Matematiğe çoğu
kez, gelişimini doğru bir çizgi üzerinde sürdüren,
problemlerini er geç çözüme kavuşturan istikrarlı
bir bilim gözüyle bakılır. Oysa ki matematik
tarihinde durum hiç de böyle değildir. Çeşitli
bunalımlara, görüş, yaklaşım ve görüş
farklılıklarına rastlanmıştır.
Bilimde olduğu
gibi matematikte de kesinlik arayışı dogmatizme,
dogmatizm de beklenmedik değişiklik ya da
gelişmeler karşısında bunalıma yol açar. Ancak
her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne karşın, yeni
bir atılım veya açılmaya giden yolda başlangıç
koşulu diye niteleyebiliriz. Bu tür bunalımların
hiçbiri geçici bir bocalama olmaktan ileri
gitmemiş, sanıldığının aksine, matematiği ne
geçersiz ne de işlemez kılan bir olay olmuştur.
Matematiğin
geçirdiği bunalımlar dört ana bölümde
toplanabilir:
1) Rasyonel
olmayan (irrasyonel) sayıların yol açtığı,
başlangıçta "olanaksız" ya da "saçma" sayılan,
negatif ve sanal sayıların ortaya çıkmasıyla süren
bunalım.
2) Başlangıçta
sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal
belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral
hesapların yol açtığı bunalım.
3) Euclid'in
beşinci postulatına ilişkin kuşku ve
doyumsuzluktan kaynaklanan, Euclid dışı
geometrilerin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım.
4) Kümeler
teorisinde başgösteren paradoksların yarattığı,
daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut
kazanan bunalım.
İrrasyonel
Sayılar
Matematikte
bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (m.ö
5.yüzyıl) ortak ölçüsüz büyüküklerin bulunmasıyla
ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak
belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı ne
demekti? Örneğin kenarı bir birim olan karenin
köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu
türden bir doğru parçasıdır. Evreni tamsayılarla
düzenli gören Pisagor'cular için karenin kenarı
ile köşegeni gibi aynı türden geometrik
büyüklüklerin ortak ölçüsüz olması akıl almaz bir
skandaldı; o yüzden ne pahasına olursa olsun gizli
tutulmalıydı.
Bu olayın
yanısıra Zeno'nun adıyla anılan birtakım
paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki
bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile
getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği
şöyle bir varsayıma dayanmaktadır: Sonlu bir
sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak
yoktur. Belli bir mesafe geriden kalkan tavşanın
önündeki kaplumbağayı, bu varsayıma göre hiçbir
zaman yakalayamaması gerekir. Çünkü tavşanın
aradaki mesafenin önce yarısını, ondan önce
1/4'ünü, ondan önce 1/8'ini,... ve böyle sonsuza
dek bölünebilen aralıkları koşması gerekir ki,
bunu sonlu bir sürede gerçekleştirmesi
olanaksızdır.
Matematiğin bu
ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. m.ö 4.
yüzyılın seçkin matematikçisi Eudoxus'un büyüklük
ve orantı kuramı üzerindeki çalışması, sorunu bir
ölçüde açıklığa kavuşturur. Eudoxus'un ortak
ölçüsüz büyüklüklere ilişlkin ulaştığı sonuç,
Euclid'in "Elementler"'inin beşinci kitabında yer
almıştır. Bu sonuç ana çizgileriyle Dedekind'in
19. yüzyılın ikinci yarısında irrasyonel sayılar
üzerindeki çalışmasını andırmaktadır. İlk
bunalımdan kurtuluş arayışları başlıca iki
gelişmeye yol açmıştır. 1) İlginin sayısal
kuramlardan geometriye kayması. 2) Geometrinin
aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.
Sonsuz Küçükler
Hesabı
Modern
matematik başladığında, matematik geleneğinde iki
düşünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan
matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri,
diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan
sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün
bildiğimiz matematiği büyük ölçüde 17. yüzyılda
gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı
gelişmelere borçluyuz. Bunlardan ilki, Dekart'ın
(1596-1650) o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı
görünen matematiğin iki dalını, geometri ile
cebiri birleştirme çabasının ürünüdür. Şimdi
"analitik geometri" diye bilinen bu çalışmada,
koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle,
dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini
cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar.
Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye
olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin
analize dönüşmesine, bu arada "değişken" ,
"fonksiyon" ve "fonksiyonel bağımlılık" gibi
kavramların belirginleşmesine, bu kavramların
geometrik terimlerle ifadesine yol açar.
