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Qui di seguito troverete alcuni appunti riguardo le scienze matematiche ma se avete bisogno di ulteriori aiuti visitate il nostro forum ufficiale,registratevi gratuitamente e inserite le vostre richieste d'aiuto!

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Una nostra cara socia del sito,Sandina, ci ha chiesto di fare un piccolo compendio per ricordare alcune delle regole o dei concetti di base affrontati in un biennio superiore . Il programma e’ ben nutrito e al momento analizzeremo la prima parte dedicata ai numeri naturali,interi, razionali. M.C.D. e m.c.m. fra due o più numeri. Espressioni numeriche. -I numeri naturali sono l’insieme formato dalla successione dei numeri e che quindi tende all’infinito 0,1,2,3,……. -I numeri razionali assoluti sono l’insieme di numeri che vengono rappresentati mediante una frazione , esempio 3/ 5 , il numeratore fratto il denominatore ed entrambi appartengono ai numeri naturali ,il denominatore deve essere diverso da 0 . Non esiste dividere per 0, infatti se proviamo a fare il calcolo con la nostra calcolatrice essa ci dara’ errore E. - I numeri razionali relativi sono tutti quei numeri preceduti dal Segno + oppure – - I numeri irrazionali assoluti sono quelli che non possono essere rappresentati come frazione ma ad esempio sono posti sotto Radice, o con Logaritmo …. - I numeri Reali sono tutti i numeri razionali relativi e irrazionali relativi (con segno) -Il Massimo Comune Divisore (M.C.D) si calcola scomponendo 2 o piu’ numeri in fattori primi e il M.C.D e’ il prodotto di tutti i fattori comuni a tutte le scomposizioni ma ciascun fattore va preso una volta sola e con il minimo esponente. Faccio un esempio: calcolare il M.C.D tra 240, 180, 300…scompongo tali numeri ossia li divido per un numero per ottenere poi un altro numero intero quindi 240= 2^4x3x5 ; 180 = 2^2 x 3^2 x 5 e 300 = 2^2x 3 x 5^2 ossia abbiamo fatto ad esempio per il 240 (240:2=120:2=60:2=30:2=15:3=5:5=1 e quindi raccolgo tutti i fattori che mi sono serviti per fare la scomposizione) poi applico la regola suddetta confronto i fattori dei 3 numeri e quindi nel nostro caso il MCD = 2^2x3x5. Per il minimo comune multiplo m.c.m scompongo sempre i numeri dati ma il prodotto di tutti i fattori viene preso una sola volta e con il Massimo esponente quindi nel caso precedente m.c.m sarebbe =2^4 X3^2x5^2=3600 Riguardo alle espressioni ricordarsi di risolvere sempre prima i calcoli tra parentesi tonde, poi quadre , poi graffe, le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza su tutti gli altri calcoli e poi se sono presenti delle potenze ci sono alcune regole come ad esempio il fatto che una potenza elevata alla 0 sia= ad 1 ossia 5^0=1 .... posso facilmente risolvere calcoli tra moltiplicazioni con basi uguali sommando gli esponenti esempio(5^3x5^2) = 5^5, per le divisioni sottraggo gli esponenti ma mi raccomando tali regole non valgono per le sottrazioni o addizioni…gli argomenti sono vasti e per il momento mi fermo qui ma se ci sono dubbi , fatemeli sapere!

Giada, dall'Emilia Romagna, ci chiede aiuto su 3 problemi di geometria, per il momento ne visioniamo uno e in un secondo tempo, compatibilmente con le altre richieste, affronteremo gli altri: "L'area di un parallelogramma è uguale a 675 mq e la base è tripla dell'altezza.Calcola le misure della base e dell'altezza.Calcola il perimetro del parallelogramma sapendo che uno degli angoli adiacenti alla base ha ampiezza 45 gradi.
Noi sappiamo che l'Area di un parallelogramma e'= Bxh, qui tu hai gia' l'Area e sai che la Base B e' 3 volte tanto h quindi sotituendo possiamo dire che A=3hxh, quindi h e' uguale alla radice quadrata dell'Area= 15 m. Sapendo ora l'h , sempre dalla formula,A= Bx 15 quindi B= A diviso h= 45 m . Un suggerimento per la parte finale del problema:fai il disegno della figura e conduci una altezza da uno dei vertici. Come viene divisa la base?

