CONTENIDO
Geometr�a junto al r�o
Geometr�a a campo raso
Geometr�a de viaje
Sin tablas ni f�rmulas
Donde la Tierra se junta con el Cielo
Geometr�a de los robinsones
Geometr�a a ciegas
Lo antiguo y nuevo sobre el c�rculo
Geometr�a sin mediciones y sin c�lculos
Grande y peque�o en geometr�a
Econom�a Geom�trica
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Escribir @ Antonio
GEOMETRIA RECREATIVA
PARTE PRIMERA
GEOMETRIA AL AIRE LIBRE
PARTE PRIMERA
GEOMETRIA AL AIRE LIBRE
Cap�tulo Tercero
Geometr�a a Campo Raso
Geometr�a a Campo Raso
Contenido:
1. Las medidas visuales de la Luna.
2. El �ngulo visual
3. Un plato y la Luna.
4. La Luna y las monedas.
5. Las fotos sensacionales.
6. El transportador vivo.
7. B�culo de Yakov.
8. Goni�metro de rastrillo.
9. El �ngulo del artillero.
10. La agudeza de nuestra vista.
11. La Luna y las estrellas sobre el horizonte.
12. Cual es la longitud de la sombra lunar y de la sombra de estrat�stato.
13. �En que altura est�n las nubes?
14. La altura de una torre en la foto.
15. Para los ejercicios independientes.
1. Las medidas visuales de la Luna.
�De qu� tamaño os parece la Luna llena? De cada persona podemos recibir un par de respuestas diferentes sobre esta pregunta.
La Luna del tamaño "un plato", "una manzana", "la cara de una persona" y etc. Las opiniones bastante indefinidas y inciertas, las cuales justifican solamente que la gente no le entienden el fondo de la cuesti�n.
La respuesta correcta sobre esta pregunta tan habitual la puede dar aquella persona que sabe sobre el "aparente" o "visible" tamaño del objeto. Pero nadie sospecha, que aqu� se trata de un valor de un �ngulo, precisamente aquel que se forma con dos l�neas rectas, trazadas desde el ojo hasta los puntos extremos del objeto observado; Este �ngulo se llama el "�ngulo visual", o el "tamaño angular del objeto" (Figura 60).
Y cuando el tamaño aparente de Luna en el cielo se eval�a, comparando con el tamaño de un plato, de una manzana y etc., entonces, las respuestas no tienen ning�n sentido y deber�an significar que la Luna se ve bajo el mismo �ngulo visual que un plato o una manzana. Pero esta indicaci�n por si mismo no es suficiente: un plato o una manzana los observamos bajo �ngulos distintos en seg�n su alejamiento: cerca, con un �ngulo grande, lejos, con un m�s pequeño. Para tener la claridad, es necesario indicar desde cu�l distancia se observa un plato o una manzana.
Comparar los tamaños de los objetos lejanos con el tamaño de los otros sin decir la distancia es el m�todo literario, el que usan los escritores cl�sicos. El que impresiona gracias a su intimidad con la sicolog�a de la mayor�a de las personas, pero no produce ninguna imagen clara.
Un buen ejemplo es del "Rey Lear" de William Shakespeare; descripci�n (por Edgar) de una vista desde una escarpadura muy alta sobre del mar:
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�Que miedo!
�Me mareo! Es demasiado abajo tirar sus miradas� Chovas y cuervos, rizando por el medio, Parezcan es poco probable tan grandes como las moscas por el medio abajo, Una persona colgada, cogiendo las hierbas del mar� �Que terrible oficio! A m� me parece no es m�s grande que su cabeza. Los pescadores, andan por la marina, Como ratones; y aquel barco grande Hab�a disminuido al tamaño de su lancha; Su lancha, un punto flotado, Es demasiado pequeña para la vista� |
Estas comparaciones dejar�an una idea m�s clara sobre la distancia, si estuvieran acompañados con las indicaciones sobre el grado de alejamiento a los objetos comparables (moscas, cabeza de una persona, rat�n, lancha�). Es lo mismo para compararlo el tamaño de Luna con un plato o una manzana, necesitamos indicaciones, como lejos del ojo deben estar estos objetos.
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| Figura 60. Qu� es el �ngulo visual |
La distancia resulta demasiado grande, como pensamos. Teniendo la manzana en la mano estirada, tapamos no solo la Luna si no tambi�n la parte del cielo. Sobre un hilo colgaremos la manzana y alej�ndose poquito a poco hacia atr�s, hasta que ella no tape el disco lleno de Luna: En esta posici�n la manzana y la Luna van a tener para nosotros el mismo tamaño visual. Midiendo la distancia desde el ojo hasta manzana, nos daremos cuenta que es mas o menos 10 metros. �As� tenemos que alejar la manzana, para que de verdad se aprecie del mismo tamaño con la Luna en el cielo! Un plato tiene que alejar hasta mas o menos 30 pasos.
Lo dicho parecer� incre�ble a quien lo escucha por la primera vez, adem�s se deduce que la Luna es observada por nosotros bajo del �ngulo visual solamente de un medio grado. Valorar los �ngulos en la vida cotidiana casi no hace falta, y por eso, la mayor�a de gente tiene una imagen indefinida sobre la cantidad de los �ngulos, por ejemplo, el �ngulo de 1�, de 2� o de 5� (sin hablar de los agrimensores y otras especialidades de las que necesitan medir los �ngulos en la pr�ctica). Solo los �ngulos grandes los fijamos mas o menos verdaderamente.
Si comparamos con los punteros del reloj, todos conocer�n los �ngulos de 90�, de 60�, de 30�, de 120� y de 150 � , cuales acostumbramos de verlo cada d�a en esfera del reloj (a las 3.00, a la 1.00, a las 2.00, a las 4.00, a las 5.00), hasta que sin numeraci�n podemos adivinar la hora a trav�s del �ngulo entre las agujas. Pero a los objetos pequeños, habitualmente los miramos bajo de un �ngulo demasiado pequeño y por eso no los sabemos valorar a simple vista.
