GEOMETR�A RECREATIVA
SEGUNDA PARTE
ENTRE PASO Y BROMA EN GEOMETR�A.

El sentido de matem�tica es tan serio, que es aconsejable no perder la oportunidad de divertirse. Pascal

Cap�tulo Octavo
Geometr�a a ciegas

Contenido:
1. En el fondo de una bodega
2. Medir un tonel
3. La regla graduada
4. Lo que necesitaba cumplir
5. Comprobaci�n del c�lculo
6. Un viaje nocturno de Mark Twain
7. El giro enigm�tico
8. Medici�n a mano
9. �ngulo recto en la oscuridad



1. En el fondo de una bodega
Saliendo de una atm�sfera de aire libre y de mar, imaginaremos de repente que estamos en una bodega oscura de un barco viejo, donde un joven protagonista de la novela de Mayn � Rid con �xito seleccion� un problema matem�tico dentro de unas circunstancias muy inc�modas. En la novela "El chico navegado", Mayn � Rid habla de un joven admirador de aventuras mar�timas (figura 107), sin tener los medios para pagar el viaje, entr� a una bodega de un barco y ah� permaneci� encerrado por todo el viaje. Buscando entre maletas �l encontr� una caja con galletas y un tonel con agua. El chico se dio cuenta, que con esta provisi�n de agua y comida ten�a que ser ahorrativo, y por eso tom� la decisi�n de dividir por porciones para cada d�a.
Contar las galletas fue tan dif�cil, �Pero c�mo calcular las porciones de agua sin saber su cantidad total? Esto era un problema para nuestro protagonista. Vamos a ver, como la ha solucionado.
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2. Medir a un tonel
"Yo necesitaba saber las porciones diarias de agua. Para esto necesitaba encontrar la cantidad de agua en total, y luego dividir por porciones.
Por la suerte, en la escuela he aprendido los primeros conocimientos de geometr�a: tenia idea de qu� es un cubo, pir�mide, cilindro, esfera; Sab�a tambi�n, que un tonel se ve como dos troncos de conos colocados por sus bases.
Para saber el volumen de mi tonel, necesitaba saber su altura (o la mitad de esta altura), despu�s la circunferencia de uno de sus fondos y la circunferencia de la secci�n mediana, es decir, la parte m�s ancha del tonel. Sabiendo estos dos datos, yo puedo encontrar el volumen del tonel.
Encontrar esas cantidades fue complejo para m�.
�C�mo hacer esta medici�n?
Encontrar la altura no ser�a tan dif�cil, ella estaba delante de m�; pero las circunferencias era m�s complicado pues yo no pod�a acercarme a ellas. Era muy pequeño para llegar arriba; adem�s, molestaban las cajas por todas partes.
Existi� otra complicaci�n: no ten�a escala ni regla, que pudiera utilizar para las mediciones; �C�mo puedo encontrar las cantidades sin tener ninguna medida? Pero tom� la decisi�n de no rechazar el plan, hasta que no encuentre la respuesta.''
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3. La regla graduada (La tarea de Mayn � Rid)

Figura 107. El joven aventurero de la novela de Mayn � Rid.

