Matematikte ispat Pythagoras teoremi
ile gelmiştir. Dik kenarların karelerinin çarpımı
diğer kenarın yani baba kenarın yani hipotenüsün
karesine eşittir. Bu teoremin bilinen 400 e yakın
ispatı vardır. Ve kişisel görüşüm böyle bir
teoremin bir daha asla olmayacağı. Bu iç estetiğe
sahip teorem bugünkü matematiğin başlangıcı
olmuştur. Burada aşağıda sizlere çeşitli
teoremlerin v.s ispatlarının nasıl olacağına dair
genel ispat çeşitlerini vereceğim. Bunun dışında
olimpiyatlara hazırlık başlığı altında bir bölüm
daha açıp matematik ve geometri olimpiyatları
hazırlığa yardımcı olsun diye çeşitli gerekli
teoremler ispatlar soru ve çözümlerini
vereceğim…
İspat tekniklerini genel olarak dört ana
başlık altında toplayabiliriz:
1.Doğrudan İspat
2.Ters Durum İspatı
3.Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi
4.Tümevarım ile ispat
Şimdi bu teknikleri açıklama ve
örnekleriyle birlikte inceleyelim.
.:: 1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve
kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat
tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen
şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca
ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize
teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen
sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik
genel olarak;
P --> Q (P ise Q)
Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın)
doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun)
doğruluğu elde edilir. Örnek 1 : Bir tek ve bir çift
tamsayının toplamı tektir.
İspat 1 :
Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım.
Açıklamada da belitildiği gibi bunlardan birinin
tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek,
toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m
tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu
göstereceğiz. m tek ve n de çift olduğundan;
m = 2a + 1
n = 2b
olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır.
Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b
şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.
m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir
tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek;
m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.
Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse
m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır. Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile
bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir. İspat 2 : Bir a tamsayısını ele
alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul edelim. O
zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde
yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi
bir tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4
ile bölünebilir mi diye bakacağız. 2 katını
alırsak;
2a = 2.6k = 12k olur.
Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz.
O zaman;
2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur.
k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı
olacaktır. Dolayısıyla buna m gibi bir tamsayı
dersek;
2a = 4.(3k) = 4m olur.
Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4
ile bölünebildiğini gösterir. Böylece ispat
tamamlanır.
Bu tür önermeleri doğrudan ispat
tekniğini kullanarak görüldüğü gibi
ispatlayabiliriz. Bu ispat tekniği kolay olmasına
karşın bize her zaman yardımcı olamayabilir.
Mesela "Karesi çift olan bir sayının kendisi de
çifttir" şeklindeki bir önermenin ispatını bu
yöntemle vermek oldukça güçtür. Bu sebeple başka
ispat yöntemleri geliştirilmiştir. Sıradaki ispat
tekniğini açıkladıktan sonra bu soruya tekrar
dönüp, ispatının nasıl yapılabileceğini açıklamaya
çalışacağım.
.:: 2 - Ters Durum İspatı : Bu ispat
genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil
ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır.
Yani bu ifadeyi sözle açıklamak istersek; bize
verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak
yerine, istenilenin olmaması (değilinin olması)
durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani
değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye
dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği örnekler
üzerinde daha rahat anlaşılabilir. Az önce
belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle ispatlamaya
çalışalım; Örnek 3 : Karesi çift olan bir
sayının kendisi de çifttir. İspat 3 : Burada P dediğimiz olay
sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay
da bu sayının kendisinin çift olması yani;
P = a sayısının karesi çifttir.
Q = a sayısının kendisi çifttir.
(hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak,
istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat
tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o
teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına
deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile
yani Q değil ise P nin de olamayacağını
gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek,
bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi
de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi
gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını
doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek
olursak; bu ispat tekniğinde "a nın karesi çift
ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a
tek ise karesi de tektir" ifadesini göstereceğiz.
Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden,
öyle bir k tamsayısı için a yı;
a = 2k + 1 oarak yazabiliriz.
a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini
alırsak;
a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2
+ k) + 1 olur.
ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna
m dersek;
a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1
= 2.2m + 1
2m ifadesine de t dersek;
a2 = 2t +1 olur.
