CONTENIDO
Geometr�a junto al r�o
Geometr�a a campo raso
Geometr�a de viaje
Sin tablas ni f�rmulas
Donde la Tierra se junta con el Cielo
Geometr�a de los robinsones
Geometr�a a ciegas
Lo antiguo y nuevo sobre el c�rculo
Geometr�a sin mediciones y sin c�lculos
Grande y peque�o en geometr�a
Econom�a Geom�trica
Bajar parte 1
Bajar parte 2
Bajar parte 3
Escribir @ Antonio
GEOMETR�A RECREATIVA
PARTE PRIMERA
GEOMETR�A AL AIRE LIBRE
Cap�tulo Quinto
Sin Tablas ni F�rmulas
Contenido:
1. C�lculo del seno
2. Extraer ra�z cuadrada
3. Encontrar �ngulo por seno
4. Altura del Sol
5. Distancia hacia la isla
6. La anchura de un lago
7. Terreno triangular
8. C�lculo de �ngulos sin ning�n tipo de medici�n
1. C�lculo del seno.
En este capitulo vamos a enseñar, como calcular los lados del tri�ngulo con precisi�n hasta 2% y los �ngulos con la precisi�n de hasta 1 ° , usando �nicamente el concepto del seno y sin apelar a tablas ni f�rmulas. Esta trigonometr�a simplificada puede ser �til durante un paseo, cuando no hay tablas y las f�rmulas est�n olvidadas. Robinson Crusoe en su isla pudo usar esta trigonometr�a con �xito.
Pues, imaginaremos, que nosotros no conocemos todav�a la trigonometr�a o est� completamente olvidada, �No es dif�cil de imaginar, verdad? Empezaremos estudiar desde el principio. �Qu� es el seno del �ngulo agudo? Es la proporci�n del cateto alterno a la hipotenusa en aquel tri�ngulo, el que est� cortado por el perpendicular desde el �ngulo hasta uno de sus lados. Por ejemplo, el seno de �ngulo a (figura 87) es
Es f�cil de ver, que por causa de semejanza de los tri�ngulos, todos esas proporciones son equivalentes una a otra.
�A qu� son equivalentes los senos de diferentes �ngulos de 1 ° a 90 ° ? �C�mo saber sin tablas? Es f�cil: se necesita crear la tabla de los senos por s� mismo. Eso es lo que vamos a hacer ahora.
Empezaremos por aquellos �ngulos, donde los senos ya los conocemos de la geometr�a. Antes de todo, el �ngulo de 90 ° , su seno es 1. Despu�s el de 45 ° , su seno es f�cil de calcular por el teorema de Pit�goras; es equivalente a
, es decir, 0,707. Luego conocemos el seno de 30
°
; como el cateto, alterno de este �ngulo, es equivalente a la mitad de la
hipotenusa, entonces, el seno de 30
°
= � .
|
| Figura 87. �Qu� es el seno de �ngulo agudo? |
O sea, sabemos los senos ( designaci�n es sen) de los tres �ngulos.
|
sen 30
°
= 0,5
sen 45 ° = 0,707 sen 90 ° = 1. |
Eso es, evidentemente, insuficiente; deberemos saber a los senos de todos los �ngulos intermedios, por lo menos de cada grado. Para la b�squeda del seno de los �ngulos muy pequeños podemos utilizar a su vez la proporci�n del cateto e hipotenusa, coger la proporci�n del arco y radio: en el dibujo 87 (a la izquierda) vemos, que la proporci�n
. no tiene gran diferencia de
. La ultima es f�cil de calcular. Por ejemplo, para �ngulo de 1
°
, el arco
y, por lo tanto, sen 1 ° podemos tomar como equivalente a
De esta manera encontraremos:
|
sin 2
°
= 0,0349
sin 3 ° = 0,0524 sin 4 ° = 0,0698 sin 5 ° = 0,0873 |
Pero tenemos que asegurarnos hasta qu� punto podemos hacer esta tabla, sin cometer errores significativos. Si, por ejemplo, de esta manera, busc�ramos el sen 30 ° , entonces obtendremos 0,524 en vez de 0,500; El error del calculo seria 24/500, es decir, 5%. Es demasiado, aunque solamente para nuestro caso. Para encontrar el l�mite, hasta el que podemos llevar el c�lculo de los senos, probaremos encontrar el sen 15 ° por la manera m�s certera. Para esto utilizaremos la siguiente construcci�n no muy complicada (figura 88).
