CONTENIDO
Pr�logo
1 Para los ratos libres
2 Para los j�venes f�sicos
3 Una hoja de peri�dico
4 Otros 75 problemas y experimentos
5 Ilusiones �pticas
6 Distribuciones y transposiciones dif�ciles
7 Cortes y cosidos h�biles
8 Problemas con cuadrados
9 Problemas acerca del trabajo
10 Problemas acerca de compras y precios
11 El peso y la pesada
12 Problemas acerca de relojes
13 Problemas acerca de los medios de transporte
14 C�lculos inesperados
15 Situaciones embarazosas
16 Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17 Cuentos acerca de n�meros enormes
18 Acertijos num�ricos
19 Aritm�tica divertida
20 Sabe usted contar
21 C�lculos r�pidos
22 Cuadrados m�gicos
23 Juegos y trucos aritm�ticos
24 De un trazo
25 Acertijos geom�tricos
26 Sin regla graduada
27 Trucos y pasatiempos f�ciles
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Cap�tulo 25
ACERTIJOS GEOMETRICOS

  1. El carro
    Por qu� se desgasta m�s y se quema con m�s frecuencia el eje delantero del carro que el eje trasero?
    Soluci�n

  2. El n�mero de caras
    He aqu� una pregunta que sin duda parecer� a muchos demasiado ingenua o, al contrario, demasiado ingeniosa: �Cu�ntas caras tiene un l�piz hexagonal?
    Antes de mirar la soluci�n, recapacite acerca de la pregunta.
    Soluci�n

  3. �Qu� representan estos dibujos?
    Un giro desacostumbrado da a los objetos representados en la fig. 291 un aspecto raro, que hace dif�cil el reconocerlos.
    Figura 291

    No obstante, procure imaginarse lo pintado por el dibujante. Se trata de objetos de uso ordinario que usted conoce perfectamente.
    Soluci�n

  4. Los vasos y los cuchillos
    En una mesa hay tres vasos colocados de tal forma, que las distancias entre ellos son mayores que la longitud de cada uno de los cuchillos intercalados (fig. 292).
    Figura 292

    A pesar de esto es necesario hacer, con los tres cuchillos, puentes que unan entre s� los tres vasos. Est� claro que no se permite mover los vasos de sus sitios; tampoco se puede utilizar ninguna otra cosa adem�s de los tres vasos y los tres cuchillos.
    �Podr�a usted hacer esto?
    Soluci�n

  5. �C�mo est� hecho esto?
    En la fig. 293 se ve un cubo hecho de dos trozos de madera machihembrados: el macho de la mitad superior entra en la hembra de la inferior.
    Figura 293

    Pero f�jese en la forma y en la disposici�n de este machihembrado y diga c�mo se las compuso el carpintero para unir las dos partes, porque cada mitad est� hecha de un solo trozo de madera.
    Soluci�n

  6. Un tap�n para tres orificios
    En una tabla (fig. 294) se han practicado seis filas de orificios, a raz�n de tres en cada fila.
    Figura 294

    De un material cualquiera hay que hacer, para cada fila, un tap�n que sirva para tapar los tres orificios.
    Para la fila primera no es dif�cil hacer esto: est� claro que puede utilizarse como tap�n el tarugo representado en la figura.
    Idear la forma de los tapones para las otras cinco filas es algo m�s dif�cil; no obstante, estos problemas tambi�n puede resolverlos todo aquel que sepa algo de dibujo t�cnico: en este caso se trata, en esencia, de hacer una pieza a partir de sus tres proyecciones.
    Soluci�n

  7. Hallar el tap�n
    He aqu� una tablilla (fig. 295) con tres agujeros: uno cuadrado, otro rectangular y otro redondo.
    Figura 295

    �Puede existir un tap�n cuya forma sea tal que permita tapar estos tres agujeros?
    Soluci�n

  8. Un segundo tap�n
    Si consigui� resolver el problema anterior, �no podr�a encontrar otro tap�n para los orificios que se muestran en la fig. 296?
    Figura 296

    Soluci�n

  9. Un tercer tap�n
    Para terminar, aqu� tiene otro problema del mismo tipo: �puede existir un tap�n que sirva para los tres agujeros que se ven en la fig. 297?
    Figura 297

