CONTENIDO
Geometr�a junto al r�o
Geometr�a a campo raso
Geometr�a de viaje
Sin tablas ni f�rmulas
Donde la Tierra se junta con el Cielo
Geometr�a de los robinsones
Geometr�a a ciegas
Lo antiguo y nuevo sobre el c�rculo
Geometr�a sin mediciones y sin c�lculos
Grande y peque�o en geometr�a
Econom�a Geom�trica
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Escribir @ Antonio
GEOMETR�A RECREATIVA
SEGUNDA PARTE
ENTRE PASO Y BROMA EN GEOMETR�A
CAPITULO DUOD�CIMO
ECONOM�A GEOM�TRICA
Contenido:
1. Como Pajom compraba la tierra.
2. Trapecio o rect�ngulo
3. Una propiedad excelente del cuadrado
4. Los terrenos de otra forma
5. Las figuras con mayor superficie
6. Los clavos
7. Un cuerpo de mayor volumen
8. El producto de multiplicadores equivalentes
9. Un tri�ngulo con mayor superficie
10. La viga m�s pesada
11. De un tri�ngulo de cart�n
12. Problema del tornero
13. �C�mo se prolonga una tabla?
14. Un camino m�s corto
1. Como Pajom compraba la tierra. (una problema del Le�n Tolstoi)
- �A que precio ser�? - dice Pajom.
- El precio que tenemos es �nico: 1000 rublos por un d�a.
Pajom no hab�a entendido.
- �C�mo es esta medida, un d�a? �Cu�ntos diezmos en un d�a ser�n?
- Nosotros, dice, no sabemos contar esto. Nosotros vendemos al d�a; Cu�nta tierra dejar�s atr�s durante el d�a, toda ser� tuya, y el precio es 1000 rublos.
Se extra�� Pajom.
- Pero esto, dice, durante el d�a seria mucha tierra.
El jefe sonr�e.
- Toda tuya, pero a condici�n de que, si no vuelves antes de la puesta del sol al sitio de donde comenzaste la vuelta, pierdes tu dinero.
- �Pero como, dice Pajom, voy a marcar, por donde voy a pasar?
- Nosotros estaremos en el sitio que te guste m�s; nosotros estaremos quietos y tu caminas, hazlo en c�rculo, y coge contigo un rascador y, marcas donde sea necesario, en las esquinas haz los agujeros; luego nosotros de una esquina a otra pasaremos con el arado. Cualquier circulo es tuyo, lo �nico, hasta la puesta del sol tendr�s que volver al sitio de donde empezaste. Todo lo que dejes atr�s ser� tuyo.
Los baskirios se fueron. Prometieron volver ma�ana con el amanecer al mismo sitio.
Vinieron todos al amanecer. El jefe se acerc� e indic� con la mano a Pajom.
- Aqu� esta, le dice, todo alrededor es m�o. Elige cualquier lugar.
El jefe puso su gorra zorruna en la tierra.
- Aqu� estar� esper�ndote, dice, esta ser� la primera marca. Desde aqu� vete y vu�lvete por aqu�. Todo lo que dejes atr�s, todo tuyo ser�.
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| Figura 173. �Corre Pajom al m�ximo de sus fuerzas, y el sol est� acerc�ndose al horizonte�. |
Aun se alej� a una vierst , se par� e hizo un agujero. Se alej� todav�a mas e hizo otro agujero.
Se hab�a pasado cinco vierst . Mir� al sol, era hora de desayuno. "Dej� como un atelaje, pens� Pajom. Durante el d�a hay cuatro, aun es pronto para girar� y se fue recto.
�Ahora, piensa, en este lado he cogido demasiado; Tengo que girar� Se par�, excav� otra vez un agujero y tom� a la izquierda.
Se alej� bastante por el mismo lado, tom� la otra esquina. Ech� un vistazo a la colina; se mareaba por el calor que hac�a, a lo lejos se dejaba ver la gente. �Ahora, piensa, he cogido demasiado de largo, este lado lo voy a tomar mas corto�. Inici� el tercer lado. Mir� al sol, se acerca el mediod�a, el tercer lado lo dejo solamente en dos verst . Y hasta el sitio inicial los mismos 15 verst . �No, piensa, aunque salga un terreno torcido, tengo que llegar al tiempo�.
Excav� un agujero Pajom e hizo el ultimo giro, caminando hacia la colina.
Camina recto hasta la colina y de pronto empez� sentirse mal. Necesitaba tomar un descanso, pero no puede, no llegar� antes de la puesta de sol. El sol esta acerc�ndose al horizonte.
Camina Pajom; dif�cil es para �l, pero se apura a�n m�s. Camina, camina, aun est� lejos el fin; trot� corri�, la camisa, el pantal�n se pegan al cuerpo por el sudor y la boca esta seca. El pecho se hincha como fuelle de fragua, el coraz�n lat�a como martillo.