İkinci büyük
gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol
açan, Newton ile Leibniz'in birbirinden bağımsız
olarak oluşturdukları "sonsuz küçükler
hesabı"'dır.
17. yüzyılda
başlayan buluşların yol açtığı ilerlemeler giderek
artan bir hızla birbirini izler. Ancak bu arada
Antik dönemde tanık olduğumuz sıkı ispat
ölçütlerinin çoğunlıkla gözardı edildiğini
görüyoruz. Matematik, mantıktan çok sezgi, imge
ve deneyime bağlı bir çalışma görünümü alır.
Leibniz, Bernoulli ve Euler gibi ünlü
matematikçilerin sonsuz küçükler, ayrışık diziler
toplamı gibi konularda, yanlışlığı bugün bilinen
düşünceler ileri sürmekten geri kalmadıklarını
biliyoruz. Deyim yerindeyse, "yasa tanımazlık"
diyebileceğimiz bu gidiş, özellikle diferansiyel
ve integral hesapların fizik ve astronomideki
başarılı uygulamalarının yarattığı iyimser ve
kamçılayıcı hava içinde, yaygınlık kazanır. Yeni
buluş ve yöntemlerin kabına sığmaz bir coşkunlukla
hemen uygulamay konması çabaları 18. yüzyılın
sonlarına değin sürer. Ama bu arada kimi
üstünkörü sonuçların gün ışığına çıktığı,
eleştirel bir yaklaşımın giderek kendini duyurmaya
başladığı görülür.
İkinci bunalıma
yol açan kuşku ve tedirginlikler önce diferansiyel
hesapların anlam ve dayanaklarına ilişkin olarak
ortaya çıkar. İlk eleştiriler Berkley, ardından
Hegel gibi idealist filozoflardan gelir.
Özellikle diferansiyel kesirlerle sonsuz küçükleri
içeren işlemler kuşkuyla karşılanıyordu. Aslında
bu işlemleri oluşturan Newton ile Leibniz'in bile
temeldeki kavramlar üzerinde tam bir açıklık
içinde oldukları kolayca söylenemez. Leibniz,
matematik öğretisi gereği, sonsuz küçükleri
varsayıyordu. Newton, fizik ve astronomi
çalışmalarında duyumsadığı gereksinmeyle
diferansiyel işlemleri oluşturmuştu. Daha çok
sezgiye yer veren ve bilimsel ihtiyaçtan doğan bu
yöntemin kuramsal dayanakları neydi?
Daha 18.
yüzyılın ilk yarısında belirsiz kalmış birtakım
noktalar yanında kimi çelişkilerin de giderek su
yüzüne çıkması ciddi tereddütlere yol açar.
Berkley, 1737'de yayımlanan The Analyst adlı
yapıtında kalkülüsü, kavramsal dayanaklarını
irdeleyerek oldukça ayrıntılı bir eleştiriden
geçirir. Daha sonra Legendre ve Lagrange gibi
kimi seçkin matematikçilerin de durumdan
yakındıklarını biliyoruz. Lagrange, çelişkiler
içermesine karşın matematiğin başarısını,
Tanrı'nın iyilikseverliği altında hataların
birbirini götürmesine bağlıyordu. Denebilir ki,
matematik o sırada bir bilim olmaktan çok bir
sanat görünümündeydi. Nitekim kimi eleştiriciler
daha da ileri gidip, matematiği düpedüz uydurma ya
da kurgusal bişr beceri olarak niteler. Gerçekten
o sırada kuramsal irdeleme ve temellendirmeleri
gereksiz bulan çoğu matematikçilerin tutumunda,
matematiğin doğasına ters düşen bir tür "oportinizm"
egemendi. Öyle ki, kullanılan işlemlerin
geçerliği için uygulama sonuçları yeterli ölçüt
sayılıyordu. Başarılı sonuçlarla gözleri kamaşan
matematikçiler, ne elde edilen sonuçları mantıksal
yönden temellendirme, ne de kullandıkları kavram
ve yöntemlerin geçerliliğini irdeleme gereğini
duyuyorlardı. Daha fazla ilerlemenin coşkusu
içinde yeni hedeflere koşanlardan da beklenemezdi
bu zaten.