Pensando en el tonel, con la decisi�n que tuvo, de repente descubri� lo que le faltaba. Me ayudar�a una varilla tan larga, que pudiera pasar a trav�s del tonel en su sitio m�s ancho. Si meto la varilla en tonel hasta el otro lado, voy a saber su di�metro. Me queda solo triplicar la longitud de varilla, para saber longitud de circunferencia. No es exactamente justo, pero es lo que suficiente para el uso corriente. Y como el agujero, el que lo hice antes, estaba en el sitio m�s ancho del tonel, entonces, pasando la varilla, tengo aquel di�metro, que necesito. �Pero donde yo encuentro una varilla? Bueno. Decidi� aprovechar la tabla de una caja, y ahora mismo empez� el trabajo. La verdad, es que la tabla tenia 60 cm de longitud, el tonel mas que el doble de ancho. Pero esto no ha sido un problema, necesitaba preparar y unir tres palitos, para tener varilla con el suficiente largo.
Cortando la tabla por lo largo de las fibras, prepar� tres palitos lisos. �C�mo unir? Aprovech� los cordones de mis zapatos, los que ten�an longitud casi de un metro. Atando los palitos, tuve una tablilla de un metro y medio.
En el comienzo de la medici�n, encontr� otra dificultad. No era f�cil pasar la varilla, hab�a muy poco sitio y tampoco pude doblarla.
R�pidamente he encontrado la soluci�n: la desmont� en sus partes, he medido la parte primera, luego atando la siguiente, pas� la otra; empujando la segunda parte, le at� la tercera.
He indicado mi varilla as�, cuando ella toca lado inverso, enfrente del agujero y lo hice una marca justo de cara del tonel. Restando anchura de las paredes, obtuve la cantidad que necesitaba.
Saqu� la varilla de la misma manera, aplicadamente notando aquellos sitios, donde las partes hab�an sido unidas, para poder construirla otra vez del mismo largo afuera. Un pequeño error y podr�a tener un resultado equivocado.
De suerte, he podido tener el di�metro tronco de cono inferior. Ahora tenia que encontrar el di�metro del fondo del tonel, igual a la base de arriba. Puse la varilla encima del tonel, toque el borde opuesto y marqu� la cantidad del di�metro. Esta operaci�n no necesitaba nada mas que un minuto.
Me quedaba solamente encontrar la altura del tonel. Deber�, digan Uds., fijarlo el palito verticalmente justo al tonel y marcarlo altura. Pero dentro hab�a muy oscuro y fijando la varilla verticalmente, no pude verlo hasta que sitio llegaba. Tenia que actuar a ciegas. Necesitaba con el tacto encontrar el fondo del tonel y aquel sitio de la varilla. Adem�s, la varilla movi�ndose se inclinaba, y podr�a tener un resultado err�neo.
Pensando bien, encontr� como superar esta dificultad. At� solamente dos palitos, el tercero lo puse en el fondo de arriba del tonel pasando por su borde en 80 � 40 cm; Luego fij� el largo de palito, formando un �ngulo recto y, por lo tanto era paralelo a altura del tonel. Haciendo la marca en aquel sitio de tonel, sobresalido, es decir, por el medio y restando anchura del fondo, encontr� la mitad de la altura del tonel, o lo que es lo mismo, la altura de un cono truncado.
Ahora ten�a todos los datos necesarios para resolver la tarea.''
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4. Lo que necesitaba cumplir
Convertir el volumen del tonel en unidades c�bicas y despu�s convertirlo en galones haciendo un calculo aritm�tico, era f�cil de cumplir. La verdad, es que para c�lculos no ten�a modo de escribir, pero era in�til, yo estaba en total oscuridad. A menudo tenia que hacer operaciones aritm�ticas de memoria, sin l�piz y papel. Las pr�ximas operaciones las tendr� que hacer no con cantidades muy grandes.
Pero ha aparecido otra dificultad, he tenido tres datos: altura del cono truncado; �Pero cual es la cantidad num�rica de estos datos? Era necesario, antes de calcular, traducir los valores en los n�meros.
En el principio me ha parecido imposible de lograr, ya que no ten�a ning�n instrumento de medidas. Pero recuerdo que en esta �poca yo he medido mi estatura; era equivalente a cuatro pies. �C�mo podr� aprovechar este dato? Muy f�cil: he podido marcar cuatro pies en mi varilla y utilizar b�sicamente para los c�lculos. Para marcar mi estatura, me tumb� en el suelo, y luego he puesto la varilla encima de m�, cuando uno de los extremos toc� el pie y otro mi frente. Con una mano sujete la varilla, con otra marque el sitio enfrente de mi cabeza.
Mas adelante, otras nuevas dificultades. La varilla, equivalente a los cuatro pies, ser� in�til para hacer mediciones, si no tiene las divisiones marcadas. Parece, que no es tan dif�cil dividir 4 pies en 48 partes (pulgadas) y marcar la regla. En teor�a es f�cil; pero en la practica, adem�s, actuando a ciegas, fue muy complicado.
�C�mo encontrar la mitad de 4 pies ? �C�mo dividir cada mitad de varilla otra vez a la mitad, y luego cada uno de los pies en 12 pulgadas, equivalente uno a otro?
Empec� preparando un palillo un poco mas de 2 pies . Comparando �l con la varilla, donde estaban marcados lo 4 pies, vi, que dobl� la longitud del palillo un poco mas de 4 pies. Cortando el palillo, he repetido la operaci�n otra y otra vez, hasta que la longitud del palillo ha sido equivalente a 4 pies.
He perdido mucho tiempo. Pero estuve muy contento, por que pude gastarlo �tilmente.
Adem�s, me di cuenta, que pude abreviar el trabajo, cambiar el palillo por el cord�n, el que ha sido f�cil de doblar. Por eso aproveche mis cordones de zapatos. Atando con un fuerte nudo, comenc� el trabajo, poco tiempo despu�s pude cortar un trozo de 1 pie. Hasta ahora tenia que doblar, era f�cil. Luego doblar el triple, ha sido mas complicado. Pero lo logr�, y poco despu�s tuve tres trozos de cuatro pulgadas cada uno. Quedaba doblarlo, y otra vez doblarlo, para tener un trozo de 1 pulgada.
Ahora he tenido todo, me faltaba marcar sobre la varilla las divisiones; aplicadamente poniendo trozos de mi medida, hice 48 marcas, significado de pulgadas. Al final he tenido mi propia regla con las divisiones, con ayuda de cual pude medir las longitudes encontradas por m�. Solamente ahora pude terminar la tarea, significada mucho para m�.
Inmediatamente empec� hacer los c�lculos. Promediando ambos di�metros, utilic� la mitad de sus longitudes, encontr� la superficie, correspondiente a este di�metro. As� encontr� la cantidad de base del cilindro, equivalente al doble cono de misma altura. Multiplicando resultado por altura, encontr� unidad c�bica del volumen buscado.
Dividiendo el numero de las pulgadas c�bicas en 69 (cantidad de pulgadas c�bicas en una cuarta), sabia, cuantas cuartas ten�a mi tonel.
El contenido del tonel ha sido mas de cien galones, - 108 exactamente.''
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5. Comprobaci�n del calculo
El lector competente en geometr�a, sin duda, anota, que el modo del calculo de los dos conos truncados, utilizando por nuestro protagonista, no es muy cierto. Si, (figura 108) señalamos el radio de los fondos menores a trav�s por r , el radio de mayor por R, la altura del tonel, es decir, doble altura de cada cono truncado, por h, entonces, el volumen, encontrado por el chico, se traduce en una f�rmula

