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El Tema de la Semana |
Teorema del 3ºB
Teorema del 3ºB (o Teorema de Rosa :-)
Punto 1. Teorema:
Supuestos:
i) Sea un conjunto de n bienes diferenciados, de forma que se admiten distintas valoraciones sobre cada uno de ellos. Dicho conjunto, en cambio, tiene un valor definido. Llamamos K al valor del conjunto.
ii) Sean n individuos distintos, cada uno de los cuales posee una valoración igual o distinta a la del resto sobre cada uno de los bienes individuales, pero todos valoran igual al conjunto (valorado en K).
iii) Definamos asignación del conjunto como un reparto de los bienes, de forma que a cada agente se le asigna uno y solo uno de los bienes, y cada agente realiza un pago por el bien asignado.
iv) Definamos pago como el valor positivo que cada agente debe entregar a cambio del bien.
Conclusiones:
Entonces tenemos que:
Siempre es posible realizar una asignación de los bienes tales que:
i) Ninguno de los individuos se ve forzado a realizar un pago superior a la valoración del bien que se le asigna.
ii) El valor de la suma de los pagos de los agentes es igual o superior al valor del conjunto.
Punto 2. Demostración del teorma:
a) Dados los supuestos, cada agente posee una valoración individual de cada bien, de forma que la suma de dichas valoraciones debe ser igual al valor K del conjunto, aunque la valoración de cada bien puede ser distinta para cada agente.
Ejemplo:
Supongamos que hay tres bienes, y tres agentes. Supongamos que el valor conjunto de los bienes es 90, y que la valoración de cada uno de los bienes para cada agente es:
Agente 1: (25, 45, 20) - La suma=90, el valor del conjunto.
Agente 2: (35, 40, 15) - Suma=90
Agente 3: (30, 20, 40) - Suma=90
Siendo los bienes (A, B, C)
b) En este caso, podemos ordenar las valoraciones de los agentes de forma que ponemos en primer lugar al agente con la valoración más alta de entre todas las existentes (hay un total de nxn valoraciones, n valoraciones para cada uno de los n agentes). Reordenamos los bienes, de forma que sea el primer bien el que posee la valoracioón más alta.
Ordenamos el resto de agentes de la siguiente forma: en segundo lugar, ponemos al agente que posee la valoración más alta esxcluyendo las valoraciones sobre el bien anterior, y excluyendo las valoraciones del primer agente. Reordenamos los bienes, estando en primero lugar el bien que admitía la valoración más alta, y en segundo lugar el bien que admita la valoración definida antes.
A continuación repetimos el proceso. Finalmente, conseguimos una matriz tal que:
- El elemento a(1,1) de la matriz es el valor más alto de la matriz.
- El elemento a(2,2) es el valor más alto de la matriz excluyendo los elementos de la primera fila y primera columna
- El elemento a(3,3) es el valor más alto de la matriz excluyendo los elementos de las dos primeras filas y las dos primeras columnas
- ...
Ejemplo:
En nuestro ejemplo tenemos:
Agente 1: (25, 45, 20)
Agente 2: (35, 40, 15)
Agente 3: (30, 20, 40)
Siendo los bienes (A, B, C)
Por tanto, reordenamos los bienes así:
Agente 1: (45, 20, 25)
Agente 3: (20, 40, 30)
Agente 2: (40, 15, 35)
Siendo los bienes (B, C, A)
¿Cómo hemos hecho la ordenación? El valor más alto, 45, el de el agente 1 para el bien B, por lo que ese agente es la primera fila, y las valoraciones sobre B son la primera columna.
Excluyendo esas valoraciones, el siguiente valor más alto, 40, es el del agente 3 sobre el bien C, por lo que el agente 3 se coloca en la segunda fila, y el bien C en la segunda columna.
Excluyendo las dosprimeras filas y las dos primeras columnas, el valor más alto es 35, en este caso el único valor que queda. El agente 2 irá situado en la tercera fila, y el bien A en la tercera columna.
c) Tras la nueva ordenación, asignamos a cada agente el bien que está en la columna cuyo número coincide con su fila: al agente de la fila 1 le asignamos el bien de la columna 1, al agente de la fila 2 el bien de la columna 2,..., al agente de la fila n el bien de la columna n.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo tenemos:
Agente 1: (45, 20, 25)
Agente 3: (20, 40, 30)
Agente 2: (40, 15, 35)
Siendo los bienes (B, C, A)
Por tanto, asignamos al agente 1 el bien B, al agente 3 el bien C y al agente 2 el bien A.
d) Sabemos que la suma de los elementos de cada fila es 100.