Ne var ki,
Berkley ile başlayan eleştiriler giderek yoğunluk
kazanır. 19. yüzyılın ilk yarısı matematikte hem
kuşku konusu işlem ve sonuçları pekiştirme, hem de
yeni buluşlara açılma çabasını yaşar. Nitekim bu
dönemin Gauss ile Cauchy gibi büyük
matematikçileri bir yandan eleştirel bir tutum
izlerken, öbür yandan yeni buluşlara yönelik
atılımlar sergilemişlerdir. Daha önce Legendre ve
Lagrange'da da ilk belirtilerini gördüğümüz
eleştirel yaklaşım, Gauss'da tüm etkinliğiyle
ortaya çıkar. Denebilir ki, Gauss, çalışmasının
önemli bir bölümünü matematiği sağlam bir temele
oturtma amacına yöneltmişti. Onun, "cebirin temel
teoremi" diye bilinen karmaşık sayılar alanında
her cebirsel denklemin bir kökü olduğu savını
ispat uğraşı, bnu peikiştirme çerçevesinde önemli
bir çalışmadır. Kaldı ki, o güne değin belirsiz
ya da bulanık kalan "karmaşık sayılar" kavramı
bile Gauss'un çalışmasında açıklık kazanır.
Analizi gerçel
sayılar alanından karmaşık sayılar alanına
genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy'ye
borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık
fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz
küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları
matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek
bir reforma yönelir. Limit, süreklilik gibi
kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin
anlamlarını kazanmıştır. Cauchy'nin limitler
teorisi daa sonra Weierstrass'ın çalışmasıyla
birleşerek sonsuz küçükler kavramını gereksiz
kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar
ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele
alır.
Sayısal
sonsuzluk Zeno'dan beri tartışılan, çözüm bekleyen
bir sorundu. Euclid geometrisinin
aksiyomlarından biri, bütünün herhangi bir
parçasından büyük olduğu savını dile getirir.
Oysa bu yargının, sonsuzlar söz konusu olduğunda,
doğru olmadığı görülmüştür. Cantor, sonsuz bir
dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir
alt bölümünün kardinal sayısına denk olan küme
diye tanımlar. Başka bir deyişle, sonsuz bir
kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt bölümüne
ait elemanlar bire bir eşleştirilebilir. Örneğin,
sonsuz bir küme oluşturan doğal sayıları bir satır
üzerine, doğal sayılar kümesinin bir alt bölümü
olan çift sayıları ikinci satır üzerine yazalım.
1, 2, 3, 4,
5, 6
2, 4, 6, 8, 10,
12
Görüyoruz ki,
ilk satır üzerindeki ne denli çoğaltılırsa
çoğaltılsın, ikinci satır üzerindeki sayılar da o
denli çoğaltılabilir; öyle ki, ilk satırdaki ilk
elemana karşılık ikinci satırda daima bir eleman
olacaktır. Bu, iki dizinin eşdeğer olduğunu
gösterir. Oysa, ikinci dizi, birincisinin bir alt
bölümünden başka bir şey değildir.
Cantor,
geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı
büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu
gösterir. Örneğin gerçel sayılar kümesi, doğal
sayılar kümesinden daha büyük bir kümedir. Tüm
ondalık kesirlerin büyüklük sırasına göre
dizildiğini düşünelim. Dizideki ilk kesrin
birinci rakamı ile ikinci kesrin ikinci rakamını
alıp her rakama bir ekleyerek yeni bir ondalık
oluşturalım ve bu işlemi dizi boyunca sürdürelim.
Bu şekilde oluşturulan ondalık, tam sandığımız
dizideki tüm ondalıklardan farklıdır. Bu, gerçel
sayılar söz konusu oduğunda, sayılabilir bir dizi
oluşturmanın olanaksızlığını göstermektedir.
Ondalık kesirler sayısının, doğal sayılar
sayısından daha yüksek derecede sonsuz olduğu
demektir bu.
Analiz, bugün
bilinen yetkin kimliğine, büyük ölçüde,
19.yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass'ın
çalışmasıyla ulaşır. Cauchy'nin, bulnaık "sonsuz
küçükler" kuramı yerine daha açık ve net limitler
kavramını getirmesiyle başlayan, Weierstrass'ın
analizi aritmetikleştirmesiyle, Cantor'un
süreklilik ve sonsuz sayılar kavramına açıklık
getirmesiyle noktalanan çalışmalar geçen yüzyılda
yaşanan bunalımı önemli bir yanıyla gidermişti.
"Her yanıyla" diyemiyoruz; çünkü, söz konusu
bunalımın kapsamında Euclid dışı geometrilerin yol
açtığı sarsıntıyı da bulmaktayız
Sonraki Sayfa>>>