Corre Pajom, gastando a las �ltimas fuerzas, y el sol mas y m�s se acerca al horizonte. Ahora mismo desaparecer� (dibujo 173).
El sol est� cerca y el sitio tampoco est� lejos. Ve la gorra zorruna encima de la tierra y el jefe est� sentado en el suelo.
Mir� Pajom al sol, c�mo el sol estaba tocando la tierra, y poco a poco desapareci�ndose. Aumento sus fuerzas Pajom, le dio un suspiro, se subi� a la colina. Ve la gorra. Se le doblaron las piernas y se ha ca�do al suelo, con manos traspiradas, toca la gorra.
- �Qu� muchacho! - grito el jefe: - �Cuanta tierra ha ganado!
Se acerco un trabajador, quiso ayudar a levantarse, pero ve la sangre en la boca, el hombre esta muerto�"
Problema (de Le�n Tolstoi):
Dejaremos aparte el triste fin de la historia y vamos a examinar la parte geom�trica de esa historia. Podemos encontrar sobre datos dispersos en la historia, �cuantos diezmos de tierra se ha recorrido Pajom? La tarea a primera vista se parece incumplida, se solucionar�, sin embargo, bastante f�cil.
Soluci�n
Con mucha atenci�n otra vez leemos la historia y obteniendo los datos geom�tricos, es f�cil de asegurarse, que los datos obtenidos son suficiente para responder a esa pregunta. Podemos dibujar un plano del terreno echo por Pajom.
En primer lugar, est� claro, que Pajom ha recorrido sobre lados de un rect�ngulo. Sobre primer lado leemos:
"He dejado atr�s cinco verst � Voy a pasar a otros cinco m�s; Luego tomare a la izquierda�" Entonces, el primer lado del rect�ngulo ten�a una longitud de mas o menos 10 verst .
Sobre el segundo lado, marcado el �ngulo recto con el primer lado, no se dice nada.
La longitud de tercer lado, evidentemente, perpendicularmente al otro, se dice a continuaci�n: �Sobre tercer lado hab�a recorrido solamente dos verst �.
Esta dada, por supuesto, la cuarta parte del rect�ngulo: �Hasta el fin los mismos cinco verst�.
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| Figura 174. El camino de Pajom |
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| Figura 175. Especificaci�n del camino. |
Entonces el segundo lado tenia la longitud de 13 verst. Evidentemente, Pajom se hab�a equivocado, tomando el segundo lado m�s corto, que el primero.
Como vemos, con la certeza dibujar el plano de aquel terreno, el que ha recorrido el Pajom. Es cierto, Tolstoi hab�a tenido delante un dibujo semejante al dibujo 174, cuando estuvo escribiendo esa historia.
Ahora resulta f�cil a encontrar la superficie del trapecio ABCD, formado por el rect�ngulo EBCD y por el tri�ngulo rect�ngulo AED. Ella es:
El c�lculo sobre la formula del trapecio nos arroja el mismo resultado:
Hab�amos encontrado, que Pajom ha recorrido un terreno espacioso con una superficie de 78 verst cuadrados, m�s o menos 8.000 diezmos. Una diezma era equivalente a 12 copecs.
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2. Trapecio o rect�ngulo
Problema:
Durante el d�a m�s fat�dico en su vida Pajom hab�a recorrido 10 + 13 +2 + 15 = 40 verst, caminando sobre los lados de un trapecio. Su intenci�n principal era caminar sobre los lados de un rect�ngulo; el trapecio le ha salido por la causalidad, es el resultado de un c�lculo mal hecho. Es curioso: �Ha ganado o ha perdido, cuando su terreno ha resultado como un trapecio? �En qu� caso �l podr�a haber recibido el mayor terreno?
Soluci�n
A los rect�ngulos con un contorno de 40 verst podr� ser mucho, y cada uno tiene su superficie distinta. Aqu� est�n los ejemplos:
|
14
�
6 = 84
13 � 7 = 9 12 � 8 = 96 11 � 9 = 99 |
verst cuadrados
� � � |
Vemos, que para todas estas figuras, con el mismo per�metro de 40 verst, la superficie es mayor, que para nuestro trapecio.