Proponiamo anche gli altri 2 problemi e ti diamo dei suggerimenti per poterli risolvere, per essere cosi' tu piu' attiva nella risoluzione dei problemi:

1) un triangolo rettangolo ha l'area uguale a 77.76 dm2 e un cateto è 3/4 dell'altro. calcola il perimetro e l'altezza relativo all'ipotenusa. (Suggerimento:Raddoppia il triangolo ottenendo un rettangolo. Dividi il lato maggiore in quattro parti e quello minore in tre: le parti sono segmenti uguali, per i tuoi dati. In questo modo hai diviso il rettangolo in dodici quadrati.Ora sai calcolare l'area di ciascuno dei quadrati e quindi il lato. Ne ricavi la misura dei cateti e tutto il resto.)

Marco, nel forum, mi chiede come si trovano gli angoli, ponendo gli angoli nelle seguenti condizioni ossia A-B= 8 e B-C=38.

Un amico del sito chiede come si trova, sapendo l'area di un triangolo rettangolo ed uno dei cateti che ruota di 1 giro intorno all'ipotenusa, il Volume e l'Area della superficie del solido
Allora, prima cosa facciamo la figura e ,dalle indicazioni del problema, costruiamo un cono.

Il Volume del cono =1/3 per pgreco per raggio alla seconda per altezza.Se guardo la figura posso ipotizzare che il raggio r sia anche uno dei cateti del triangolo rettangolo formante poi il cono(in quanto gira su cateto).L'altezza h si trova con la formula inversa dell'Area del triangolo ossia A= Bxh/2 quindi h=Areax2/Base (in questo caso la Base sarebbe = al raggio della base del cono ossia del cerchio).Cosi' puoi trovare il Volume. L'Area totale del solido = pgreco x raggio x a (a= all'ipotenusa del triangolo rettangolo) + pgreco x r alla seconda. In questo caso manca "a" che si trova con il Teorema di Pitagora ossia sommando i quadrati di "r" e di "h" e poi tutto sotto radice quadrata!

Clara mi chiede come si trova il perimetro di un trapezio isoscele avendo la base maggiore,la base minore e l'h oppure avendo la base maggiore,il lato obliquo e l'h.

Facciamo la figura

Sottraendo la base minore alla base maggiore trovi AK + HD,dividendo tale somma per 2 trovi il valore di Ak che poi e' uguale al valore di HD singolo.Applicando Pitagora trovi il lato obliquo facendo quindi BK alla seconda + AK alla seconda(tutto sotto radice).Ora hai tutti gli elementi che sommati ti daranno il Perimetro della figura. Nel secondo caso trovo AK applicando il Teorema di Pitagora quindi facendo AB al quadrato meno BK al quadrato(tutto sotto radice). AK poi lo moltiplico per 2 e tale valore lo sottraggo alla base maggiore e cosi' trovo la base minore.Spero di essere stata chiara, tutto il mio discorso cerca di visualizzarlo nella figura e prova a risolvere qualche problema simile.Se non ti e' chiara la spiegazione, proponimi qualche problema numerico comprensivo di risultato.

Un amico chiede alcune delucidazioni su vari argomenti come i monomi (es. 2a), polinomi es.
(4a - 5ab) ,le equazioni di primo e secondo grado.Avevamo gia' fatto degli esempi sulle equazioni lineari di primo grado,ora vediamo l'equazioni di secondo grado.Vediamo la forma completa di tale equazione e la sua formula risolutiva, ricordando che risolvere una equazione di questo grado significa trovare due valori di x,oppure le due x hanno ugual valore,oppure non c'e' alcun valore di nessuna x.Di solito tale equazione si applica,graficamente,ad una parabola per vedere se i punti di una parabola intercettano l'asse delle ascisse in un sistema di assi cartesiani.

