Euclid Dışı
Geometri
İki bin yılı
aşkın bir süre boyunca "biricik geometri"
kimliğini koruyan Euclid geometrisinden farklı
geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir
bir gelişme olamazdı. Nitekim, başlangıçta yarı
şaşkınlıkla önemsenmeyen bu olay, yüzyılın son
çeyreğinde sarsıcı etkisini duyurmaya başlar.
Matematikçiler'in içine düştükleri şaşkınlık,
sonunda, filozofların da kolayca üstesinden
gelemedikleri bir soruna dönüşmüştü. Her biri
kendi içinde tutarlı birden fazla geometri ne
demekti? Uzun bir geleneğin saygınlığını taşıyan,
sayısız uygulama ve ölçmelerle doğruluğu
kanıtlanan bir sistem kuşku konusu olabilir
miydi? Olamazsa, mantıksal tutarlılık yönünden
eşdeğer yetkinlikte olan değişik geometrilerin
varlığı nasıl açıklanmalıydı?
Kant'a göre,
geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini
aklımızın yapısına borçluydu; geometrik önermeler
bu nedenle zorunlu doğrulardı. Başka bir deyişle,
bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclid
geometrisiydi. Oysa şimdi ne görüyoruz?
"Biricik" diye bilinen bu geometriye ait
önermelerden bir ya da birkaçını yadsımak,
çelişkiye yol açmak şöyle dursun, kendi içinde
tutarlı geometrilere olanak veriyordu. Euclid
dışı geometrilerin ortaya çıkması, yüzyıllar
boyunca oluşan kimi önyargı ve koşullanmaları
kökten sarsmaktaydı. Geometrik önermelerin apaçık
ya da zorunlu sayılan doğrulukları bir yana, doğru
olup olmadıkları, hatta "doğruluk" kavramının
kendisi tartışma konusu olmaya başlamıştı. Öte
yandan, birbiriyle bağdaşmaz geometrilerin kendi
içlerinde tutarlı olmaları, "tutarlılık" kavramını
ön plana çeker; bu ise, matematiğin temellerine
ilişkin sorunların çözüm arayışında mantığa büyük
ağırlık kazandırır.
Biri analizde,
diğeri geometride kendini açığa vuran bu iki
tedirginlik, 19. yüzyılı bir bunalım dönemine
dönüştürmüştü. Gerçi, 18. yüzyılda olduğu gibi bu
yüzyılda da matematiksel çalışmaların hem
kuramsal, hem uygulama yönünden birbirini izleyen
önemli atılımlar içinde olduğu söylenebilir. Öyle
ki, bu ikiyüz yıllık dönemi, matematik için büyük
coğrafi keifler dönemine benzetenler vardır.
Denebilir ki, ilk kez bu dönemde, birtakım
belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü
olduğu gözlenen matematiğin, aynmı zamanda,
temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır.
Bunalımı aşma yolundaki çaba ve arayışların hemen
hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktyız.
Matematiğin
pekiştirilmesine yönelik bu çabada "mantıksal"
diyebieceğimiz bir yaklaşımdan daha söz
edebiliriz. Richard Dedekind'in çalışmasında
kendini gösteren bu yaklaışm, Peano, Frege ve
Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha
belirgin bir karakter kazanır.
Daha çok gerçel
sayılara ilişkin teorik çalışmasıyla tanınan
Dedekind, diferansiyel ve integral hesapları
aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal
çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile
önemli bir dönüm noktasına ulaşır.
Mantıksal
çzöümlemeye verdiği tüm öneme karşın, matematiğe
ilişkin de olsa, mantıksal ya da felsefi sorunlar
Dedekind'in ön planda tuttuğu sorunlar değildi.
Bu tür sorunlar, gene bir matematikçi olan İtalyan
G.Peano'da önem kazanır. Öyle ki, matematiğin
temelleri giderek onun başlıca uğraş konusu olur.
Peano da,
Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerle
üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin
olma çabasındaydı. Matematik'te sağduyu ile
sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna
karşıydı. Hem sayı, hem fonksiyon kavramlarına,
sezgisel anlamları ötesinde, daha kesin tanımlarla
daha belirgin anlatımlar verilmeliydi. Soyut
matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel
bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde
yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem
olmalıydı. Euclid'in geometride gerçekleştirdiği
aksiyomatik kuruluşu, Peano aritmetikte ve giderek
analize gerçekleştirmeye koyulmuştu. Ancak o,
Euclid sisteminde bilinen kusur ve eksikliklerden
sakınma çabasındaydı. Ona göre, ne aksiyomlar
zorunlu, apaçık doğrulardır; ne de ilkel terimler
anlamları sezgisel ya da tanımla
belirlenebilecek nesnelerdir. İlkel terimlerle
onlara ilişkin özellikleri dile getiren aksiyomlar
bir kez saptandıktan sonra geriye, teoremleri salt
mantııksal yoldan çıkarsama kalır. Peano bu
amaçla sıradan dil yerine, kullanışılığı nedeniyle
hemen benimsenen, simgesel bir dil önerir. Aynı
şekilde, çıkarımların önceden konmuş kesin
mantıksal kurallar çerçevesinde tutulmasında ısrar
eder. Böylece onun öngördüğü sistem, belli
dönüştürme kurallarıyla simgesel bir dile dayanan
soyut bir kuruluştur.
Matematiğin
temellerini yoklama ve kurmaya yönelik girişimler
1890'lı yıllarda Frege, Peano, Poincare, Russell,
Hilbert vb. düşünürlerin çalışmalarıyla ortaya
çıkar. Tartışmalar çok geçmeden, "mantıkçılık",
"sezgicilik" ve "formalizm" adlarıyla bilinen üç
öğreti çevresinde toplanır.
Paradokslar
Paradokslar,
bilinen Batı felsefesinin başlangıcına
dayanır.Batı felsefesi, yani Eski Yunan
felsefesinin ilk düşünürleri paradokslarla
ilgilenmişlerdir.Birçok paradoks, bu düşünürlerin
isimleriyle anılır.
Paradoks
sözcüğü Yunanca“Para : İleri”ve“Doxa : düşünce,
inanış”sözcüklerinin birleşmesi sonucu
oluşmuştur.Bununla birlikte paradoks sözcüğünün
sözlük anlamı ise şöyledir:
“Görünüşte
yanıltıcı olan insan, şey ya da durumdur.”
Yukarıda’da
belirtildiği gibi paradokslar bilinen batı
felsefesinin başlangıcına dayanır.Tarih içinde
paradoks olduğu iddia edilen ilk örnek Yunan
filozof Epimenides’in“Girit’li paradoksu”
dur.Aslında Epimenides’in paradoks olduğunu iddia
ettiği önerme bir paradoks değildir.Epimenides
“Bütün Giritliler yalancıdır.”demişti.Bu
önermedeki mantık hatasını ilgili bölümde
açıklayacağız.Epimenides paradoksu olarak bilinen
yukarıdaki önerme paradoks olmasa da Epimenides
mantığını geliştiren günümüz filozofları “yalan
paradoksları” olarak anılan gerçek paradokslar
bulmayı başarmışlardır.
Sonraki Sayfa>>>
