GEOMETR�A RECREATIVA
PARTE PRIMERA
GEOMETR�A AL AIRE LIBRE
Cap�tulo Cuarto
Geometr�a de Viaje

Contenido:
1. Habilidad de medir con pasos
2. Buen ojo
3. Inclinaciones
4. Mont�n del casquijo
5. Una colina orgullosa
6. Circunvalaci�n vial
7. El radio de circunvalaci�n
8. El fondo de oc�ano
9. �Existen las montañas acu�ticas?
1. Habilidad de medir con pasos
Encontr�ndose por las afueras cerca de un ferrocarril o en la carretera, podemos hacer un par de ejercicios geom�tricas muy interesantes.
Antes de todo utilizaremos la carretera, para saber la longitud de nuestro paso y la marcha. Esto nos ayuda medir a las distancias con pasos, t�cnica que se consigue bastante f�cil, despu�s de un par de ejercicios. Lo m�s importante es aprender hacer los pasos de igual longitud, es decir, similar a la definida durante la marcha.
En la carretera, cada 100 metros se coloca una piedra blanca; caminando este espacio de 100 metros con su paso ² mesurado ² y contando la cantidad de pasos, es muy f�cil de encontrar la longitud media de un paso. La medici�n semejante es deseable repetirla cada año, por ejemplo, cada primavera, porque longitud del paso, no es invariable.
Una correlaci�n muy curiosa, encontrada por las mediciones frecuentes: La longitud mediana del paso de una persona mayor es equivalente a la mitad de su estatura, hasta los ojos. Si, por ejemplo, estatura de una persona es 1,40 m, entonces la longitud de su paso, es 70 cent�metros. Aconsejo comprobarlo.
Aparte de la longitud de su paso, es �til saber la velocidad de la marcha, la cantidad de kil�metros, hechos durante la hora. A veces se usa la regla siguiente: Nosotros andamos durante la hora tanto kil�metros, �cu�ntos pasos se hacen durante tres segundos?
Por ejemplo, si durante tres segundos nosotros hacemos cuatro pasos, entonces, durante la hora dejamos detr�s 4 kil�metros. Sin embargo, la regla es �til solamente, cuando sabemos la longitud del paso. No es dif�cil de encontrar, señalando longitud del paso por x, la cantidad de pasos durante tres segundos a trav�s de n, tenemos la ecuaci�n:




de donde 1.200 x = 1000 y x = 5/6 metros, es decir, mas o menos 80 a 85 cent�metros. Relativamente es paso muy grande; estos son pasos de personas muy altas. Si el paso de Uds. es diferente de 80 � 85 cm, entonces, tendr� que hacer la medida de la marcha de otra manera, midiendo el tiempo que transcurre caminando entre dos mojones.
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2. Buen ojo.
Es agradable y no solo �til saber medir las distancias sin cadena y sin pasos mensurados, sino valorar directamente a ojo, sin mediciones. La maestr�a se consigue solamente por el camino de los ejercicios. Durante mis años escolares, cuando yo con un grupo de amigos hac�a excursiones fuera de la ciudad, los ejercicios fueron para nosotros muy habituales. Realizados en una forma deportiva y especial, inventada por nosotros, en una forma de competici�n. Saliendo en la carretera, nosotros marc�bamos con la mirada cualquier �rbol junto la carretera u otro elemento s�lido, y la competencia hab�a comenzado.
-�Cu�ntos pasos hasta el �rbol? � preguntaba alguien.
El resto dec�an el n�mero aproximado y despu�s juntos cont�bamos los pasos, para saber, qui�n hab�a estado m�s cerca del verdadero. Era su turno elegir el objeto para valorar la buena vista.
Quien hab�a medido con mas �xito la distancia, obten�a un punto. Despu�s de diez veces calcul�bamos los puntos: el que obten�a mas puntos era el ganador.
Recuerdo que en las primeras distancias estuvimos muy errados. Pero muy pronto, mas pronto de lo que se esperaba, ejercimos el arte de medir las distancias, aprovechando la vista, haciendo cada vez menos errores.

Figura 78. Un �rbol detr�s de colina parece mas cerca.

