CONTENIDO
Prólogo
1 Para los ratos libres
2 Para los jóvenes físicos
3 Una hoja de periódico
4 Otros 75 problemas y experimentos
5 Ilusiones ópticas
6 Distribuciones y transposiciones difíciles
7 Cortes y cosidos hábiles
8 Problemas con cuadrados
9 Problemas acerca del trabajo
10 Problemas acerca de compras y precios
11 El peso y la pesada
12 Problemas acerca de relojes
13 Problemas acerca de los medios de transporte
14 Cálculos inesperados
15 Situaciones embarazosas
16 Problemas de los "Viajes de Gulliver"
17 Cuentos acerca de números enormes
18 Acertijos numéricos
19 Aritmética divertida
20 Sabe usted contar
21 Cálculos rápidos
22 Cuadrados mágicos
23 Juegos y trucos aritméticos
24 De un trazo
25 Acertijos geométricos
26 Sin regla graduada
27 Trucos y pasatiempos fáciles
Bajar documento Parte 1 Bajar documento Parte 2 Bajar documento Parte 3 Bajar documento Parte 4 Bajar documento Parte 5 Bajar documento Parte 6 Bajar documento Parte 7 Bajar documento Parte 8

Capítulo 19

 ARITMÉTICA DIVERTIDA

  1. Una multiplicación fácil
    Si no recuerda usted bien la tabla de multiplicar y tiene dudas cuando multiplica por 9, sus propios dedos le pueden ayudar.
    Ponga las dos manos sobre la mesa: sus diez dedos le servirán de máquina calculadora.
    Supongamos que hay que multiplicar 4 por 9. El cuarto dedo da la respuesta: a su izquierda hay tres dedos, a su derecha, seis; lea usted: 36; es decir, 4 x 9 = 36.
    Otros ejemplos: ¿cuántas son 7 * 9?
    El séptimo dedo tiene a la izquierda seis dedos, y ala derecha, tres. La respuesta es 63.
    ¿Cuántas son 9 * 9? El noveno dedo tiene ocho dedos a su izquierda y uno a su derecha. La respuesta es 81.
    Esta máquina de calcular animada le ayudará a recordar bien a qué es igual 6 * 9, y no confundir, como hacen algunos, 54 y 56. El sexto dedo tiene a la izquierda cinco dedos, y a la derecha, cuatro; por lo tanto, 6 * 9 = 54.
    Solución

  2. Las chovas y las estacas (Problema popular)
    Llegaron las chovas
    y se posaron en estacas.
    Si en cada estaca
    se posa una chova,
    hay una chova
    que se queda sin estaca.
    Pero si en cada estaca
    se posan dos chovas,
    en una de las estacas no habrá chova.
    ¿Cuántas eran las chovas?
    y, ¿cuántas las estacas?

    Solución

  3. Las hermanas y los hermanos
    Yo tengo tantas hermanas como hermanos. Pero mi hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos somos?
    Figura 242

    Solución

  4. ¿Cuántos hijos?
    Yo tengo seis hijos. Cada hijo tiene una hermana. ¿Cuántos hijos tengo?
    Solución

  5. El desayuno
    Dos padres y dos hijos se comieron en el desayuno tres huevos, con la particularidad de que cada uno se comió un huevo entero. ¿cómo explica usted esto?
    Solución

  6. Tres cuartas partes de hombre
    A un manijero le preguntaron cuántos hombres tenía su cuadrilla. El respondió de un modo bastante confuso:
    -Los hombres no son muchos: tres cuartos de los que somos más tres cuartos de hombre, ésa es toda nuestra gente.
    ¿Podría usted adivinar cuántos hombres había en esta cuadrilla?
    Solución

  7. ¿Cuántos años tienen?
    -Dígame, usted, abuelo, qué edad tiene su hijo?
    -Tiene tantas semanas como mi nieto días,
    -¿Y qué edad tiene su nieto?
    -Tiene tantos meses como yo años.
    -Entonces, ¿qué edad done usted?
    -Los tres juntos tenemos exactamente 100 años. Ingéniate y sabrás qué edad tenemos cada uno.
    Solución