Figura 108.Comprobaci�n del calculo.

Adem�s, siguiendo a las reglas geom�tricas, es decir, utilizando la f�rmula del volumen del cono truncado, obtendremos la expresi�n


Ambas expresiones no son id�nticas, y es f�cil de asegurarse, la segunda es mayor de la primera en


Quienes conozcan el �lgebra, ven, que la diferencia es de valor positivo, es decir, el modo del chico dio con el resultado por defecto.
Es interesante saber cu�nto vale esta disminuci�n. Los toneles, habitualmente se construyen as�: la mayor anchura supera el di�metro del fondo en 1/5 de �l, es decir,


Sabiendo, que el tonel ha sido fabricado de la misma forma, podemos encontrar la diferencia entre la cantidad obtenida y la verdadera del volumen de los conos truncados:


es decir, aproximadamente ( si p =3 ). El error es equivalente, como vemos, al volumen del cilindro, donde el radio del fondo es igual al radio de la circunferencia central del tonel y la altura, la tricent�sima parte de su altura.
Sin embargo, en este caso es deseable tener una no muy gran exageraci�n del resultado, porque el volumen del tonel es mayor del volumen de dos conos truncados inscritos en �l. Es evidente, viendo la figura 108 (a la derecha), donde se nota, sobre el modo de medir el tonel, se quitara la parte de su volumen, marcado por letras a, a, a, a.
El joven matem�tico no adivinaba la formula para encontrar el volumen del tonel; la f�rmula la podemos encontrar en algunos manuales de geometr�a principal como un modo m�s c�modo, para obtener resultados aproximadamente. Tengan en cuenta que medir el volumen de un tonel es una tarea bastante complicada. Sobre ella trabajo Kepler ha dejando una obra matem�tica. Una soluci�n geom�trica m�s f�cil y exacta todav�a no ha sido encontrada hasta hoy: solamente existen los modos pr�cticos con m�s o menos aproximaci�n. En el sur de Francia, por ejemplo, utilizan la f�rmula emp�rica


Es curioso: �Por qu� los toneles tienen una forma tan incomoda para medir, un cilindro con lados convexos? �No es m�s f�cil de hacer toneles de forma cil�ndrica? Los mismos se hacen, pero no de madera, sino de metal (para el petr�leo, por ejemplo).
Ahora tenemos el siguiente

Problema
�Por qu� construyen los toneles con lados convexos? �Cu�l es la ventaja de esta forma?

Soluci�n
La utilidad es siguiente: poniendo los anillos (zunchos) a los toneles, podr� ponerlo ellos apretadamente y fuertemente de una manera muy simple: acerc�ndose a la parte m�s ancha del tonel. Luego se aprieta con tornillos, dando al tonel la solidez suficiente.
Por la misma raz�n a los cubos (baldes) de madera se le dan forma no de cilindro, sino de cono truncado: Aqu� tambi�n lo rodean fuertemente con anillos y los acercan al sitio mas ancho (figura 109).