Basta un cambio r�pido de la situaci�n, por ejemplo, con el traspaso de un campo a un bosque, o a un calvero de arbustos, volviendo a la ciudad, pasando por las calles estrechas, a veces por la noche, bajo de la luz engañosa de la Luna, nos d�bamos cuenta que los errores eran mayores. Luego, sin embargo, aprendimos que era necesario, para mediciones m�s exactas, tener presente este cambio de circunstancias. Por fin, nuestro grupo consigui� tanta perfecci�n dentro de la evaluaci�n de las distancias con la vista, que debimos eliminar este tipo de deporte; todos adivinaban igualmente bien, y las competiciones perdieron el inter�s. Pero por otra parte, conseguimos tener un buen ojo, que siempre sirvi� durante los paseos fuera de la ciudad.
Es curioso, pero el buen ojo parece que no depende de agudeza visual. Entre nuestro grupo fue un chico cegato, y no solo tuvo buenos resultados, sino a veces ganaba. Al contrario, un chico con una vista normal no pudo conseguir medir las distancias. Mas tarde tuve necesidad de hacer lo mismo con medici�n visual de la altura de los �rboles: ejercitando a los estudiantes, esta vez no para un juego, sino para su profesi�n futura, not� que los cegatos lo hac�an igual que los otros. Esto puede ser el consuelo para cegatos: sin estar dotado de una vista aguda, ellos son capaces de desarrollar un c�lculo visual bastante satisfactorio.

Figura 79

Ejercitarse en la exactitud de las distancias visibles, lo podemos en cualquiera temporada y dentro de cualquier circunstancia. Paseando por las calles de ciudad Uds. podr�n imponerse a si mismos las tareas, probando adivinar, cuantos pasos hasta farola mas cercana, hasta uno u otro objeto. Durante el mal tiempo, sin darnos cuenta, tendremos minutos mas �tiles paseando por las calles sin gente.
Los militares le dan mucha importancia a las mediciones visuales: buena vista necesita el batidor, el tirador, el artillero. Es interesante conocer aquellas propiedades, los que llevan en la practica.

• ² A ojo se miden las distancias o con la posibilidad de distinguir, sobre el grado de claridad a los objetos visibles sus distintas distancias del observador, o valorar la distancia sobre una dimensi�n de 100 � 200 pasos, parece menor, cuando esta mas lejos del observador ² .
• ² Los objetos parecen m�s cercano por el grado de claridad. Debemos tener en cuenta, que aquellos que est�n m�s alumbrados o m�s claros, y dependiendo del terreno o si est� encima de una superficie acu�tica; los objetos que est�n m�s alto, los grupos comparados con otros objetos y en general los objetos m�s grandes ² .
• ² Podemos seguir a las propiedades siguientes: hasta 50 pasos se pueden distinguir la boca y los ojos de la persona; Hasta 100 pasos, los ojos parecen dos puntos; Hasta 200 pasos � los botones y otros detalles de ropa se podr�n distinguir; sobre 300 se ve la cara; sobre 400 pasos se distingue el movimiento de las piernas; Sobre 500 pasos se ve el color de ropa ² .

Sobre eso, el ojo mas pr�ctico comete un error de 10% de la distancia medida. Entre los casos cuando los errores de la vista son m�s significativos, se encuentra la estimaci�n de la distancia sobre una superficie llana y absolutamente de un color, por ejemplo, encima de agua de un r�o, de un lago, encima de llanura arenosa, en un campo verde. Aqu� las distancias parecen m�s pequeñas que las verdaderas; valorando visualmente, nos equivocamos en el doble, sino en m�s. Por otra parte, los errores posibles, cuando medimos la distancia hasta un objeto, el fundamento del que est� tapado por una colina o por un edificio o por alguna elevaci�n. En estos casos sin querer pensamos, que el objeto est� no detr�s de la elevaci�n, sino encima de la misma, por lo tanto, cometemos un gran error aparte de disminuci�n de la distancia (figuras 78 y 79).
En casos semejantes, confiar al buen ojo es peligroso, y deberemos usar otros modos, de los cuales ya hemos hablando y vamos a hablar.
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3. Inclinaciones
A lo largo de ferrocarril, aparte de postes de versta (de un kil�metro), vemos otros no muy altos, con tablillas fijadas con una inscripci�n de algo incomprensible para mucha gente, como en la figura 80.