Sin embargo, son evidentes y otros rect�ngulos con per�metro de 40 verst, cuya superficie es menor, que para el trapecio:
|
18
�
2 = 26
19 � 1 = 19 19 � � � = 9 |
verst cuadrados
� � |
Por lo tanto, no podemos dar la respuesta justa para este problema. Hay rect�ngulos con superficie mayor, que el trapecio, pero hay tambi�n con la menor superficie, con el mismo contorno. Aunque podemos dar una respuesta justa para la pregunta: �Cu�l de todas figuras rectangulares con el per�metro dado tendr� la superficie m�s grande? Comparando nuestros rect�ngulos, anotamos, que cuando hay menor diferencia entre los lados, entonces la superficie del rect�ngulo es la mayor. A continuaci�n terminando, que cuando esa diferencia no existe, es decir, cuando el rect�ngulo se convierte al cuadrado, la superficie alcanzara la mayor cantidad. Luego ella ser� equivalente a 10 � 10 = 100 verst cuadrados. Es f�cil de ver, que el cuadrado realmente supera por su superficie al cualquier otro rect�ngulo del mismo per�metro. Pajom tenia que caminar sobre los lados de un cuadrado para conseguir un terreno de una superficie m�s grande posible, sobre 22 verst cuadrados mas, que �l hab�a logrado.
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3. Una propiedad excelente del cuadrado
La excelente propiedad del cuadrado es incluir dentro de sus l�mites la mayor superficie en comparaci�n con otros rect�ngulos del mismo per�metro. Haremos una demostraci�n justa de esta posici�n.
Llamaremos P el per�metro de la figura rectangular . Si el cuadrado tiene el mismo per�metro P, entonces cada uno de sus lados tendr�a que ser equivalente a P/4.
Demostraremos, que acortando unos de sus lados sobre tal cantidad b sobre la misma prolongaci�n del lado pr�ximo, nosotros obtendremos un rect�ngulo con el mismo per�metro, pero con la menor superficie. Dicho de otra manera, demostraremos, que la superficie
del cuadrado es mayor de la superficie
del rect�ngulo:
>
Como el lado de derecho de esa desigualdad
,
entonces, todas las formulas tomaran el aspecto
Pero es evidente la ultima desigualdad: El cuadrado de cualquier cantidad, negativa o positiva, es mayor que 0. Por lo tanto, es correcta la desigualdad principal, la que conduc�a a nosotros hasta aqu�.
O sea, el cuadrado tiene la mayor superficie de todos rect�ngulos con el mismo per�metro.
De aqu� se deduce, adem�s, entre todas figuras rectangulares con las mismas superficies, un cuadrado tiene la menor superficie. Podemos convencernos por el siguiente razonamiento. Supongamos, que no es cierto y que existe un tal rect�ngulo A, el que con la superficie equivalente al cuadrado B tiene el per�metro menor, que �l. Luego, dibujando un tal cuadrado C con mismo per�metro como tiene rect�ngulo A, obtenemos el cuadrado, que tiene la superficie mayor que A y, por lo tanto, mayor que el cuadrado B. �Entonces, que tenemos? Que el cuadrado C tiene el per�metro menor que el cuadrado B , pero la superficie es mayor que �l. Esto, naturalmente, es imposible: Como un lado de cuadrado C es menor, de un lado de cuadrado B, entonces la superficie tiene que ser menor. Entonces, no es posible la existencia del rect�ngulo A, el que con la misma superficie tiene el per�metro menor que del cuadrado. Dicho de otra manera, de todos los rect�ngulos con la misma superficie, el menor per�metro la tiene el cuadrado.
Los conocimientos de esta propiedad del cuadrado podr�an ser una buena ayuda para Pajom, poder calcular sus fuerzas y conseguir un terreno rectangular de mayor superficie.
Sabiendo, que pudo caminar durante todo el d�a, sin ning�n esfuerzo, digamos 36 verst , podr�a seguir por el lado de 9 verst del cuadrado y a tardecer seria el poseedor de un terreno de 81 verst cuadrados, - es como 3 verst cuadrados mas que el que hab�a conseguido con un final mortal. Y, al contrario, si �l hab�a tenido un limite definido de la superficie para un terreno rectangular, por ejemplo, a 36 verst cuadrados, entonces �l podr�a lograr el resultado con esfuerzo m�nimo, andando sobre los lados del cuadrado, de un lado a 6 verst.
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4. Los terrenos de otra forma
Puede ser, que para Pajom fuera m�s rentable conseguir un terreno no de una forma rectangular, sino cualquiera otra, quiz�s triangular, pentagonal, cuadrado y etc.
Esta pregunta tiene que ser examinada por la matem�tica; pero, por ciertas razones, no vamos a entrar en esto, solamente vamos a demostrar a los resultados.
En primer lugar, podemos demostrar, que de todos cuadril�teros con el mismo per�metro la m�s mayor superficie pertenecer� al cuadrado. Por eso, deseando tener un terreno cuadrilateral, con ning�n artificio Pajom no podr�a alcanzar m�s de 100 verst cuadrados (calculando, que su carrera diaria m�xima es - 40 verst ).