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2. El �ngulo visual
Deseando encontrar un ejemplo pr�ctico con el �ngulo de un grado, calcularemos cuanto debe de alejarse la persona de estatura mediana (1,7 metros), para aparecer bajo del este �ngulo. Traduciendo en la lengua geom�trica, digamos, necesitamos encontrar el radio de una circunferencia, cuyo arco de 1� equivalga a 1,7 metros (mejor dicho la cuerda, pero para los �ngulos pequeños la diferencia entre el arco y la cuerda es insignificante).
Razonamos as�: Si el arco 1� es de 1,7 metros, entonces, la circunferencia total, teniendo 360�, va a tener la longitud 1,7 � 360 = 610 metros, el radio es 2π veces menor que la longitud de la circunferencia; si el numero π = 3,1416, entonces el radio ser�
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| Figura 61. La figura de una persona se observa desde cien metros de longitud bajo el �ngulo de 1 grado |
As� pues, la persona aparece bajo el �ngulo de 1� , si entre nosotros hay una distancia de aproximadamente 100 metros (Figura 61). Si �l se aleja al doble veces hacia atr�s, 200 metros, le observaremos bajo un �ngulo de medio grado; si se acerca a 50 metros, entonces, el �ngulo visual crece hasta 2� y etc.
No es dif�cil de calcular tambi�n, que un palo a 1 metro de longitud, tiene que presentarse a nosotros bajo un �ngulo de 1� a una distancia de 57 metros.
Bajo de mismo �ngulo observamos un cent�metro a la distancia de 57 cent�metros, un kil�metro a una distancia 57 kil�metros y etc. y por lo tanto, cualquier objeto a una distancia 57 veces mayor que su di�metro. Si recordamos este n�mero, 57, entonces, podemos hacer los c�lculos muy r�pidos del tamaño angular del objeto.
Por ejemplo, si deseamos saber, a qu� distancia tenemos que alejar la manzana, con di�metro de 9 cent�metros, para poder ver a ella bajo el �ngulo de 1� , entonces basta multiplicar 9 ´ 57 = 510 cent�metros, mas o menos 5 metros; desde el doble de la distancia, la observaremos bajo la mitad del �ngulo, de medio grado, es decir, concordante con el tamaño de la Luna.
Podemos hacer lo mismo con cualquier otro objeto y calcular la distancia sobre la que aparece del mismo tamaño que la Luna.
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3. Un plato y la Luna.
Problema
�A qu� distancia tenemos que alejar un plato con el di�metro de 25 cent�metros, para que el plato parezca del mismo tamaño que la Luna en el cielo?
Soluci�n
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4. La Luna y las monedas.
Problema
Deberemos que hacer el mismo c�lculo para una moneda (con di�metro de 25 mil�metros ) o para moneda con di�metro de 22 mil�metros.
Soluci�n
0,022 metros ´ 57 ´ 2 = 2,5 metros
Si os parece incre�ble, que la Luna aparece al ojo no m�s grande que una moneda desde la distancia al cuatro pasos o un l�piz sobre la distancia 80 cent�metros, mantenemos el l�piz en la mano estirada enfrente el disco de la Luna llena: �l tapa a ella mas que suficiente. �Y no es extraño, que el objeto m�s adecuado para comparar con la Luna, en sentido de los tamaños aparentes, no es un plato ni una manzana o una cereza, es un guisante o lo mejor, la cabeza de una cerilla!
Comparaci�n con un plato o con una manzana presupone un alejamiento bastante grande; una manzana en la mano o un plato encima de la mesa los observamos en diez � veinte veces m�s grande que el disco de la Luna. Y solo la cabeza de una cerilla, la que observamos a la distancia de 25 cent�metros desde el ojo ("la distancia visual clara"), en realidad vemos bajo un �ngulo de medio grado, es decir, con el mismo tamaño de la Luna.
Es un de los m�s curiosos engaños de la vista, cuando el crecimiento en 10 � 20 veces al disco de la Luna toma el car�cter ilusorio para la mayor�a de la gente. �l depende, tenemos que pensar, mas que todo de la brillantez de la Luna: La Luna llena se ve en el fondo del cielo m�s penetrante, que los platos, las manzanas, las monedas y otros objetos entre medio ambiente.
Esta ilusi�n nos persigue irresistiblemente, hasta que los pintores, distinguidos por su muy buena vista, ceden a esta ilusi�n como la mayor�a y pintan en sus cuadros la Luna llena m�s grande de lo que debe. Lo suficiente es comparar el paisaje, pintado por un pintor, con su imagen fotogr�fica, para asegurarse finalmente.
Lo dicho corresponde tambi�n al Sol, un astro que observamos desde la Tierra bajo un medio grado; aunque el radio verdadero del globo solar en 400 veces mayor que la luna, pero su alejamiento desde nosotros tambi�n mayor en 400 veces.
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5. Las fotos sensacionales.
Para explicar la gran importancia que tiene el �ngulo visual, dejaremos por un momento el tema directo, la geometr�a a campo raso, y haremos un par de ejemplos del tema de la fotograf�a.
En el cine, evidentemente, vimos muchas cat�strofes, como por ejemplo, el choque dos trenes o las escenas muy curiosas, como el coche que pasa por el fondo del mar.
Recordaremos la pel�cula "Los Niños del Capit�n Grant" (Julio Verne). �Que impresi�n! �Verdad?
Viendo las escenas del hundimiento barco durante la tormenta o la escena de los cocodrilos alrededor del chico, encontr�ndose en el pantano. Nadie, posiblemente, ha pensado, que las todas escenas parecidas son rodajes verdaderos. �Pero como se obtienen?
El secreto se abre con ayuda de las im�genes siguientes. En la Figura 62, podemos ver una "cat�strofe", un tren de juguete dentro de una situaci�n de "mentira"; En la Figura 63, un coche de juguete, enganchado por un hilo se mueve detr�s del acuario. Esto es toda la "naturaleza", sobre la que estaba rodeada la pel�cula. �Por qu� viendo estos rodajes en la pantalla, nos persigue la ilusi�n, nos parece que tenemos delante de nosotros un tren y un coche de verdad?