  8. ¿Quién es mayor?
    Dentro de dos años mi hijo será dos voces mayor que era hace dos años. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años.
    Figura 243

    ¿Quién es mayor, el niño o la niña?
    Solución

  9. La edad de mi hijo
    Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven.
    ¿Cuántos años tiene?
    Solución

  10. ¿Qué edad tiene?
    A un aficionado a los acertijos le preguntaron cuántos años tenia. Su respuesta fue intrincada.
    -Multipliquen por tres los años que yo tenga dentro de tres años y réstenle el triplo de los que tenía hace tres años y obtendrán precisamente los años que tengo.
    ¿Qué edad tiene ahora?
    Solución

  11. Tres hijas y dos hijos
    Un tío fue a ver a sus dos sobrinos y tres sobrinas que ya hacía bastante tiempo que no veía. Los primeros que salieron a su encuentro fueron el pequeño Bolonia y su hermanita Zhenia, y el rapaz le dijo muy ufano que él era dos veces mayor que su hermana. Después llegó corriendo Nadia, y su padre le dijo al recién llegado que las dos niñas juntas eran dos veces mayores que el niño.
    Cuando volvió de la escuela Aliosha, dijo el padre que los dos niños juntos tenían el doble de años que las dos niñas juntas.
    La última en llegar fue Lida y, cuando vio a su tío exclamó:
    -Tío, ha llegado usted precisamente el día de mi cumpleaños. Hoy he cumplido 21 años.
    -Y sabes que -añadió el padre-, acabo de darme cuenta de que mis tres hijas juntas tienen el doble de años que mis dos hijos.
    ¿Cuántos años tenía cada hijo y cada hija?
    Solución

  12. Años de sindicato
    Yendo en el tranvía tuve la ocasión de oír la siguiente conversación entre dos pasajeros.
    -¿Entonces, tú llevas en el sindicato el doble do años que yo?
    -Sí, el doble.
    -Pues, yo recuerdo que en una ocasión me dijiste que llevabas el triple.
    -En efecto. Eso fue hace dos años. Entonces llevaba el triple de años, pero ahora sólo el doble.
    ¿Cuántos años lleva cada uno en el sindicato?
    Solución

  13. ¿Cuántas partidas?
    Tres amigos jugaron. a las damas. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno?
    Solución

  14. El caracol
    Un caracol decidió subir a un árbol de 15 m de altura. Durante cada día tenía tiempo de subir 5 m; pero mientras dormía por la noche, bajaba 4 m.
    Figura 244

    ¿Al cabo de cuántos días llegará a la cima del árbol?
    Solución

  15. A la ciudad
    Un koljosiano fue a la ciudad. La primera mitad del camino fue en tren, 15 veces más de prisa que si hubiera ido andando. Pero la segunda mitad del camino tuvo que hacerla en una carreta de bueyes, dos veces más despacio que a pie.
    Figura 245

    ¿Cuánto tiempo ganó, sin embargo, en comparación con el caso en que hubiera ido todo el tiempo a pie?
    Solución

  16. Al koljós
    Desde la fábrica al koljós, la carretera no es lisa: primero va subiendo 8 km, y después baja una cuesta de 24 km. Mijáilov fue hacia allá en bicicleta y, sin detenerse, llegó al cabo de 2 horas y 50 minutos. El regreso también lo hizo en bicicleta, sin descansar, y tardó 4 horas y 30 minutos.
    ¿Podría usted decir a qué velocidad subía Mijáilov la cuesta y a qué velocidad la baja?
    Solución

  17. Dos escolares
    -Dame una manzana y tendré el doble que tú -le dijo un escolar a otro.
    -Eso sería injusto. Es preferible que tú me des a mí una manzana, y entonces tendremos las mismas -le respondió su camarada.
    ¿Podría usted decir cuántas manzanas tenía cada escolar?
    Solución

