Lectia 6: Descrierea Miscarii cu Ecuatii

Ecuatiile Cinematicii si Grafice

Lectia 4 a acestei parti s-a concentrat pe folosirea graficului viteza-timp care descrie miscarea obiectului. Aceasta lectie arata ca panta liniei pe acest grafic este egala cu acceleratia obiectului si aria intre linie si axe este egala cu deplasarea obiectului. De aceea graficul viteza-timp poate fi folosit pentru determinarea valorilor numerice si relatiile dintre deplasarea (d), viteza (v), acceleratia (a) si timpul (t).

In Lectia 6, atentia a fost pe folosirea ecuatiilor cinematice pentru descrierea miscarii obiectelor si determinarea valorilor numerice ale celor 4 parametrii: deplasarea (d), viteza (v), acceleratia (a) si timpul (t). Astfel sint doua metode disponibile sa rezolvam problemele implicind relatiile numerice intre deplasare, viteza, acceleratie si timp. Ultima parte a Lectiei 6 investigheaza relatiile intre cele doua metode.

Metoda 1: Graficul Viteza-Timp

Considera un obiect care se misca cu viteza constanta de +5 m/s timp de 5 secunde si apoi accelereaza la viteza finala de +15 m/s in alte 5 secunde. Asemenea descriere de miscare poate fi reprezentata prin graficul viteza-timp ca mai jos:

Acceleratia

Intre secundele 5 si 10 Δv creste de la 5 m/s la 15 m/s.
Intre secundele 5 si 10 Δt creste de la 5 s la 10 s.

Total crestere Δv = v_f - v_i = +15 - (+5) = +10 m/s     Δt = 5 s.

Panta (Δv/Δt) = (10 m/s)/(2 s) = 2 m/s² = a

Cu graficul viteza-timp este determinata acceleratia a = 2 m/s² in timpul ultimelor 5 secunde ale miscarii.  

Deplasarea

Deplasarea se determina din graficul viteza-timp cum s-a discutat in Lectia 4 prin calculul ariei de sub linie marginita de axe si dreapta de proiectie a capatului liniei pe axa timpului. Aria de sub linie este un dreptunghi in primele 5 secunde si un trapez in ultimile 5 secunde. Trapezul este compus dintr-un dreptunghi, cu o latura comuna cu primul dreptunghi si il putem uni cu acesta formind unul singur mai usor de calculat, si un triunghi. Mai jos aveti colorate separat dreptunghiul compus si triunghiul.

Aria totala este suma celor doua:

Dreptunghi	Triunghi
Aria = baza * inaltimea Aria = (10 s) * (5 m/s) Aria = 50 m	Aria = 0.5 * baza * inaltimea Aria = 0.5 * (5 s) * (10 m/s) Aria = 25 m

Aria totala = Aria dreptunghiului + Aria triunghiului

Aria totala = 50 m + 25 m

Aria totala = 75m

Astfel deplasarea d = valoarea ariei totale 75 metri timp de 10 secunde.

Expunerea anterioara a aratat extragerea valorilor numerice ale acceleratiei si deplasarii din graficul viteza-timp al miscarii unui obiect.

Viteza

Asa cum este construit, direct din grafic prin citirea pe axa de coordonate verticala y, se afla viteza la un moment t.

Deci reprezentarea grafica viteza-timp ne da informatii complete despre relatiile dintre marimile fizice, deplasarea (d), viteza (v), acceleratia (a) si timpul (t), ale miscarii si valorile lor numerice.

Metoda 2: Ecuatiile Cinematicii

Reamintim ca obiectul se misca cu viteza constanta de +5 m/s timp de 5 secunde si apoi accelereaza la viteza finala de +15 m/s in alte 5 secunde.

Acceleratia

t = 0 s – 5 s	t = 5 s – 10 s
vi = 5 m/s vf = 5 m/s t = 5 s a = 0 m/s2	vi = 5 m/s vf = 15 m/s t = 5 s

Observati ca in primele 5 secunde acceleratia este 0 m/s² pentru ca viteza constanta inseamna acceleratie zero.

