Lectia 2: Miscarea proiectilului

Componentele vitezei initiale

Deja este bine stabilit si in intregime studiat ca  componentele orizontale si verticale ale miscarii sint independente una fata de alta. Viteza orizontala nu intervine cit de departe (sau cit de repede) cade un proiectil vertical. Componentele perpendiculare ale miscarii sint independente una fata de alta. Astfel, cele doua componente ale miscari proiectilului se cer sa fie analizate independent fiind atent sa nu amesteci informatiile miscarii orizontale cu cele ale miscarii verticale. Asa este, daca analizezi miscarea sa determini deplasarea verticala, ar trebui sa folosesti ecuatiile cinematicii cu parametrii miscarii verticale (viteza verticala initiala, viteza verticala finala acceleratia verticala) si nu parametrii miscarii orizontale (viteza orizontala initiala, viteza orizontala finala, acceleratia orizontala). Este un motiv ca unul din primii pasi in rezolvarea problemei miscarii proiectilului este sa determini componentele vitezei initiale.

Mai inainte in aceasta parte, metoda proiectiilor vectorului a fost discutata. Proiectarea vectorului este o metoda de a considera doua parti componente perpendiculare ale unuia singur obtinute din acesta ca diagonala unui dreptunghi (altfel spus descompunerea vectorului in doua componente perpendiculare).    Cele doua componente descriu influenta vectorului pe directiile componente.  Daca un proiectilul este lansat in unghi fata de orizontala are componente ale vitezei initiale Vx cu influenta pe orizontala si Vy cu influenta pe verticala.
Astfel analiza problemei miscarii proiectilului incepe folosind the metoda trigonometrica discutata mai inainte pentru a determina componentele verticala si orizontala ale vitezei initiale.

Sa consideram un proiectil lansat cu viteza initiala de 50 m/s la un unghi de 60 grade deasupra orizontalei. Un asemenea proiectil isi incepe miscarea cu viteza orizontala de
 25 m/s si viteza verticala de  43 m/s. Acestea sint cunoscute ca componente ale vitezei initiale. Valorile numerice au fost determinate cu ajutor prin construirea schitei din dreapta (doua directii perpendiculare in punctul de aplicatie-originea in acest caz, si doua perpendiculare in virful vectoerului) cu componentele in rosu, si functiile trigonometrice pentru catetele triunghului.   (Daca este necesar vezi metoda
o pagina mai inainte in aceasta parte.)

 Toate problemele proiectiilor vectorului pot fi rezolvate intr-o maniera similara.  Ca un test al intelegerii voastre folositi functiile trigonometrice sa determinati componenetele verticala si orizontala ale urmatorilor vectori ai vitezei initiale. Cind ati terminat clic pe sageta meniului saritor sa verificati raspunsurile !

Exercitiul A: Un balon este lansat cu o viteza de 40 m/s la un unghi de 60 grade fata de orizontala.

  Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! cos 60 grade = (Vx/40 m/s) Vx = 40 m/s * cos 60 grade = 20.0 m/s sin 60 grade = (Vy/40 m/s) Vy = 40 m/s * sin 60 grade = 34.6 m/s

Exercitiul B: Un acrobat pe motocicleta  mergind cu 70 km/ora sare de pe rampa la un unghi de 35 grade cu orizontala.

Exercitiul C: Un schior sare pe o panta A cu o viteza de 10 m/s la un unghi de  80 grade cu orizontala.

Asa cum am mentionat anterior, tinta transformarii vectorului vitezei initiale in componentele sale este sa folosesti valorile acestora pentru analiza miscarii proiectilului determinind parametrii ca: deplasarile verticala si orizontala, timpul de urcare in virf sau de coborire etc. Acest proces este demonstrat in revederea acetei pagini.

Timpul pentru un proiectil sa urce vertical pina la virful traiectoriei (precum si sa cada din acel virf) este dependent de parametri componentei verticale a miscarii. Procesul de urcare verticala spre virful traiectoriei este miscare verticala si depinde de viteza verticala initiala si acceleratia gravitationala (g = 10 m/s/s, jos). Procesul determinarii timpului de urcare in virf este unul usor daca stapinesti conceptul de acceleratie. Cind s-a introdus prima oara s-a spus ca acceleratia este rata cu care se schimba viteza. O valoare de acceleratie indica ca cantitatea de viteza se schimba intr-un interval de timp dat. A spune ca un proiectil are acceleratie verticala de -10 m/s/s este la fel cu a spune ca viteza verticala se schimba cu
10 m/s (directia in jos) la fiecare secunda. Spre exemplu daca se misca in sus avind la t=0 secunde v=40 m/s atunci la t= 1 secunda viteza va fi v=30 m/s, 20 m/s dupa 2 secunde, 10 m/s dupa 3 secunde si 0 m/s dupa 4 secunde. Pentru un asemenea proiectil (cu viteza initiala vertivala 40 m/s), ar lua 4 secunde sa ajunga in virf unde viteza verticala este 0 m/s.  Cu aceasta notiune inteleasa, este evident ca timpul pentru un proiectil sa urce in virful traiectotiei sale este o problema de impartire a componentei verticale a vitezei initiale prin acceleratia gravitationala.