  18. E1 precio de la encuadernación
    He aquí un problema que parece fácil, pero que al resolverlo son muchos los que se equivocan. Un libro encuadernado cuesta 2 rublos y 50 copeikas. El libro vale 2 rublos más que la encuadernación.
    ¿Cuánto cuesta la encuadernación?
    Solución

  19. E1 precio de la hebilla
    Un cinturón con su hebilla vale 68 copeikas. La corroa cuesta 60 copeikas más que la hebilla.
    ¿Cuánto vale la hebilla?
    Figura 246

    Solución

  20. Los barriles de miel
    En un almacén quedaban siete barriles llenos de miel, otros siete llenos de miel hasta la mitad, y siete vacíos. Todo esto fue comprado por tres cooperativas, que después tuvieron que repartirse los envases y la miel en partes iguales.
    Se plantea la pregunta: ¿cómo hacer este reparto sin transvasar la miel de un barril a otro?
    Si cree que esto. puede hacerse por varios procedimientos, diga todos los procedimientos que haya ideado.
    Solución

  21. Los gatitos de Misha
    Si Misha ve en cualquier parte un gatito abandonado, lo recoge y se lo lleva a su casa. Siempre tiene varios gatitos, pero procura no decirle a sus camaradas cuantos tiene, para que no se rían de él. Una vez le preguntaron:
    -Cuántos gatos tienes ahora?
    -Pocos -respondió -, tres cuartos de todos los que tongo y tres cuartos de gato, ésos son los que tengo en total.
    Sus camaradas pensaron que Misha quería burlarse de ellos. Sin embargo, él les puso un problema fácil de resolver.
    ¡Resuélvalo!
    Solución

  22. Los sellos de correos
    Un ciudadano compró 5 rublos de sellos de correos de tres valores distintos: de 50 copeikas, de 10 copeikas y de 1 copeika, en total 100 sellos.
    ¿Podría usted decir cuántos sellos compró de cada tipa?
    Solución

  23. ¿Cuántas monedas?
    A un ciudadano le devolvieron 4 rublos y 65 copeikas en rublos, monedas de diez copeikas (grívennik) y monedas de una copeika. En total recibió 42 monedas
    ¿Cuántas monedas le dieron de cada valor?
    ¿Cuántas soluciones tiene este problema?
    Solución

  24. Calcetines y guantes
    En un cajón hay 10 pares de calcetines de color castaño obscuro y 10 pares de calcetines negros; en otro cajón hay 10 pares de guantes de color castaño obscuro y la misma cantidad de pares de guantes negros.
    ¿Cuántos calcetines y guantes será suficiente sacar de cada cajón, para que con ellos se pueda formar un par, cualquiera, de calcetines y un par de guantes?
    Solución

  25. «El gusanillo del libro»
    Hay insectos que roen los libros hoja por hoja y de este modo se abren paso a través de los tomos. Uno de estos «gusanillos de los libros», royendo, se abrió camino desde la primera página del primer tomo hasta la última del segundo tomo, que estaba al lado del primero, tal como se representa en la figura.
    Figura 247

    Cada tomo tiene 800 páginas.
    ¿Cuántas páginas royó el «gusanillo»?
    Este problema no es difícil, pero tampoco tan fácil como usted, probablemente, cree.
    Solución

  26. Las arañas y los escarabajos
    Un pionero reunió en una caja arañas y escarabajos. En total ocho. Si se cuentan todas las patas de los bichos que hay en la caja resultan 54.
    ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja
    Solución

  27. Los siete amigos
    Un ciudadano tenía siete amigos. El primero venía a visitarlo cada tarde, el segundo, cada segunda tarde, el tercero, cada tercer tarde, el cuarto, cada cuarta tarde y así sucesivamente hasta el séptimo, que venía cada séptima tarde.
    Figura 248

    ¿Con cuánta frecuencia se encontraban los siete amigos y el anfitrión 1a misma tarde
    Solución

