GEOMETR�A RECREATIVA
PARTE PRIMERA
GEOMETR�A AL AIRE LIBRE




Cap�tulo Sexto
Donde la Tierra se Junta con el Cielo

Contenido:
1. Horizonte en el horizonte
3. Distancia del horizonte
4. Torre de Gogol
5. Colina de Pushkin
6. D�nde se juntan los rieles
7. Tareas sobre el faro
8. El rayo
9. El velero
10. Horizonte en la luna
11. En el cr�ter lunar
12. En J�piter
13. Ejercicios Independientes




1. Horizonte
En la estepa o en un campo llano nosotros estamos en el centro de una circunferencia, cual limita a la superficie terrestre accesible para nuestro ojo. Es el horizonte. La l�nea del horizonte es imperceptible: Cuando nos acercamos a ella, ella se aleja. Aunque inaccesible, ella en realidad existe; no es una ilusi�n o espejismo.
Para cada punto de observaci�n hay un su limite visual de superficie, y la lejan�a de este limite no es dif�cil de calcular. Para entender las proporciones geom�tricas, relacionadas con horizonte, veamos la figura 97, reflejando la parte de la esfera terrestre. En el CD es la altura sobre la superficie que se encuentra un punto C, que es el ojo de observador. �Qu� lejan�a alrededor de s� mismo se ve observador? Evidentemente, hasta los puntos M, N, donde el rayo de vista toca la superficie: despu�s la tierra est� bajo de la vista. Estos puntos M, N (y otros en la circunferencia MEN) representan el l�mite de la superficie terrestre visible, es decir, forman la l�nea del horizonte. El observador ve que aqu� el cielo esta apoy�ndose sobre la tierra, porque al mismo tiempo se ve el cielo y algunos objetos terrestres.
Puede ser, os parece, que la figura 97 no da la imagen verdadera de la realidad: en la realidad el horizonte siempre esta en nivel de los ojos, mientras que en el dibujo el c�rculo esta bajo de observador.
Realmente, para nosotros siempre parece que la l�nea del horizonte est� en el mismo nivel con los ojos, adem�s, se sube, cuando nosotros subimos. Pero esto es ilusi�n: en realidad, la l�nea de horizonte siempre est� bajo de los ojos, como se ve en la figura 97. Pero el �ngulo formado por las l�neas rectas CN y CM con la recta CK, perpendicularmente al radio en el punto O (este �ngulo se llama "bajada del horizonte"), es demasiado pequeño, y sin aparato es imposible de ver.

Figura 97. El horizonte

Durante de investigaci�n anotamos otra circunstancia curiosa. Hemos dicho que cuando se sube el observador sobre la superficie terrestre, por ejemplo en un aeroplano, la l�nea de horizonte se fija nivel de los ojos, es decir, como se sube junto con observador. Si �l se sube lo bastante, aparece que la tierra bajo aeroplano esta situada mas bajo de la l�nea del horizonte, de otro modo, la tierra se representa con forma de taza hundida, cuyos bordes es la l�nea del horizonte. Esto esta bien explicado y descrito en las "Aventuras de Granza Pfal" por Edgar Alan Poe.
"Sobre todo, dice su protagonista aeronauta, me hab�a sorprendido aquella circunstancia, que la superficie terrestre aparec�a c�ncava. Esperaba ver un hundimiento durante la subida; solamente considerando he encontrado la respuesta para este fen�meno. La l�nea inclinada, llevada desde el globo m�o hasta la tierra, formaba el cateto del tri�ngulo rect�ngulo, cuya base ser�a la l�nea desde el fondo de la inclinaci�n hasta el horizonte, hipotenusa, la l�nea desde el horizonte hasta el globo. Pero la altura m�a era nada comparado con el campo visual; de otra manera, la base y hipotenusa del tri�ngulo rectangular imaginario, eran tan grandes comparados con el cateto inclinado, que parecen paralelos. Por eso, cualquier punto estando por debajo de aeronauta, siempre parece bajo del nivel horizontal. De aqu� se ve la impresi�n de hundimiento. Y esto tiene que durar hasta que la subida no es lo bastante significativa, cuando la base de tri�ngulo y su hipotenusa acaban por aparecer paralelas."

