así lo he hecho. Mírelo usted.
En efecto, el hortelano comprobó con sorpresa que los 10 árboles que quedaron de pie, formaban cinco filas de a cuatro árboles cada una. La orden había sido cumplida al pie de la letra y, a pesar de esto, en vez de 29 árboles, el peón había cortado 39.
¿Cómo pudo hacer esto?
Solución
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| Figura 169 |
¿Por qué ratón deberá empezar, para que el último que se coma sea el blanco?
Solución