  28. Continuación del anterior
    Las tardes en que los siete amigos se reunían, el anfitrión los invitaba a beber vino y todos chocaban las copas entre sí por parejas.
    Al hacer esto, ¿cuántas veces se oyen las copas chocar entre sí?
    Solución
 
Capítulo 19
SOLUCIONES

  1. Una multiplicación fácil
    Se resuelve en el mismo enunciado.
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  2. Las chovas y las estacas
    Este antiguo problema popular se resuelve así. Nos preguntamos: ¿cuántas chovas más habría que tener en el segundo caso que en el primero, para llenar todos los puestos en las estacas? Es fácil comprender que en el primer caso faltó sitio para una chova, mientras que en el segundo todas las chovas tenían puesto y aún faltaban dos chovas; por lo tanto, para ocupar todas las estacas, en el segundo caso, hubiera sido necesario tener 1 + 2, es decir, tres chovas más que en el primero. Pero en cada estaca se posa una chova más. Luego está claro que las estacas eran tres. Si en cada una de estas estacas hacemos que se pose una chova y añadimos un ave más, obtenemos el número de pájaros: cuatro.
    Así, pues, la solución del problema es: cuatro chovas y tres estacas.
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  3. Las hermanas y los hermanos
    En total son siete: cuatro hermanos y tres hermanas. Cada hermano tiene tres hermanas y tres hermanos, y cada hermana, cuatro hermanos y dos hermanas.
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  4. ¿Cuántos hijos?
    En total son siete hijos: seis varones y una hembra. (De ordinario responden que los hijos son doce; pero en este caso cada hijo tendría seis hermanas, y no una).
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  5. E1 desayuno
    La cuestión se explica fácilmente. A la mesa no se sentaron cuatro personas, sino solamente tres: el abuelo, su hijo y el nieto. Tanto el abuelo como su hijo son padres, y tanto el hijo como el nieto son hijos.
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  6. Tres cuartas partes de hombre
    Sabemos que tres cuartas partes de la cuadrilla más tres cuartas partes de hombre constituyen la cuadrilla entera. Por lo tanto, estas tres cuartas partes de hombre es la cuarta parte que le falta a la cuadrilla. Después ya es fácil comprender que la brigada completa será cuatro veces mayor que tres cuartas partes de hombre. Pero tres cuartas partes tomadas cuatro veces (es decir, multiplicadas por cuatro) dan tres. Por consiguiente, en la cuadrilla había en total tres hombres.
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  7. ¿Cuántos años tienen?
    Calcular los años que tiene cana uno no es difícil. Está caro que el hijo es siete veces mayor que el nieto, y que el abuelo es 12 veces mayor. Si el niño tuviera un año, el hijo' tendría 7 y el abuelo 12, y todos juntos, 20. Esto es exactamente cinco veces menos de lo que ocurre en realidad. Por lo tanto, el nieto tiene cinco años, el hijo. 35 y el abuelo, 60. Hagamos la prueba: 5 + 35 + 60 = 100.
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  8. ¿Quién es mayor?
    Mayor no es ninguno de los dos: son mellizos y en el momento dado tiene cada uno seis años. La edad se halla por medio de un simple cálculo: dentro de dos años el niño tendrá cuatro años más que hace dos años y será dos veces mayor que entonces; por lo tanto, cuatro años es la edad que tenía hace dos años, y ahora tiene 4 + 2 = 6 años.
    Esta misma es la edad de la niña.
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  9. La edad de mi hijo
    Si el hijo es ahora tres veces más joven que el padre, éste será mayor que él en dos veces su edad. Cinco años antes el padre, claro está, también era mayor que el hijo en dos veces la edad actual de éste. Por otra parte, como el padre era entonces cuatro veta mayor que el hijo, quiere decir que era mayor que él en tres veces su edad de entonces. Por consiguiente, dos veces la edad actual del hijo es igual a tres veces su edad anterior o, lo que es lo mismo, el hijo es ahora 11/2 mayor de lo que era hace cinco' años. De donde es fácil comprender que cinco años es la mitad de la edad anterior del hijo y, por lo tanto, hace cinco años éste tenía 10 años y ahora tiene 15 años.
    Así, pues, el hijo tiene ahora 15 años, y el padre 45. En efecto, hace cinco años tenía el padre 40 años y el hijo, 10, es decir, era cuatro veces más joven.
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  10. ¿Qué edad tiene?
    La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve fácilmente si se recurre al álgebra y se plantea una ecuación. Llamemos x al número de años que buscamos. En este caso, la edad al cabo de tres años deberá designarse por x + 3, y la edad hace tres años, por x - 3. Tendremos la ecuación:
    3 (x + 3) - 3 (x - 3) = x, que una vez resulta da x = 18. El aficionado a los acertijos tiene ahora 18 años.
    Hagamos la prueba: dentro de tres años tendrá 21 años; hace tres años tenía 15. La diferencia
    3 x 21 - 3 x 15 = 63 - 45 = 18, es decir, igual a la edad actual del aficionado a los acertijos.
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  11. Tres hijas y dos hijos
    Sabemos que Volodia es dos veces mayor que Zhenia, y que Nadia y Zhenia juntos tienen el doble de años que Volodia. Por lo tanto, Nadia y Zhenia juntas tienen cuatro veces más años que Zhenia sola. De aquí se deduce directamente que Nadia es tres veces mayor que Zhenia.
    Sabemos también que los años de Aliosha y Volodia suman el doble que los años de Nadia y Zhenia. Pero la edad de Volodia es doble que la de Zhenia, y Nadia y Zhenia juntas tienen cuatro veces más años que Zhenia sola. Por consiguiente, la suma de los años de Aliosha más el doble de los de Zhenia es igual a 8 veces la edad de Zhenia. Es decir, Aliosha es seis veces mayor que Zhenia.
    Finalmente, sabemos que la suma de las edades de Lida, Nadia y Zhenia es igual a la de las edades de Volodia y Aliosha.
    Ante 1a vista tenemos la siguiente tabla:
    Lida 21 años,
    Nadia tres veces mayor que Zhenia,
    Volodia dos veces mayor que Zhenia,
    Aliosha seis veces mayor que Zhenia,