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| Figura 62. Preparaci�n de la cat�strofe de ferrocarril para un rodaje. |
Aunque aqu� en las fotos inmediatamente notamos sus tamaños de miniatura, adem�s no es necesario comparar con los tamaños de otros objetos. Por una simple raz�n: El tren y el coche se filmaron de una distancia muy cercana; Por eso ellos se presentan para nosotros bajo del mismo �ngulo visual, como los observamos los coches y los trenes en su tamaño real. Esto es el todo secreto de ilusi�n.
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| Figura 63. Un paseo por el fondo del mar. |
Una imagen m�s, de la pel�cula " Ruslan y Ludmila" (Figura 64). Una cabeza enorme y el Ruslan pequeño montando el caballo. La cabeza est� situada en el campo de maqueta, cerca del aparato de filmaci�n. Y el jinete a una distancia bastante lejana. Ese es todo el secreto de la ilusi�n.
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| Figura 64. Una imagen de pel�cula "Ruslan y Ludmila" |
La Figura 65 presenta otra imagen de la ilusi�n, el principio tiene el mismo sentido. Vimos unos paisajes muy extraños, recuerden la naturaleza de los tiempos paleol�ticos: Los �rboles muy raros, parecidos a los musgos gigantes, encima de ellos unas gotas de agua gigantescas, en el primer plano, un monstruo grande, sin embargo, teniendo la analog�a con un inofensivo milpi�s. Sin tener en cuenta un aspecto bastante extraño, el dibujo es de la realidad: es solamente un terreno no muy grande de bosque bajo un �ngulo visual extraordinario. Nosotros nunca podemos ver los tallos de musgos, las gotas de agua, los milpi�s y etc. bajo un �ngulo visual tan grande, por eso la foto nos parece bastante extraña y desconocida. Enfrente de nosotros hay un paisaje, el que podemos ver, si disminuimos hasta el tamaño de una hormiga.
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| Figura 65. Un terreno misterioso, reproducido de la naturaleza |
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| Figura 66. Una montaña de nieve en la foto (a la izquierda) y en realidad (a la derecha). |
Al lado una imagen de aquellas "montañas", la que impresiona mucho (Figura 66, a la izquierda).
Al fin, la situaci�n se aclara: para la foto sirvi� un mont�culo de nieve, hecho por el fot�grafo humorista, tomado desde una distancia bastante cercana, es decir, bajo de un �ngulo ins�litamente grande (Figura 66, a la derecha).
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6. El transportador vivo.
Preparar un aparato goniom�trico es bastante f�cil, a�n m�s cuando podemos utilizar el transportador. Pero el goni�metro hecho a mano tampoco puede estar siempre con nosotros. En esos momentos es cuando podemos aprovechar el "goni�metro vivo", el que siempre est� con nosotros. Son nuestros propios dedos. Para obtener una idea aproximada los �ngulos visuales, antes tenemos que hacer algunas mediciones y c�lculos.
Primero, hay que saber bajo qu� �ngulo visual vemos la uña del dedo �ndice de la mano estirada hacia delante.
Habitualmente, la anchura de la uña, 1 cent�metro, a una distancia desde el ojo de unos 60 cent�metros la vemos bajo un �ngulo de m�s o menos, 1� (un poco menos, por que el �ngulo de 1� corresponde a una distancia de 57 cent�metros) . Un adolescente tiene la uña m�s pequeña, pero el brazo y la mano m�s pequeños, entonces, su �ngulo visual, es el mismo de 1� .
Algunos lectores saben c�mo podemos hacer nuestras propias mediciones y c�lculos, para asegurarse si no hay gran diferencia entre los resultados de 1�. Si la diferencia es grande, tiene que probar otro dedo.
Sabiendo esto, tenemos a nuestra disposici�n el modo de valorar los pequeños �ngulos visuales solamente con las manos. El cualquier objeto lejano, el que tapa la uña del dedo �ndice de la mano estirada, lo vemos bajo un �ngulo de 1� , y por lo tanto, apartado en 57 veces di�metro. Si la uña solo tapa la mitad del objeto, entonces, su valor angular es 2� , la distancia es igual a 28 veces su di�metro.
La Luna llena tapa solamente la mitad de la uña, es decir, vemos bajo del medio grado, entonces, la distancia entre ella y nosotros es 114 veces su di�metro; �Es uno de las m�s valoradas mediciones astron�micas, realizada solamente con las manos!
Para los �ngulos m�s grandes utilizaremos la articulaci�n del pulgar, teni�ndole doblado sobre la mano estirada. Una persona mayor tiene longitud de esta articulaci�n de ~ 3� cent�metros, la distancia entre el ojo y la mano estirada, ~ 55 cent�metros. Es f�cil de calcular, que su valor angular en esta posici�n tiene que ser 4� . Esto es nuestro medio de valorar los �ngulos visuales de 4� (tambi�n y de 8� ).
Añadimos dos �ngulos m�s, los que pueden ser medidos por los dedos, son aquellos espacios entre los dedos:
- entre el mediano y el �ndice, separados m�s posible;
- entre el pulgar y el �ndice, tambi�n separados.
Durante un paseo podemos utilizar nuestro goni�metro vivo. Por ejemplo, a lo lejos vemos un vag�n de mercanc�as, el que est� tapado por la mitad de articulaci�n del pulgar sobre la mano estirada, es decir, lo vemos bajo �ngulo de ~ 2� . Como ya lo sabemos la longitud del vag�n ( ~6 metros) , entonces, es f�cil encontrar la distancia entre nosotros:
Evidentemente, la medici�n es aproximada, pero es mejor que un valor infundado.
A lo largo del libro enseñaremos tambi�n un modo como construir sobre un terreno los �ngulos rectos, aprovechando nuestro cuerpo.
Si necesitamos pasar a trav�s de un punto la perpendicular hasta un punto dado, coloc�ndose en este punto sobre la l�nea indicada, sin mover la cabeza, ligeramente estiramos la mano sobre el sentido, donde deseamos pasar el perpendicular. Despu�s de, solevantar el pulgar de la mano estirada, hacemos girar la cabeza hacia �l y fijamos la vista en un objeto, un pedrusco, un arbusto y etc., el que se tapa por el pulgar, mirando con el ojo apropiado (es decir, el ojo derecho, cuando la mano estirada es la derecha, y el izquierdo, cuando la izquierda).