Figura 80. ² Señales de inclinaci�n ²

Eso es ² señales de inclinaci�n ² . En la primera inscripci�n el numero arriba 0.002 significa, que ah� la inclinaci�n del camino (en qu� sentido, tambi�n lo indica la tablilla) es 0,002; el camino sube o baja 2 mm sobre cada mil de mil�metros. �l numero de bajo, 140, significa, que esta inclinaci�n dura 140 metros, donde est� la otra señal indicando la nueva inclinaci�n.
Otra tablilla con inscripci�n indica, durante pr�ximos 55 m, el camino baja o sube 6 mm con cada metro.
Sabiendo significaci�n de las señales de inclinaci�n, podemos calcular la diferencia de alturas a los dos puntos vecinos, marcados por estas señales. En primer caso, por ejemplo, la diferencia de alturas es 0,002 ´ 140 = 0,28 m; En otro, 0,006 ´ 55 = 0,33 m.
En la pr�ctica del ferrocarril, como vemos, la cantidad de inclinaci�n se busca no por medida graduada. Pero es posible transformar en medidas graduadas estos indicaciones de la inclinaci�n de v�a f�rrea. Si AB (figura 80), es la l�nea da v�a, BC, diferencia de alturas a los puntos A y B, entonces la rampa de v�a AB sobre l�nea horizontal AC ser� indicada por proporci�n


Como el �ngulo A es demasiado pequeño, entonces podemos utilizar AB y AC como radios de circunferencia, donde el arco es BC. Despu�s el c�lculo del �ngulo A, si sabemos la proporci�n BC / AB, no ser� tan dif�cil. La longitud del arco es 1/57 el radio, el �ngulo es de 1 ° . �Qu� �ngulo corresponde al arco con 0,002 del radio? Obtenemos su valor x de la proporci�n


entonces, mas o menos 7�.
En las vais f�rreas son admisibles solo rampas pequeñas. Tenemos la norma de inclinaci�n m�xima de 0,008, es decir, en medida graduada 0,008 ´ 57, menos de � ° : Esa es una inclinaci�n pequeña. Solamente para la v�a f�rrea Transo-Cauc�sica son admisibles inclinaciones hasta 0,025, en medida graduada es casi 1 � ° .
Nosotros no notamos inclinaciones tan pequeñas. El peat�n empieza sentir una inclinaci�n del piso, cuando supera a ¹ / ₂₄ : en medida graduada es ⁵⁷ / ₂₄ , es decir 2 � ° .
Paseando por ferrocarril unos cuantos kil�metros y anotando las señales de inclinaci�n observadas, se puede calcular, en cu�nto los subieron o bajaron, es decir, que diferencia de alturas entre el primer punto y el punto final.

Problema
Uds. empiezan el paseo a lo largo de la v�a del ferrocarril cerca del poste con señal de subida y anotan luego otras señales:

plazoleta	subida	subida	plazoleta	bajada

El paseo terminaba cerca de la �ltima señal de la inclinaci�n. �Cu�l es el camino recorrido y cu�l es la diferencia de alturas entre la primera y la �ltima señal?

Soluci�n
Todo el camino recorrido es


153 + 60 + 84 + 121 + 45 + 210 = 673 m.

Subiendo a


0,004 ´ 153 + 0,0017 ´ 84 + 0,0032 ´ 121 = 1,15 m.

Bajando a

0,004 ´ 210 = 0,84 m,

entonces finalmente, aparecieron Uds. en un punto m�s alto del punto de la salida en:


1,15 � 0,84 = 0,31 m = 31 cm.
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4. Mont�n del casquijo.
Los montones del casquijo sobre los bordes de una v�a levantan nuestro inter�s.
Pregunta: �Qu� volumen tiene esta gran cantidad de casquijo? Inmediatamente recibimos una tarea, bastante complicada para una persona acostumbrada superar dificultades matem�ticas en el papel o en la pizarra. Necesita calcular el volumen del cono, donde la altura y el radio son inaccesibles para medir de manera inmediata. Pero podemos encontrar su cantidad por la v�a indirecta. El radio se encontrar� midiendo la circunferencia de la base y dividiendo su longitud por 6,28.
M�s dif�cil es con la altura: se necesita medir la longitud formada por AB o (figura 81), como har�an los capataces de carril, ambas formadas al ABC (pasando la cinta de medir por encima), luego, sabiendo el radio de la base, calculan altura BD por el teorema Pit�goras

Figura 81. Mont�n de casquijo

Problema
Tenemos el mont�n del casquijo. La circunferencia de la base del cono es 12,1 m; la longitud de dos formadas es 4,6 m. �Cu�l es el volumen del mont�n?

