Análisis Vectorial

ANÁLISIS VECTORIAL

Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Para detallar algunos fenómenos se usa el Vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales.

VECTOR: Es un segmento de recta orientado (flecha), que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Los elementos de un vector son:

a) Origen: Es el punto (A) donde se aplica el vector, también se le llama punto de partida.

b) Dirección: Es la recta que contiene al vector. Se define por el ángulo q medido en sentido antihorario, también es llamada línea de acción . (L = recta de referencia o q = Ángulo o dirección).

c) Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacia dónde se dirige. Se le representa por una saeta o sagita. (En el gráfico esta representado por el punto (B), llamado también punto de llegada).

d) Módulo: Llamado también intensidad, medida, norma, viene a ser el valor de la magnitud vectorial representada. (En la figura esta representado por el segmento (AB) y el módulo es el tamaño del segmento).

Notación Vectorial: ... ( q = Angulo Direccional ).

Clasificación de Vectores

1) Vectores Coplanares: Son aquellos que se encuentran en un mismo plano tal como los que se indican en la Fig. 2 (a). son coplanares.

2) Vectores Concurrentes: Estos se caracterizan porque sus rectas de acción se cortan en un mismo punto. En la Fig. 2 (a). son concurrentes.

3) Vectores Colineales: Llamamos así a todos aquellos vectores que son paralelos a una misma recta. Fig. 2 (b).

4) Vectores Codirigidos: Son aquellos que siendo paralelos presentan el mismo sentido, tal como en la Fig. 2 (b).

5) Vectores Contrariamente Dirigidos: Estos vectores además de ser paralelos tienen sentidos opuestos, tal como en la Fig. 2 (b).

6) Vectores Iguales: Dos vectores son iguales si además de tener el mismo módulo son codirigidos, tal como en la Fig. 2 (c). Si:

7) Opuesto de un Vector: Un vector tal como es el opuesto del vector si: Fig. 2 (c).

Operaciones con Vectores

A) Adición De Vectores: (Método gráfico del Paralelogramo). Es la operación vectorial que consiste en encontrar un único vector llamado vector suma o resultante (R) capaz de sustituir a un grupo de vectores de una misma especie, llamados sumandos.

Donde: : Suma Vectorial.

Por la ley o fórmula del Paralelogramo, obtenemos que:

NOTA: "q" es el menor ángulo comprendido entre los vectores A y B; “S” es el módulo del vector suma.

B) Sustracción De Vectores: (Método gráfico del Triángulo).

Donde: : Diferencia Vectorial.

Por la ley o fórmula del Paralelogramo, obtenemos que:

Nota: "D" es el módulo del vector diferencia.

Conclusión: Para sumar o restar dos vectores, usaremos la "Ley del Paralelogramo";, y sólo cambiaremos el signo de acuerdo a la operación que deseemos realizar.

Donde: "X"; representa a la suma o diferencia, de acuerdo a la operación realizada.

( + ): Para la Suma y ( - ): Para la resta o diferencia.

Casos Especiales de la Suma Vectorial

NOTA: En estos tres primeros casos, los vectores sumados tienen el mismo tamaño.

Componentes de un Vector

Donde: A₁ y A₂ son las componentes del vector A; Un Vector se puede descomponer en varios vectores, los cuales sumados darán como resultado el vector original.

Componentes Rectangulares de un Vector

En este caso las componentes son dos, las cuales son perpendiculares entre sí.

Además: ; donde: q = Angulo o Dirección del Vector A.

Algunos Triángulos Notables

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Para sacar un clavo se le aplican dos fuerzas concurrentes de 8 N y 7 N. Si las fuerzas forman entre sí un ángulo de 60° ¿Cuál es la fuerza resultante que actúa sobre dicho clavo?

a) 13 N b) 15 N c) 18 N d) 20 N e) 10 N

2. La resultante máxima de dos vectores es 14 u y la mínima es 2 u. Hallar la magnitud de la resultante cuando dichos vectores sean ortogonales.

a) 10 u b) 12 u c) 14 u d) 13 u e) 6 u

3. Dos fuerzas de valores consecutivos actúan sobre un cuerpo formando un ángulo de 60° entre sí, dando por resultante . Calcule el módulo de la menor de las fuerzas.

a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7

4. Determinar el módulo de la resultante de los vectores trazados sobre el rectángulo mostrado.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

5. Halle el módulo y la dirección de la resultante de los vectores siguientes.

a) 10; 0° b) 16; 37° c) 10; 53° d) 10; 37° e) 30; 53°

6. Determinar la resultante del grupo de vectores mostrado, indicando su módulo y dirección. A=10, B=16, C=13.

a) 20 y 37° b) 15 y 53° c) 20 y 16° d) 25 y 45° e) 25 y 74°

7. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si: A=4, B=8, C=5.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Dados los vectores A y B determine su resultante: A=20i+8j y B=-13i+16j,

a) 25 b) 15 c) 20 d) 30 e) 10

9. Dado el sistema de vectores mostrado, calcular la magnitud de la resultante: A=6, B=2, .

a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 1

10. Hallar el módulo y dirección del conjunto de vectores mostrado: Además: A=40; B=20; C=11; D=15.

a) 20 y 143° b) 20 y 127° c) 10 y 143° d) 10 y 127° e) 10 y 53°

11. Dados los vectores A=50u y B=30u, determine el valor de su resultante, cuando los vectores, formen entre sí, un ángulo de 60°.

a) 40 u b) 80 u c) 20 u d) 70 u e) 100 u

12. Dos vectores de módulos A=100, y B=28 forman 74° entre sí. ¿Cuál es el módulo del vector diferencia?.

a) 72 b) 96 c) 128 d) 50 e) 150

13. Dos vectores A y B tienen una resultante máxima de 16 y una mínima de 4; ¿Cuál será el módulo de la resultante de dichos vectores cuando éstos formen 127° entre si?.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

14. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7 respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo módulo es 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichos vectores?

a) 127° b) 53° c) 37° d) 45° e) 60°