Acceleratia obiectului in ultimele 5 secunde se calculeaza cu ecuatia:

Inlocuim valorile cunoscute si calculam:

15 m/s - 5 m/s = a*(5 s)

10 m/s = a*(5 s)

(10 m/s)/(5 s) = a

a = 2 m/s²

Aceasta valoare este aceeasi cu cea determinata din panta liniei pe graficul viteza-timp.

Deplasarea

Deplasarea cuprinde de asemenea doua faze pentru care calculam distanta separat ca in tabelul urmator:

t = 0 s – 5 s	t = 5 s – 10 s
d = vi*t + 0.5*a*t2 d = (5 m/s)*(5 s) +0.5*(0 m/s2)*(5 s)2 d = 25 m + 0 m d = 25 m	d = ((vi + vf)/2)*t d = ((5 m/s + 15 m/s)/2)*(5 s) d = (10 m/s)*(5 s) d = 50 m

Deplasarea totala in cele 10 secunde de miscare este de 75 metri si coincide cu valoarea determinata din aria de sub linie pe graficul viteza-timp.

Viteza

Ecuatia cinematica poate fi utilizata pentru determinarea vitezei la un anumit timp sa zicem 7 secunde, v = vi + at = 5 m/s + (2 m/s2) * 2 s = 9 m/s.
Atentie s-a luat in consideratie pentru timp cele doua faze ale miscarii.

Deci ecuatiile cinematice la fel ca si metoda grafica stabilesc relatii si permit calcularea valorilor numerice pentru deplasarea (d), viteza (v), acceleratia (a) si timpul (t).

Analizele acestei miscari s-au facut prin cele doua metode de reprezentare grafica si matematica, prin ecuatii algebrice, cu aceleasi rezultate. De retinut ca reprezentarea prin ecuatii este mai abstracta si pare mai greu de inteles iar reprezentarea grafica este mai usoara prin vizualizare dar implica in aparenta (cel putin la exemplul aplicat) o activitate mai laborioasa. Fiecare metoda se foloseste in functie de imprejurare. Daca dorim sa prezentam miscarea cuiva neavizat in reprezentarea fenomenelor fizice este indicata metoda grafica iar daca dorim rezolvarea rapida si precisa metoda ecuatiilor este mai indicata.

Verificati-va raspunsurile

1. O profesoara conduce masina prin oras cu 25.0 m/s si incepe sa accelereze constant cu –1.0 m/s². In cele din urma se opreste la stop. 

a. Reprezinta miscarea masinii in timpul decelerarii cu un grafic viteza-timp din care sa determini distanta parcursa.

b. Foloseste ecuatiile cinematicii sa calculezi distanta parcursa de masina in timpul decelerarii.

2. Un profesor conduce masina la un moment dat cu 25.0 m/s si accelereaza cu 2.0 m/s² timp de 5 secunde dupa care mentine constanta viteza pentru timp de 10.0 s.

a. Reprezinta cele 15 secunde ale miscarii profesorului cu masina intr-un grafic viteza-timp din care sa determini distanta strabatuta in tot acest timp. 

b. Descompune miscarea in faze si foloseste ecuatiile cinematicii sa calculezi distanta parcursa in cele 15 secunde.

3. Un artist de circ zis minge-de-tun este aruncat in sus cu viteza de +40.0 m/s si este supus acceleratiei gravitationale g =  –10.0 m/s².

a. Schiteaza graficul pentru primele 10 secunde de miscare. 

b. Foloseste ecuatiile cinematicii sa determini timpul necesar reintoarcerii la nivelul la care a fost lansat.

4. Un autocamion merge cu o viteza constanta de 0.5 km/minut timp de 10 minute si apoi decelereaza cu –0.25 km/min² timp de 2 minute.

a. Schiteaza graficul viteza-timp al miscarii autocamionului in timpul celor 12 minute si determina pe baza lui distanta parcursa.

b. Descompune miscarea in cele doua parti sa determini cu ecuatiile cinematicii distanta parcursa de camion.