Solamente marca sobre la tierra la l�nea recta all� donde estabamos, hasta el objeto notado, esa es la perpendicular buscada. El modo, parece no tener buenos resultados, pero despu�s de varios ejercicios aprenderemos aprovechar la "escuadra viva".
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| Figura 67. Trazado de un plano del lago. |
Luego utilizando la "escuadra viva", podemos sin otros medios, medir la altura angular de las estrellas sobre el horizonte, alejamiento de las estrellas entre la medida gradual, los caminos de fuego dejados por los meteoritos y etc.
Y por fin, sabiendo construir sin ning�n aparato a los �ngulos rectos podemos preparar el plano de un terreno, la idea de cual se ve en la Figura 67. Por ejemplo, para trazar un plano del lago se mide el rect�ngulo ABCD, tambi�n las longitudes de los perpendiculares, bajados desde los puntos notadas en la orilla, y los trayectos de sus fundamentos desde los v�rtices del tri�ngulo. Mejor dicho, estado en la situaci�n de Robinson Crusoe, saber usar nuestras propias manos para medir los �ngulos (y con los pasos, las distancias) puede ser �til para cualquier tipo de necesidades.
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7. B�culo de Yakov.
Si deseamos tener unos aparatos mejores al anteriormente descrito, como la "escuadra viva" para medir los �ngulos, podemos preparar un aparato bastante simple y muy c�modo, a veces en otro tiempo aprovechado por nuestros abuelos. Est� llamado por el nombre de un inventor "b�culo de Yakov", el aparato utilizado por los navegantes hasta el siglo XVIII (Figura 68).
El aparato hab�a construido con una regla larga AB, de 70 a 100 cent�metros, sobre cual puede deslizarse una tablilla perpendicular CD ; donde ambas partes CO y OD de la tablilla son iguales.
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| Figura 68. B�culo de Yakov y esquema de uso. |
Si deseamos medir el trayecto angular entre las estrellas S y S' (Figura 68) con la ayuda de este aparato, entonces acercaremos el extremo A de la regla (para comodidad de observaci�n le hacemos un agujero) y apuntaremos la regla de modo que la estrella S' sea vista sobre el extremo B de la regla; despu�s trasladamos la tablilla CD a lo largo de regla hasta que la estrella S sea vista sobre el extremo C (dibujo N68). Ahora solo queda por medir el trayecto AO, sabiendo la longitud CO, calcular el valor angular de SAS'. Quien conoce de trigonometr�a habr� notado que la tangente del �ngulo buscado es igual a la proporci�n
Nuestra "trigonometr�a de champaña", explicada en el cap�tulo quinto, tambi�n es suficiente para hacer �l calculo; calcularemos AC por el teorema de Pit�goras la longitud AC, CO
Despu�s encontremos el �ngulo, mediante el seno
Por fin podemos saber el �ngulo buscado por el camino gr�fico: construyendo el tri�ngulo ACO en el papel a una escala voluntaria, medimos el �ngulo A con el transportador, si no le tenemos, entonces, usaremos el modo descrito en nuestra "trigonometr�a de campaña" (ver �l capitulo quinto).
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| Figura 69. La medici�n del trayecto angular entre las estrella con la ayuda de b�culo de Yakov. |
�Para que necesitamos la otra mitad de la traviesa? Cuando el �ngulo es demasiado grande, y no podemos medir por el camino explicado ahora, entonces apuntaremos sobre la estrella S' no la regla AB, si no la regla AD, moviendo la tablilla hasta que cuando su extremo C est� sobre la estrella S (Figura 69). Entonces es f�cil encontrar el valor del �ngulo SAS' ya sea calculando o construyendo.
Para no hacer los c�lculos y las construcciones despu�s de cada medici�n, es mejor hacerlos antes, durante la preparaci�n del aparato y marcar los resultados sobre la regla AB; Luego apuntando el aparato sobre las estrellas, leemos solamente el dato anotado sobre el punto O, que es el valor del �ngulo buscado.
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8. Goni�metro de rastrillo.
M�s f�cil de preparar es este otro aparato para medir el tamaño angular, se llama "Goni�metro de rastrillo", porque en realidad parece un rastrillo (Figura 70). Su parte principal, la tablilla es de cualquier forma, junto un borde se fija un disco agujereado; donde el observador acerca su ojo. Junto al borde de enfrente se clavan los alfileres finos, donde los espacios entre ellos miden 1/57 veces su distancia al agujero en el disco.
Nosotros ya sabemos que cada espacio se observa bajo un �ngulo de 1�. Podemos tambi�n colocar los alfileres siguiendo otro modo, donde es posible tener un resultado m�s exacto; sobre de una pared se delinean dos rectas paralelas separadas a un metro entre ellas, se aleja sobre una perpendicular hasta 57 metros , observan estas l�neas a trav�s del agujero del disco; los alfileres colocan de modo que cada pareja los alfileres vecinos tapan las l�neas dibujadas en la pared.
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| Figura 70. Goni�metro de rastrillo |
Cuando los alfileres est�n colocados, podemos quitar algunos de ellos, para tener los �ngulos de 1� , de 3� , de 5� . La manera de utilizar este Goni�metro, evidentemente, la entiende cualquier lector sin ninguna explicaci�n. Con alguna experiencia, podemos medir los �ngulos visuales con bastante exactitud, no menos que �� .
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9. El �ngulo del artillero.
Un artillero no dispara "a ciegas".
Sabiendo la altura del punto donde se dirige el tiro, busca su valor angular y calcula el trayecto hasta el punto; En otro caso busca, el �ngulo que debe mover el arma para hacer los disparos de un objeto al otro.
Estas tareas las soluciona muy r�pido y adem�s, mentalmente. �De qu� manera?
Fij�monos en la Figura 71.
AB, es el arco de la circunferencia con el radio OA = D; ab , es el arco de circunferencia con el radio Oa = r.