Figura 98. �Qu� ve el ojo, observando la serie de postes telegr�ficos?

Añadimos otro ejemplo m�s. Imaginen una serie de postes telegr�ficos (figura 98). Para el ojo estando en el punto b, sobre nivel b�sico de los postes, la fila toma un aspecto, indicado por numero 2. Pero para el ojo estando en el punto a, sobre nivel de las cimas, la fila tomara el aspecto 3, es decir, la tierra parece que sube sobre horizonte.
Volver

2. Barco en el horizonte.
Cuando desde la costa observamos un barco, apareciendo en el horizonte, nos parece que vemos el barco no en el mismo punto (figura 99), donde �l est� situado, mas cerca, en el punto B, donde nuestra vista es tangente a la concavidad del mar. Observando a simple vista, es dif�cil de dejar la impresi�n, que el barco esta en punto B; y no detr�s de horizonte.

Figura 99. Barco detr�s de horizonte.

Sin embargo, con el catalejo, la diferencia de alejamiento del barco se ve con mas claridad. No es lo mismo ver con el catalejo los objetos cercanos y lejanos: el catalejo enfocado a la lejan�a, los objetos cercanos se ven imprecisamente, y por el contrario, si de enfoca a los objetos cercanos, se ve lejan�a cubierta con la niebla.
Si apuntamos el catalejo (con la suficiente ampliaci�n) sobre el horizonte y lo mantenemos as�, cuando superficie acu�tica se ve claramente, el barco se representa impreciso, encontrando su mayor alejamiento desde el punto de observaci�n (figura 100). Lo contrario, apuntando el catalejo as�, se ve el contorno del barco, escondido detr�s del horizonte, notamos, que la superficie ha perdido su claridad y se ve como cubierta con la niebla (figura 101).
Volver

3. Distancia del horizonte.

Figuras 100 y 101. Barco detr�s del horizonte, observado en catalejo.

�Qu� lejos se encuentra l�nea del horizonte del observador? O sea, �Cu�l es el tamaño del radio de la circunferencia, dentro de cual nos encontramos en este momento?
�C�mo calcular distancia del horizonte, sabiendo la altura del observador por sobre la superficie?
La tarea tiene expresi�n en la cantidad del segmento CN (figura 102) por tangente, llevada desde el ojo de observador hasta superficie.
La tangente al cuadrado, lo sabemos de la geometr�a, es equivalente a la derivaci�n del segmento exterior h secando sobre la toda longitud de este secante, es decir, sobre h + 2R, donde R es el radio de globo terrestre. Como la altura del observador por encima de superficie es normalmente, muy pequeña comparado con el di�metro (2R) del globo, (esta altura, por ejemplo, para un aeroplano en su m�xima altura es » 0,001 de su parte), entonces 2R + h usar su equivalente 2R, y la formula se simplifica:

CN ² = h ´ 2R
Entonces, distancia del horizonte la podemos calcular por una formula muy simple.


Donde R es el radio del globo terrestre ( » 6400 km), h altura de la vista encima de superficie.
Como , entonces la f�rmula puede tener otro aspecto:


donde h est� expresada en kil�metros.
Este calculo es geom�trico y simplificado. Si deseamos especificar bajo los factores f�sicos que influyen en la distancia del horizonte, entonces, deberemos recordar a un factor, cual se llama "refracci�n atmosf�rica". Refracci�n es la desviaci�n de los rayos de luz en la atm�sfera, ampl�a la distancia del horizonte sobre 1/15 del alejamiento calculado (sobre 6% ). El numero � 6% - es mediato. La distancia del horizonte se ampl�a o disminuye seg�n las circunstancias siguientes:

se ampl�a con alta presi�n cerca de superficie terrestre cuando hace fr�o por las mañanas y tardes h�medo encima del

se disminuye con baja presi�n sobre una altura cuando hace calor en mediod�a el tiempo seco encima de tierra

Problema
�Qu� tan lejos puede ver una persona, estando en una llanura?