Sea, sen 15 ° =
. Prolongamos BC hasta D; unimos A con D, as� obtenemos dos tri�ngulos iguales:
ADC y ABC, y el �ngulo BAD es equivalente a 30
°
. Bajamos hasta AD la perpendicular BE; se ha construido un tri�ngulo
rect�ngulo BAE con el �ngulo de 30
°
(
<
BAE), entonces
. Luego se calcula AE del tri�ngulo ABE por medio del teorema de Pit�goras:
Entonces,
Ahora del tri�ngulo BED calcularemos BD:
Es la mitad de BD, es decir BC, es 0,259 ´ AB, de aqu� se deduce que el seno buscado es
Esto es el sen 15 ° con tres cifras significativas. Su valor es aproximado al encontrado por nosotros, es 0,262.
Comparando a los valores 0,259 y 0,262 y vemos que limit�ndose a dos cifras significativas, obtenemos:
0,26 y 0,26
es decir, los resultados son id�nticos. El error con el cambio con el resultado m�s certero (0,259) al aproximarlo a 0,26 , se calcula como 1/1000, es decir, 0,4%. Esta equivocaci�n es permisible para los calculo de marcha, y por lo tanto, los senos de �ngulos de 1� hasta 15 ° los podremos calcular con nuestro modo encontrado.
Para el espacio de 15� a 30 ° nosotros podemos calcular los senos con la ayuda de las proporciones. Vamos a discurrir as�: la diferencia entre el sen 30 ° y sen 15 ° es equivalente a 0,50 � 0,26 = 0,24. Entonces podemos aceptar que con el crecimiento de un grado de cada �ngulo, su seno crece, aproximadamente, en 1/15 de esta diferencia, es decir, en
0,24/15= 0,016.
La realidad no es as�, pero el error aparece en la tercera cifra significativa, la que nosotros hemos quitado. Añadiendo 0,016 al sen 16 ° , obtenemos los senos de 16 ° , 17 ° , 18 ° y etc.:
|
sen 16
°
= 0,26 + 0,016 = 0,28
sen 17 ° = 0,26 + 0,032 = 0,29 sen 18 ° = 0,26 + 0,048 = 0,31 ... sen 25 ° = 0,26 + 0,16 = 0,42 y etc. |
|
| Figura 88. �C�mo calcular el seno de 15 ° ? |
Todos estos senos son correctos en las primeras cifras decimales, es decir, son suficiente para nuestros objetivos.
De misma manera calculan los �ngulos en el intervalo de 30 a 45 ° .
La diferencia
sen 45 ° - sen 30 ° = 0,707 � 0,5 = 0,207.
Dividiendo por 15, tenemos 0,014. Este resultado se le añade al sen 30 ° ; obtenemos:
|
sen 31
°
= 0,54 � 0,014 = 0,51
sen 32 ° = 0,54 � 0,028 = 0,53 ... sen 40 ° = 0,5 + 0,14 = 0,64 y etc. |
No queda solo encontrar los senos de �ngulos agudos mayores de 45 ° . En esto ayudara el teorema de Pit�goras. Sea, por ejemplo, queremos encontrar sen 53 ° , es decir, (figura 90) la proporci�n
. Como el �ngulo
B = 37
°
,
entonces su seno lo podemos calcular sobre anterior: es equivalente a
0,5 + 7
´
0,014 = 0,6.
Por otra parte sabemos, que
Donde AC = 0,6 ´ AB. Sabiendo AC, es f�cil de calcular BC. Este segmento es
En principio el calculo no es tan dif�cil; Solamente es necesario saber calcular las ra�ces cuadradas.
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| Figura 89. Para el calculo de seno del �ngulo mayores de 45 ° . |
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2. Extraer ra�z cuadrada.
En los manuales m�os de geometr�a hay un modo simplificado y muy antiguo para extraer la ra�z cuadrada por medio de la divisi�n. Aqu� voy a explicar el otro modo antiguo, que es m�s f�cil, como aquellos modos del curso de �lgebra.