Soluci�n
El radio de la base es equivalente a

12,1 ´ 0,159 ( en vez de 12,1 : 6,28) = 1,9 m.
La altura equivale a





donde el volumen del cono es


Los valores de los vol�menes de montones con casquijos de nuestras carreteras, habitualmente, de acuerdo con Reglamento de Circulaci�n y Seguridad Vial, fueron, �, � y 1/8 sazhen , es decir, 4,8 2,4 y 1,2 m ³
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5. Una colina orgullosa.
Viendo los montones c�nicos del casquijo o de arena me acord� de una vieja leyenda rusa, contada por el poeta A. Pushkin en ² Un caballero avaricioso ².

Le� en alguna parte, Que el zar a sus guerreros Mando llevar la tierra en la mano para una pila, Y colina orgullosa se ha levantado, Y el zar pudo observar desde arriba Y valle, cubierta por los toldos, Y mar, donde corren los barcos�

Es una de las muchas leyendas, donde en la realidad aparente no hay ni una gota de verdad. Podemos examinar con c�lculo geom�trico, que podr�a pasar, si de verdad se le ocurriera esta idea a un tirano antiguo, al final, el resultado seria miserable: delante de nosotros se levantar�a un pobre montoncillo de tierra, que ninguna fantas�a ser�a capaz de convertir en una ² colina orgullosa ² .
Haremos el calculo. �Cu�ntos guerreros pudo tener el zar? Es sabido que los ej�rcitos antiguos no eran tan numerosos. Las tropas se calculaban en unas 100.000 personas y ya el numero era significativo. Si la colina se levant� por aquellas 100.000 manos colmadas de tierra, entonces por favor, cojan un puño de tierra lo m�s grande posible y �chenla en un vaso: como ver�n no podemos ni llenar un vaso con solo un puño.
Si admitimos, que el volumen del puño de un guerrero es 1/5 litros ( dec�metros ³ ), deducimos que el volumen de la colina:


Entonces, la colina es un cono con el volumen de no m�s de 20 m ³ . Un volumen tan limitado ya desilusiona. Vamos a continuar haciendo c�lculos para encontrar la altura de la colina. Para esto necesito saber, el �ngulo que forman las generatrices del cono con su base. En nuestro caso podemos admitir el �ngulo de reposo natural, es decir 45 ° y la altura de este cono es equivalente al radio de su base; por lo tanto,


de donde





Deberemos tener una gran imaginaci�n, para que un mont�n de tierra en 2,4 m ( 1� veces la estatura de una persona) llamar la ² colina orgullosa ² .
�tela tenia unas las de m�s numerosas tropas de todo el mundo antiguo. Historiadores dicen de 700.000 personas. Si todos los guerreros participaran en el ejercicio, entonces habr�an hecho un mont�n un poco mas alto del calculado por nosotros: como su volumen es siete veces m�s grande, que el nuestro, entonces la altura superaba solo en , es decir, en 1,9 veces; equivalente a 2,4 ´ 1,9 = 4,6 m. Es dudoso, que el t�mulo de estos tamaños pudiera satisfacer la ambici�n de �tela.
Desde estas alturas fue f�cil observar ² valles, cubiertos por los toldos ² , pero ver el mar fue imposible, si es que no se tratara de un sitio cerca del mar.
Sobre, cu�n lejos podemos ver desde una o otra altura, hablaremos en el capitulo sexto.
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6. Circunvalaci�n vial.
Ni las carreteras ni ferrocarril nunca tuercen bruscamente, sino que cambian de sentido suavemente, siguiendo la trayectoria de un arco. El arco es, normalmente la parte de circunferencia, situada de manera que las partes rectas de la carretera son tangentes a ella. Por ejemplo, en la figura 82, las partes rectas AB y CD de la carretera est�n unidas por el arco BC as�, que AB y CD convergen (geom�tricamente) a este arco en los puntos B y C, es decir, AB forma un �ngulo recto con el radio OB, y CD el mismo �ngulo con el radio OC. Se hace, normalmente, para que la v�a pase suavemente desde la direcci�n recta a la l�nea curva y volviendo a la l�nea recta.