    Soluci�n


  11. Dos jarros
    Un jarro es el doble de alto que otro, pero el segundo es 1 1/2 veces m�s ancho que el primero (fig. 298).
    Figura 298

    �Cu�l de ellos tiene m�s capacidad?
    Soluci�n

  12. �Cu�ntos vasos?
    En estos anaqueles (fig. 299) hay vasijas de tres dimensiones, pero est�n colocadas de tal modo, que la capacidad total de las vasijas que hay en cada anaquel es la misma.
    Figura 299

    La capacidad de la menor de las vasijas es un vaso. �Qu� capacidad tienen las vasijas de los otros dos tamaños?
    Soluci�n

  13. Dos cacerolas
    Hay dos cacerolas de cobre de igual forma e id�ntico espesor de las paredes. La capacidad de la primera es ocho veces mayor que la de la segunda.
    �Cu�ntas veces mayor es su peso?
    Soluci�n

  14. Cuatro cubos
    De un mismo material se han hecho cuatro cubos macizos de alturas distintas (fig. 300), a saber: 8 cm, 8 cm, 10 cm y 12 cm. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza de modo que �stos queden en equilibrio.
    Figura 300

    �Qu� cubo o cubos pondr� usted en un platillo y cu�les (o cu�l) en el otro?
    Soluci�n

  15. Hasta la mitad
    En un barril abierto hay agua. AL parecer esta agua llena el barril hasta la mitad. Pero usted quiere saber si efectivamente est� lleno el barril hasta la mitad o si tiene m�s o menos agua. A mano no tiene usted ni un palo ni nada que pueda servirle de instrumento para medir el barril.
    �C�mo podr�a usted convencerse de que el barril est� lleno justamente hasta la mitad?
    Soluci�n

  16. �Qu� pesa m�s?
    Se tienen dos cajas c�bicas de dimensiones iguales (fig. 301). En la de la izquierda hay una gran esfera de hierro cuyo di�metro es igual a la altura de la caja.
    Figura 301

    La de la derecha est� llena de bolas de hierro pequeñas colocadas como se ve en la figura.
    �Qu� caja pesa m�s?
    Soluci�n

  17. La mesa de tres patas
    Existe la creencia de que una mesa de tres patas no cojea nunca, aunque sus patas tengan longitudes distintas.
    �Es verdad esto?
    Soluci�n

  18. �Cu�ntos rect�ngulos?
    �Cu�ntos rect�ngulos puede usted contar en esta figura (fig. 302)?
    Figura 302

    No se apresure a responder. F�jese bien en que se pregunta no por el n�mero de cuadrados, sino por el de rect�ngulos en general -grandes y pequeños- que pueden contarse en la figura.
    Soluci�n

  19. El tablero de ajedrez
    �Cu�ntos cuadrados, en diversas posiciones, puede usted contar en un tablero de ajedrez?
    Soluci�n

  20. El ladrillito
    Un ladrillo ordinario pesa 4 kg.
    Cu�nto pesar� un ladrillito de juguete, hecho del mismo material, si todas sus dimensiones son cuatro veces menores?
    Soluci�n

  21. El gigante y el enano
    �Cu�ntas veces aproximadamente pesar� m�s un gigante de 2 m de altura que un enano de 1 m?
    Soluci�n

  22. Por el ecuador
    Si usted pudiera darle la vuelta a la Tierra por el ecuador, su coronilla escribir�a una trayectoria m�s larga que cada punto de sus talones.
    �Ser�a muy grande la diferencia entre ellas?
    Soluci�n

  23. Visto con lupa
    Un �ngulo de 2 1/2 se mira con una lupa de cuatro aumentos.
    Figura 303

    �Qu� magnitud aparente tendr� el �ngulo (fig. 303)?
    Soluci�n

  24. Figuras semejantes
    Este problema se dedica a los que ya saben en qu� consiste la semejanza geom�trica. Hay que dar respuesta a las dos preguntas siguientes:
    1. �Son semejantes los tri�ngulos interno y externo de la figura 304, a?
    Figura 304