Figura 102 Para el problema sobre alejamiento de horizonte

Soluci�n
Sabiendo, que el ojo de un adulto alcanza por encima de superficie sobre 1,6 m, o sobre 0,0016 km, tenemos:


Como sabemos la refracci�n atmosf�rica desfigura el camino de los rayos, por lo tanto el horizonte se aleja por el menos sobre 6%, que es m�s lejos de aquella distancia que sale de la f�rmula. Para tener en cuenta esta correcci�n, se necesita multiplicar 4,52 km por 1,06;
y:

4,52 ´ 1,06 » 4,8 km

O sea, una persona de estatura media estando en una llanura no ve mas lejos de 4,8 km. El di�metro del circulo observado es solamente 9,6 km, superficie es 72 km ² . Es mucho menos de lo que piensa la mayor�a de la gente, los que describen lejan�as de estepas y llanuras.

Problema
�Qu� tan lejos se ve el mar, estando en una lancha?

Soluci�n
La elevaci�n del ojo de una persona sentada en una lancha sobre agua puede ser 1 m, � 0,001 km, entonces, distancia del horizonte es:


o teniendo en cuenta la refracci�n atmosf�rica, es 3,8 km. A los objetos muy lejanos se le ven las partes de arriba; las partes fundamentales est�n tapadas por el horizonte.
El Horizonte se estrecha en la medida que los ojos est�n m�s bajos: para medio metro, por ejemplo, hasta 2 � km. Y al contrario, observaci�n desde los puntos elevados la distancia del horizonte aumenta: para 4 m, por ejemplo, hasta 7 km.

Problema
�Qu� tan lejos pudieron ver aeronautas, observando la tierra desde su nave "COAX�I", en momento de su m�xima altura?

Soluci�n
Cuando el globo est� a una altura de 22 km , entonces distancia del horizonte sobre esta elevaci�n es


y teniendo en cuenta la refracci�n alrededor de 580 km.

Problema
�Cu�ntos kil�metros deber�a subir el piloto para ver tierra alrededor de 50 km ?

Soluci�n
De formula sobre distancia del horizonte, en este caso tenemos ecuaci�n



de donde


Entonces es suficiente subir sobre 200 m . Para tener en cuenta la correcci�n, quitaremos 6% de 50 km, obtenemos 47 km
Luego

Figura 103. La universidad de Mosc� (dibujo de proyecto del edificio en construcci�n)

En el sitio m�s alto de Mosc�, est�n construyendo un edificio de veintis�is pisos (figura 103), uno de los mayores centros docentes del mundo. El se destaca por su altura, sobre 200 m encima del nivel de r�o Mosc�.
Por lo tanto, desde los pisos mas altos de la Universidad se abre una vista panor�mica de 50 km en radio.
Volver

4. Torre de Gogol.
Problema
Es curioso, �qu� se ampl�a m�s r�pido, la altura de subida o la distancia del horizonte? La mayor�a piensa que cuando el observador se sube mas alto, m�s r�pido aumenta el horizonte. De esta manera pens� Gogol, escribiendo el articulo, sobre arquitectura contempor�nea:
"Las torres muy altas, enormes, son imprescindibles para la ciudad�Nosotros habitualmente tenemos un limite de las alturas, dejando la posibilidad de observar una sola ciudad, mientras que necesitamos observar por la menos un medio centenar de verstas alrededor, y para eso es suficiente tener un o dos pisos mas arriba, y todo cambiar�. El volumen del horizonte, sobre esa elevaci�n va a crecer progresivamente''.
�En realidad es as�?

