Lectia 6: Descrierea Miscarii cu Ecuatii

Ecuatiile Cinematicii si Caderea Libera

O cadere libera unui obiect, este o cadere sub influenta gravitatiei. Valoarea numerica, modulul, acceleratiei gravitationale este aceeasi la urcare sau coborire pe suprafata pamintului 9.8 m/s/s (deseori aproximata la 10 m/s/s).

Ca orice miscare si caderea libera se poate descrie cu cele 4 ecuatii cunoscute ale cinematicii in care se stie tot timpul a = g deci acum sint numai 4 variabile.

Semnificatia simbolurilor folosite in ecuatiile de deasupra:

d � deplasarea obiectului (modulul) sau distanta (aici inaltimea)

t � timpul in care obiectul este miscat (aruncat sau cazut)

a � acceleratia obiectului (aici = g = 9.8 m/s² acceleratia gravitationala)

v_i � viteza initiala a obiectului

v_f � viteza finala a obiectului

Aplicarea acestor ecuatii la caderea libera se poate face mai usor cu o intelegere adecvata a caracteristicilor particulare acestei miscari.

• Obiectul in cadere libera sufera o acceleratie de  –9.8 m/s/s, adica in jos. Daca este specificat sau nu explicit in ecuatiile cinematice ale caderii libere totdeauna acceleratia e negativa  –9.8 m/s/s.

• Daca obiectul este lasat liber sa cada de la o inaltime ridicata spre pamint atunci viteza initiala este 0 m/s.

• Daca obiectul este aruncat in sus pe verticala (sintem in cinematica liniara-deci pe o linie verticala) acesta va incetini in timp ce urca pina la un virf al traiectoriei sale  unde viteza este 0 m/s. Aceasta valoare va fi folosita dupa cum va fi cazul ca viteza finala v_f = 0 m/s sau ca viteza initiala cu aceeasi valoare pentru inceputul unei miscari de cadere libera ca in punctul anterior, prin eliberarea obiectului de o sustinere.

• Un obiect aruncat in sus are viteza (+) la urcare egala in modul cu viteza (-) la coborirea la inaltimea de aruncare ( |+v | =  |-v |.  

Aceste particularitati ale caderii libere pot ajuta in cele patru ecuatii cinematice sa rezolvam problemele in cadrul strategiei discutata si aplicata anterior in Lectia 6. Exemplificam pentru aceasta cu 1 si 2 mai jos:

Exemplul 1 Constructorul lasa sa cada un manunchi de sindrila de pe un acoperis inalt de 8.52 metri deasupra pamintului. Determina timpul in care sindrila atinge pamintul.

Construim diagrama desenata de mai jos cu fazele miscarii.

Sint cunoscute urmatoarele marimi (vezi si tabelul urmator):
-Inaltimea d =  (-) 8.52 metri, (-) ppentru ca este in jos.
Celelate informatii sint particularitati ale caderii libere enuntate anterior.
-Viteza initiala (v_i) dedusa 0 m/s
-Acceleratia (a) a sindrilei dedusa la  –9.8 m/s² .

(Foarte mare atentie la sensurile marimilor ca vectori marcate (+) si (–) date direct sau prin descrierea in cuvinte a miscarii.)

Acum strategia implica listarea necunoscutelor. In acest caz e simplu fiind cerut de enuntul problemei timpul t =? de cadere.

Ecuatii necesare pentru necunoscuta:
-Total variabile implicate: t, vi, a, si rrespectiv d
-Din cele 5 ecuatii avem urmatoarea cu celle 4 dinainte:

Inlocuirea valorilor si rezolvarea ecuatiilor conform strategiei de rezolvare:

-8.52 m = (0 m/s)*(t) + 0.5*(-9.8 m/s²)*(t)²

-8.52 m = (0 m) *(t) + (-4.9 m/s²)*(t)²

-8.52 m = (-4.9 m/s²)*(t)²

(-8.52 m)/(-4.9 m/s²) = t²

1.739 s² = t²

t = 1.32 s

Sindrila cade timp de 1.32 secunde (Observa rotunjirea la doua zecimale.)

Verificarea si evaluarea solutiei, ultima etapa.

Evaluarea poate consta intr-un experiment personal sau facind apel la experienta ta sau a altora. De la etajul 3 (~ 9 m) arunci un obiect si te uiti pe secundarul ceasului unde vezi o secunda si ceva. Rezultatul pare corect deci.

Inlocuirea in ecuatie verifica egalitatea membrilor acesteea.

Example 2 Un elev arunca in sus pe verticala o minge de tenis dintr-un tun de mingii cu viteza initiala de 26.2 m/s. Determina inaltimea la care ajunge mingea fata de locul aruncarii.

Construim diagrama desenata de mai jos cu fazele miscarii.

Sint cunoscute urmatoarele marimi (vezi si tabelul urmator):
-Viteza initiala de aruncare +26.2 m/s. Celelate informatii sint particularitati ale caderii libere enuntate anterior.
-Viteza finala 0 m/s  dedusa
-Acceleratia –9.8 m/s² dedusa.

Acum strategia implica listarea necunoscutelor. In acest caz e simplu fiind ceruta de enuntul problemei inaltimea d =? de urcare.

Primele trei etape sint consemnate in acest tabel:

Diagrama:

Date: vi = 26.2 m/s vf = 0 m/s a = –9.8 m/s2

Necunoscute: d = ??

Ecuatii necesare pentru necunoscuta:
-Total variabile implicate: vf, vi, a, si respectiv d
-Din cele 5 ecuatii avem urmatoarea cu celle 4 variabile dinainte:

Inlocuirea valorilor si rezolvarea ecuatiilor conform strategiei de rezolvare:

(0 m/s)² = (26.2 m/s)² + 2*(-9.8m/s²)*d

0 m²/s² = 686.44 m²/s² + (-19.6 m/s²)*d

(-19.6 m/s²)*d = 0 m²/s² -686.44 m²/s²

(-19.6 m/s²)*d = -686.44 m²/s²

d = (-686.44 m²/s²)/ (-19.6 m/s²)

d = 35.0 m

Solutia de deasupra arata ca mingea urca 35.0 metri pina in virful miscarii.

Verificarea si evaluarea solutiei, ultima etapa.

De pe la etajul 11 (~ 33 m) se poate experimenta lasind libera o minge si masurind timpul de cadere intr-o miscare simetrica cu urcarea (vezi particularitatea caderii libere). Valoarea inaltimii pare rezonabila daca socotim viteza de aruncare in km/ora este 94.32 si referindu-ne la o miscare de frinare anterioara asemanatoare dar pe orizontala Exemplul A cu valori similare.

Inlocuirea in ecuatie verifica egalitatea membrilor acesteea.

Ecuatiile cinematicii ofera un mijloc util de determinare a marimilor necunoscute pentru o miscare cind sint cunoscute celelalte 4 dintr-o ecuatie. Caderea libera este un caz particular de miscare in care acceleratia si viteza din virf sint cunoscute si se poate studia mai usor cu o teorie a cinematicii bine cunoscuta. Urmatoarea parte a Lectiei 6 ofera numeroase exercitii (si solutii)tip (ca niste sabloane) pentru folosirea ecuatiilor cinematice.

---

Urmeaza >>