En segundo lugar: Podemos demostrar, que el cuadrado tiene la mayor superficie, de cualquier tri�ngulo con el mismo per�metro. Un tri�ngulo equil�tero con el mismo
per�metro tiene un lado y la superficie (con la formula
(
S
es la superficie,
a
es el lado)
Es decir, es menor de aquel trapecio que hab�a recorrido Pajom. A continuaci�n (ver
�Un tri�ngulo con mayor superficie�) ser� demostrado, que de todos tri�ngulos con el mismo per�metro, el tri�ngulo equil�tero tiene la mayor superficie. Entonces, si adem�s este mayor tri�ngulo tiene la superficie menor que la superficie del cuadrado, entonces todos otros tri�ngulos del mismo per�metro son menores de superficie, que el cuadrado.
Pero si vamos a comparar la superficie de cuadrado con superficie del pent�gono, hex�gono y etc. con el mismo per�metro, entonces aqu� su propiedad se terminar�: un pent�gono regular tiene mayor superficie, un hex�gono aun mayor y etc. F�cil de convencerse teniendo como ejemplo un hex�gono regular. Con el per�metro de 40 verst su es lado 40/6 y superficie (por la formula
) es
Sabiendo y eligiendo para su terreno la forma de hex�gono regular, �l con el mismo esfuerzo podr�a alcanzar la superficie de 115 - 78, es decir de 37 verst cuadrados mas, que en realidad, y de 15 verst cuadrados mas, que da el terreno cuadrado (pero para esto tendr�a que haber empezado el viaje con un instrumento goniom�trico).
Problema :
Cogiendo las seis cerillas necesita hacer una figura con mayor superficie.
Soluci�n .
Con seis cerillas podemos construir varias figuras distintas: un tri�ngulo equil�tero, un rect�ngulo, hex�gonos irregulares y por fin - un hex�gono regular. Un ge�metra, sin comparar entre si las superficies de estas figuras, sabe muy bien, cual figura tiene la mayor superficie es hex�gono regular.
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5. Las figuras con mayor superficie
Podemos demostrar geom�tricamente, que la mayor cantidad de los lados de un pol�gono regular, formara la mayor superficie con la misma longitud de los lados. Y la mayor superficie con un per�metro dado inscribe la circunferencia. Si Pajom hubiera caminando sobre una circunferencia, entonces, recorriendo los mismos 40 verst, �l pudiera conseguir la superficie de
Con la mayor superficie sobre un per�metro dado no puede ganar ninguna otra figura mas, es igual, la rectil�nea o curvil�nea.
Perm�tanme detenerme un poco m�s en esta propiedad sorprendente del circulo, como es la de formar dentro de sus limites la mayor superficie, que cualquiera otra figura, teniendo el mismo per�metro. Puede ser, que algunos lectores tengan curiosidad de saber de qu� manera se demuestran las situaciones semejantes. Luego vamos a demostrar, la verdad es que la demostraci�n no es cl�sica, esta propiedad del circulo, presentada por el matem�tico Yakov Shteyner. El texto es bastante largo, y si Uds. encuentran demasiado molesto, pueden dejar pasar, sin preocuparse de no entender la siguiente parte.
Se necesita demostrar, que la figura, teniendo la mayor superficie con un per�metro dado, ser� el c�rculo. Antes de todo estableceremos, que la figura buscada tiene que ser convexa. Esto significa, cualquier cuerda debe estar situada totalmente en dentro de la figura. Tenemos una figura AaBC (figura 176), teniendo la cuerda externa AB. Cambiaremos la cuerda a por la cuerda b, sim�tricamente con ella. Con este cambio el per�metro de figura ABC no se cambia, pero la superficie claramente se ampl�a. Entonces, todas las figuras como AaBC no pueden ser las que tienen mayor superficie con el mismo per�metro.
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| Figura 176. Ordenamos, que la figura con mayor superficie debe ser convexa tambi�n y la superficie |
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| Figura 177. Si la cuerda divide por la mitad del per�metro de una figura convexa de mayor superficie, entonces ella corta por la mitad tambi�n a la superficie. |
O sea, la figura buscada es convexa. Luego podemos adelantar, establecer otra propiedad mas de esta figura: Cualquier cuerda, la que divide por la mitad su per�metro, le corta por la mitad tambi�n a la superficie. Sea la figura AMBN (figura 177) la buscada, y sea la cuerda MN divide su per�metro por la mitad. Demostraremos, que superficie AMN es equivalente a la superficie MBN. En realidad, si alguna de estas partes fuera mayor de superficie, que la otra, por ejemplo, AMN > MNB, entonces, doblando la figura AMN, la superficie que es mayor que de la figura principal AMBN, donde el per�metro es mismo con ella. Entonces, la figura AMBN, donde la cuerda corta el per�metro por la mitad, divide la superficie en dos partes de diferente �rea, lo que no puede ser posible ( es decir, no puede tener la mayor superficie con un per�metro dado).