Figura 109. Acercando los zunchos a la parte m�s ancha del tonel se consigue rodearlo fuertemente

Aqu� es �til de conocer la opini�n sobre este tema de parte de Kepler. Durante el tiempo de descubrimiento de la segunda y tercera Ley de Movimientos de los planetas, el gran matem�tico trabajaba sobre el tema de los toneles y, adem�s, dej� un articulo matem�tico. As� comienza su obra "Estereometr�a de los toneles":
"Bajo de exigencia de material, la construcci�n y utilizaci�n de los toneles de vino tienen forma esf�rica, familiar a c�nica y cil�ndrica. Un liquido estando mucho tiempo dentro de un cacharro met�lico, se estropea por culpa de la herrumbre: de cristal o de arcilla son fr�giles y no suficiente de tamaño; de piedra, por culpa de peso no son �tiles, entonces, queda guardar el vino dentro de toneles de madera. De un solo tronco no es posible preparar un cacharro bastante espacioso, y en la suficiente cantidad, adem�s, puede henderse. Por eso los toneles tienen que ser construidos con trozos unidos de madera. No es posible de evitar a pasar el liquido por rendijas de ning�n material, menos rodeando fuertemente con anillos�
Si fuera posible preparar con tablillas una esfera, entonces, esta forma era m�s deseable. Pues, como no es posible de apretar las tablillas de esta manera, entonces, el cilindro es la �nica forma m�s �til. Tampoco la forma puede ser totalmente cil�ndrica; ataduras en mismo momento eran in�tiles, y no podr�an ser atadas mas fuerte, si el tonel no tuviera forma c�nica, un poco estrech�ndose por ambas partes de su barriga. Esta forma es muy c�moda para el balance, para transportar, formada por dos partes semejantes unidas por sus fundamentos, es mas valida y ventajosamente."
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6. Un viaje nocturno de Mark Twain.
La ingeniosidad de aquel chico dentro de unas circunstancias no muy agradable es impresionante. Dentro de la total oscuridad, la mayor�a de gente no podr�an orientarse, ni hablar de ning�n tipo de mediciones y c�lculos. La novela de Mayn � Rid es �til de comparar con una historia c�mica sobre un viaje confuso dentro de una habitaci�n del hotel, aventura, que ha podido pasar con el conocido humorista el Mark Twain. En este relato esta muy bien descrito como es dif�cil tener el modo de imaginar la situaci�n de los muebles en una habitaci�n, la que era poco conocida. Mas adelante voy a presentar brevemente un episodio divertido del "Viaje al extranjero" de Mark Twain.
"Me despert� y sent� sed. Tuve una idea estupenda, ponerme la ropa, salir al jard�n y refrescarse, lav�ndome en una fuente.
Me levant� y estuve intentando buscar la ropa. Encontr� un calcet�n. Sin tener ni idea donde estaba el otro. Con mucho cuidado me baje al suelo, empec� a buscar, pero sin �xito. Sigo buscando mas y m�s y en vez de encontrar el calcet�n me choqu� con un mueble. Cuando me acost�, alrededor vi pocos muebles, ahora me parece que habitaci�n esta llena de muebles, adem�s, las sillas en todas partes. �Posiblemente dos familias mas ocuparon la misma habitaci�n? Ni vi ni una de las sillas, pero siempre mi cabeza chocaba contra ellas.
Al final he decidido que puedo vivir con solo un calcet�n. Me fui a la puerta, pero de repente veo mi reflejo p�lido en espejo.
Evidentemente me he perdido, y no tengo ni idea donde estoy. Si la habitaci�n ten�a solo un espejo, pudo ser una buena ayuda para orientaci�n, pero hab�a dos, es lo mismo como mil.
Quise encontrar la puerta peg�ndome a la pared. Con mis pruebas termin� tirando un cuadro al suelo. Quiz� no era muy grande, pero lo hizo con tanto ruido como una montaña. Garris (mi vecino, estaba durmiendo en la otra cama) no se ha movido, pero lo sab�a, si voy a seguir por el mismo camino, seguro despierta. Voy aprobar el otro camino. Encontr� otra vez la mesa redonda, estuve un par de veces al lado de ella, y desde aqu� voy a probar encontrar mi cama; si encuentro mi cama, pues, encuentro tambi�n la garrafa con agua, por lo menos puedo apagar la sed. Mejor es arrodillarse y arrastrarse; este modo lo he probado, por eso conf�o en �l.
Por fin encontr� la mesa, tocando con cabeza, con un poco de ruido. Luego otra vez me levant� y fui balance�ndome con las manos estiradas. Encontr� la silla. Despu�s la pared. Otra silla. Luego el sof�. Mi bast�n. Otra vez sof�. Me ha sorprendido, perfectamente lo sabia, en la habitaci�n esta solo el sof�. Encontr� otra vez la mesa y recib� un golpe de nuevo. Luego choque con una fila de sillas. Un poco despu�s se me ha ocurrido una idea, que tenia que aparecer mucho antes: La mesa es redonda, por lo tanto, no puede ser el punto de la salida para mi viaje. Por suerte me fui al espacio entre las sillas y sof�, pero me pareci� un lugar desconocido, dejando caer el candelabro de la chimenea. Luego solt� la l�mpara, luego con el sonido vol� la garrafa.