Supongamos que necesitamos encontrar
Ella est� entre 3 y 4, por lo tanto, es equivalente a 3 con fracci�n, el que indicaremos por x.
Entonces,
= 3 + x
elevando al cuadrado (aplicaci�n del cuadrado del binomio) entonces
El cuadrado de la porci�n x es la pequeño, y por lo tanto, para tener una primera aproximaci�n, no tomaremos en cuenta.
Luego tenemos:
Entonces, aproximadamente,
= 3,67.
Si queremos saber el resultado de la ra�z mas exacto, escribiremos ecuaci�n:
= 3
2
/
3
+ y
donde habr� una fracci�n positiva o negativa no muy grande.
De aqu�
Quitando y 2 , hallaremos que y es equivalente a �2/33 = -0,06
Por lo tanto en la otra aproximaci�n
= 3,67 � 0,06 = 3,61.
La tercera aproximaci�n se encuentra por el mismo modo y as� sucesivamente.
Por el modo habitual, que enseña nos �lgebra, obtendremos
con una precisi�n de hasta
0,01,
tambi�n
3,61.
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3. Encontrar el �ngulo por su seno.
Pues, tenemos posibilidad de calcular el seno de cualquier �ngulo de 0� a 90 ° con dos cifras decimales. Tener las tablas preparadas no hace falta; para c�lculos aproximados nosotros siempre podemos preparar las tablas, si deseamos.
Pero para solucionar las tareas trigonom�tricas se necesita saber o si no, calcular �ngulos por el seno indicado. Eso tambi�n no es dif�cil. Se necesita encontrar el �ngulo cuyo seno es 0,38. Como el seno es menos de 0,5, entonces el �ngulo buscado ser� menos de 30 ° . Pero es mas de 15 ° , como sen 15 ° , lo sabemos, es 0,26. Para encontrar un �ngulo entre 15� a 30 ° , seguimos las explicaciones del articulo "C�lculo del seno".
Entonces el �ngulo buscado es 22,5 ° .
Otro ejemplo, encontrar el �ngulo cuyo seno es 0,62.
El �ngulo buscado es, aproximadamente, 38,6 ° .
Por fin, el tercer ejemplo: Encontrar el �ngulo, cuyo seno es 0,91.
Como el seno indicado est� entre 0,71 y 1, entonces, el �ngulo est� entre de 45 ° y 90 ° . En la figura 91, BC es el seno de �ngulo A, si BA = 1. Sabiendo BC , es f�cil de encontrar el seno de �ngulo B:
Ahora encontraremos el valor de �ngulo B, el seno de cual es 0,42; despu�s ser� f�cil de encontrar el �ngulo A, equivalente a 90 ° - B. Como 0,42 esta dentro de 0,26 y 0,5, entonces �ngulo B esta en el espacio entre de 15 ° y 30 ° . Se encuentra as�:
Ahora tenemos todo lo necesario para solucionar las tareas trigonom�tricas, como ya sabemos buscar los senos por �ngulos y �ngulos por senos con una exactitud suficientemente para nuestros objetivos.
Pero, �es lo suficiente saber solo un seno? �No deberemos tener en cuenta otras funciones trigonom�tricas, como coseno, tangente y etc.? Ahora vamos a dar un par de ejemplos, donde para nuestra trigonometr�a simplificada es necesario aprovechar solo el seno.
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| Figura 90. C�lculo del �ngulo agudo por su seno. |
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4. Altura del Sol.
Problema
La sombra BC (figura 91) de la p�rtiga AB con altura de 4,2 m tiene 6,5 m de longitud. �Cu�l es la altura del Sol sobre horizonte en este momento, o sea, cual es el valor del �ngulo C ?
Soluci�n
Es f�cil de comprender, que el seno de �ngulo C es
Pero
Por eso el seno buscado es equivalente a
Por el modo dicho anteriormente buscaremos el �ngulo correspondiente y resulta 33 ° .
La altura del Sol es de 33 ° , con una precisi�n de hasta � ° .
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| Figura 91. Encontrar altura del Sol sobre horizonte |
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5. Distancia hacia la isla.