    2. �Son semejantes los cuadril�teros externo e interno del marco del cuadro (fig. 304, b)?
    Soluci�n

  25. La altura de la torre
    En la ciudad en que usted vive hay una torre cuya altura desconoce. Usted tiene una tarjeta postal con la fotograf�a de dicha torre.
    �C�mo puede utilizarse esta fotograf�a para determinar la altura de la torre?
    Soluci�n

  26. �Qu� longitud?
    Calcule mentalmente qu� longitud tendr�a una cinta formada por todos los cuadraditos milim�tricos que caben en 1 m 2 puestos uno a continuaci�n del otro y en contacto directo.
    Soluci�n

  27. Del mismo tipo
    Calcule mentalmente cu�ntos kil�metros de altura tendr�a una columna formada con todos los cubitos milim�tricos que caben en 1 mg, puestos uno encima de otro.
    Soluci�n

  28. Az�car
    �Qu� pesa m�s, un vaso lleno de az�car molido o el mismo vaso lleno de az�car en terrones?
    Soluci�n

  29. El camino de la mosca
    En la pared interna de un tarro cil�ndrico de vidrio se ve una gota de miel a 3 cm del borde superior de la vasija. Y en la pared externa, en el punto diametralmente opuesto a la gota de miel, se ha posado una mosca (fig. 305).
    Figura 305

    Ind�quele a la mosca el camino m�s corto para llegar a la gota de miel.
    La altura del tarro es igual a 20 cm; su di�metro, a 10 cm.
    No conf�e en que la misma mosca encontrar� el camino m�s corto y as� le ayudar� a resolver el problema; para esto tendr�a que poseer la mosca unos conocimientos geom�tricos demasiado grandes para su cabeza.
    Soluci�n

  30. El camino del escarabajo
    Junto a la carretera hay un adoqu�n de granito de 30 cm de longitud, 20 cm de altura y 20 cm de anchura (fig. 306).
    Figura 306

    En el punto A de dicho adoqu�n hay un escarabajo que quiere ir por el camino m�s corto al �ngulo B.
    �Por d�nde pasa este camino m�s corto y cu�l es su longitud?
    Soluci�n

  31. El viaje del abejorro
    Un abejorro emprende un largo viaje. Desde su nido paterno sale volando en l�nea recta hacia el sur, cruza un r�o y, finalmente, despu�s de toda una hora de vuelo, se posa en una ladera cubierta de arom�tico tr�bol. Aqu� permanece el abejorro media hora volando de flor en flor.
    Ahora le conviene al abejorro visitar el huerto en que vio ayer unos groselleros en flor. Este huerto se halla al oeste de la ladera, y el abejorro se apresura a volar en l�nea recta hacia all�. AL cabo de 3/4 de hora ya estaba en el huerto. Los groselleros estaban en plena floraci�n y para poder libar en todos ellos necesit� el abejorro una hora y media.
    Luego, sin desviarse hacia ning�n lado, el abejorro se dirigi� a su casa siguiendo el camino m�s corto.
    �Cu�nto tiempo estuvo ausente el abejorro?
    Soluci�n

  32. La fundaci�n de Cartago
    Acerca de la fundaci�n de la antigua ciudad de Cartago existe la siguiente leyenda. Dido, hija del rey de Tiro, al perder a su esposo (asesinado por el hermano de Dido), huy� a Africa y desembarc� con muchos tirios en su costa norte. Aqu� le compr� al rey de Numidia tanta tierra �como pod�a delimitar una piel de toro�. Cuando el trato qued� cerrado, Dido cort� la piel de toro a tiras muy estrechas y, gracias a esta estratagema, abarc� un territorio suficiente para construir una fortaleza. As�, seg�n la leyenda, se cre� el recinto fortificado de Cartago, en torno al cual se edific� despu�s la ciudad.
    Calcule qu� �rea, seg�n esta leyenda, podr�a ocupar la fortaleza, considerando que la piel de toro ten�a 4 m 2 de superficie y que las tiras que Dido cort� de aqu�lla eran de 1 mm de anchura.
    Soluci�n

