Lectia 2: Miscarea proiectilului

Proiectile lansate altfel decit orizontal-Rezolvarea problemei

In partea precedenta a Lectiei 2, folosirea ecuatiilor cinematice pentru rezolvarea problemelor proiectilului a fost introdu-sa si demonstrata. Aceste ecuatii au fost folosite pentru rezolvarea problemelor implicind lansarea proiectilelor in directie orizontala dintr-o pozitie inalta. In aceasta parte a Lectiei 2 va fi demonstrata utilizarea ecuatiilor pentru rezolvarea problemelor proiectilului lansat inclinat sau altfel spus altfel decit orizontal.  O lansare inclinata de proiectil incepe cu viteza initiala avind componente verticala si orizontala. Pentru tratarea unor asemenea probleme se vor combina atit  principiile care au fost discutate mai inainte in Lectia 2 cit si ecuatiile cinematicii pentru miscarea proiectilului. Vom reaminti din precedente ca acolo erau doua seturi de ecuatii cinematice pentru miscarea proiectilului- un set pentru fiecare directie, orizontala si verticala.   Pentru componenta orizontala avem:

Din aceste trei ecuatii prima ecuatie este cel mai mult folosita. Celelalte doua sint mai rar folosite. O aplicatie a teoriei proiectilului la fiecare din aceste trei ecuatii ar trebui sa conduca la concluzia ca orice termen cu a_x in el ar trebui anulat din ecuatie pentru ca a_x = 0 m/s/s.

Pentru componentele verticale ale miscarii cele trei ecuatii sint:

In fiecare din ecuatiile precedente, acceleratia verticala a proiectilului este cunoscuta - ~10 m/s/s (acceleratia gravitationala).

Cum s-a discutat anterior in Lectia 2, valorile v_ix si v_iy in fiecare din setul de ecuatii de deasupra pot fi determinate prin folosirea functiilor trigonometrice. Viteza initiala pe x-(v_ix) poate fi aflata prin ecuatia v_ix = v_i*cos(theta) unde theta este unghiul pe care viteza intiala v_i il face cu orizontala. Viteza initiala pe y-(v_iy) poate fi aflata cu ecuatia v_iy = v_i*sin(theta) unde theta este unghiul amintit anterior cu orizontala. Subiectul componentelor vectorului viteza a fost discutat mai inainte in Lectie 2.

Pentru ilustrarea utilitatii ecuatiilor anterioare in miscarea proiectilelor sa consideram folosirea in urmatoarea problema:

Exemplu O minge de fotbal este lovita cu viteza initiala de 25 m/s la un unghi de 45-grade cu orizontala. Determina timpul de zbor, deplasarea orizontala si ialtimea maxima la care ajunge.

Solutia oricarei problemei proiectilului cu lansare inclinata (altfel decit orizontal) si in care vi si theta sint date, ar trebui sa inceapa cu descompunerea vitezei initiale, prin utilizarea functilor trigonometrice, in cele doua componente.
Astfel,

Componente orizontale	Componente verticale
vix = vi*cos(theta) vix = 25 m/s*cos(45 grade) vix = 17.7 m/s	viy = vi*sin(theta) viy = 25 m/s*sin(45 grade) viy = 17.7 m/s

In acest caz s-a intimplat ca v_ix si v_iy sint egale (cum vor fi mereu cind unghiul este 45-grade).

Solutia cautata se afla declarind valorile cunoscute in termenii ecuatiilor cinematice, simbolurile: x, y, v_ix, v_iy, a_x, a_y, si t. In acest caz informatiile urmatoare sint fie date fie implicite in enuntul problemei:

Informatii despre orizontala	Informatii despre verticala
x = ??? vix = 17.7 m/s vfx = 17.7 m/s ax = 0 m/s/s	y = ??? viy = 17.7 m/s vfy = -17.7 m/s ay = -10 m/s/s

Asa cum se vede in tabel vitezele initiale pe x si pe y sint egale iar viteza finala pe x (v_fx) este egala cu viteza initiala pe x (v_ix). Aceasta din urma pentru ca viteza orizontala a proiectilului este constanta si nu exista o acceleratie orizontala. Tabelul indica de asemenea ca valoarea finala pe y (v_fy) are acelasi modul (valoare absoluta), dar semn schimbat-deci directie opusa, cu viteza initiala pe y (v_iy). Aceasta egalitate se datoreaza naturii simetrice a traiectoriei proiectilului.