• �Ah! - pens�, - �Por fin te encontr�, querido m�o!
• �Ladrones! �Socorro! � grito el Garris.

Ruidos y gritos levantaron a toda casa. Hab�an venido con velas y linternas el jefe, invitados y sirvientas.
Yo mire alrededor. Aparec�a, que estoy al lado de la cama de Garris. Solo un sof� estaba al lado de la pared; Solo una silla ubicada de manera que era f�cil chocarse con ella, yo estuve dando vueltas alrededor, como una planeta, y chocando con ella, como una cometa, durante toda la noche.
Sobre mis pasos, me asegur�, que lo hice durante la noche 47 millas.
Lo ultimo es exagerado por encima de cualquier medida: no es posible durante par de horas pasar andando 47 millas, pero otros detalles de la historia son bastante reales y bien caracterizan las dificultades del viaje dentro de una habitaci�n oscura. Adem�s, tenemos que valorar el esp�ritu met�dico sorprendente y animo del joven protagonista de Mayn � Rid, el que no solo ha podido orientarse a oscuras, sino resolver una tarea matem�tica, dentro aquellas circunstancias.
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7. El giro enigm�tico
Sobre las vueltas de M. Twain dentro de la habitaci�n oscura, es curioso tomar la nota de un fen�meno que sucede con la gente que camina con ojos tapados: ellos no pueden ir sobre una l�nea recta, sin falta se apartan del camino, describiendo un arco, sin embargo, imaginando, que van por el camino recto hacia delante (figura 110).
Tambi�n eso caracteriza a los aventureros, viajando sin br�jula por el desierto, por la estepa nublada, en todos casos, cuando no hay posibilidad de orientarse, se apartan del camino y caminan sobre un circulo, a menudo volviendo al mismo sitio. El radio de la circunferencia, circunscrita por el peat�n, es 60 a 100 m; M�s r�pido camina, mas se estrecho es el radio, es decir, m�s estrechos son los c�rculos cerrados.
En la practica existen algunas pruebas para estudiar esta tendencia de la gente, como apartarse del camino recto. Habla un cient�fico Y. Spirin:
"En un aer�dromo liso y verde han puesto en una fila los pilotos. A todos les taparon los ojos y propusieron a caminar hacia delante. La gente andaba� al principio caminaban bien recto; despu�s unos apartaban a la derecha, otros a la izquierda, poco a poco comenzaban hacer los c�rculos, volviendo a sus primeros pasos."
Un caso conocido anal�gico hubo en Venecia en la plaza de Marco Polo. Tapaban los ojos a la gente, situadas en un lugar de la plaza, enfrente de la catedral, y propusieron llegar hacia ella. Aunque hab�a que andar solamente 175 m , todas de las personas metidas en esta prueba no han podido alcanzar la fachada del edificio (82 m de anchura), todas se inclinaban, circunscribieron a los arcos y chocaban con columnas laterales (figura 111).

Figura 110. El camino con ojos tapados.

Figura 111. Esquema de la prueba en la plaza de Marco Polo en Venecia.