Cap�tulo 25

SOLUCIONES
  1. El carro
    A primera vista parece que este problema no tiene nada que ver con la geometr�a. Pero en esto consiste precisamente el conocimiento de esta ciencia, en saber encontrar la base geom�trica del problema en aquellos casos en que se halla oculta por detalles secundarios. En esencia, nuestro problema es indudablemente de geometr�a: sin saber geometr�a es imposible resolverlo.
    As�, pues, �por qu� se desgasta m�s el eje delantero del carro? Todos sabemos que las ruedas delanteras son menores que las traseras. En una misma distancia, un c�rculo pequeño da m�s vueltas que otro mayor; el c�rculo pequeño tiene la circunferencia menor y , por eso, entra m�s veces en la longitud dada. Ahora est� claro que en todos los viajes del carro sus ruedas delanteras dan m�s vueltas que las traseras, y, como es natural, a mayor n�mero de vueltas, mayor desgaste del eje.
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  2. El n�mero de caras
    Este problema, lejos de ser una broma, pone de manifiesto el error a que conduce el empleo de algunas palabras. Un l�piz hexagonal no tiene seis caras, como piensan muchos. El n�mero total de sus caras, si no se le ha sacado punta, es ocho: seis laterales y dos pequeñas �frontales�. Si tuviera en realidad seis caras, su forma ser�a muy distinta: parecer�a una varilla de secci�n cuadrangular.
    La costumbre de contar en los prismas nada m�s que las caras laterales, olvid�ndose de las bases, es muy frecuente.
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  3. �Qu� representan estos dibujos?
    Representan, bajo un giro desacostumbrado, los objetos siguientes: una navaja de afeitar, unas tijeras, un tenedor, un reloj de bolsillo y una cuchara. Cuando miramos un objeto cualquiera, vemos en realidad su proyecci�n sobre el plano perpendicular al rayo visual. En nuestro caso se muestran no las proyecciones que estamos acostumbrados a ver, y esto basta para que el objeto parezca desconocido.
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  4. Los vasos y los cuchillos
    Esto es f�cil de conseguir poniendo los cuchillos como se ve en la fig. 307.
    Figura 307

    Cada cuchillo apoya uno de sus extremos en un vaso y el otro, en un cuchillo, que a su vez tambi�n se apoya en otro cuchillo. Los cuchillos se sostienen entre s�.
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  5. �C�mo est� hecho esto?
    El secreto es bien sencillo, como puede verse en la fig. 308.
    Figura 308

    Todo consiste en que tanto los salientes como los entrantes (machos y hembras) no se cruzan, como parece al mirar el objeto acabado, sino que son paralelos entre s� y tienen direcci�n oblicua. Estos salientes son muy f�ciles de introducir en las ranuras correspondientes.
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  6. Un tap�n para tres orificios
    Los tapones necesarios para el fin propuesto se muestran en la fig. 309.
    Figura 309

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  7. Hallar el tap�n
    El tap�n que hace falta en este caso, existe. Tiene la forma que se ve en la fig. 310. Es f�cil comprobar que un tap�n as� puede tapar el agujero cuadrado, el triangular y el redondo.
    Figura 310

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  8. Un segundo tap�n
    Tambi�n existe el tap�n necesario para los tres orificios representados en la fig. 311: uno redondo, otro cuadrado y un tercero en forma de cruz.
    Figura 311

    El tap�n se representa en las tres posiciones.
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  9. Un tercer tap�n
    Este tap�n tambi�n lo hay. En la fig. 312 puede verlo usted por tres de sus lados.
    Figura 312