En concreto,
1) Los elementos de la primera fila suman K.
Además,
2) los elementos situados en la diagonal son cada vez más pequeños
[a11 >= a22 >= a33 >= ... >= a nn], siendo aij el elemento de la fila i y la columna j
Sabemos que:
3) aii >= ajk, para todo ajk donde j>=i y k>=i
Por tanto:
4) a11 = K - suma(a12+a13+a14+...a1n) (de 1)
5) a22 = K - a21 - suma(a23+a24+...a2n) (de 1)
6) a11 >= a21 (de 3)
7) a22 >= K - a11 - suma(a23+a24+...a2n) (combinando 3 y 6)
8) a22+a11 >= K - suma(a23+a24+...a2n) (de 7)
9) a11 >= a31 (de 3)
a22 >= a32 (de 3)
Por tanto: a33 >= K - a11 -a22 - suma(a23+a24+...a2n)
Y a33+a22+a11 >= K - suma(a34+a35+...a3n)
10) Repitiendo el proceso para la cuarta fila, tenemos:
a44+a33+a22+a11 >= K - suma(a45+a46+...a4n)
12) Repitiendo el proceso hasta la fila n-1, tenemos que:
a(n-1,n-1)+a(n-2,n-2)+...+a33+a22+a11 >= K - suma (ann)
13) Y por tanto, pasando ann al otro lado de la inecuación:
ann+a(n-1,n-1)+a(n-2,n-2)+...+a33+a22+a11 >= K
Por tanto, la suma de las valoraciones que cada uno tiene sobre el bien que se le asigna es siempre mayor o igual al valor del conjunto.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo tenemos:
Agente 1: (45, 20, 25)
Agente 3: (20, 40, 30)
Agente 2: (40, 15, 35)
Siendo los bienes (B, C, A)
Asignamos al agente 1 el bien B, al agente 3 el bien C y al agente 2 el bien A.
La suma de las valoraciones es: 45+40+35=120 > 90, el valor del conjunto.
e) Por tanto, sabemos que si tenemos un conjunto de n bienes con un valor definido, y un conjunto de n agentes a los que repartir los bienes, de forma que cada agente recibe un bien y paga una cantidad a cambio, siempre será posible repartir los bienes de tal forma que, pagando cada agente como máximo lo que él valora el bien que se le asigna, el pago total sea igual o mayor al valor del conjunto.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo tenemos:
El agente 1 recibe el bien B, y paga 45; el agente 3 recibe el bien C y paga 40; el agente 2 recibe el bien A y paga 35. Ninguna paga más de lo que él valora el bien que se le asigna, y el pago total es 120 > 90. Es decir, existe un margen para que negocien entre ellos cómo reducir el pago (aumentando su satisfacción).
Punto 3. Aplicación del teorma:
Este teorema se puede aplicar a numerosas situaciones de la vida real:
Por ejemplo, supongamos un piso con tres habitaciones, que comparten tres compañeros. Hay una habitación buena, otra media y otra mala, de forma que cada uno le da más valor a una que a la otra. El piso, en conjunto, vale 600 euros. El teorema nos dice que se pueden asignar las habitaciones de tal forma que ninguno pagará por su habitación más de lo que él la valora, y el pago conjunto siempre será igual o superior a la renta que han de pagar conjuntamente.
Es decir, si los tres han visto el piso y están dispuestos a pagar los 600 euros por las tres habitaciones, se sabe antes de que las repartan, y valoren como valoren las habitaciones, que existe un reparto de ellas satisfactorio (entendiendo por satisfactorio que ninguno pagará más de lo que está dispuesto a pagar).
Otro ejemplo es cuando un consorcio de empresas gana un concurso para explotar una serie de minas en el país. Como han de realizar un pago conjunto por la licencia, el conjunto de las explotaciones tiene un valor definido. Pues el teorema afirma que, aunque cada una valore de forma distinta cada una de las minas, siempre será posible hacer un reparto de éstas, y cada una no tendrá que pagar más de lo que ella valora lo que le toca en el reparto. Y a pesar de eso, el pago conjunto que estarían dispuestas a realizar sería igual o superior a la licencia. |
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