5. Pe autostrada un automobil este condus cu viteza de 45.0 m/s in momentul cind soferul vede o gramada de masini accidentate in mijlocul benzii sale la 50.0 m si trinteste o frina prin care decelereaza cu –15.0 m/s². Evita gramada?

a. Ridica graficul viteza-timp pentru aceasta miscare si determina ce distanta mai are pina la gramada daca n-a lovit-o. Se vede dintr-o privire evitarea?

b. Foloseste ecuatiile cinematice sa determini distanta parcursa inainte de a opri, daca a evitat coliziunea cu gramada sau daca ar fi parcurs mai mult de 50 m.

6. Cineva calatoreste cu 30.0 m/s timp de 10.0 secunde si apoi accelereaza cu 3.00 m/s² timp de 5.00 secunde.

a. Deseneaza graficul miscarii sa-ti permita determinarea distantei parcurse.

b. Descompune miscarea in segmente si cu ecuatiile cinematicii calculeaza deplasarea totala. Vezi graficul si raspunsul!

Solutii

Solutia la intrebarea 1

a) Graficul viteza-timp pentru miscare este:


Distanta parcursa este aria triunghiului.

Aria = 0.5*b*h

Aria = 0.5*(25.0 s)*(25.0 m/s)

Aria = 313 m




b) Distanta calculata cu ecuatii cinematice:

Date: vi = 25.0 m/s vf = 0.0 m/s a = –1.0 m/s2

Necunoscute: d = ??

v_f² = v_i² + 2*a*d

(0 m/s)² = (25.0 m/s)² + 2 * (-1.0 m/s²)*d

0.0 m²/s² = 625.0 m²/s² + (-2.0 m/s²)*d

0.0 m²/s² - 625.0 m²/s² = (-2.0 m/s²)*d

(-625.0 m²/s²)/(-2.0 m/s²) =d

d = 313 m

Inapoi la intrebarea 1

Solutia la intrebarea 2

a) Graficul viteza-timp pentru miscare este:



Distanta parcursa este aria de sub linie intre axe si aceasta.

Aria = aria triunghiului + aria dreptunghiului 1 + aria dreptunghiului 2

Aria = 0.5*b₁*h_t + b₁*h₁ + b₂*h₂

Aria = 0.5*(5.0 s)*(10.0 m/s) + (5.0 s)*(25.0 m/s) + (10.0 s)*(35.0 m/s)

Aria = 25 m + 125 m + 350 m

Aria = 500 m




b) Distanta calculata cu ecuatii cinematice:

Distanta pentru primele 5 secunde:

Date: vi = 25.0 m/s t = 5.0 s a = 2.0 m/s2

Necunoscute: d = ??

d = v_i*t + 0.5*a*t²

d = (25.0 m/s)*(5.0 s) + 0.5*(2.0 m/s²)*(5.0 s)²

d = 125 m + 25.0 m

d = 150 m


Distanta pentru ultimile 10 secunde:

Date: vi = 35.0 m/s t = 10.0 s a = 0.0 m/s2

Necunoscute: d = ??

Viteza la 5 secunde se afla din faza anterioara si este v_f1 = vi + at. Dar aceasta viteza finala pentru faza anterioara este viteza initiala v_i2 =  v_f1 pentru ultimele 10 s deci faza a 2-a a miscarii.  In fapt in faza aceasta ramine constanta si avem 25.0 m/s + (2.0 m/s² )*5 s = 35.0 m/s adica(25 m/s + 10 m/s).

d = v_i2*t + 0.5*a*t²

d = (35.0 m/s)*(10.0 s) + 0.5*(0.0 m/s²)*(10.0 s)²

d = 350 m + 0 m

d = 350 m

Pentru intervalul de 15 secunde ale miscarii:

distanta = 150 m + 350 m

distanta = 500 m

Solutia la intrebarea 3

a) Graficul viteza-timp pentru miscare este:



b) Timpul de revenire la inaltimea initiala calculat cu ecuatie cinematica.

Timpul de urcare este egal cu cel de revenire si dublat devine timpul total de zbor in aer.

Date: vi = 40.0 m/s vf = 0.0 m/s a = –10.0 m/s2

Necunoscute: tsus = ?? 2*tsus = ??

v_f = v_i + a*t_sus

0 m/s = 40 m/s + (-10 m/s2)*t_sus

(10 m/s²)*t_sus = 40 m/s

t_sus = (40 m/s)/(10 m/s²)

t_sus = 4.0 s

2*t_sus = 8.0 s

a) Graficul viteza-timp pentru miscare este:



Distanta parcursa este aria de sub linie intre axe si aceasta.