    Problemas como �stos tienen que resolver con frecuencia los delineantes, cuando por tres proyecciones de una pieza cualquiera de una m�quina, tienen que determinar su forma.
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  10. Dos jarros
    El jarro cuya anchura es 1 1/2 veces mayor, si tuviera la misma altura que el otro, tendr�a una capacidad (1 1/2)2, es decir, 2 1/4 veces mayor. Y como su altura s�lo es dos veces menor, su capacidad, en fin de cuentas, es mayor que la del jarro m�s alto.
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  11. �Cu�ntos vasos?
    Comparando el primer anaquel con el tercero, notamos que se diferencian entre s� en lo siguiente: en el tercer anaquel hay de m�s una vasija de tamaño medio, pero, en cambio, hay tres vasijas pequeñas menos. Y como la capacidad total de las vasijas de cada anaquel es la misma, es evidente que la capacidad de una vasija de tamaño medio es igual a la de tres pequeñas. As�, pues, la vasija de tamaño medio tiene la capacidad de tres vasos. Nos queda por determinar la capacidad de la vasija mayor. Sustituyendo en el primer anaquel las vasijas de tamaño medio por el n�mero correspondiente de vasos, obtenemos una vasija grande y 12 vasos.
    Comparando esto con el segundo anaquel comprendemos que la capacidad de una vasija grande es igual a la de seis vasos.
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  12. Dos cacerolas
    Las dos cacerolas son cuerpos geom�tricamente semejantes. Si la cacerola grande tiene una capacidad ocho veces mayor, todas sus dimensiones lineales ser�n dos veces mayores: ser� dos veces m�s alta y dos veces m�s ancha en ambas direcciones. Pero si es el doble de alta y de ancha, su superficie ser� 2 * 2, es decir, cuatro veces mayor, porque las superficies de los cuerpos semejantes guardan entre s� la misma relaci�n que los cuadrados de sus dimensiones lineales. Si el espesor de las paredes de las cacerolas es el mismo, el peso de �stas depende de la magnitud de su superficie. De aqu� se deduce la respuesta a la pregunta que plantea el problema: la cacerola grande pesa cuatro veces m�s.
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  13. Cuatro cubos
    En un platillo hay que colocar los tres cubos menores, y en el otro, el grande. No es dif�cil cerciorarse de que la balanza debe permanecer en equilibrio. Para esto no hay m�s que demostrar que la suma de los vol�menes de los tres cubos menores es igual al volumen del mayor. Esto se deduce de la igualdad
    6 3 + 8 3 + 10 3 = 12 3 ,
    es decir,
    216 + 512 + 1000 = 1728.
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  14. Hasta la mitad
    El procedimiento m�s sencillo es inclinar el barril de modo que el agua llegue hasta el borde (fig. 313).
    Figura 313

    Si en estas condiciones se ve, aunque s�lo sea un poco, el fondo del barril, quiere decir que el agua no llegaba a la mitad. Si, por el contrario, el fondo queda por debajo del nivel del agua, est� claro que �sta llenaba m�s de la mitad del barril. Y, finalmente, si el borde superior del fondo se halla precisamente al nivel del agua, �sta ocupa exactamente la mitad del barril.
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  15. �Qu� pesa m�s?
    El cubo de la derecha nos lo figuramos formado por cubos pequeños, en cada uno de los cuales hay una bola. Se ve entonces f�cilmente que la esfera grande ocupa una fracci�n del cubo entero igual a la que en un cubo pequeño ocupa una bola. El n�mero de bolas y de cubos pequeños no es dif�cil d� calcular: 6 * 6 * 6 = 216. El volumen de 216 bolas constituye la misma fracci�n de 216 cubos pequeños que una bola pequeña de un cubo pequeño, es decir, la misma que la esfera grande constituye del cubo grande. De aqu� se deduce claramente que en ambas cajas hay la misma cantidad de metal y que, por consiguiente, deben pesar lo mismo.
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  16. La mesa de tres patas
    Una mesa de tres patas siempre puede tocar el suelo con los extremos de las tres, porque por cada tres puntos del espacio puede pasar un plano, y s�lo uno; por esta raz�n no cojean las mesas de tres patas. Como ve, se trata de una raz�n puramente geom�trica y no f�sica.
    Por esto es tan c�modo usar tr�podes en los instrumentos de agrimensura y en las c�maras fotogr�ficas. Una cuarta pata no dar�a m�s estabilidad al soporte, sino al contrario, har�a que cada vez fuera necesario tomar medidas para que no cojeara.
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  17. �Cu�ntos rect�ngulos?
    En esta figura pueden contarse 225 rect�ngulos en diversas posiciones
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  18. El tablero de ajedrez
    En un tablero de ajedrez hay representados no 64 cuadrados, sino muchos m�s: porque adem�s de los cuadrados blancos y negros pequeños, hay en ella cuadrados bicolores constituidos por 4, 9, 16, 25, 36, 49 y 64 cuadraditos simples. Teniendo en cuenta todos ellos, resultan:
    cuadraditos simples 64
    cuadrados formados por 4 cuadraditos 49
    9 36
    16 25
    25 16
    36 9
    49 4
    64 1
    Total 204