Quien ha le�do la novela de Julio Verne "Las aventuras del capit�n Gateras", se acordar� de un episodio, como los viajeros se encontraron dentro de un desierto de nieve unos pasos de una tal persona:
"- �Son nuestras huellas, amigos m�os! � exclamo el doctor. � Nos hemos perdido por culpa de la niebla y ahora descubrimos nuestras propias huellas.
Una descripci�n cl�sica de vueltas semejantes dejo L. N. Tolstoi "Dueño y trabajador":
"Basilio Andreevich hizo correr al caballo all�, donde el pens� que pod�a estar la caseta del guardabosque. La nieve imped�a ver, y el viento parec�a que quer�a parar al hombre, pero el dobl�ndose para delante intent� hacer correr al caballo.
Cinco minutos despu�s, no pudo ver nada, excepto la cabeza del caballo y desierto blanco.
De repente vio a los lejos una casa negra. Su coraz�n lat�a de alegr�a, y se dirigi� hacia aquel sitio negro, viendo las paredes de una aldea. Pero el negro ha sido solo la variedad de ajenjo � El aspecto del ajenjo, golpeado por el viento, oblig� a que temblase el pobre coraz�n del hombre mas y m�s. Con rapidez �l fue para all�, sin darse cuenta, que acerc�ndose al ajenjo, cambi� totalmente la direcci�n.
Otra vez en el frente ve algo oscuro, otra vez la l�nea de ajenjo, la hierba seca golpeada por el viento. A lado de �l ve�a las huellas del caballo, desapareciendo por el viento. Basilio Andreevich par� el caballo y mir� con la atenci�n: no ha sido otra cosa que las huellas de su caballo. Por lo visto, �l daba las vueltas dentro de un espacio limitado por �l.''
El fisi�logo noruego Gulberg, dedic� al fen�meno de giros una investigaci�n especial (1896), el junt� varios testimonios verificados sobre casos reales del mismo origen. Ponemos en claro los dos ejemplos.
Dos peregrinos tomaron la decisi�n de dejar la caseta en una noche nevada y salir de aquel valle con anchura de 4 km , para llegar a su casa, situada en el sentido, del que esta marcado por la l�nea discontinua (figura 112). Sin darse cuenta, durante el camino ellos se apartaban a la derecha, sobre la l�nea curva, señalada por flechas, pasando una cierta distancia, ellos calculaban que el objeto estaba conseguido, pero en realidad se encontraban al lado de la misma caseta, la cual dejaron hac�a muy poco tiempo.

Figura 112. Esquema del viaje de los tres peregrinos.

Saliendo por otra vez, ellos se apartaban todav�a mas y volvieron al punto de salida. Lo mismo se ha repetido por tercera vez y cuarto vez. Desesperados, probaron por quinta vez, pero con el mismo resultado. Se decidieron no complicar mas la noche y esperar hasta mañana.
M�s dif�cil es remar sobre una l�nea recta en una noche oscura o tapado por la niebla. Hay un caso, cuando dos remeros, decididos atravesar un estrecho de 4 km de anchura, en una noche. Dos veces estaban en la orilla apuesta, pero sin conseguir a ella, sin darse cuenta circunscribieron dos c�rculos y al fin desembarcaban en el sitio de salida (figura 113).

Figura 113. Como remeros probaron atravesar el estrecho en la niebla.

Lo mismo pasa con los animales. Unos viajeros polares cuentan sobre los c�rculos, dejados en la nieve por animales, enganchados en el trineo. Los perros dej�ndolos nadar con ojos tapados tambi�n circunscriben los c�rculos en el agua. Dando vueltas, vuelan las aves cegadas. Un animal perseguido, por el miedo sin poder orientarse, se salva por el camino en espiral.
Zo�logos examinaban los renacuajos, cangrejos, medusas, adem�s, las amebas en una gota de agua; todos ellos se mov�an sobre un circulo.
�C�mo explicar esta afici�n tan enigm�tica del humano y animales al c�rculo, sin ser capaces mantener una trayectoria recta a ciegas?
Esta pregunta pierde su milagro, cuando hacemos una pregunta correcta.
Preguntaremos no sobre por qu� los seres vivos andan dando las vueltas, sino, sobre - �Qu� necesitan para mantener un camino recto?
Acuerden como se mueve un carro, un juguete mec�nico. Puede ser, que la carreta cambia el sentido, en vez de seguir a un recto camino.
En este movimiento nadie se ven ning�n tipo de milagro, cualquier se adivina, �Porque esto ocurre! Evidentemente, las ruedas de derecha no son iguales a la parte izquierda.
Esta claro, el ser vivo podr� moverse en aquel caso sin ayuda de los ojos por un recto camino, cuando los m�sculos de ambas partes (de derecha y de izquierda) est�n trabajando completamente igual. Pero aqu� estamos, la simetr�a del cuerpo humano y de animales no es igual. En la mayor�a de gente y de animales los m�sculos de parte derecha del cuerpo se desarrollan desigualmente con los m�sculos de parte izquierda. Evidentemente, el peat�n siempre estira la pierna derecha mas adelante, que la izquierda, no puede mantenerse en una l�nea recta; Si los ojos no ayudan a alinear el camino, el inevitablemente se correr� a la izquierda. Lo mismo pasa con un remero, por culpa de un mal tiempo, se correr� a la izquierda, si la mano derecha trabaja con mas fuerza, que la otra. Esto es geometr�a absoluta.
Imaginaremos, por ejemplo, la persona haga el paso con la pierna izquierda en un mil�metro mas largo, que con la derecha. Despu�s, haciendo por turnos con cada pierna mil pasos, la persona har� el camino con la pierna izquierda sobre 1000 mm, es decir, sobre un metro mas largo, que de la derecha. En los caminos rectos y paralelos esto es imposible, pero es real en las circunferencias conc�ntricas.
Adem�s, nosotros podemos, utilizando el plano anteriormente descrito del giro en el valle nevado, calcular, en cuantas veces la pierna izquierda hizo mas largo el paso, que la derecha (como el camino se apartaba hacia derecha, entonces los pasos m�s largos lo hizo la pierna izquierda). El trayecto entre l�neas de las piernas izquierda y derecha durante el camino (figura 114) equivalente a ~10 cm , es 0,1 m. Cuando la persona circunscribe un circulo completo, su pierna derecha alcanza el camino 2 p R, la izquierda 2 p (R + 0,1), donde R es el radio de aquella circunferencia en metros. La diferencia