Soluci�n
Es suficiente ver la f�rmula


para que desde el principio veamos el error de apreciaci�n, donde el "volumen del horizonte'' aumentar� muy r�pido con la subida de observador. Al contrario, distancia del horizonte aumenta mas lentamente que la altura: ella es proporcional a la ra�z cuadrada de la altura. Cuando ella crece a 100 veces, el horizonte se aleja solamente a 10 veces; Cuando la altura elevada mas de 1000 veces, el horizonte se aleja solamente a 31 vez. Por eso, es equivocado pensar, que "una o dos plantas m�s arriba, - y todo cambiara''. Si se construye encima de un edificio de ocho pisos dos mas, la distancia se aumenta en


es decir, en 1,1 veces, esto es un 10%. Es un poco perceptible.
Hablando de construcci�n de la torre, desde cual podemos ver, "por lo menos medio centenar de verst'', es decir, sobre 160 km; pues es absolutamente irrealizable. El escritor, evidentemente, no sospechaba, que la torre debe de tener una altura enorme.
De la ecuaci�n



obtenemos


Es la altura de una montaña muy alta. Uno de los mayores proyectos de la capital, es el edificio administrativo de 32 pisos, donde el todo dorado va ser elevado sobre 280 m encima de fundamento, en siete veces m�s bajo que los proyectos del escritor Gogol.
Volver

5. Colina de Pushkin.
El mismo error cometi� el Pushkin, hablando sobre un horizonte lejano, observando desde la cima de una "colina orgullosa''.

Y el zar pudo observar de arriba Y valle, cubierta por los toldos, Y mar, donde corren los barcos�

Ya lo sabemos, c�mo es de modesta la altura de aquella colina: las tropas de Atylla no han podido levantar una colina mas de 4 � m. Ahora nosotros podemos calcular, como aumentaba el horizonte, observando desde la cima.
Elevaci�n del ojo encima de tierra es 4,5+ 1,5 , es decir, sobre 6 m, y por lo tanto,
distancia seria equivalente a . Son 4 km mas que si se observara desde una superficie llana.
Volver

6. D�nde se juntan los rieles.
Problema
Evidentemente que varias veces habr�n visto c�mo se estrecha a lo lejos la v�a f�rrea. �Pero han visto el punto donde se junta un riel con otro? Ahora Uds. tienen suficiente conocimientos para resolver la tarea.

Soluci�n
Recordaremos, que cualquier objeto se convierte en un punto (para un ojo normal), cuando se ve bajo de 1 ¢ , es decir, cuando est� apartado sobre 3400 veces su di�metro. La anchura (trocha) de una v�a f�rrea es variable, pero la tomaremos como de 1,52 m. entonces el espacio entre rieles deber�a unirse a un punto a una distancia de 1,52 ´ 3400 =5,2 km. Pues, si tenemos la posibilidad de observar v�a f�rrea a lo largo de 5,2 km, tendremos la veremos como ambos se juntan en un punto.
En una superficie llana el horizonte est� m�s cerca de 5,2 km, est� precisamente, a 4,4 km. Por lo tanto, una persona a simple vista, estado en un sitio llano, no puede ver aquel punto de la uni�n. �l podr�a ver el punto �nicamente teniendo en cuenta una de las siguientes condiciones:

1. si su agudeza de vista es baja, entonces, objetos para el se juntan sobre el �ngulo de vista, mayor de 1 ¢ .
2. si el ojo de observador esta encima de tierra sobre mas de

Volver

7. Tareas sobre el faro.
Problema
En una costa est� situado un faro, el v�rtice de cual est� sobre 40 m encima del mar.
�Desde qu� distancia se aparece el faro para un barco, si la persona que est� observando est� a una altura de 10 m encima del mar?

Figura 104. Para tareas sobre el faro.

Soluci�n
En el dibujo 104 se ve, que esta tarea depende del c�lculo de la l�nea recta AC, formada con dos partes AB y BC.
La parte AB es la distancia del horizonte desde la punta superior del faro que est� a 40 m sobre la superficie; BC es la distancia del horizonte sobre una altura de 10 m. Por lo tanto, el trayecto buscado ser�:



Problema
�De qu� parte de aquel faro se ve una persona a una distancia de 30 km ?