Marimile necunoscute sint deplasarea orizontala, timpul de zbor si inaltimea virfului traiectoriei. Solutia problemei cere alegerea unei strategii adecvate pentru utilizarea ecuatiilor cinematicii pe cea mai scurta cale in aflarea necunoscutelor. Exista o multime de strategii posibile. O listare atenta a marimilor ca in tabelul anterior ofera un indiciu in alegerea strategiei utile. Printre ecuatiile listate ecuatia cinematica verticala (v_fy = v_iy + a_y*t), devine obisnuita pentru determinarea timpului de zbor a proiectilului. Prin substituirea valorilor cunoscute ecuatia ia forma:
-17.7 m/s = 17.7 m/s + (-10 m/s/s)*t
Problema fizica devine matematica, mai precis algebra. Prin scaderea 17.7 m/s din fiecare membru al ecuatiei aceasta devine:
-35.4 m/s = (-10 m/s/s)*t
Daca ambi termeni se impart cu -10 m/s/s, avem:
3.54 s = t
Timpul total de zbor al mingiei este 3.54 secunde.

Odata timpul determinat informatiile din tabel ne permit sa aflam deplasarea orizontala a proiectilului (x). Prima ecuatie (x = v_ix*t + 0.5*a_x*t²) listata printre ecuatiile cinematice orizontale este convenabila pt determinarea lui  "x". Si acum cu ecuatia selectata problema fizica se transforma inca odata in problema de algebra. Prin substituiri ecuatia devine: 
x = (17.7 m/s)*(3.54 s) + 0.5*(0 m/s/s)*(3.54 s)²
Pentru ca al doilea termen din membrul drept se reduce la "0" atunci ecuatia se simplifica:
x = (17.7 m/s)*(3.54 s) Astfel,
x = 62.6 m
Deplasarea orizontala a proiectilului este 62.6 m.
In final enuntul problemei cere inaltimea virfului traiectotiei proiectilului. E la fel cu a cere care este deplasarea maxima (y) pe y sau y la mijlocul traiectoriei. Cu alte cuvinte afla y cind t = 1.77 secunde (o jumatate din timpul total). Pentru a determina inaltimea (y cu t = 1.77 sec), poate fi folosita prima ecuatie (y = v_iy*t +0.5*a_y*t²) listata printre ecuatiile cinematicii verticale. Prin substituiri avem:
y = (17.7 m/s)*(1.77 s) + 0.5*(-10 m/s/s)*(1.77 s)²
din care avem:
y = 31.3 m + (-15.7 m) si astfel,
y = 15.6 m
Solutia la enuntul problemei da urmatoarele raspunsuri: timp de zbor 3,54 s, deplasarea orizontala 62.6 m si inaltimea la virf 15.6 m.

Rezumatul procedurii in abordarea problemei:

1. Foloseste valorile date ale vitezei initiale, modul si unghi, sa afli componentele (v_ix and v_iy).
2. Citeste atent problema cu informatiile despre marimile cunoscute si necunoscute pe care le introduci intr-un tabel cu doua rubrici pentru fiecare directie verticala si orizontala similar cu cel expus mai inainte.
3. Identifica necunoscutele cerute de problema.
4. Alege fie o ecuatie pentru verticala fie una pentru orizontala sa afli timpul de zbor al proiectilului. Pentru lansarea inclinata cea mai folosita ecuatie este ecuatia verticala (v_fy = v_iy + a_y*t).
5. Cu timpul rezultat foloseste o ecuatie orizontala (obisnuit x = v_ix*t + 0.5*a_x*t² ) sa afli deplasarea orizontala a proiectilului.
6. In final inaltimea poate fi gasita folosind jumatate din timpul de zbor. Cea mai des folosita ecuatie este y = v_iy*t +0.5*a_y*t² .