Prova a risolvere completamente l'esercizio e ti forniro' in un secondo tempo il risultato. Le due x, se ci sono due soluzioni,si ottengono risolvendo la formula sopraindicata una volta utilizzando il (+) una volta il (-) ove c'e' scritto (piu' o meno).Se ci sono due soluzioni la parabola tocchera' gli assi in due punti,se c'e una sola soluzione, tocchera' gli assi solo in un punto, se non ci sono soluzioni la parabola non tocchera' gli assi cartesiani. La discriminante ( il Delta) e' quella parte della formula sotto radice, ossia b^2 - 4ac (b^2= b alla seconda) (4ac vuol dire 4 per a per c).La discriminante ,se risolta, ci fornisce gia' informazioni se la parabola tocca o meno gli assi cartesiani.

Una amica, Esterina, non riesce a capire questo problema di geometria:un rettangolo ha la base che e' i 5/3 dell'altezza e l'altezza misura 18 cm. calcolate l'area di un parallelogramma isoperimetrico al rettangolo, avente il lato obliquo di 21 cm e l'altezza di 14 cm .

Dopo aver fatto le figure, scriviamo i dati noti e quelli richiesti nonche' le formule che ci servono per risolvere il problema.In questo caso dobbiamo trovare l'Area del parallelogramma e quindi A= B*h.Andiamo con ordine:Il problema ci dice che le due figure sono isoperimetriche quindi hanno lo stesso perimetro.Trovando il perimetro del rettangolo sapro' quello dell'altra figura quindi ho l'altezza del rettangolo(18 cm) ma non ho la base e per trovarla calcolo B= 5/3 * 18 = 30 cm .Ora posso calcolare il perimetro del rettangolo che e' la somma di tutti i lati ossia P= 18+18+30+30=96 cm.Abbiamo detto che 96 cm e' anche il Perimetro del parallelogramma .Di esso abbiamo l'altezza (14 cm) e il lato obliquo ( 21 cm) ma per trovare l'Area di tale figura serve anche la base allora moltiplichiamo per 2 il lato obliquo 2*21=42 e questo numero lo sottraiamo a 96 (perimetro) e poi tutto diviso 2 quindi B= 96-2*42/2=27 cm (base del parallelogramma).Ora possiamo calcolare l'Area del parallelogramma A= 27*14=378 cmq

Rispondiamo ad un amico che non riesce a risolvere il seguente problema di geometria:
In un triangolo rettangolo ABC l'ipotenusa AC e' di 35 cm e AH,proiezione ortogonale di AB sull'ipotenusa e' di 12,6.Come sono i triangoli ABC e AHB?Quanto e' lungo il cateto AB?

Disegnamo la figura

I triangoli ABC e AHB hanno gli angoli uguali,infatti ABC=AHB=90 gradi, BAC e' comune ai due triangoli e quindi ACB=ABH. Tali triangoli sono simili e hanno gli angoli omologhi in proporzione. AC:AB=AB:AH sostituendo nella proporzione i termini noti avremo 35:x=x:12,6
Per risolvere una proporzione di questo tipo: x(alla seconda)=35*12,6=441,calcoliamo la radice quadrata di 441 e quindi x=21, AB=21 cm.
In conclusione possiamo dire che abbiamo applicato il primo teorema di Euclide che dice che in un triangolo rettangolo ogni cateto e' medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Un'amica del sito,Antonella,ci chiede la risoluzione del seguente problema di geometria: abbiamo un parallelogramma e ne conosciamo la base= 54 cm e l'Area= 1296 cmq.Sappiamo inoltre che l'h (altezza) divide la base in due parti una il doppio dell'altra.Trovare il Perimetro.

Facciamo la figura:

Devo trovare l'h = Area/Base = 1296/54=24cm.Per trovare la suddivisione della base, sapendo che una parte e' il doppio dell'altra,divido la base per 3 quindi 54/3=36 (che e' il doppio di 18)infatti 36 + 18=54. 18 ci serve,la parte piu' piccola della suddivisione della base, perche' sommata all'h,con Pitagora,possiamo trovare il lato obliquo.Quindi (24x24)+(18+18)=576+324=900(Facendo la radice quadrata)=30 cm lato obliquo. Infine sappiamo che il P=2(base x lato obliquo) quindi 2(30+54)=168 cm

Un amico del sito,Toto',ci richiede la risoluzione di un problema di geometria applicato al trapezio isoscele sapendo l'altezza di 150 cm,la base maggiore di 280 cm e la diagonale di 250 cm.Calcolare il Perimetro e l'Area del trapezio.