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| Figura 71. Esquema del transportador al artillero. |
Por la semejanza de los sectores AOB y aOb se deduce:
La proporci�n
caracteriza el valor del �ngulo visual
AOB;
sabiendo esta proporci�n, es f�cil de encontrar
AB
si se conoce
D,
o
D
si se conoce
AB.
Los artilleros se facilitan los c�lculos, dividiendo la circunferencia no en 360� partes, como normalmente, si no sobre los 6.000 arcos iguales, entonces la longitud de cada uno es m�s o menos 1/1000 del radio de circunferencia.
En la realidad, por ejemplo, el arco AB del c�rculo goniom�trico O (Figura 71) se muestra una unidad de divisi�n; la longitud de toda circunferencia es
En la artiller�a su nombre es "mil�simo". Entonces,
Para saber a qu� distancia AB sobre el terreno corresponde a una divisi�n de goni�metro (al �ngulo de una "mil�sima") es suficiente separar con la coma de la derecha a los tres d�gitos.
Por el tel�fono o radio entregan los datos o comandos y el numero de "mil�simas": pronuncian como un n�mero de tel�fono, por ejemplo: el �ngulo de 150 "mil�simas" dicen: "Uno cero cinco", y anotan:
El �ngulo de 8 "mil�simas" dicen: "cero cero ocho", y anotan:
Ahora sin ninguna dificultad, resolveremos la tarea siguiente.
Problema
Un carro de combate ve desde el arma antitanque bajo �ngulo de 0 � 05. Encontrar la distancia hasta al tanque; tomaremos su altura como 2 metros.
Soluci�n
Como una divisi�n del goni�metro es una mil�sima parte del alejamiento, entonces la longitud ser� mil veces mayor, es decir
Si, por el momento, el comandante o el soldado no tiene instrumentos goniom�tricos, entonces se usa la palma, los dedos o otros medios como los descritos anteriormente (ver "el transportador vivo"). El artillero debe saber solamente su "valor" no con los grados, sino, con "mil�simas". Estos son los "valores" aproximados en "mil�simas" de los �ngulos:
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La palma de mano
El dedo medio, �ndice o anular L�piz (anchura) Cerilla por su longitud Cerilla por su anchura |
1 � 20
0 - 30 0 � 12 0 � 75 0 � 03 |
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10. La agudeza de nuestra vista.
Acostumbr�ndose al concepto del valor angular de un objeto, podemos ahora entender c�mo medir la agudeza visual, y hacer por su propia cuenta las mediciones.
Dibujaremos en un papel veinte l�neas negras iguales de longitud de 5 cent�metros y de 1 mil�metro de anchura de modo que su forma sea un cuadrado (Figura 72).
Fijando el dibujo en una pared luminosa, nos alejaremos hasta que las l�neas se unen en un fondo gris. Medimos la distancia y calculamos, ya lo sabemos c�mo, el �ngulo visual, bajo el cual no podemos distinguir las l�neas de 1 mil�metro de anchura. Si este �ngulo es 1' (un minuto), entonces, nuestra agudeza visual es normal; si es tres minutos, la agudeza es 1/3 de lo normal y etc.
Problema
Las l�neas de la Figura 72 se unen para nuestro ojo a una longitud de 2 metros. �Es normal la agudeza visual?
Soluci�n
Sabemos, que desde la distancia de 57 mil�metros la l�nea con la anchura de 1 mil�metro se ve bajo un �ngulo de 1� , es decir, 60'. Por lo tanto, desde la distancia de 2000 mil�metros ella se ve bajo �ngulo x, el que sale de la proporci�n
La agudeza visual es bajo de lo normal: 1 : 1,7 = aproximadamente 0,6.
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| Figura 72. Para medir la agudeza visual. |
Minuta m�xima
Hemos dicho que las l�neas observadas bajo un �ngulo visual de al menos un minuto, no se pueden distinguir separadas con un ojo normal. Esta aseveraci�n es tambi�n correcta para cualquier otro objeto: hablando de cualquier contorno de un objeto observado, si se ve bajo un �ngulo menor que 1', no lo puede distinguir un ojo normal.
Cada un objeto se convierte en un punto "bastante pequeño para la vista" (Sheakespeare), en la part�cula de polvo sin tamaño y sin forma. Es una de las propiedades del ojo humano: un minuto angular es el limite de su agudeza. �Por qu� motivo? esta es otra pregunta que debe ser tratada por la f�sica y la fisiolog�a de la vista. Aqu� hablamos, solamente de la parte geom�trica de este fen�meno.
Todo lo que estamos hablando, corresponde a los objetos cercanos, pero demasiado pequeños. Nosotros no podemos distinguir la forma de una part�cula del polvo, estado en el aire: alumbradas por los rayos del sol, ellas se presentan para nosotros como unos pequeños puntillos, aunque en la realidad tienen formas distintas.
Nosotros tampoco podemos distinguir los pequeños detalles de un insecto, porque los vemos bajo un �ngulo menor de 1'. Por la misma raz�n no podemos sin telescopio ver los detalles en la superficie de la Luna, de los planetas y de los otros astros.
El mundo se podr�a presentar para nosotros totalmente distinto, si el limite de la vista natural se aumentara.
Una persona teniendo �l limite de agudeza visual, 1'/ 2 por ejemplo, podr� observar el oriente medio m�s profundo y m�s lejos. Una muy bonita descripci�n de esta capacidad de la vista puede verse en la novela "Estepa" de A. P. Ch�jov.
Gracias a la agudeza de la vista, aparte del mundo, el que observaban todos, el muchacho tuvo otro el mundo, su propio, inaccesible para nadie y, probablemente, muy bonito, por que cuando �l observaba y admiraba, ha sido muy dif�cil sin tener la envidia."�
El funcionamiento m�gico de los microscopios y de los telescopios est� relacionado al mismo fen�meno.