Problema
Paseando con br�jula cerca de r�o, vemos una isleta A (figura 92) y deseamos encontrar su trayecto desde el punto B en la orilla. Para eso buscaremos el valor de �ngulo ABN, formado por sentido norte � sur ( NS ) y por una recta BA. Despu�s medimos la recta BC y buscaremos el valor de �ngulo NBC entre ella y NS . Por fin, hacemos lo mismo en el punto C para la recta AC.
Nuestros resultados son:
| El sentido | AB | inclina de NS hacia al este sobre | 52 ° |
| " | BC | " | 110� |
| " | AC | " | 27� |
Longitud de BC = 187 m .
�C�mo sobre estos datos buscar el trayecto BA?
Soluci�n
En el tri�ngulo ABC sabemos:
el lado BC.
El �ngulo ABC = 110 ° - 52 ° = 58 °
�ngulo ACB = 180 ° - 110 ° - 27 ° = 43 ° .
Bajaremos en este tri�ngulo (figura 92, a la derecha) la cima BD y tenemos
Calculando por el modo dicho el sen 43 ° , obtenemos 0,68. Entonces,
|
| Figura 92. �C�mo calcular el trayecto hacia la isla? |
Ahora en el tri�ngulo ABD conocemos
el cateto BD
�ngulo A =180 ° - (58 ° - 43 ° )= 79 °
�ngulo ABD = 90 ° - 79 ° = 11�; sen 11 ° lo podemos calcular: 0,19. Por lo tanto AD/AB = 0,19. Por otra parte, por teorema de Pit�goras
Poniendo 0,19 ´ AB en lugar de AD, y en vez de BD el numero 127, tenemos:
Donde AB = 128.
Entonces la distancia hacia la isla es = 128 m.
No pienso que los lectores tendr�n complicaciones de buscar el lado AC , s� por acaso hac�a falta.
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6. La anchura de un lago.
Problema
Para conocer anchura del lago (dibujo 93), Uds. hab�an encontrado con la br�jula, que la recta AC inclina hacia oeste sobre 21 ° , y BC � hacia este sobre 22 ° . Longitud BC =68 m, AC = 35 m. Hacer el calculo con estos datos.
Soluci�n
En el tri�ngulo ABC conocemos �ngulo de 43 ° y las longitudes de sus lados encerrados, 68 m y 35 m. Bajaremos (figura 93, a la derecha) el v�rtice AD; Tenemos sen 43 ° = AD/AC
Calcularemos, independiente de esto, sen 43 ° y recibiremos: 0,68. Entonces AD/AC=0,68,
AD =0,68 ´ 35 = 24. Luego hacemos el calculo de CD :
Ahora del tri�ngulo ABD tenemos:
Entonces, anchura buscada de lago es, aproximadamente, 49 m.
Si, por acaso, en el tri�ngulo ABC necesitamos encontrar los otros dos �ngulos, entonces, encontrando AB = 49�, seguimos adelante as�:
El tercer �ngulo C encontrar�, restando de 180 ° la suma de los �ngulos de 29 ° y 43 ° ; Es 108 ° .
Puede ocurrir, que en el caso examinado de la soluci�n (por dos lados y �ngulo entre ellos) �ngulo actual no es agudo, seno obtuso. Si, por ejemplo, en el tri�ngulo ABC (dibujo 94) son conocido el �ngulo obtuso y dos lados, AB y AC, entonces, el paso de calculo sus elementos en resta, es siguiente:
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| Figura 93. El calculo de anchura del lago. |
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| Figura 94. Para resoluci�n del tri�ngulo obtuso. |
Bajando el v�rtice BD , buscan BD y AD del tri�ngulo BDA ; luego sabiendo DA + AC, encuentran BC y sen C, calculando la proporci�n BD/BC
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7. Terreno triangular.
Problema
Durante la una excursi�n nosotros hab�amos medido con los pasos a los lados de un terreno triangular y ya sabemos, que ellos son equivalentes a 34, 60 y 54. �Cu�les son �ngulos del tri�ngulo?
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| Figura 95. Encontrar los �ngulos de este tri�ngulo: 1) calculando 2) con ayuda de transportador. |
Soluci�n
Este es el caso m�s dif�cil de soluci�n: Sobre tres lados. Sin embargo, podemos lograrlo, sin utilizar ninguna funci�n aparte del seno.