    As�, pues, en un tablero de ajedrez hay 204 cuadrados de distinto tamaño, diversamente colocados.
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  19. El ladrillito
    La respuesta que supone que el ladrillito de juguete pesa 1 kg, es decir, nada m�s que cuatro veces menos que el ordinario, encierra un gran error, ya que este ladrillito no s�lo es cuatro veces m�s corto, sino tambi�n cuatro veces m�s estrecho y cuatro veces m�s bajo; por lo tanto, su volumen y su peso ser�n 4 * 4 * 4 = 64 veces menores.
    Por consiguiente, la respuesta concreta ser�: el ladrillito de juguete pesa 4000 : 64 = 62,5 g.
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  20. El gigante y el enano
    Usted ya est� preparado pala poder dar una soluci�n correcta a este problema. Como las figuras del cuerpo humano son aproximadamente semejantes, a una talla doble del individuo le corresponder� un volumen no dos veces mayor, sino ocho. Por lo tanto, nuestro gigante pesar� unas ocho veces m�s que el enano.
    El gigante m�s alto que se ha conocido era alsaciano y med�a 275 cm, es decir, todo un metro m�s que una persona de estatura mediana. El enano m�s pequeño ten�a menos de 40 cm de altura, o sea, era aproximadamente siete veces m�s bajo que el enorme alsaciano. Por esto, si en el platillo de una balanza se pusiera al gigante alsaciano, en el otro platillo habr�a que colocar, para lograr el equilibrio, 7 * 7 * 7 = 343 enanos, es decir, toda una multitud.
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  21. Por el ecuador
    Considerando que la estatura de la persona es igual a 175 cm y llamando R al radio de la Tierra, tenemos: 2 * 3,14 * (R + 175) - 2 * 3,14 * R = 2 * 3 * 175 = = 1100 cm, es decir, cerca de 11 m. Pero lo sorprendente es que este resultado no depende en absoluto del radio de la esfera y, por consiguiente, es igual tanto para la enorme esfera del sol como para una bola pequeña.
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  22. Visto con lupa
    Si usted cree que nuestro �ngulo visto con lupa tiene 1 1/2 * 4 = 6�, se equivoca. El valor de un �ngulo no aumenta cuando se mira con lupa.
    Figura 314

    Es verdad que el arco que mide dicho �ngulo aumenta indudablemente, pero el radio de este arco aumenta la misma cantidad de veces que �l, de modo que el valor del �ngulo central permanece invariable. La fig. 314 aclara lo dicho.
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  23. Figuras semejantes
    A las dos preguntas planteadas en el problema suelen responder con frecuencia afirmativamente. Pero en realidad s�lo son semejantes los tri�ngulos; en cambio, los cuadril�teros exterior e interior del marco, en general, no son semejantes. Para que dos tri�ngulos sean semejantes basta que sus �ngulos sean iguales, y como los lados del tri�ngulo interior son paralelos a los del exterior, estas figuras son semejantes. Pero para que los dem�s pol�gonos sean semejantes no basta la igualdad de los �ngulos (o, lo que es lo mismo, el paralelismo de sus lados), es necesario adem�s que los lados de los pol�gonos sean proporcionales. En el caso de los cuadril�teros exterior e interior de un marco s�lo se da esta condici�n si son cuadrados (o, en general, rombos). En todos los dem�s casos los lados del cuadril�tero exterior no son proporcionales a los lados del cuadril�tero interior y, por consiguiente, las figuras no son semejantes.
    Figura 315