Antes de seguir adelante, demostraremos el siguiente teorema secundario: De todos los tri�ngulos con dos lados conocidos, la mayor superficie la tendr� el que forma con sus lados un �ngulo recto. Para demostrar esto, acordamos una expresi�n trigonom�trica de superficie S del tri�ngulo con los lados a y b y el �ngulo C entre ellos.
Este termino ser�, evidentemente, el mayor (sobre los lados conocidos) cuando el sen(C) tome su mayor valor, es decir, ser� equivalente a uno. Pero el �ngulo cuyo seno es 1, es el recto. Es todo lo que deber�amos de demostrar.
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| Figura 178. Supongamos la existencia de una figura convexa, que no es un c�rculo, con la mayor superficie. |
Ahora podemos empezar a solucionar el problema principal, demostrando que de todas figuras con el per�metro p la de mayor superficie es la circunferencia. Para convencerse, probaremos admitir la existencia de una figura convexa MANB y no sea circular (figura 178), la que domina esta propiedad. Pasaremos hasta ella una cuerda MN, con la posici�n sim�trica al ( MK' N ). Anotamos, que figura MNK' M tiene el mismo per�metro y la misma superficie, que la figura principal MKNM .
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| Figura 179. Establecemos que de todas las figuras con el per�metro dado, la mayor superficie es la circunferencia |
Como la cuerda MKN no es la mitad de circunferencia, entonces encima de ella tendr�n que ser situados unos puntos, donde el segmento MN se ve no sobre un �ngulo recto. Sea bien, K - es un punto, K' - es el sim�trico al, es decir, los �ngulos K y K' - no son rectos. Separando (o uniendo) a los lados MK, KN, MK' , NK' , podemos formar entre ellos un �ngulo recto y luego obtendremos los tri�ngulos rect�ngulos equivalentes. Estos tri�ngulos los colocaremos sobre sus hipotenusas como en la figura 179, y unimos en unos sitios correspondientes a los segmentos sombreados. Obtenemos la figura M' KN' K' , teniendo el mismo per�metro, que la principal, pero, evidente, con la mayor superficie (por que los tri�ngulos rect�ngulos M' KN' y M' K' N' tienen la mayor superficie, que los no rect�ngulos MKN y MK' N ). Entonces, ninguna otra figura, si no es circulo, no puede tener la mayor superficie con un per�metro dado.
De esta manera sustentado, podemos demostrar que el circulo es la figura que tiene mayor superficie, con un per�metro dado.
Es f�cil de demostrar la equidad de una posici�n: De todas figuras de igual superficie, el circulo es el que tiene el menor per�metro. Observ�ndola, podemos aplicar para el circulo todos los argumentos que antes usamos para el cuadrado (ver �Una propiedad excelente del cuadrado�)
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6. Los clavos
Problema:
�Qu� clavo es m�s dif�cil de sacar, el redondo, cuadrado o triangular, si ellos estuviesen clavados a la misma profundidad y tienen la misma superficie del corte transversal?
Soluci�n
Intuitivamente sabemos que el clavo que tiene mayor resistencia a la extracci�n es aqu�l que tiene mayor superficie de contacto con la madera �Cu�l clavo de los tres, tiene la mayor superficie de contacto? Nosotros sabemos, que con las mismas superficies, el per�metro del cuadrado es menor que el per�metro de tri�ngulo, y la circunferencia es menor que el per�metro del cuadrado. Si un lado del cuadrado le asignamos el valor 1, entonces el c�lculo deja para estas tres cantidades los valores de 4,53; 4; 3,55. Por lo tanto, el que se mantiene m�s fuerte de todos es el clavo triangular.
Sin embargo, estos clavos no fabrican, por lo menos no est�n a la venta. La causa es que estos clavos son f�ciles de doblar y de romper.
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7. Un cuerpo de mayor volumen
Una propiedad semejante al circulo, la tiene la superficie esf�rica: ella tiene el mayor volumen con una cantidad dada de superficie. Y al contrario, de todos los cuerpos del mismo volumen, el de menor superficie es la esfera.
Estas caracter�sticas juegan el gran papel en la vida pr�ctica. El samovar esf�rico tiene menor superficie, que el cilindro o de cualquier otra forma, conteniendo la misma cantidad de vasos, y como el cuerpo pierde el calor en funci�n de su superficie, entonces el samovar esf�rico se enfr�a mas lento que cualquier otro del mismo volumen. Al contrario, el recept�culo del term�metro se calienta y se enfr�a m�s r�pido (es decir, cogiendo la temperatura del medio ambiente), cuando tiene la forma de un cilindro y no de esfera.