El objetivo de estos aparatos es cambiar el paso de los rayos del objeto observado, como si entraran en el ojo como un haz divergente, entonces, el objeto se presenta bajo de un �ngulo visual m�s grande. Cuando se dice que el microscopio o el telescopio ampl�a en 100 veces, quiere decir, que con su ayuda nosotros vemos los objetos bajo de �ngulo 100 veces mayor, que a siempre vista. Y entonces los detalles que antes se escapaban del ojo desnudo, est�n accesibles para nuestra vista. La Luna llena observaremos bajo un �ngulo de 30', y como su di�metro es 3.500 km, cada parte de la Luna tendr� un di�metro de 3500/30 ≈ 120 km
En el tubo, ampliando en 100 veces, ser�n imperceptibles las partes pequeñas con un di�metro de 120/100 = 1,2 km y en el telescopio con un aumento de 1000 veces, la parte ampliada medir� 120 metros de anchura. De aqu� se deduce, que en la Luna unas construcciones tan grandes como nuestros pol�gonos industriales o barcos transatl�nticos, pueden verse en el telescopio.
La regla de una minuta m�xima tiene gran significaci�n para nuestras observaciones cotidianas. Con la magnitud de esta propiedad de nuestra vista cualquier objeto, alejado m�s de 3.400 ( es 57 ´ 60) veces su di�metro, dejamos de distinguir sus contornos y se confunden en un punto. Por eso, no tiene ning�n sentido, cuando alguien esta diciendo, que le ha reconocido a una persona a la distancia en cuatro kil�metros, a menos que cuente con una vista fenomenal, por supuesto. Por otra parte, entre los ojos de una persona hay solo 6 cent�metros (3 para cada ojo), entonces ambos se unen en un punto a una distancia de
3 ´ 3.400 cent�metros, es decir 100 metros.
Los artilleros utilizan estos datos para la distancia del ojo desnudo. Una de sus reglas es que si los ojos de una persona que est� lejos, aparecen como dos puntos, entonces la distancia entre ellos no supera a los 100 pasos (60 � 70 metros). Nosotros hemos calculado una distancia mayor, 100 metros: Esto quiere decir, que los militares tienen la agudeza visual bajo lo normal en 30%.
Problema
�Podr� una persona con vista normal, distinguir al jinete a una distancia de 10 kil�metros, usando el prism�tico, ampliado en tres veces?
Soluci�n
La altura del jinete es 2,2 metros. Su figura convierte en un punto a una distancia de
El prism�tico ampl�a al triple, entonces resulta una distancia de 21 kil�metros. Por lo tanto, distinguir con el prism�tico a una distancia sobre 10 kil�metros es posible (si aire esta bastante limpio).
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11. La Luna y las estrellas sobre el horizonte.
Hasta un distra�do observador los sabe; que la Luna llena, estado bajo el horizonte, tiene el tamaño m�s grande, que cuando esta m�s arriba en el cielo. La diferencia es tan grande, que es dif�cil de no notar. Lo mismo pasa con el Sol; sabemos como es grande el disco a la puesta del Sol o a la salida del Sol comparando su tamaño arriba en el cielo, cuando brilla entre las nubes.
Para las estrellas esta propiedad se hace notoria porque la distancia entre ellas aumenta, cuando ellas se acercan al horizonte. Quien ha visto en invierno la constelaci�n Ori�n arriba en el cielo y abajo cerca del horizonte, se sorprende por la gran diferencia de los tamaños de la constelaci�n en ambas posiciones.
Todo esto es m�s misterioso a�n, cuando estamos observando los astros a la puesta y a la salida, ellos no est�n m�s cerca, si no m�s lejos (a lo largo del eje de Tierra), como podemos ver en la Figura 73: En el cenit nosotros observamos los astros desde el punto A, y bajo el horizonte, desde los puntos B o C. �Por qu� la Luna, el sol y las constelaciones se ampl�an bajo el horizonte?
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| Figura 73. �Por qu� el Sol, estado en el horizonte, parece m�s lejos desde el observador, que estando en el cenit? |
"Por que no es cierto", podemos contestar as�. Es una ilusi�n �ptica. Con la ayuda del transportador de rastrillo o con otro tipo de aparatos podemos asegurarnos que el disco de la Luna lo vemos en ambos casos bajo del mismo �ngulo visual equivalente a la mitad de un grado. Utilizando el mismo aparato o la "b�scula de Yakov", podemos ver, que las distancias angulares entre las estrellas no cambian, en cualquier lugar donde se encuentren las constelaciones: en el cenit o bajo el horizonte. Entonces la ampliaci�n es una ilusi�n �ptica.
�C�mo podemos explicar tal ilusi�n �ptica? La respuesta indiscutible todav�a no lo tenemos; La ciencia no ha encontrado la respuesta, aunque busca la soluci�n hace 2.000 años. La ilusi�n esta relacionada con que el cielo se representa no como la semiesfera (de punto de vista geom�trico), sino como segmento del globo, la altura del cual es 2 a 3 veces menor que el radio de su base. Es por que, con la postura habitual de la cabeza y de los ojos, las distancias sobre la horizontal y cercanas las valoramos como m�s significativas que las verticales: En sentido horizontal observamos el objeto con "mirada recta", y en cualquier otro sentido, con los ojos subidos o bajados. Si observamos la Luna estando tumbados de espaldas, entonces, al contrario, parecer� m�s grande, cuando est� en cenit, que bajo el horizonte. Delante de los psic�logos y los fisi�logos existe todav�a problema de explicar por qu� el tamaño visual del objeto depende de la orientaci�n nuestros ojos.
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| Figura 74. Influencia del cielo aplastado sobre los tamaños aparentes de los astros. |
La compresi�n aparente del cielo sobre el tamaño de los astros en distintas partes, se grafica claramente en la Figura 74. En el cielo el disco de la Luna siempre se ve bajo un �ngulo de medio grado, estado bajo el horizonte (en la altura de 0� ), o sobre el cenit (en la altura de 90� ).
Pero nuestro ojo no siempre sit�a el disco a una misma distancia: La Luna en el cenit se encuentra a la menor distancia de nosotros, que bajo el horizonte, y por eso su tamaño se ve inadecuado. En la parte izquierda del mismo dibujo se ve, como las distancias entre estrellas aparecen estirados acerc�ndose al horizonte: Los mismos trayectos angulares entre ellas parecen, entonces, inadecuados.