    La inexistencia de semejanza se hace evidente cuando los marcos son rectangulares y los listones que lo forman son anchos, como en la fig. 315. En el marco de la izquierda, los lados exteriores se relacionan entre s� como 2 : 1, mientras que los interiores, como 4 : 1. En. el marco de la derecha, entre los lados exteriores existe la relaci�n 4 : 3, y entre los interiores, 2 : 1.
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  24. La altura de la torre
    Para poder determinar por medio de la fotograf�a la altura de la torre, es necesario, en primer lugar, medir lo m�s exactamente posible la altura y la longitud de la base de su imagen fotogr�fica. Supongamos que la altura de la imagen sea 95 mm y la longitud de su base 19 mm. En este caso, mide usted la longitud de la base de la torre real; supongamos que resulta ser igual a 14 m.
    Despu�s de esto razonaremos as�:
    La fotograf�a de la torre y la configuraci�n de su original son semejantes geom�tricamente. Por consiguiente, la altura de la torre real ser� tantas veces mayor que la longitud de su base, como veces mayor sea la altura de la imagen fotogr�fica que la longitud de su base. Esta segunda relaci�n es igual a 95 : 19, es decir, 5; de donde se deduce que la altura de la torre es cinco veces mayor que la longitud de su base e igual en realidad a 14 * 5 = 70 m.
    As�, pues, la altura de la torre de la ciudad es de 70 m.
    Conviene advertir, no obstante, que para determinar la altura de una torre no sirve cualquier fotograf�a, sino �nicamente aquellas en las cuales no se hayan alterado las proporciones del original, como suele ocurrir en las hechas por fot�grafos poco duchos.
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  25. �Qu� longitud?
    En un metro cuadrado hay mil veces mil mil�metros cuadrados. Cada mil mil�metros cuadrados, puestos uno a continuaci�n de otro sin interrupci�n, constituyen 1 m; mil veces mil constituyen 1000 m, es decir, 1 km, por lo tanto, la cinta tendr�a un kil�metro de longitud.
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  26. Del mismo tipo
    La respuesta llama la atenci�n: la columna tendr�a... 1000 km de altura.
    Hagamos el c�lculo mental. En 1 m 3 hay 1000 * 1000 * 1000 mil�metros c�bicos. Cada 1000 mil�metros c�bicos, puestos uno sobre otro, da una columna de 1 m. Mil veces m�s mil�metros dar�n una columna de 1000 m = 1 km. Pero como tenemos a�n 1000 veces m�s mil�metros c�bicos, constituir�n en total una columna de 1000 km.
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  27. Az�car
    Haciendo un pequeño esfuerzo mental, este problema, que parece muy dif�cil, se resuelve con bastante facilidad. Supongamos para simplificar que los trozos del az�car en terrones tienen un di�metro 100 veces mayor que los granos del az�car molida.
    Figur�monos ahora que todos los granos de az�car aumentar�n 100 veces de di�metro, junto con el vaso en que se encuentran. La capacidad del vaso aumentar�a en 100 * 100 * 100, es decir, un mill�n de veces; la misma cantidad de veces aumentar�a el peso del az�car contenida en �l. Llenemos mentalmente un vaso normal de esta az�car molida aumentada, es decir, echemos en �l la millon�sima parte del contenido del vaso gigante. La cantidad echada pesar�, claro est�, lo mismo que pesa un vaso ordinario de az�car molida com�n. Pero, qu� es de por s� el az�car molida aumentada que hemos echado? Ni m�s ni menos que az�car en terr�n. Por lo tanto, en un vaso cabe la misma cantidad en peso de az�car en terrones que de az�car molida.
    Si en lugar del aumento de 100 veces hubi�ramos supuesto un aumento de 60 veces u otro cualquiera, el resultado hubiera sido el mismo. La esencia del razonamiento consiste en que los trozos de az�car en terrones se consideran como cuerpos semejantes geom�tricamente a los granos de az�car molida y colocados de un modo tambi�n semejante. Esta suposici�n no es rigurosamente correcta, pero se aproxima bastante a la realidad (si se trata de az�car en terrones, pero no de cortadillo).
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  28. El camino de la mosca
    Para resolver este problema desarrollamos la superficie lateral del tarro cil�ndrico en una figura plana; obtenemos un rect�ngulo (fig. 316, a) de 20 cm de altura, cuya base es igual a la circunferencia del tarro, es decir, a 10 * 3 1/7 = 31 1/2 cm (aproximadamente). Señalamos en este rect�ngulo las posiciones que ocupan la mosca y la gota de miel. La mosca est� en el punto A, a 17 cm de la base; la gota, en el punto B, a la misma altura y la distancia de una semicircunferencia de tarro con respecto a A, es decir, a 15 3/4 cm.
    Figura 316