Aria = aria dreptunghiului + aria triunghiului

Aria = b_r*h_r + 0.5*b1*h_t

Area = (10.0 min)*(0.50 km/min) + 0.5*(2.0 min)*(0.50 km/min)

Aria = 5 km+ 0.5 km

Aria = 5.5 mi




b) Distanta calculata cu ecuatii cinematice:

Distanta parcursa in primele 10 minute:

Date: vi = 0.5 km t = 10.0 min a = 0.0 km/min2

Necunoscute: d = ??

d = v_i*t + 0.5*a*t²

d = (0.5 km/min)*(10.0 min) + 0.5*(0.0 km/min²)*(10.0 min)²

d = 5.0 km + 0 km

d = 5.0 km


Distanta parcursa in ultimile 2 minute:

Date: vi = 10.0 km/min t = 2.0 min a = –0.25 km/min2

Necunoscute: d = ??

d = v_i*t + 0.5*a*t²

d = (0.5 km/min)*(2.0 min) + 0.5*(-0.25 km/s²)*(2.0 min)²

d = 1.0 km + (-0.5 km)

d = 0.5 km

Pentru 12 minute ale miscarii:

distanta = 5.0 km + 0.5 km

distanta = 5.5 km

Inapoi la intrebarea 4

Solutia la intrebarea 5

a) Graficul viteza-timp pentru miscare este:




Distanta parcursa este aria de sub linie intre axe si aceasta.

Aria = aria triunghiului

Aria = 0.5*b*h

Aria = 0.5*(3.0 s)*(45.0 m/s)

Aria = 67.5 m




b)  Distanta calculata cu ecuatii cinematice:

Date: vi = 45.0 m/s vf = 0.0 m/s a = –15.0 m/s2

Necunoscute: d = ??

v_f² = v_i² + 2*a*d

(0 m/s)² = (45.0 m/s)² + 2 * (-15.0 m/s²)*d

0.0 m²/s² = 2025.0 m²/s² + (-30.0 m/s²)*d

0.0 m²/s² - 2025.0 m²/s² = (-30.0 m/s²)*d

(-2025.0 m²/s²)/(-30.0 m/s²) =d

distanta = 67.5 m

Pentru ca gramada accidentului este la numai 50.0 m de la inceputul frinarii  automobilul are nevoie de 67.5 m sa frineze inainte de o oprire completa. Deci nu se poate evita decit prin virare la stinga sau la dreapta, intr-o parte.

Solutia la intrebarea 6

a) Graficul viteza-timp pentru miscare este:






Distanta parcursa este aria de sub linie intre axe si aceasta.

Aria = aria triunghiului + aria dreptunghiului 1 + aria dreptunghiului 2

Area = 0.5*b_t*h_t + b₁*h₁ + b₂*h₂

Aria = 0.5*(5.0 s)*(15.0 m/s) + (10.0 s)*(30.0 m/s) + (5.0 s)*(30.0 m/s)

Aria = 37.5 m + 300 m + 150 m

Aria = 487.5 m




b) Distanta calculata cu ecuatii cinematice:

Distanta parcursa in primele 10 secnde:

Date: vi = 30.0 m/s t = 10.0 s a = 0.0 m/s2

Necunoscute: d = ??

d = v_i*t + 0.5*a*t²

d = (30.0 m/s)*(10.0 s) + 0.5*(0.0 m/s²)*(10.0 s)²

d = 300 m + 0 m

d = 300 m

Distanta parcursa in ultimele 5 secunde:

Date: vi = 30.0 m/s t = 5.0 s a = 3.0 m/s2

Necunoscute: d = ??

d = v_i*t + 0.5*a*t²

d = (30.0 m/s)*(5.0 s) + 0.5*(3.0 m/s²)*(5.0 s)²

d = 150 m + 37.5 m

d = 187.5 m

In 15 secunde de miscare:

distanta = 300 m + 187.5 m

distanta = 487.5 m