Desde otro punto de vista. �mirando atentamente al disco de Luna bajo el horizonte, han notado alg�n nuevo rasgo, que no hayan podido ver en el disco estado en cenit? No, verdad. �Pero enfrente a un disco ampliado, entonces, por qu� no se ven nuevos detalles? Por que aqu� no se ampli� el �ngulo visual, bajo de cual se presenta el objeto. Solamente ampliaci�n de este �ngulo permite distinguir los nuevos detalles; cualquiera otra "ampliaci�n" es simplemente ilusi�n �ptica, y para nosotros es absolutamente in�til.
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12. Cual es la longitud de la sombra lunar y de la sombra de estrat�stato.
He encontrado otra aplicaci�n inesperada para �ngulo visual, en el c�lculo de longitud de la sombra, dejada por otros cuerpos del espacio.
La Luna, por ejemplo, deja en el espacio un cono de sombra, el que acompaña a ella en todas partes.
�Qu� destino toma esta sombra?
Para hacer este calculo, siguiendo a semejanza de los tri�ngulos, no es necesario hacer la proporci�n, donde son componentes, los di�metros del Sol y de la Luna, y tambi�n la distancia entre el Sol y la Luna.
El calculo lo podemos hacer m�s simple. Imaginaremos, que nuestro ojo est� situado en el mismo punto, donde se termina el cono de la Luna, en el v�rtice del cono, y nosotros vemos desde all� a la Luna. �Que ven? El circulo negro tapando el Sol. El �ngulo visual, bajo el que vemos el disco de la Luna (o del Sol), sabemos es demasiado grande. Pero nosotros, ya conocemos que el objeto visible bajo un �ngulo de medio grado, se aleja desde el observador hasta 2 ´ 57 = 114 veces su di�metro. Entonces, el v�rtice del cono de la sombra lunar est� desde la Luna a 114 di�metros lunares. Por lo tanto, la longitud de la sombra lunar es
Esta es la mayor distancia entre la Tierra y la Luna; por eso aparecen los eclipses solares totales (para los sitios de la tierra que entran en esta sombra).
No es dif�cil de calcular la longitud de la sombra de la Tierra en el espacio: Ella es tantas veces mayor que la sombra lunar, en tantas veces como el di�metro de la Tierra supera el di�metro de la Luna, es decir, aproximadamente, en cuatro veces.
El mismo modo se utiliza para calcular las longitudes de las sombras espaciales para objetos m�s pequeños. Encontraremos, por ejemplo, que el cono de sombra, dejado por el estrat�stato �COAX � 1� en el instante cuando toma la forma de un globo. Como el di�metro del globo es 36 metros, entonces, la longitud de su sombra (el �ngulo sobre el v�rtice del cono es de medio grado)
mas o menos 4 kil�metros.
En todos casos examinados hablamos, por supuesto, sobre la longitud de la sombra total, pero no de la media sombra.
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13. �En que altura est�n las nubes?
Recuerden, c�mo se han sorprendido con un largo camino blanco, cuando lo vieron por primera vez, arriba en el cielo azul. Ahora, por supuesto, sabemos que se trata de una cinta nubosa que es un "aut�grafo" dejado por un avi�n en el espacio.
En el aire fr�o, h�medo y lleno de part�culas de polvo f�cilmente aparece la niebla.
Un avi�n volando, va dejando en el aire las pequeñas part�culas, son productos del motor en marcha, y estas part�culas son aquellos puntos, entre cuales hay vapor condensado que aparece como una nube.
Si encontraremos la altura de la nube, antes que desaparezca, podemos saber a que altura vuela el avi�n.
Problema
�C�mo encontrar la altura de la nube sobre la Tierra, adem�s si, ella esta por encima de nuestra cabeza?
Soluci�n
Para reconocer muy altas distancias es muy �til un aparato fotogr�fico, un instrumento bastante complicado, pero le gusta mucho a los j�venes.
Para este caso necesitamos dos aparatos con las mismas distancias focales. (Las distancias focales est�n marcadas en el objetivo.)
Los dos aparatos se colocan a las mismas alturas. En el campo se usan tr�podes, en la ciudad, miradores. La distancia entre las elevaciones tiene que ser de tal modo que un observador pueda ver al otro directamente o con los prism�ticos.
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| Figura 75. Las dos im�genes de la nube |
Esta distancia se mide o se busca sobre el plano territorial. Los aparatos montan de manera que sus ejes �pticos sean paralelos (por ejemplo mirando al cenit).
Cuando el objeto aparece en el campo visual del objetivo, un observador da una señal al otro, por ejemplo, con un pañuelo y ambos fot�grafos hacen im�genes de manera inmediata.
En las fotos, cuales por su tamaño deben de ser iguales a las placas fotogr�ficas, se dibujan las rectas YY y XX, uniendo los centros de los bordes opuestos de las im�genes (Figura 75).
Despu�s se marcan en ambas im�genes el mismo punto de nube y se calcula su distancia (en mil�metros ) desde las rectas YY y XX. Estas distancias señalan con las letras correspondientes x 1 , y 1 para una imagen y x 2 , y 2 para la otra.
Si los puntos marcados aparecen en la imagen sobre lados distintos de la recta YY (como en la Figura 75), entonces, la altura de la nube H se calcula con la formula
donde b = la longitud de la base (en metros ),
F = la distancia focal (en mil�metros ).
Si los puntos marcados aparecen en el mismo lado de la recta YY, entonces, la altura se calcula con la formula
Que no depende de las distancias y 1 e y 2 , pues ellas no son necesarias para calcular H , pero, comprob�ndolas entre ellas, podemos ver exactitud del c�lculo.
Si las placas estaban colocadas sim�tricas dentro el casete, entonces y 1 sea igual al y 2 .
Sea bien, por ejemplo, las distancias desde las rectas YY y XX hasta el punto marcado de la nube sobre la foto son siguientes:
Las distancias focales de los objetivos F = 135 mm y la distancia entre los aparatos (base)
Las fotos enseñan, que para encontrar la altura de la nube necesitamos usar la formula
Si desean deducir la f�rmula para buscar la altura de las nubes, pueden utilizar el esquema, de la Figura 76.