    podemos decir que la suma de 21 años más tres veces la edad de Zhenia, más la edad de Zhenia es igual a cuatro veces la edad de Zhenia más 12 veces la edad de Zhenia.
    O sea: 21 años más cuatro veces la edad de Zhenia es igual a 16 veces la. edad de Zhenia.
    De aquí se deduce que 21 años es igual a 22 veces la edad de Zhenia y, por lo tanto,
    Zhenia tiene 21/12 = 131, años.
    Ahora ya es fácil determinar que Volodia tiene 31/2 años, Nadia, 51/4 y Aliosha, 201/2 años.
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  12. Años de sindicato
    Uno llena ocho anos en el sindicato y el otro, cuatro años. Hace das años el primero llevaba seis años y el segundo, dos, es decir, tres veces menos (el problema se resuelve fácilmente valiéndose de una ecuación).
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  13. ¿Cuántas partidas?
    De ordinario responden que cada uno jugó una partida, sin pararse a pensar que tres jugadores (lo mismo que cualquier otro número impar) no pueden jugar en modo alguna una partida solamente cada uno, porque, ¿con quién jugaría entonces el tercer jugador? En cada partida tienen que participar dos jugadores. Si jugaron A, B y C y fueron jugadas tres partidas, esto quiere decir que jugaron
    A con B
    A con C
    B con C

    Se ve fácilmente que cada uno jugó no una, sino dos partidas:
    A jugó con B y con C
    B jugó con A y con C
    C jugó con A y con B

    Así, pues, la respuesta correcta a este acertijo es: cada uno de los tres jugó dos veces, aunque sólo se jugaron tres partidas en total.
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  14. El caracol
    Al cabo de 10 días (con sus noches) y un día más. Durante los primeros 10 días, el caracol sube 10 m (uno cada día), y durante el último día sube 5 m más, es decir, llega a la cima del árbol. (De ordinario responden erróneamente que «al cabo de 15 días»). Volver