Bu da bize a2 nin tek olduğunu
gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin
de mutlaka tek olması gerektiğini
gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının
kendisinin de çift olması gerektiğini
söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme
göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz. Bu
ispat yönteminin kullanılabileceği başka örnekler
de vermeye çalışalım;
Örnek 4 :
Eğer bir x sayısı pozitif ise ardışığı da
pozitiftir. İspat 4 : Bizden soruda x>0 ise
x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor. Ters durum
ispat tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak; P
olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0 olması
olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de
olamayacağını yani; x+1<0 ise x<0 olması
gerektiğini göstermeliyiz. (sıfıra eşit olma
durumunu göz önüne almıyoruz çünkü x+1=0 olduğunda
x=-1<0 olduğu ve şartı sağladığı aşikardır).
Öyleyse elimizde şimdi x+1<0 kabulü var.
x+1<0 ise x<-1 ve -1<0 olduğundan x<-1<0
yani x<0 dır.
Böylece x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını
sağlayacağını gösterdiğimizden x>0 olduğunda x+1
mutlaka x+1>0 şartını sağlamalıdır diyebiliriz. Örnek 5 : X.Y tek sayıdır ancak
ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir. İspat 5 : Ancak ve ancak türünden
ifade edilen önermelerde, önermeyi iki taraflı
ispatlamalıyız. Önce sol tarafın doğruluğunu kabul
edip sağ tarafı gösterelim. Yani, X.Y tek sayı ise
X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini
görelim. Bunu ters durum ispatı ile gösterelim.
(==>)
P = X.Y nin tek sayı olması
Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması.
Burada tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp,
buradan P nin değilini elde etmemiz gerekir. Sizin
de gördüğünüz gibi bu önermede Q nun değili 2 ye
ayrılmaktadır. Yani X ve Y nin her ikisinin birden
tek olmaması durumu, ya ikisinin de çift olması ya
da birinin çift diğerinin tek olması durumunu
getirir. Önce her ikisinin de çift olması durumunu
inceleyelim;
-- X ve Y her ikisi de çift ise öyle A ve B
tamsayıları için
X = 2A ve Y = 2B olsun. Öyleyse;
X.Y = 2A.2B = 2(A.2B)
ve A.2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek;
X.Y = 2(A.2B) = 2C yani X.Y = 2C olur.
Öyleyse X.Y çifttir. X ve Y nin her ikisini de
çift olduğu takdirde X.Y nin çift olması
gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu bölümü
tamamlandı.
-- X tek ve Y çift olması durumunu ele alalım.
Öyleyse uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A+1 ve Y = 2B olsun.
X.Y = (2A+1).(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur.
Yine 2AB + B sayısı bir tamsayı olacağından buna C
gibi bir tamsayı dersek;
X.Y = 2(2AB + B) = 2C olur.
Yani yine X.Y nin bir çift sayı olduğunu bulduk.
Öyleyse ters durum ispatına göre Q nun değili
durumları olan X ve Y nin çift olması veya birinin
çift diğerinin tek olası durumlarında P nin değili
yani X.Y nin çift olaması gerektiğini
gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır.
Şimdi de ispatın diğer yönünü yani, sağ tarafın
doğru olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim.
Söz ile ifade edersek X ve Y nin her ikisinin de
tek olması durumunda X.Y nin de tek olacağını
göreceğiz.
(<==) Bu tarafı göstermek için ilk gördüğümüz
ispat yöntemi olan doğrudan ispat yöntemi daha
uygundur. X ve Y nin her ikisinin de tek olduğunu
kabul ederek X.Y nin de tek olması gerektiğini
göstereceğiz. X ve Y tek ise, uygun A ve B
tamsayıları için;
X = 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun.
X.Y = (2A + 1).(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 =
2(2AB + A + B) + 1
Burada yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı
olacağından buna C dersek;
X.Y = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır.
Buradan da görüldüğü gibi X.Y tek sayı bulunur.
Öyleyse doğrudan ispat tekniğiyle de ispatın bu
yönünü göstermiş bulunuyoruz.
Her iki yönden de önermenin doğruluğunu
gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış bulunuyoruz.
Bu örnekten de görüleceği üzere bazı
önermeleri ispatlamak için birden fazla ispat
tekniğini kullanmamız gerekebiliyor. Her ispat
tekniğinin kendine göre getirdiği kolaylıklar
bulunmaktadır. Şimdiye kadar görmüş olduğumuz
doğrudan ispat ve ters durum ispatından başka
"olmayana ergi" adı verilen bir diğer ispat
yöntemini de ifade etmeye çalışalım;