Por la misma raz�n el globo terrestre, formado por una capa s�lida y el n�cleo, debe de reducir su volumen, es decir, endurecerse, estrecharse, por todas causas, transformando la forma de su superficie: Su contenido profundo debe ser estrecho cada vez, cuando su forma inferior sobrevive alg�n cambio, sali�ndose de la esfera. Es posible, que este asunto geom�trico est� en una relaci�n estrecha con los terremotos y generalmente con los fen�menos tect�nicos; pero sobre eso deben que dar su opini�n los ge�logos.
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8. El producto de multiplicadores equivalentes
Las tareas, a las que ahora est�bamos dedicando el tiempo, se pueden analizar desde su aspecto econ�mico: Sobre el consumo del esfuerzo dado (por ejemplo, caminando 40 verst), y �c�mo conseguir el mayor resultado (rodeando el terreno m�s grande posible)? De aqu� viene el titulo de una parte del libro: �Econom�a geom�trica�. Pero esto es la voluntad de vulgarizador; en matem�tica los problemas del mismo sentido tienen otro nombre: Problemas sobre �m�nimo y m�ximo�. Ellos pueden ser variados por su asunto y por su nivel de dificultad. La mayor parte de los problemas se solucionan �nicamente con matem�ticas especiales; Pero hay algunos, donde paral solucionarlos es suficiente algunos conocimientos elementales. A continuaci�n vamos a examinar un par de problemas semejantes, los que vamos a solucionar, usando una propiedad curiosa, como hacer derivar multiplicadores equivalentes.
Para casos de dos multiplicadores con esta propiedad ya se conoce. Nosotros sabemos, que la superficie del cuadrado es mayor que la superficie de cualquier rect�ngulo del mismo per�metro. Si traducimos esa situaci�n geom�trica a la lengua aritm�tica, va a significar lo siguiente: Cuando es necesario dividir el numero sobre dos partes, donde su producto ser� el mayor, entonces hay que dividir por la mitad. Por ejemplo, de todos productos
|
13
�
17
16 � 14 12 � 18 11 � 19 10 � 20 15 � 15 |
y etc., la suma de los multiplicadores es 30, el mayor ser� 15 � 15, aun si comparamos los productos de n�meros fraccionarios ( 14 1 / 2 � 15 1 / 2 y etc.).
Es correcto tambi�n para los productos de tres multiplicadores, teniendo la suma constante: Su producto alcanzara la mayor cantidad, cuando multiplicadores son equivalentes entre si. Eso se deduce del precedente. Sean tres multiplicadores x, y, z, su suma es a ;
Supongamos, que x e y no son equivalentes entre si. Si cambiamos cada uno de ellos por
media suma
,
entonces la suma de multiplicadores no cambiar�:
Con acuerdo con anterior
Entonces el producto de tres multiplicadores
es el mayor del producto de xyz :
en general, si entre multiplicadores xyz hay algunos que son desiguales, entonces, siempre podemos encontrar a los n�meros, los que sin cambiar la suma total, den el mayor producto, de xyz. Y solamente cuando todos tres multiplicadores son equivalentes, cumplir el mismo cambio no es posible. Por lo tanto, sobre x + y + z = a, el producto xyz ser� el mayor cuando
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9. Un tri�ngulo con mayor superficie
Problema:
�Qu� forma debe de tomar el tri�ngulo, para que tenga la mayor superficie con la suma de sus lados dados?
Nosotros ya tenemos anotado anteriormente (ver �Terrenos de otra forma�), que esta propiedad es sostenida por el tri�ngulo equil�tero. �Pero como podemos demostrarlo?
Soluci�n.
La superficie S del tri�ngulo con lados a, b, c y con el per�metro a + b + c = 2p se expresa, como sabemos del curso de geometr�a, as�
de donde
La superficie S del tri�ngulo ser� mayor, cuanto mayor sea la cantidad su cuadrado S 2 , o la expresi�n S 2 /p, donde p es el semiper�metro, y de acuerdo con la condici�n del problema, es constante. Pero como ambas partes de igualdad reciben la mayor significativo simult�neamente, entonces la pregunta tiene su expresi�n en cu�l condici�n del producto
ser� el mayor. Anotando, que la suma de estos tres multiplicadores es la cantidad constante,
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10. La viga m�s pesada
Problema:
De un madero de forma cil�ndrica necesita aserrar una viga de mayor peso. �C�mo vamos a actuar?
Soluci�n
La tarea, evidentemente, se expresa inscribiendo un rect�ngulo con mayor superficie dentro de un circulo. Aunque, antes de todo dicho nuestros lectores est�n preparados a contestar, que ese rect�ngulo debe ser un cuadrado, pero hay que demostrarlo. Llamaremos un lado del rect�ngulo buscado (figura 180) a trav�s de x; Luego el otro se expresa a trav�s de
,
donde
R
es el radio del corte circular del madero.
 |
| Figura 180. Para la tarea sobre una viga de mayor peso |
La superficie del rect�ngulo
de donde
 |
| Figura 181. Dentro del tri�ngulo hay que inscribir un rect�ngulo de mayor superficie. |
.
