..:: Anasayfaya Dönüş ::..

                       :: RASTLANTILARIN ŞAŞIRTICI BENZERLİĞİ ::

Rastlantılar insanların her zaman ilgisini çekmiştir.  Raslantıların şaşırtıcı benzerliğini görmek için şu örneği inceleyelim:  Bir yılda 366 gün olduğuna göre (şubatı 29 gün sayıyoruz), bir g-rupta doğum günleri aynı olan en az iki kişinin bulunduğundan emin olabilmemiz için, o gru-bun 367 kişiden oluşması gerekir. Niçin?

Ya bundan % 50 emin olmakla yetinseydik? Bir grupta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığının yukarıdakinin yarısı kadar olabilmesi için, grubun kaç kişiden oluşması gerekir?    İlk tahmininiz, 365’in yaklaşık yarısı olan 183 olabilir.  Oysa sürpriz yanıt, grubun sadece 23 kişiden oluşması gerektiğidir.  Başka bir deyişle, rasgele seçilen 23 kişi içinde, % 50 olası-lıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır. Buna inanmakta zorlanan-lar için, aşağıda bu sonucun nasıl elde edildiğini kısaca gösterelim:

Çarpım prensibine göre, beş tarihi seçebilmek için (365x365x365x365x365=3655) yol vardır (tekrara izin verilmesi koşuluyla). Fakat 365⁵ yolla seçilen bu günlerin çakışmaması, ancak şu şekilde mümkündür: (365x364x363x362x361).  Bu son çarpımı (365x364x363x362x361)’i  365⁵ ‘e bölersek, rastgele seçilen 5 kişiden hiçbirinin doğum günleri aynı olmayacaktır.  Şim-di bu olasılığı 1’den (ya da eğer yüzde hesabı yapıyorsak % 100’den) çıkardığımızda, 5 kişi-den en az ikisinin doğum günlerinin aynı olduğu, tamamlayıcı olasılığı elde ederiz.  5 yerine 23 kullanarak yapacağımız benzeri bir hesap, 1/2 ya da % 50 sonucunu verir.  O halde, 23 kişiden en az ikisinin ortak doğum gününe sahip olma olasılığı sözkonusudur.

Birkaç yıl önce bir televizyon şovundaki konuklardan biri bunu açıklamaya çalışmıştı.   Sunu-cu ona inanmadı.  Stüdyoda 120 izleyici bulunduğunu söyleyerek, kaç kişinin doğum günü-nün kendisiyle aynı olduğunu sordu. (onunki 19 Mart’tı.) Stüdyoda onunla aynı doğum gün doğmuş kimse yoktu.  Bunun nedeni, herhangi bir ortak doğum gününün bulunmasının  % 50 kesinlik kazanması için gerçekten de en az 23 kişi bulunması gerektiği, fakat bu durumun, belli bir doğum günü, örneğin 19 Mart için geçerli olmadığıydı.  19 Mart gibi belli bir günün, g-ruptan birinin doğum günü olduğundan % 50 emin olmak için, daha büyük bir grup, tam sayı vermek gerekirse 253 kişi gerekir.  Bunun ispatı ise şöyledir:

Gruptan birinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı 364/365 olduğuna ve doğum günleri birbi-rinden bağımsız olduğuna göre, iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı  (364/365)x(364/365) ‘tir.  Yani N kişinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı (364/365)N ‘dir.  N=253 olduğunda, bu sonuç yaklaşık 1/2’ye eşit olur.   Büylece 253 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayıcı olasılığı da 1/2 ya da % 50 ‘dir.

Bundan çıkarılacak sonuç, gerçekleşme olasılığı düşük bir olayın olasılığının, belirli bir ola-yın gerçekleşme olasılığından çok daha yüksek olduğudur.

Matematik yazarı Martin Gardner, genel olaylarla belirli olaylar arasındaki farkı, üstünde al-fabenin yirmialtı harfinin bulunduğu bir çarka benzeterek açıklar.  Çark yüz kez döndürülüp, çıkan harfler kaydedilirse, "KEDİ" ya da "SICAK" sözcüklerinin ortaya çıkma olasılığı çok dü-şükken, herhangi bir sözcüğün ortaya çıkma olasılığı yüksektir.

Sonuçtaki paradoks, düşük olasılığa sahip olayların gerçekleşmeme olasılığının çok düşük olmasıdır.   Öngörülen olayı kesin olarak belirlememeniz halinde, bu genel olayın gerçek-leşmesi için sayısız yol vardır.  Çok ender gerçekleşen öngörüler sadece belirli olanlardır.