Análisis Dimensional

Análisis dimensional 01

El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos "Dimensiones", los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

Fines del análisis dimensional

El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.
Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.
Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Magnitudes y unidades

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.

Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.

Clasificación de las magnitudes

Por su origen	Por su naturaleza
Fundamentales. Derivadas.	Escalares. Vectoriales.

Magnitudes fundamentales:

Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
Magnitud	Símbolo	Unidad Básica (Símbolo)
Longitud.	L	Metro (m)
Masa.	M	Kilogramo (kg)
Tiempo.	T	Segundo (s)
Intensidad de corriente eléctrica.	I	Ampere o Amperio (A)
Intensidad Luminosa.	J	Candela (cd)
Temperatura Termodinámica.	q	Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia.	N	Mol (mol)

MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS
Nombre	Unidad Básica (Símbolo)
Ángulo Plano.	Radian (rad).
Ángulo Sólido.	Estereorradián (sr).

Magnitudes derivadas:

En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma: ecuación ; donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen como dimensiones.

Ejemplo: área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes escalares:

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.

Ejemplo: área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes vectoriales:

Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada.

Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.

Múltiplos y submúltiplos

MÚLTIPLOS		SUBMÚLTIPLOS
Nombre y Símbolo	Factor	Nombre y Símbolo	Factor
Yotta (Y)	10 ²⁴	Deci (d)	10 ^-1
Zeta (E)	10 ²¹	Centi (c)	10 ^-2
Exa (E)	10 ¹⁸	Mili (m)	10 ^-3
Peta (P)	10 ¹⁵	Micro (m)	10 ^-6
Tera (T)	10 ¹²	Nano (n)	10 ^-9
Giga (G)	10 ⁹	Pico (p)	10 ^-12
Mega (M)	10 ⁶	Femto (f)	10 ^-15
Kilo (k)	1000	Atto (a)	10 ^-18
Hecto (h)	100	Zepto (z)	10 ^-21
Deca (da)	10	Yocto (y)	10 ^-24

Ecuaciones dimensionales

Llamadas también "fórmulas dimensionales", son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Notación:

A: se lee magnitud "A"; [A]: se lee Ecuación Dimensional de "A".

Propiedades de las ecuaciones dimensionales

1° Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier (P.H.).

El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación dimensional serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos hacer, es cambiar los signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD.

Ejemplo:

En la siguiente ecuación: ; luego de aplicar el principio de homogeneidad dimensional nos debe quedar de la siguiente forma:

2° Términos Adimensionales:

Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como p) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de calculo, se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.

3° No se cumplen la suma y la resta algebraica.

Ejemplo:

[X] + [X] + [X] = [X]

[M] - [M] = [M]

ecuación

4° Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como cocientes.

Ejemplo:

El término: ecuación , deberá ser expresado como:

Fórmulas dimensionales (F.D.) más usuales en el S.I.

Magnitud Derivada	F.D.	Unidad	Tipo
Área o Superficie	L²	m²	E
Volumen o Capacidad	L³	m³	E
*Velocidad* lineal	LT^-1	m/s	V
*Aceleración* lineal	LT^-2	m/s²	V
Aceleración de la *Gravedad*	LT^-2	m/s²	V
Fuerza, Peso, Tensión, Reacción	MLT^-2	kg . m/s² = Newton (N)	V
Torque o Momento	ML²T^-2	N . m	V
Trabajo, Energía, Calor	ML²T^-2	N . m = Joule (J)	E
Potencia	ML²T^-3	Joule/s = Watt (W)	E
Densidad	ML^-3	kg/m³	E
Peso específico	ML^-2T^-2	N/m³	E
Impulso, ímpetu, Impulsión	MLT^-1	N . s	V
Cantidad de Movimiento	MLT^-1	kg . m/s	V
Presión	ML^-1T^-2	N/m² = Pascal (Pa)	E
Periodo	T	s	E
Frecuencia Angular	T^-1	s^-1 = Hertz (Hz)	E
Velocidad Angular	T^-1	rad/s	V
Aceleración Angular	T^-2	rad/s²	V
Caudal o Gasto	L³T^-1	m³/s	E
Calor Latente específico	L²T^-2	cal/g	E
Capacidad Calorífica	ML²T^-2q^-1	cal/°K	E
Calor Específico	L²T^-2q^-1	cal/g.°K	E
Carga Eléctrica	IT	A . s = Coulomb (C)	E
Potencial Eléctrico	ML²T^-3I^-1	J/C = Voltio (V)	E
Resistencia Eléctrica	ML²T^-3I^-2	V/A = Ohm (W)	E
Intensidad de Campo Eléctrico	MLT^-3I^-1	N/C	V
Capacidad Eléctrica	M^-1L^-2T⁴I²	C/V = Faradio (f)	E
Nota: E = escalar y V = vectorial

Problemas:

1. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta: Donde: F: fuerza, V: velocidad, a: aceleración. Hallar: [x/y].

a) MLT^-1

b) LT

c) MLT^-2

d) MLT²

e) T^-1

2. Encontrar [K] y [C] en la ecuación dimensional correcta, si M: momento de fuerza, m: masa y H: altura.

a) L, T

b) L, T^-1

c) L^-1, T^-2

d) L^-1, T^-1

e) L, T^-2

3. En la expresión: Donde: d = fuerza; b = volumen; m y n son masas. Hallar: [a . c]

a) MLT

b) M^-1L⁴T^-2

c) ML²T^-3

d) M^-2

e) L³M^-2

4. En la ecuación: dimensionalmente correcta . Donde: a = aceleración, v = velocidad, t = tiempo, e = adimensional. La dimensión de k es:

a) LT^-1 b) T c) T^-1 d) L^-1T e) LT

5. Hallar: [A/B] si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: Si: V: volumen; F: fuerza

a) L³ b) L^-3 c) L⁹ d) L^-9 e) L⁶

6. Sabiendo que D = densidad, g = aceleración de la gravedad, A = área, H = altura, m = masa, V = velocidad lineal, ¿cuál es el valor de "a" para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta?:

a) 3 b) 2 c) 1 d)

7. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?

Siendo: W = trabajo, m = masa, y S = área.
a) L; T b) L²; T² c) L; T^-2 d) L²; T^-2 e) L²; L

8. Se da la siguiente ecuación dimensional: ; Siendo: V = volumen, t = tiempo, h = altura, determinar la ecuación dimensional de: .

a) T³ b) T^-3 c) L³ d) L^-3 e) L³T^-3

9. En la siguiente fórmula empírica: ecuación ; Donde: F = fuerza de rozamiento, d = diámetro de la tubería, v = velocidad lineal, L = longitud, a = coeficiente experimental dimensional. Determinar las dimensiones del coeficiente b y dar como respuesta b².
a) M²L^-2T^-1 b) M³L²T^-3 c) M²L^-5T^-1 d) ML⁴ e) M²T^-4