Facciamo la figura

Cerchiamo di trovare nel trapezio tutti i possibili triangoli rettangoli per poter applicare il teorema di Pitagora.Troviamo la misura di HD= 250x250 - 150x150= (calcolando la radice della sottrazione) 200 cm; AH=KD quindi 280-200=80 cm AH; CD,il lato obliquo e' 150x150+80x80= (calcolando la radice quadrata della somma )=170 cm. La base minore e' uguale alla base maggiore meno AH+KD quindi 280-(80+80)=120 cm. Ora possiamo calcolare il Perimetro= alla somma di tutti i lati,consideriamo anche il fatto che parlando di un trapezio isoscele i lati obliqui sono uguali.
P=170+170+280+120=740cm
L'Area e'= Base maggiore+base minore x h diviso 2 quindi 280+120/2 x 150= 30000 cmq

Ripassiamo il TEOREMA DI PITAGORA ricordando che in un TRIANGOLO RETTANGOLO,il quadrato avente per lato l’ipotenusa equivale alla somma dei quadrati aventi per lati i cateti. Se vogliamo trovare l’ipotenusa,il lato piu’ lungo, di un triangolo rettangolo sapendo i cateti , bisogna sommare i cateti elevati entrambi alla seconda tutto sotto radice . Per sapere un cateto bisogna sottrarre dall’ipotenusa al quadrato l’altro cateto al quadrato e poi fare la radice quadrata. Ora risolviamo un problema che richiede l’impiego di tale teorema:
In un trapezio isoscele ,ciascuna diagonale misura 26 cm,ciascun lato obliquo 12,5 cm, l’altezza e’ di 10 cm. Calcolare l’Area del trapezio. Facciamo la figura e riscriviamo in simboli i dati noti:

AB=CD=12,5 cm
AC=BD=26 cm
CH=10 cm
Il triangolo ACH e’ rettangolo ,AH e’ un suo cateto percio’ AH= (26x26) – ( 10x 10) = 576 cm e la radice quadrata e’ = 24 cm .
Il triangolo CHD e’ rettangolo e HD e’ un suo cateto quindi HD= (12,5 x 12,5) – (10x10)=56,25 la cui radice e’ 7,5 cm.
AD= AH+HD=24+7,5=31,5 cm ;
BC=AH – AK=AH – HD= 24 – 7,5 = 16,5 cm
L’area del trapezio e’ = alla somma delle basi per l’altezza tutto diviso 2 quindi (16,5+31,5)x 10/ 2 = 240 cmq
Riassumendo,nei problemi di geometria, bisogna sempre disegnare la figura, convertire i dati noti in lettere e quelli richiesti mettento la formula generale risolutiva,poi bisogna ragionare sui possibili modi per risolvere il problema grazie alle conoscenze teoriche sulle varie figure geometriche e sulle loro caratteristiche!

Espressioni aritmetiche frazionarie

In tali espressioni compaiono numeri interi ( ad es. 5) e numeri frazionari (ad es. 3/5). Il risultato si calcola procedendo nella stessa maniera delle espressioni intere e decimali ( ad es. 1,5). Si eseguono prima le potenze,poi le moltiplicazioni e le divisioni e infine le addizioni e le sottrazioni. Se ci sono parentesi si eseguono i calcoli partendo dalle tonde,poi dalle quadre e poi dalle graffe.Durante i calcoli bisogna sempre semplificare le frazioni semplificabili.
Primo esempio:
1/3+ 1/5 x 10^2 (10 alla seconda) + 3=
(Semplifico il 5 e il 10 dividendoli per 5)
1/3+2+3= 16/3

Secondo esercizio:
[ 1/2 +( 1/3+1/2)^2: 15/42+1 ]x3^3=
[ 1/2 + ( 2+3/6)^2:15/42+1 ]x 27 =
[ 1/2 + 5/6 (semplificato)x 42/15 +1 ]x27=
[ 1/2 + 35/18 + 1 ]x 27 =
9+35+18/18x27=
62/18x27^3=31/21x27^3= 93
Ricordare che 3^3=9 ossia ( 3x3x3), i calcoli 2+3/6, il 2 + 3 e' tutto fratto 6,idem per 9+35+18/18. Ricordarsi di procedere sul foglio con ordine e cautela e applicando le regole citate delle potenze e di semplificazione,ricordare inoltre che la divisione 5/6:15/42 si trasforma in moltiplicazione cosi' 5/6x 42/15 .