Figura 82. Circunvalaci�n vial

El radio de circunvalaci�n vial habitualmente se toma bastante grande, en los ferrocarriles no menos de 600 m; El radio m�s habitual en el carril principal es 1000 y tambi�n 2000 m.
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7. El radio de circunvalaci�n.
Estando cerca de aquellas curvas, �Podr�an Uds. encontrar el tamaño de su radio? No es tan f�cil, como buscar el radio del arco, dibujando sobre el papel. Hacer el dibujo lineal es f�cil: Pasamos dos cuerdas cualesquiera y desde sus centros trazaremos unas perpendiculares. En el punto de su intersecci�n, como sabemos, est� el centro del arco. Su distancia desde cualquier punto de la curva es la longitud del radio buscado.
Para hacer la misma construcci�n en terreno ser�a, evidentemente, inc�modo: adem�s el centro de curvatura est� a 1 � 2 kil�metros desde el carril. Pudi�remos hacer una construcci�n del plano lo que tampoco es tan f�cil.
Todas estas dificultades se eliminan, cuando aprovechamos el c�lculo del radio. Para esto lo haremos del modo siguiente.

Figura 83. Para el calculo del radio de la circunvalaci�n.

Añadimos mentalmente (figura 83) el arco AB de circunvalaci�n hasta la circunferencia. Uniendo dos puntos cualesquiera C y D del arco, medimos la cuerda CD y tambi�n la "flecha" EF (es decir, la altura del segmento CED). Sobre estos dos datos ya no es tan dif�cil de calcular la longitud del radio buscado. Examinando las rectas CD y el di�metro del circulo como las cuerdas de intersecci�n, designamos a trav�s de a, longitud de flecha por h, radio por R; tenemos:



de donde


y el radio buscado




Por ejemplo, con la flecha de 0,5 m y cuerda de 48 m el radio buscado ser�




Este calculo lo podemos facilitar si tomamos 2R � h equivalente a 2R, licencia permitida, porque h es demasiado pequeño comparando con R (R es centenares de metros, h algunas unidades). Entonces sale, probablemente, una f�rmula bastante c�moda para hacer los c�lculos aproximadamente



Su uso en nuestro caso, dar� el mismo resultado


R = 580 m.

Calculando longitud del radio de la circunvalaci�n y sabiendo, adem�s, que el centro de circunvalaci�n esta sobre la perpendicular hacia el centro de cuerda, Uds. pueden marcar tambi�n el sitio, donde debe estar el centro de circunvalaci�n vial.

Figura 84. Para el calculo del radio de la circunvalaci�n ferrocarril.

Si hay rieles puestos, entonces b�squeda del radio se facilita. La verdad, que trazando una cuerda sobre el riel interior, obtenemos la cuerda del arco de riel exterior, donde su flecha h (figura 84) es equivalente a la anchura entre rieles (trocha) 1,52 m. El radio de circunvalaci�n en este caso ( si a es la longitud de la cuerda) es




Si a = 120 m el radio de circunvalaci�n ser� equivalente a 1.200 m
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8. El fondo de oc�ano.
Desde la circunvalaci�n vial hasta el fondo oce�nico, es un salto inesperadamente para Uds. Pero geometr�a le une ambas temas de manera natural.
Se trata de la curvatura del fondo oce�nico, sobre qu� forma tiene el fondo: c�ncavo, llano o convexo. La mayor�a, sin duda, parece incre�ble, que los oc�anos con su enorme profundidad no muestra en el globo terr�queo los huecos; como ahora vamos a ver, su fondo no es c�ncavo, sino convexo.
Tomando el oc�ano como ² sin el fondo e inmenso ² olvidamos, que su ² inmenso ² en centenares de veces mas que su ² profundidad ² , es decir, que el espesor acu�tico es muy profundo y repite, evidentemente, la curvatura de nuestro planeta.
Por ejemplo, el oc�ano Atl�ntico; su anchura cerca de ecuador es, mas o menos, la sexta parte de la circunferencia total. Entonces el circulo ecuatorial (figura 85), el arco ACB, refleja la superficie acu�tica del oc�ano Atl�ntico.

Figura 85. �El fondo oce�nico es llano?