Entonces, luego alcanzara la mayor cantidad de
S,
es la superficie del rect�ngulo buscado.
O sea, un de los lados del rect�ngulo con la mayor superficie es
,
es decir al lado del cuadrado inscrito. La viga tiene el mayor volumen, cuando
su corte es cuadrado, inscrito en el corte del madero cil�ndrico.
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11. De un tri�ngulo de cart�n
Problema:
Tenemos un pedazo de cart�n de forma triangular. Necesita cortarlo paralelamente a su base y a la altura, un rect�ngulo de mayor superficie.
Soluci�n.
Sea ABC ese tri�ngulo (figura 181), y MNOP - es aquel rect�ngulo, el debe quedar despu�s del corte.
Por semejanza de los tri�ngulos ABC y NBM tenemos
De donde
Llamando uno de los lados NM del rect�ngulo buscado a trav�s de y, su distancia BE desde el v�rtice del tri�ngulo a trav�s de x, la base AC del tri�ngulo dado a trav�s de a, y su altura BD a trav�s del h, escribimos la formula anteriormente recibida en esta presencia
La superficie S del rect�ngulo buscado MNOP es:
Por lo tanto
La superficie S ser� la mayor, cuando el producto Sh/a sea mayor tambi�n, por lo tanto cuando alcance la mayor cantidad el producto de los multiplicadores (h - x) y x. Pero la suma h - x + x = h , es la cantidad constante. Entonces, su producto es m�ximo, cuando
donde
Ahora sabemos, q ue el lado NM del rect�ngulo buscado pasa a trav�s de la mitad de altura del tri�ngulo y, por lo tanto, se une los medios de sus lados. Entonces, esta parte del rect�ngulo es a/2 , y la otra es h/2.
Problema:
Un hojalatero tuvo que prepararlo de un pedazo cuadrado de hojalata de 60cm de anchura, a una caja con el fondo cuadrado sin la tapa y con una condici�n: La caja tendr� que ser de mayor espaciosidad. Hojalatero tardo bastante tiempo, buscando de que anchura deben de ser los bordes, pero al final no encontr� la soluci�n justa (dibujo 182).
�Puede ser, que el lector era capaz de sacar nuestro hojalatero de esa dificultad?
 |
| Figura 182. Problema de hojalatero |
Sea que la anchura de bandas dobladas es x (dibujo 183). Luego la anchura del fondo cuadrado ser� 60 - 2x; el volumen v de la caja se expresar� por el producto
�Cu�l x dar� a este producto el mayor valor? Si la suma de los tres multiplicadores fuera constante, el producto ser� mayor en el caso de su igualdad. Pero aqu� la suma de multiplicadores es
no es la cantidad constante, porque var�a con x. Sin embargo no es dif�cil conseguir aquello para que la suma de los tres multiplicadores sea constante: Para esto es suficiente multiplicar ambas partes de la igualdad por 4. Obtenemos:
Entonces el volumen v alcanza su m�ximo su m�ximo. Entonces, la caja saldr� de mayor volumen, si doblamos 10 cm de hojalata. Este mayor volumen es 40 � 40 � 10 = 16.000 cm 3 . Doblando sobre un cent�metro menos o m�s, nosotros en ambos casos disminuimos el volumen de la caja. Es cierto,
11 � 38 � 38 = 15900 cm 3 ,
 |
| Figura 183. Soluci�n de problema del hojalatero |
12. Problema del tornero
Problema:
A un tornero le han dado un cono y le han encargado de tornear un cilindro, gastando la menor cantidad del material (figura 184). El tornero comenz� meditar sobre la forma del cilindro buscado: haciendo mas alto, pero estrecho (figura 185, a la izquierda), o al contrario, ancho, pero m�s bajito ( figura 185, a la derecha). Al final no pudo resolver el problema. �C�mo deber�a actuar el tornero?
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| Figura 184. Problema del tornero |
La tarea necesita atenci�n geom�trica. Sea bien ABC (figura 186), es la secci�n c�nica, BD - es su altura, la que llamaremos h; El radio de su base AD = DC le llamaremos R. El cilindro, que podamos tornear del cono, tiene la secci�n MNOP. Encontraremos, a qu� distancia BE = x del v�rtice B debe de estar la base encima del cilindro, para que su volumen fuere el mayor.