Rispondiamo ad una cara amica del sito 'icompiti' in difficolta' nella risoluzione di alcuni problemi di geometria piana,per questioni di tempo ne risolviamo alcuni tra quelli proposti:
1) Una circonferenza misura 24 (p greco) cm. Qual è l'area del cerchio in essa racchiusa?
Prima di tutto mettiamo sempre in evidenza la formula risolutiva di cio' che dobbiamo trovare,in questo caso l'Area: A=p greco per il raggio alla seconda.Noi qui abbiamo solo la circonferenza quindi dobbiamo prima ricavare il raggio che e' uguale alla circonferenza diviso 2 p greco. Quindi facendo 24pgreco : 2pgreco=12 cm sara' il raggio del cerchio.L'area e' quindi,applicando la formula iniziale: 12 x 12 x pgreco= 144 pgreco cm2.
2) Due cerchi hanno i raggi lunghi rispettivamente 21 cm e 14 cm. Calcola il rapporto delle aree.
L'area del primo cerchio e' 21 al quadrato x pgreco=441 cm2 pgreco. L'area del secondo cerchio e' 14 al quadrato x pigreco= 196 cm2 pgreco. Il rapporto tra le basi e' 441 pgreco : 196 pgreco=2.25

Disequazioni di primo grado intere.

Esempi di risoluzioni di disequazioni. Nel caso di una disequazione la soluzione puo' essere: - un insieme di valori reali (intervallo composto da infiniti valori) - l’insieme vuoto.
La ricerca delle soluzioni,di una disequazione di primo grado si sviluppa con le stesse modalità con cui si affronta un’equazione di primo grado: si trasportano tutti i termini contenenti la x al primo membro e quelli privi della x al secondo membro.Nel caso in cui al primo membro il coefficiente della x sia negativo occorre: - moltiplicare per –1 sia il primo che il secondo membro - cambiare il verso della disuguaglianza, così che > diventi < (e viceversa) e >= diventi <= (e viceversa).
E’ utile, al termine dei calcoli, eseguire un piccolo grafico ove possa determinarsi il campo dei valori che verificano la disuguaglianza. Nel grafico, per convenzione, utilizziamo linee continue per indicare l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, linee tratteggiate per indicare l’intervallo dove la disequazione non è soddisfatta.
Esercizio: 2x – 3 > 5 – 4x (sposto le x al primo membro e i numeri al secondo membro)
2x + 4x > 5 + 3 (cambio i segni come per le equazioni)
6x >8 (faccio la somma algebrica)
x> 8/6
(semplifico) x > 4/3
Esercizio: 5 – 7x < 9 – x
x – 7x < 9 – 5
- 6x < 4 (devo cambiare i segni e il verso quindi)
6 x > - 4
x >- 4/6
x > - 2/3
Grafico: -2/3 -------------------o_____________
Altro Esercizio: 3 – 4x < 2 - 4x
4x – 4x < 2 – 4x
0< - 1
è impossibile, quindi non ci sono soluzioni
Altro Es. 8+ x > 7 + x
- x + x > 7 – 8
0> -1
è verificata per qualunque valore di x, quindi l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme R dei numeri reali.

Problema di primo grado a due
incognite:

Trovare due numeri consecutivi sapendo che la loro somma e' 21.I due numeri sono x e y

La somma e' x+ y =21
Sono consecutivi quindi x= y+1

Metto a sistema le due equazioni:

x+y=21 x=y+1 sostituisco

il valore di x della seconda equazione alla prima eq.

y+1+y=21 sommo algebricamente i coeff.numerici di y e separo i termini noti da quelli con y cambiando il segno a 1

2y=21-1=20 risolvo l'equazione
y=20:2=10

sostituisco tale valore a y per trovare x
x=10+1=11