O precautie necesara: Sprijinirea pe 4-5 pasi de procedura pentru rezolvarea problemelor de fizica este totdeauna o abordare periculoasa.  Problemele de fizica vin din necesitatea practica intr-o diversitate de enunturi dictate de mijloacele de masurare avute la dispozitie pentru un fenomen si chiar de costurile acestora, de urgenta necesara rezolvarii etc si sint ceea ce sint -probleme de probleme. Dar problemele pot fi deseori simplificate prin scurte proceduri ca cele prezentate anterior ca metoda in special de abordare. Oricum nu toate problemele pot fi abordate cu procedurile descrise deja. In timpul pasilor 1, 2 si 3 critici pentru succesul tau in rezolvarea problemei proiectilului cu lansare inclinata pot aparea variante de probleme care nu se potrivesc acestei "matrite". Fizica nu este bucatarie cu retete. Mai degraba, rezolvarea cere lectura atenta a enuntului, o insusire ferma a teoriei fizice, analiza si critica in gindire si o multime de exercitii riguroase.  Problem-solving is not like cooking; it is not a mere matter of following a recipe. Nicidata sa nu renunti la intelegerea teoriei si a gindirii critice din abordarea problemelor de fizica cu gindul ca aplici o procedura pe care o gasesti undeva si gata. In continuare avem o problema de elev cu raspuns dar si una foarte practica de olimpic cu indicatii doar, raspunsul putind sa-l verifici prin corespondenta cu mine daca doresti. 
 

Verificati cunostintele asimilate

1. Un saritor in lungime parasete pista de alergare cu viteza initiala de 12 m/s la un unghi de 28-grade deasupra orizontalei. Determina timpul de zbor, lungimea sariturii si inaltimea maxima a sariturii.

Clic pe sageata sa vezi raspunsul! Componentele vitezei initiale: Orizontal: v=12*cos(28) =10.6 m/s Vertical: v=12*sin(28) = 5.6 m/s Informatii despre orizontala: x=??; vi=10.6; vf=10.6 m/s; a=0 m/s/s Informatii despre verticala: y=?? ; vi=5.6 m/s; vf=-5.6 m/s; a=-10 m/s/s. Folosete vy=vf + a*t si Informatii despre verticala sa afli timpul de zbor de 1.1 secunde. Folosete x=v*t+.5*a*t^2 sa afli x; obseva ca a in directia x este 0 m/s/s asa ca ultimul termen din partea dreapta se anuleaza. Prin substituiri 10.6 m/s pentru vx si 1.1 s pentru t, x este 11.9 m. In final foloseste t=0.55 s si ecuatia y=vi*t+0.5*a*t^2 cu Informatii despre verticala sa afli y la virf. Substituind si rezolvind avem: 1.6 m.

2. Marimile cunoscute aparute intr-o problema practica de fizica sint masurate si rezolvind problema ne ajuta sa aflam alte marimi pe care nu le putem masura. Care sint marimile masurate sa aflam viteza initiala a unui proiectil si inaltimea la care ajunge folosind instrumente uzuale din trusa de elev sau din gospodarie?

  Clic pe sageata sa vezi indicatii! Viteza initiala necesita sa cunosc componenetele sau una din componente si unghiul de lansare cu orizontala. Inaltimea la virf cere viteza initiala verticala si timpul de urcare, coborire, sau total. Vitezele initiale cer un spatiu masurat si sa afli timpul de zbor. Folosete instrumente de masurare ca ceasul sau cronometrul rigla, ruleta, metru de croitorie compas cu gradatie sau raportor Foloseste setul de ecuatii pentru a afla marimile mai usor de masurat si care conduc la necunoscutele enuntului problemei.

Spre Lectia 3