  15. A la ciudad
    El koljosiano no ganó nada, al contrario, perdió. En la segunda mitad del camino empleó tanto tiempo como hubiera tardado en hacer a pie todo el recorrido hasta la ciudad. Por lo tanto, no pudo ganar tiempo, sino que sólo pudo perderlo.
    Perdió 1/5 parte del tiempo necesario para recorrer a pie la mitad del camino.
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  16. A1 koljós
    La solución de este problema queda clara si se parte de los siguientes cómputos:
    En 24 km subiendo cuesta y 8 km bajando cuesta tarda 4 horas y 30 minutos.
    En 8 km subiendo cuesta y 24 km bajando cuesta tarda 2 horas y 50 minutos.
    Multiplicando el segundo .renglón por tres, tenemos que:
    En 24 km subiendo cuesta y 72 km bajando cuesta tardaría 8 horas y 30 minutos.
    De aquí se deduce claramente que 72 menos 8, es decir, 64 km bajando cuesta, los recorre el ciclista en 8 horas y 30 minutos menos 4 horas y 30 minutos, o sea, en 4 horas. Por consiguiente, en una hora recorrería 64 : 4 = 16 km bajando cuesta.
    De un modo semejante hallamos que subiendo cuesta recorría 6 km por hora. De la corrección de estas soluciones es fácil convencerse haciendo la prueba.
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  17. Dos escolares
    Del hecho de que la entrega de una manzana iguale el número de las que tienen los dos escolares se deduce, que uno de ellos tiene dos manzanas más que el otro. Si del número menor se quita una manzana y se agrega al número mayor, la diferencia aumenta en dos más y se hace igual a cuatro. Pero sabemos que en este caso el número mayor será igual al duplo del menor. Par lo tanto, el número menor será entonces 4, y el mayor, 8.
    Antes de la entrega de la manzana, una de los escolares tenía 8 - 1 = 7, y el otro 4 + 1 = 5.
    Comprobemos si estos números se igualan cuando del mayor se quita una manzana y se le agrega al menor:
    7 - 1 = 6; 5 + 1 = 6.
    Así, pues, uno de los escolares tenía siete manzanas y el oteo cinco.
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  18. E1 precio de la encuadernación
    Por lo general responden sin pensar: la encuadernación cuesta 50 copeikas.
    Pero en este caso el libro costaría 2 rublos, es decir, sólo sería 2 rublo y 50 copeikas más caro que la encuadernación.
    La respuesta correcta es: el precio de la encuadernación es 25 copeikas, y el del libro, 2 rublos 25 copeikas; entonces el libro resulta exactamente 2 rublos más caro que la encuadernación.
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  19. El precio de la hebilla
    Usted quizá haya pensado que la hebilla cuesta 8 copeikas. Si es así, se ha equivocado, porque en este caso la correa costaría no 60 copeikas más cara que la hebilla, sino sólo 52. La respuesta correcta es: la hebilla cuesta 4 copeikas; entonces la correa vale 68 - 4 = - 60 copeikas, es decir, 60 copeikas más que la hebilla.

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  20. Los barriles de miel
    Este problema se resuelve con bastante facilidad, si se considera que en los 21 barriles comprados había 7 + 31/2, es decir, 10 1/2 barriles de miel.
    Por lo tanto, cada cooperativa debe recibir 31/2 barriles de miel y siete barriles vacíos.
    El reparto puede hacerse de dos maneras. Por una de ellas las cooperativas reciben:
    cuadro29
    Por el otro procedimiento, las cooperativas reciben:
    cuadro30
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  21. Los gatitos de Misha
    No es difícil comprender que 3/4 partes de gato es la cuarta parte de todos los gatitos.
    Por lo tanto, el total de los gatitos era cuatro veces mayor que 3/4 partes, es decir, tres. En efecto, 3/4 de tres es 21/4, y quedan 3/4 partes de gato.
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  22. Los sellos de correos
    Este problema tiene sólo una solución.
    E1 ciudadano compró:
    1 sellos de a 50 copeikas
    39 sellos de a 10 copeikas
    60 sellos de a 1 copeika.