Bajando (figura 95) el v�rtice BD sobre el lado mas largo AC , tenemos:
de donde
DC 2 � AD 2 = 54 2 � 43 2 = 1070.
Pero
Se deduce,
DC � AD = 17,8.
De las dos ecuaciones
Obtenemos
2DC = 77,8, es decir DC = 38,9.
Ahora es f�cil de calcular la altura:
De aqu� buscamos:
Tercer �ngulo B = 180 � (A + C) = 76 °
Si en este caso se hubieran calculando con ayuda de las tablas, siguiendo todas las reglas de trigonometr�a, entonces obtendremos los �ngulos, expresados por los grados y minutos. Como los lados se midieron con pasos, entonces, los minutos serian err�neos, por que los lados medidos por los pasos, tienen equivocaci�n no menos de 2 � 3%. Entonces, para qu� engañarse a si mismo, las cantidades "ciertas" de los �ngulos obtenidos, necesitaremos redondear, por la menos, a los grados enteros. Y luego obtendremos los mismos resultados, los que encontr�bamos anteriormente, aprovechando la manera m�s simple. El inter�s de nuestra trigonometr�a "de marcha'' es aqu� evidentemente.
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8. C�lculo de �ngulo sin ning�n tipo de medici�n.
Para medir los �ngulos de un terreno necesitamos por la menos la br�jula, a veces es suficiente usar los dedos o una caja de cerillas. Pero puede aparecer en caso de necesidad extrema de medir �ngulos, señalados en una mapa o plano.
Evidentemente, si tendremos transportador, entonces la pregunta se soluciona f�cil. �Y si no hay? Un ge�metra no tiene que perderse en este caso. �C�mo se soluciona esta este problema?
Problema
En la figura 96 hay una imagen de �ngulo AOB, menor de 180 ° . Encuentren su cantidad sin ning�n tipo de medici�n.
Soluci�n
Es posible de un punto cualquiera del lado BO bajar la perpendicular sobre lado AO, en el tri�ngulo rect�ngulo obtenido, medir a los catetos y la hipotenusa, encontrar el seno del �ngulo, y luego el valor del mismo �ngulo (veamos "Buscar �ngulo por el sino"). Pero esta soluci�n no corresponde a nuestras duras condiciones - �Sin medir!
Aprovecharemos la resoluci�n, que propuso Z. Rupeyka de ciudad Kaunas en año 1946 .
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| Figura 96. �C�mo encontrar cantidad de �ngulo AOB, utilizando solo comp�s? |
Desde el v�rtice O, como desde el centro, con abertura espont�nea del comp�s construimos circunferencia. C y D los puntos de su intersecci�n unimos con el segmento a los lados de �ngulo.
Ahora desde el C punto principal sobre circunferencia vamos a gradualmente apartar con ayuda del comp�s la cuerda CD, siguiendo al mismo sentido hasta que la pata del comp�s no se une con el C punto principal de nuevo.
Dejando las cuerdas, tenemos que contar, cuantas veces durante el tiempo daremos la vuelta alrededor de circunferencia y cuantas veces era dejada la cuerda.
Pongamos, que dieron la vuelta alrededor de circunferencia n veces y durante este tiempo S veces dejando la cuerda CD . Entonces, el �ngulo buscado ser�:
En realidad, ser� mejor el �ngulo tiene de x ° ; Dejando la cuerda CD sobre circunferencia S veces, aparezca que nosotros hicimos ampliar �ngulo x ° en S veces, pero como la circunferencia tenia vueltas a su alrededor n veces, entonces el �ngulo calcula de 360 ° ´ n, es decir, x ° ´ S = 360 ° ; de aqu�
Para �ngulo de dibujo lineal, n = 3, S = 20 (�Comprueben!); Por lo tanto, Ð AOB = 54 ° . Con falta de comp�s la circunferencia podemos circunscribir con ayuda de un alfiler y una cinta de papel; dejar la cuerda, utilizando tambi�n cinta del papel.
Problema
Necesita encontrar con el modo señalado los �ngulos de tri�ngulo aprovechando la figura 95.
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