El radio del cilindro (PD o ME) es f�cil de encontrar a trav�s de proporci�n
de donde
La altura ED del cilindro h - x. Por lo tanto su volumen es
de donde
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| Figura 185. De un cono es posible tornear un cilindro alto pero estrecho, o ancho pero bajito. �En qu� caso se gastar� menos material? |
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| Figura 186. Secci�n c�nica y cil�ndrica |
, las cantidades
h,
p
y
R
son constantes y solamente
v
es la cantidad variable. Deseamos encontrar aquel
x,
con el cual
v
se hace el mayor. Pero, evidentemente, que
v
ser� mayor en el mismo tiempo con
,
es decir con
x
2
(h - x).
�Cu�ndo ser� mayor esta ultima expresi�n? Aqu� tenemos a los tres multiplicadores variables x, x y (h - x). Si su suma fuera constante, entonces el producto seria mayor, cuando los multiplicadores sean equivalentes entre si. Esta constancia de la suma es f�cil de conseguir, si ambas partes de la �ltima igualdad la multiplicamos por 2. Vamos a ver que obtendremos:
Ahora tres multiplicadores de la parte derecha tienen la suma constante
Por lo tanto, su producto ser� el mayor, cuando todos los multiplicadores son equivalentes, es decir
x = 2h/3
seria mayor con ella el volumen del cilindro
v
tambi�n seria mayor. Ahora sabemos, como tendr�a que ser torneado el cilindro:
su base encima tiene que distar desde la cima,
2/3
de su altura.
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13. �C�mo se prolonga una tabla?
A veces en un taller o en casa, cuando queremos preparar una u otra cosa, las medidas del material, que tenemos a mano no coinciden a las que necesitamos.
Entonces tenemos que cambiar las medidas del material con un tratamiento, que le corresponda, y podamos conseguirlo con ayuda de viveza geom�trica y del calculo.
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| Figura 187. Como se alarga una tabla por el medio de tres cortes y una encoladura. |
�C�mo vamos a actuar?
Es posible que a lo largo de esta tabla podamos cortar un list�n de tres trozos iguales con longitud de 25 cm cada una y con dos de ellas alargar la tabla (figura 187 abajo).
Esta soluci�n de problema no es ahorrable de punto de vista de cantidad de operaciones (tres cortes y tres pegas) y no responde a las exigencias de solidez (all� donde las tabletas est�n pegadas a la tabla).
Problema:
Encontrar un modo de prolongar una tabla dada por medio de tres cortes y solamente una encoladura.
Soluci�n.
Tenemos que aserrar la tabla (figura 188) ABCD diagonalmente (AC) y acercar una mitad (por ejemplo, ABC) a lo largo de diagonal paralelamente a si mismo sobre cantidad C 1 E, igualmente a la longitud faltante, es decir 25 cm; La longitud total de las dos mitades ser� equivalente a 1 m. Ahora estas dos partes hay que pegar sobre la l�nea AC 1 y los que sobra (los tri�ngulos sombreados) hay que cortarlos.
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| Figura 188. Soluci�n de un problema sobre la prolongaci�n de una tabla |
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14. Un camino m�s corto
Resumiendo vamos a ver como se soluciona un problema sobre �m�ximo y m�nimo�, con ayuda de una simple construcci�n geom�trica.
Problema:
En la orilla de un r�o necesita construir un deposito de agua, desde el que agua correr�a por tuber�as a los pueblos A y B (figura. 189).
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| Figura 189. Para el problema sobre deposito de agua. |
�En que sitio hay que construir, para que la longitud total de las tuber�as desde el deposito hasta ambos pueblos sea la m�nima?
Soluci�n
El problema tiene su expresi�n en b�squeda del camino mas corto desde el punto A hasta orilla y luego hasta el punto B.
Supongamos, que el camino buscado es ACB (figura 190). Doblaremos el dibujo sobre CN. Obtendremos el punto B' . Si el ACB es camino mas corto, entonces, como CB' = CB, el camino ACB' tendr� ser mas corto de cualquier otro (por ejemplo, de ADB' ).
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| Figura 190. La soluci�n geom�trica de un problema sobre elecci�n del camino m�s corto. |
Entonces, para la b�squeda del camino mas corto tenemos que encontrar un punto C de intersecci�n de una recta AB' con la l�nea de la orilla. Luego, uniendo C con B, encontraremos ambas partes del camino mas corto desde el A hacia el B.
Pasando en el punto C una perpendicular hacia CN, es f�cil de ver, que los �ngulos ACP y BCP, formados por ambas partes del camino m�s corto con esta perpendicular, son equivalentes entre s�
Eso es, como sabemos, la Ley de un rayo de la luz, el que se refleja en un espejo: �ngulo de incidencia es equivalente al �ngulo de reflexi�n. De aqu� se deduce, que un rayo de luz, reflejado elige el camino m�s corto, la conclusi�n conocida hace dos mil a�os, por un f�sico y ge�metra, quien se llamaba Her�n de Alejandr�a.
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