2 p (R + 0,01) - 2 p R = 2 p ´ 0,1
es decir

0,62 m o 620 mm,
formada por la diferencia entre la longitud del paso izquierdo y derecho, repitiendo tantas veces, cuantos han sido los pasos. De la figura 112 podemos deducir, que los peregrinos circunscribieron los c�rculos con di�metros de @ 3,5 km, es decir, @ 10000 m de longitud. Sobre el paso medio de 0,7 m durante ese camino han sido hecho


De ellos son 7.000 con la pierna derecha e igual con la pierna izquierda. Entonces, ya sabemos, que 7.000 pasos "izquierdos", mas de 7000 pasos de 620 " derechos'' de 620 mm. De aqu�, un paso izquierdo m�s largo de un derecho en

mm,
menos que 0,1 mm. �Esta diferencia entre los pasos es suficiente para lograr un resultado tan sorprendente.

Figura 114: Las l�neas de huellas de la pierna derecha y la izquierda durante el camino.

El radio de aquel circulo, el que el viajero circunscribe, depende de la diferencia entre las longitudes de pasos "derecho" e "izquierdo". Es f�cil de establecer la cantidad de pasos, hechos a lo largo de un circulo, con una longitud de un paso de 0,7 m es


donde R es el radio de la circunferencia en metros; Entre ellos hay



"izquierdos" e igual n�mero de "derechos. Multiplicando esta cantidad por el valor de la diferencia x de longitud de los pasos, recibimos la diferencia longitudinal de aquellos c�rculos, los que son circunscribimos como por la izquierda tanto por la derecha piernas, es decir


R y x se expresan en metros.
Con esta f�rmula tan simple no es dif�cil de calcular el radio de la circunferencia, cuando la diferencia de los pasos es conocida, y al contrario. Por ejemplo, para los participantes de la prueba en la plaza de Marco Polo de Venecia nosotros podemos establecer el radio mas grande circunscrito por ellos a lo largo del camino. Realmente, como ninguno de ello no lleg� hasta la fachada DE del edificio (figura 111), entonces, entre la fachada AE = 14 m y el arco BC, no supera a 175 m, podemos calcular el radio m�ximo del arco AB. El sale de igualdad


de aqu� R , el radio m�ximo, ser� @ 370 m.
Sabiendo esto, de la formula anterior R ´ x = 0,14 buscamos la menor cantidad de la diferencia longitudinal de los pasos:

370 x = 0,14, donde x = 0,4 mm.
Entonces la diferencia de longitud de los pasos derechos e izquierdos de los participantes no es menor de 0,4 mm.

Figura 115. Si el �ngulo del paso es mismo, entonces los pasos eran iguales.