Soluci�n
En la figura 104 claramente se ve el camino de soluci�n: Pero antes de todo se necesita encontrar la longitud BC, despu�s quitar el resultado de la longitud total AC, es decir, menos 30 km, para saber la distancia AB. Sabiendo AB, encontraremos la altura, con qu� distancia del horizonte es AB. Hacemos todos c�lculos:



entonces, desde una distancia de 30 km no se ven 27 m del faro; quedan para observar solo 13 m.
Volver

8. El rayo.
Problema
Encima de cabeza, a una altura de 1,5 km, cay� un rayo. �A qu� distancia podemos observar el rayo?

Soluci�n
Deberemos calcular (figura 105) la distancia del horizonte para altura de 1,5 km . Ella es



Entonces, si el terreno es llano, el rayo fue visto a ojo por una persona que est� a nivel de tierra, a una distancia de 138 km (con 6% de correcci�n � sobre 146 km ).
En puntos m�s alejados de 146 km, el rayo se habr�a visto en el horizonte; y como sobre esta distancia el sonido no llega, entonces se habr�a observado el rayo como un rel�mpago sin trueno.

Figura 105. Para el problema del rayo.

Volver

9. El velero.
Problema
Estamos en la costa, cerca del mar, y observamos un velero alej�ndose. Ya le sabemos que el m�stil alcanza a la altura de 6 m sobre el mar. �A qu� distancia de nosotros el velero empezar� a desaparecerse detr�s del horizonte y sobre qu� distancia desaparecer� definitivamente?

Soluci�n
El velero empezar� a desaparecer (veamos la figura 99) en el punto B , a una distancia mayor que la distancia del horizonte para una persona de estatura mediana; es decir, en 4,4 km. Desaparecer� definitivamente en el punto donde la distancia desde B es


Entonces, el velero desaparecer� sobre el trayecto desde la costa a

4,4 + 8,7 = 13,1 km.
Volver

10. Horizonte en la Luna.
Problema
Hasta ahora todos nuestros c�lculos dependieron del globo terrestre. �Pero c�mo cambia la distancia del horizonte, si observador estuviera en otro cuerpo celeste, por ejemplo, en la Luna?
Soluci�n
El problema se soluciona por la misma f�rmula; distancia del horizonte es , pero en este caso en vez de 2R tenemos que poner la longitud de di�metro de la Luna. Y como el di�metro es 3.500 km, entonces, a la elevaci�n del ojo encima de superficie a 1,5 m tenemos



En la Luna es posible de ver a los lejos sobre 2 � km.
Volver

11. En el cr�ter lunar.
Problema.
Observando la luna desde un cohete, podemos ver gran cantidad de montañas de forma circular, formaciones geol�gicas, las que no se encuentran en la Tierra. Una de las mas grandes montañas es el "cr�ter de Capernik'', tiene un di�metro exterior de 124 km , e interior de 90 km. Los puntos mas altos de la cresta llegan a tener una altura sobre superficie de la cuenca interior de 1500 m. �Si Uds. est�n en la parte media de cuenca interior, pueden ver desde all� la cresta del circulo?

Soluci�n
Para contestar a esta pregunta, tenemos que calcular distancia del horizonte para cresta del cr�ter, es decir, para una altura de 1,5 km.
En la Luna ella es equivalente a . Añadiendo la distancia del horizonte para una persona de estatura mediana, obtenemos la distancia sobre la cual la cresta de cr�ter desaparece detr�s del horizonte

23 + 2,3 = aproximadamente 25 km.

Y como el borde del cr�ter hasta el centro es de 45 km, entonces, ver aquella cresta desde el centro no es posible, �nicamente si se suben a las montañas centrales, las que se elevan desde el fondo de cr�ter a una altura de 600 m. ¹
Volver

12. En J�piter.
Problema
�Cu�l es la distancia del horizonte en J�piter, donde el di�metro es de 11 veces mas que la terrestre?

Soluci�n
Si J�piter esta cubierto por costera dura y tiene superficie llana, entonces, una persona, estando en la superficie, podr� ver a los lejos


Volver

13. Ejercicios Independientes

• Calcular distancia del horizonte para el periscopio de un submarino, ubicado a 30 cm sobre la superficie del mar.
• �A qu� altura tendr�a que subir el piloto encima del lago de Ladoga, para ver las dos orillas en mismo tiempo, separadas por una distancia de 210 km ?
• �A qu� altura tendr�a que subir el piloto entre San Petersburgo y Mosc� para ver las dos ciudades en el mismo momento? El trayecto San Petersburgo � Mosc� es640 km.

Volver