Si su fondo fuera llano, entonces la profundidad, equivalente a CD, es la flecha del arco ACB.
Sabiendo, que el arco es de la circunferencia y, por lo tanto, la cuerda AB es el lado de un hex�gono correctamente inscrito (equivalente al radio R del c�rculo), podemos calcular CD, aprovechando la formula anterior de circunvalaciones viales:


donde


Sabiendo, que a = R, obtenemos para este caso:


Si R = 6 400 km. tenemos que h = 800 km.
Pues, si el fondo del oc�ano Atl�ntico fuera llano, su mayor profundidad tendr�a que alcanzar a 800 km. En realidad, no alcanza ni 10 km. De aqu� se deduce: El fondo de este oc�ano es c�ncavo y tiene un poco curvatura, que es la de su superficie acu�tica.
Es cierto y para otros oc�anos: su fondo representa en la superficie de la tierra a los sitios de curvatura disminuida, casi sin desequilibrarlo a su forma esf�rica.
Nuestra f�rmula para calcular el radio de circunvalaci�n vial indica, que cuando m�s amplia la superficie acu�tica, m�s convexo ser� su fondo.
Examinando la formula vemos, que con el aumento de la anchura oce�nica a su profundidad h deber�a, para el fondo llano, aumentarse muy r�pido, proporcionalmente al cuadrado de anchura a.
Antes de todo, desde unas no muy grandes cuencas hidrol�gicas hasta las mas grandes, la profundidad no crece tan r�pido. Un oc�ano puede ser m�s ancho que el mar, digamos en 100 veces, pero no es 100 ´ 100, es decir, en 10.000 veces mas profundo. Por eso, relativamente, las pequeñas cuencas hidrol�gicas tienen el fondo mas hundido, que los oc�anos. El fondo del Mar Negro entre Crimea y Asia Menor no es convexo, como en los oc�anos, y tampoco es llano, es un poco c�ncavo. La superficie del mar representa el arco de » 2 ° (exactamente de 1/700 parte de circunferencia terrestre). La profundidad del Mar Negro es bastante regular, 2,2 km. Asimilando en el mismo caso el arco a la cuerda, obtenemos, que para el fondo llano debe de ser profundidad m�xima



Entonces, en realidad el fondo del Mar Negro esta mas de un kil�metro ( 2,2 � 1,1) bajo del plano imaginario, pasando a trav�s de los puntos extremos de sus orillas opuestas, es decir, representa el hueco.
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9. �Existen las montañas acu�ticas?
La formula anterior para el calculo del radio de circunvalaci�n vial les ayudar� encontrar la respuesta a esta pregunta.

Figura 86. "Montaña acu�tica"

Unos de los problemas anteriormente propuestos nos ha preparado para contestar. Montañas acu�ticas existen, pero no f�sicamente, sino que tiene significado geom�trico. No solo el mar, tambi�n los lagos representan de un modo la montaña acu�tica. Cuando estamos cerca de un lago, nosotros nos separa con la orilla apuesta la concavidad acu�tica, donde m�s ancho el lago, mas alta la concavidad.
Podemos encontrar esta altura con formula: , tenemos altura de flecha ; aqu� a es la distancia entre orillas sobre una l�nea recta, el que podemos asimilar a la anchura de lago (cuerda al arco). Si esta anchura, digamos, es 100 km., entonces altura de la ² montaña ² acu�tica


�La ² montaña ² tiene el aspecto imponente!
Aunque el lago tiene una anchura de 10 km. levanta el v�rtice de su comba sobre la l�nea recta, (la que une sus orillas), en m�s de 2 m , es decir, mas alta de estatura de una persona.
Pero realmente, �tenemos derecho de llamar a estas concavidades, ² montañas ² ? F�sicamente ellas no se alzan sobre el horizonte, entonces, son llanuras.
Es equivocado pensar, que la recta AB (figura 86) es la l�nea horizontal, sobre cual sube el arco ACB. L�nea horizontal aqu� no es AB, sino es ACB, uniendo con la superficie de agua. La recta ADB, es la inclinada sobre horizonte: AD va inclin�ndose para bajo hasta el punto D, su punto m�s profundo, y luego otra vez sube arriba de abajo de tierra (o de agua) en el punto B. Si, a lo largo de la recta AB se instalaran tuber�as, entonces una pelota, estado en el punto A, bajar�a hasta el punto D y desde aqu� acelerando hasta el punto B; luego sin parar bajar�a hasta D, corriendo hasta A, y otra vez abajo y etc. Una pelota dentro de una superficie perfectamente lisa (sin aire que estorbe el movimiento) ir�a de ida y vuelta por siempre�
Entonces, aunque parezca (figura 86), que ACB es la montaña, f�sicamente aqu� es un sitio plano. Solamente del punto de vista de la geometr�a existe la montaña.
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