    Para hallar ahora el punto en que la mosca debe pasar el borde del tarro, procedemos del modo siguiente. Desde el punto B (fig. 316, b) trazamos una recta perpendicular al lado superior del rect�ngulo y la prolongamos hasta una distancia igual: obtenemos el punto C. Este punto se une por medio de una recta con A. El punto D ser� el lugar por donde la mosca debe pasar al otro lado del tarro, y el camino ADB resulta ser el m�s corto.
    Una vez hallado el camino m�s corto en el rect�ngulo desarrollado, lo volvemos a la forma cil�ndrica y, de este modo, sabemos el camino que debe seguir la mosca para llegar antes a la gota de miel (fig. 316, c).
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  29. El camino del escarabajo
    El camino es f�cil de encontrar, si mentalmente hacemos girar la cara superior del adoqu�n, de forma que quede en el mismo plano que la cara delantera (fig. 317).
    Figura 317

    Entonces es evidente que el camino m�s corto es la l�nea recta que une A y B. �Qu� longitud tiene este camino? Tenemos el tri�ngulo rect�ngulo ABC, en el cual AC = 40 cm y CB = 30 cm. Por el teorema de Pit�goras, el tercer lado, AB, deber� ser igual a 50 cm, ya que 302 + 402 = 502.
    As�, pues, el camino m�s corto es AB = 50 cm.
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  30. El viaje del abejorro
    El problema se resolver�a muy f�cilmente si se dijera el tiempo que tard� el abejorro en llegar volando desde el huerto hasta su nido. Esto no se dice en el problema, pero la geometr�a puede ayudarnos a saberlo.
    Dibujemos el recorrido del abejorro. Sabemos que al principio vol� �en l�nea recta hacia el sur� durante 60 minutos. Despu�s vol� 45 minutos �hacia el oeste�, es decir, formando un �ngulo recto con su camino anterior. Y desde all� volvi� a su casa siguiendo el �camino m�s corto�, es decir, una l�nea recta. Obtenemos el tri�ngulo rect�ngulo ABC, del cual conocemos los dos catetos AB y BC, y tenemos que hallar el tercer lado, o sea, la hipotenusa AC.
    La geometr�a enseña que si una cantidad cualquiera est� contenida tres veces en un cateto y cuatro en el otro, en el tercer lado del tri�ngulo, o sea, en la hipotenusa, esta misma cantidad estar� contenida cinco veces exactamente.
    Figura 318

    Por ejemplo, si los catetos de un tri�ngulo son iguales respectivamente a 3 y 4 su hipotenusa ser� igual a 5 m; si los catetos tienen 9 y 12 km, el tercer lado tendr� 15 km, y as� sucesivamente. En nuestro caso un cateto equivale a 3 * 15 minutos de camino, el otro, a 4 X 15; por lo tanto, la hipotenusa AC = 5 X 15 minutos de camino. De este modo hemos sabido que desde el huerto a su nido vol� el abejorro 75 minutos, es decir, 1 1/4 horas.
    Ahora ya es f�cil calcular el tiempo que estuvo ausente el abejorro. En sus vuelos tard�:
    1 hora + 3/4 de hora + 1 1/4 horas = 3 horas.
    En sus paradas se entretuvo:
    1/2 + 1 1/2 horas = 2 horas.
    En total: 3 horas + 2 horas = 5 horas.
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  31. La fundaci�n de Cartago
    Si el �rea de una piel de toro es igual a 4 m2 � 4 millones de mm 2 y la anchura de tira es 1 mm, la longitud total de la correa cortada (que es de suponer que Dido cortase en espiral) ser�a 4 millones de mm, o 4000 m, es decir, 4 km. Con esta correa se puede rodear una parcela cuadrada de 1 km 2 o una parcela redonda de 1,3 km 2 .
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