    Efectivamente, los sellos eran en total 1 + 39 + 60 = 100. costaban 50 + 390 + 60 = 500 copeikas .
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  23. ¿Cuántas monedas?
    E1 problema tiene cuatro soluciones, a saber:
      I
    procedimiento     		II
    procedimiento     		III
    procedimiento     		IV
    procedimiento
    Rublos 1 2 3 4
    Monedas de 10 copeikas 36 25 14 3
    Copeikas 5 15 25 35
    Total de monedas 42 42 42 42

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  24. Calcetines y guantes
    Bastarán tres calcetines, ya que dos de ellos serán siempre del mismo color. Con los guantes es más complicado el problema, ya que se diferencian entre sí no sólo por el color, sino también porque la mitad de ellos son para la mano derecha y la otra mitad, para la izquierda. Aquí bastarán sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo, 20, puede ocurrir que todos sean de la misma mano (40 castaños izquierdos y 10 negros izquierdos).
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  25. «E1 gusanillo de libro»
    De ordinario responden que el «gusanillo» royó 800 + 800 páginas y dos tapas de encuadernación. Pero esto no es cierto. Ponga juntos dos libros: uno al derecho y otro al revés, como muestra la fig. 247. Mire ahora cuántas páginas hay entre la primera del primer libro y la última del segundo.
    Se convencerá de que entre ellas no hay nada más que las dos tapas.
    «El gusanillo del libro» sólo estropeó, pues, las tapas de los libros, sin tocar sus hojas.
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  26. Las arañas y los escarabajos
    Para resolver este problema hay que empezar recordando lo que dice la historia natural acerca de cuántas patas tienen los escarabajos y cuántas, las arañas: el escarabajo tiene seis patas y la araña, ocho.
    Sabiendo esto, supongamos que en la caja sólo había ocho escarabajos. Entonces el número total de patas sería 6 * 8 = 48, es decir, seis menos de las que indica el problema. Probemos ahora a sustituir un escarabajo por una araña. Con esto el número de patas aumentará en dos, porque la araña tiene ocho patas, en vez de seis del escarabajo.
    Está claro que si hacemos seis sustituciones como ésta, el número total de las patas que hay en la caja llegará a las 54 requeridas. Pero entonces sólo quedarán cinco de los ocho escarabajos, las demás serán arañas.
    Así, pues, en la caja había cinco escarabajos y tres arañas.
    Hagamos la prueba: los cinco escarabajos tienen 30 patas, y las tres arañas, 24. con lo que en total serán 30 + 24 = 54 como exige la condición del problema.
    El problema también se puede resolver de otro modo, a saber: puede suponerse que en la caja sólo había ocho arañas. Entonces el número total de patas resultaría ser 8 * 8 = 64, es decir, 10 veces más de las indicadas en la condición. Sustituyendo una araña por un escarabajo disminuiremos en dos el número de patas. Hay que hacer cinco sustituciones de este tipo para reducir el número de patas a las 54 que se requieren. En otras palabras, de las ocho arañas sólo hay que dejar tres y sustituir las demás por escarabajos.
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  27. Los siete amigos
    No es difícil comprender que los siete amigos sólo podrían encontrarse juntos al cabo de un número de días divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El menor de estos números es 420. Por lo tanto, todos los amigos se reunían sólo una vez cada 420 días.
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  28. Continuación del anterior
    Cada uno de los ocho asistentes (el anfitrión y sus siete amigos) choca su copa con los otros siete; por lo tanto, resultan 8 * 7 = 56 combinaciones de dos. Pero, al proceder así, cada pareja se cuenta dos veces (por ejemplo, el tercer huésped con el quinto y el quinto con el tercero se cuentan corno si fueran parejas distintas). Por consiguiente, las copas sumarán 56/2 = 28 veces.
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