La Figura 76 se debe imaginar en el espacio (la imaginaci�n espacial se produce del aprendizaje de una parte de la geometr�a, que se llama estereometr�a).
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| Figura 76. Esquema de la imagen del punto de la nube sobre placas de ambos aparatos, apuntados al cenit. |
Las figuras I y II, la imagen de las placas fotogr�ficas; F 1 y F 2 , los centros �pticos de los objetivos; N es el punto observado de la nube; n 1 y n 2 es la representaci�n del punto N sobre las placas fotogr�ficas; a 1 A 1 y a 2 A 2 , las perpendiculares, trazadas desde el centro de cada una placa fotogr�fica hasta el nivel de la nube; A 1 A 2 = a 1 a 2 = b, el tamaño de la base.
Siguiendo desde el centro �ptico F 1 hacia arriba hasta el punto A 1 , luego desde el punto A 1 a lo largo de la base hasta un apunto C, el que ser� el v�rtice del �ngulo recto A 1 C N y, por fin, desde el punto C hasta el punto N, entonces, los segmentos F 1 A 1 , A 1 C 1 y CN en el aparato corresponden a los segmentos F 1 a 1 = F (la distancia focal), a 1 c 1 = x 1 y c 1 n 1 = y 1 .
La teor�a es an�loga para el otro aparato.
Por la semejanza de los tri�ngulos se deducen las proporciones
Comprobando estas proporciones y teniendo en cuenta la cierta igualdad de A 2 F 2 = A 1 F 1 , en primer lugar encontraremos, que y 1 = y 2 (es un indicio de la imagen es correcta), tambi�n que
Pero sobre el dibujo lineal A 2 C = A 1 C � b 1 aqu� se deduce,
donde
y, por fin,
Si, n 1 y n 2 , imagen en las placas del punto N, aparecieron por distintos lados de la recata YY, eso significa, que el punto C esta entre los puntos A 1 y A 2 y despu�s A 2 C = b � A 1 C 1 y la altura buscada
Estas f�rmulas corresponden al caso cuando los ejes �pticos de los aparatos apuntan al cenit. Si la nube esta lejos del cenit y no se entra en el campo visual, entonces, podemos colocar los aparatos en otra posici�n (manteniendo paralelismo de los ejes �pticos), por ejemplo, indicar horizontalmente, adem�s perpendicularmente a la base o a lo largo de ella.
Para cualquier posici�n necesita antes construir el dibujo lineal y deducir unas formulas para determinaci�n la altura de la nube.
En el mediod�a aparecen en el cielo las nubes estratos de color blanco. Necesita encontrar sus alturas dos a tres veces a trav�s de un per�odo del tiempo. Si resulta que las nubes han bajado, es la señal que durante unas horas va llover.
Podr�n hacer unas fotos del aer�stato volando o del estrat�stato y luego miden sus alturas.
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14. La altura de una torre en la foto.
Problema
Con la ayuda del aparato fotogr�fico podemos encontrar no solamente la altura de las nubes o de avi�n, sino la altura de una construcci�n terrestre: de una torre, de una antena, de m�stil y etc.
En la figura 77 una foto del motor e�lico, construido en Crimea cerca de Balaklava. La base de la torre es cuadrada, donde la longitud de un lado, suponemos, que ya lo sabemos despu�s de una medici�n, 6 metros
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| Figura 77. Motor e�lico en la Crimea |
Se necesita realizar unas mediciones sobre la imagen y encontrar la altura h de la instalaci�n.
Soluci�n
La foto de la torre y su dibujo son geom�tricamente semejantes. Por lo tanto, en la imagen, la altura es mayor que la diagonal de la base, en tantas veces la altura de torre original es mayor a una diagonal de su base.
Las mediciones de la imagen: la longitud diagonal menos alterada de la base es 23 mm, la altura de toda instalaci�n es 71 mm.
La que longitud de un lado de la base del cuadrado es 6 m, entonces diagonal de la base es
De aqu� se deduce
Evidentemente, no vale cualquier imagen, solamente, donde las proporciones no son alteradas, como pasa con los fot�grafos sin experiencia.
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15. Para los ejercicios independientes.
Ahora los lectores puedan utilizar todos sus conocimientos de este libro para resolver un par de las siguientes tareas:
- Una persona con estatura mediana ( 1,7 metros ) vista desde lejos bajo un �ngulo de 12'. Encontrar la distancia gaste ella.
- Un jinete ( 2,2 metros ) es visto desde lejos bajo un �ngulo de 9'. Encontrar la distancia hasta �l.
- El poste telegr�fico ( 8 metros ) es visto bajo un �ngulo de 22'. Encontrar la distancia hasta �l.
- Un faro de 42 metros de altura se ve desde un barco bajo un �ngulo de 1� 10' �Cu�l es la distancia entre el barco y el faro?
- Planeta Tierra se ve desde la Luna bajo de 1� 54'. Encontrar la distancia entre la Luna y la Tierra.
- Sobre una distancia de 2 kil�metros se ve un edificio bajo un �ngulo de 12'. Encontrar la altura del edificio.
- La Luna se ve desde la Tierra bajo un �ngulo de 30'. Sabiendo la distancia hasta la Luna (380.000 kil�metros), encontrar su di�metro.
- �Cu�n grandes deben de ser las letras en la pizarra para que los alumnos las puedan ver tan claro, como las letras de sus libros ( 25 cent�metros de los ojos)? La distancia entre los pupitres y la pizarra es de 5 metros.
- El microscopio ampl�a 5 veces. �Podemos ver las c�lulas de la sangre humana, si sus di�metros son de 0,007 mil�metros?
- �Si en la Luna hubiera gente como nosotros, entonces, qu� ampliaci�n necesita un telescopio, para verlos desde la Tierra?
- �Cu�ntas "mil�simas" hay en un grado?
- �Cu�ntos grados hay en una "mil�sima" (o mil�simo)?
- El avi�n, volando perpendicularmente sobre la l�nea de observaci�n, en un lapso de 10 segundos recorre la distancia vista bajo un �ngulo de 300 "mil�simas". Encontrar la velocidad del avi�n, si alejamiento es de 2 000 metros.