A veces escuchas o lees, que la acci�n del giro durante la caminata a ciegas depende de la diferencia de las piernas; como la pierna izquierda la mayor�a de gente la tiene mas larga, entonces durante el camino la gente deber� apartarse hacia la derecha. Lo importante es la longitud de los pasos, pero no las piernas.
De la figura 115 es evidente, con la existencia de piernas diferentes podemos hacer pasos iguales, si durante el camino separamos las piernas en un mismo �ngulo, es decir, andar as�, donde Ð B ₁ = B. Como siempre A ₁ B ₁ = A B y B ₁ C ₁ = B C, entonces D A ₁ B ₁ C ₁ = D ABC y por lo tanto, AC = C ₁ A ₁ . Al contrario, con dos piernas totalmente iguales, los pasos podr�n ser de diferentes longitudes, si una pierna se adelanta a la otra.
Por la misma raz�n el barquero, remando mas fuerte con la mano derecha, debe de apartar la lancha, dando vuelta hacia la izquierda. Los animales haciendo pasos diferentes, o aves haciendo movimientos con las alas no con la misma fuerza, tambi�n deber�an dar las vueltas cada vez, cuando pierden control visual. Aqu� una diferencia pequeña de esfuerzo tambi�n es suficiente para perder el rumbo.
Sobre esta raz�n todos los casos pierden su misterio y se convierten en reales. De manera sorprendente era, si seres vivos, al contrario, pudieran caminar rectamente a ciegas. M�s importante condici�n, es la simetr�a geom�trica del cuerpo, absolutamente imposible para naturaleza. La menor desviaci�n de la simetr�a absoluta matem�tica debe llevar detr�s, como la consecuencia inevitable del giro. El milagro no es aquello, que nos sorprende, sino aquello, que est�bamos preparados verlo como realidad.
Imposibilidad mantener el camino recto ahora no es complejo: Las br�julas, v�as, cartas evitan las dificultades.
Otra cosa, animales y dem�s habitantes de desiertos, estepas, del espacio mar�timo: la asimetr�a del cuerpo obliga a ellos circunscribir los c�rculos, en vez del camino recto, es un factor importante de la vida. Como si un hilo invisible se enganchara en un sitio, quitando posibilidad de alejarse. Un le�n, que osa alejarse mas lejos del desierto, antes o despu�s vuelve. Las gaviotas, dejando sus rocas, no podr�n volar sin volver al nido (adem�s, misterioso es la larga migraci�n de las aves, cruzando los continentes y oc�anos).
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8. Medici�n a mano
El chico de Mayn � Rid pudo con �xito resolver su tarea geom�trica solamente porque sabia su estatura y recortaba bien el resultado. Seria bueno para cada de nosotros tener un "metro vivo", por si acaso necesitamos para hacer mediciones.
Es �til de recordar, que la mayor�a de la gente tienen la distancia entre las manos estiradas equivalente a la estatura (figura 116) la regla examinada por un pintor y cient�fico Leonardo da Vinci: la regla permita aprovechar nuestras "medidas vivas" m�s c�moda, como ha hecho el chico. La estatura de una persona adulta (de una raza eslava) @ 1,7 m o 170 cm, es f�cil de recordar. Pero confiar a esta cantidad mediana no hace falta: Cada uno debe de medir su estatura y la distancia de las manos.

Figura 116. Precepto de Leonardo da Vinci

Para medir, sin regla, las distancias pequeñas tenemos que recordar longitud de su "cuarta", es decir, la distancia entre las puntas del pulgar y el dedo meñique (figura 117). Para un hombre mayor es @ 18 cm, aproximadamente � de arshin (de aqu� viene el nombre "cuarta"); Pero para adolescentes el mismo segmento es menor y crece hasta los 25 años.

Figura 117. Medici�n del segmento entre dedos.

Figura 118. Medici�n del dedo �ndice

Luego, es �til recordar la longitud del �ndice, calculando dos cosas: desde el fondo del dedo medio (figura 118) y desde el fondo del pulgar.

Figura 119 . Medici�n del segmento entre dedos.

Figura 120. Medici�n de circunferencia del vaso

Lo mismo tiene que saber es la distancia m�xima entre el dedo �ndice y el medio, para una persona adulta es @ 10 cm (figura 119). Al final tenemos que saber la anchura de nuestros dedos.
La anchura de los tres dedos del medio, bien sujetados, es aproximadamente es de 5 cm.
Teniendo todos los datos Uds. podr�n cumplir cualquier tipo de medici�n aprovechando sus manos, adem�s, a ciegas. Hay un ejemplo en la figura 120: aqu� medimos con dedos la circunferencia del vaso. Teniendo cantidades medias, podemos decir, que la longitud de la circunferencia es 18 + 5 = 23, es 23 cm.
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9. �ngulo recto en la oscuridad
Problema
Otra vez volveremos a aquel chico de la novela y formaremos una pregunta: �Qu� trabajo tenia que hacer, para encontrar el �ngulo recto de un modo mas justo? "Coloqu� junto a ella (sobre la tablilla) una vara as�, para que ella forme con tablilla un �ngulo recto'', leemos la novela. Trabajando a ciegas, confiando a sus sentimientos musculares, podemos equivocarnos. Por lo visto el chico dentro de su situaci�n tenia un secreto para construir �ngulo de una manera fija. �Cu�l es esa manera?

Figura 121. Un tri�ngulo rect�ngulo donde los lados son completos

Soluci�n
Aprovecharemos el teorema de Pit�goras, construimos un tri�ngulo de tablas, donde uno de sus �ngulos era recto. Bien sujetadas las tablillas con longitud de 3, de 4 y de 5 seg�n elegidos segmentos iguales (figura 121).
Es el antiguo modo de egipcios, el que utilizaban en la tierra de las pir�mides mil años atr�s. Adem�s, en nuestro tiempo aprovechan este modo en las construcciones.
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