Odata timpul de urcare in virf cunoscut, timpul total de parcurs in zbor poate fi determinat. Pentru un proiectil care aterizeaza la aceeasi inaltime de la care a fost lansat timpul total de zbor este de doua ori timpul de ajungere in virf.  Reamintestet-ti din ultima sectiune a lectiei ca traiectoria este simetrica fata de virf. call from the last section of Lesson 2 that the trajectory of a projectile is symmetrical about the peak. Asa este, daca ia 4 s pina in virf atunci va lua 4 sec sa cada din virf.

Determinarea deplasarii orizontale

Distanta orizontala parcursa de proiectil depinde de componenta orizontala a vitezei initiale. Cum s-a discutat in prima parte se foloseste ecuatia:

x = v_x * t

Daca proiectilul zboara timpul total de 8 secunde si are viteza intiala orizontala de 20 m/s, atinci deplsarea pe orizontala este 160 metri (20 m/s*8 s). Daca proiectilul zboara 8 secunde si viteza orizontala este 34 m/s, atunci deplasarea orizontala este 272 metri (34 m/s*8 s).

Determinarea inaltimii la virf

O lansare inclinata de proiectil cu viteza initiala verticala de 40 m/s va ajunge in virf in 4 secunde. Procesul de urcare este miscare verticala (viteza initiala verticala si acceleratia gravitationala g) si inaltimea pozitiei virfului poate fi determinata cu ecuatia: 

y = v_iy * t + 0.5 * g * t²

unde viy este viteza verticala initiala (in m/s), g este acceleratia gravitationala
(-10 m/s/s) si t timpul (in secunde) necesar sa ajunga in virf. Aceasta ecuatie poate fi folosita cu succes sa determini deplasarea verticala a proiectilului in prima parte a traiectoriei lui (inaltimea la virf). O atentie deosebita trebuie data faptului ca t este timpul de urcare si valorii negative  a acceleratiei g (-10 m/s/s).

Verificati asimilarea cunostintelor  

Answer the following questions and depress the mouse on the "pop-up menu" to see the answers.

1. Un elev a rezolvat descompunerea vectoriala in trei cazuri ca in diagramele de mai jos. Pentru fiecare caz analizati daca diagramele sint corecte. Daca nu explicati de ce si faceti corectiile.

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! A: Incorect. Daca directia v este dreapta-sus atunci vy trebuie directionat in sus. B: Incorect. Daca directia v este stinga-jos atunci vx trbuie spre stinga si punctul aplicatie trebuie comun cu al lui v, iar vy trebuie directionat in jos. C: Incorect. Aici este problema de etichetare. Elevul a numit cu vx componenta verticala vy si cu vy componenta orizontala vx.

2. Foloseste functii trigonometrice sa descompui vectorii viteza pe verticala si orizontala. Apoi utilizeaza ecuatiile miscarilor sa determini valorile marimilor inlocuind in tabel literele mari. Atentie ! Folositi corect ecuatiile pentru fiecare tup de miscare si fiecare componenta stiind ca sint independente una fata de alta.

Clic pe sageata sa vezi raspunsul la A - F. A: vix = 9.5 m/s*cos40 grade = 7.28 m/s B : viy = 9.5 m/s*sin40 grade = 6.11 m/s C: tsus = 6.11 m/s/(10 m/s/s) = 0.611 s D: ttotal = 2*0.611 s = 1.22 s E: x = 7.28 m/s*1.22 s = 8.89 m F: y = 6.11 m/s*0.611 s + 0.5*(-10 m/s/s)*(0.611 s )^2 = 1.87 m

Clic pe sageata sa vezi raspunsul la G - L. A: vix = 25 m/s*cos60 grade = 12.5 m/s B : viy = 25 m/s*sin60 grade = 21.7 m/s C: tsus = 21.7 m/s/(10 m/s/s) = 2.17 s D: ttotal = 2*2.17 s = 4.33 s E: x = 12.5 m/s*4.33 s = 54.1 m F: y = 21.7 m/s*2.17 s + 0.5*(-10 m/s/s)*(2.17 s )^2 = 23.5 m

Clic pe sageata sa vezi raspunsul la M - R. A: vix = 30 m/s*cos30 grade = 26.0 m/s B : viy = 30 m/s*sin30 grade = 15.0 m/s C: tsus = 15.0 m/s/(10 m/s/s) = 1.50 s D: ttotal = 2*1.50 s = 3.00 s E: x = 26.0 m/s*3.00 s = 77.9 m F: y = 15.0 m/s*1.50 s + 0.5*(-10 m/s/s)*(1.50 s )^2 = 11.3 m

3. Utilizeaza ecuatiile cinematicii si teoria miscarii proiectilului sa umpli spatiile marcate cu litere mari din tabelul urmator:

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! A: 14.6 m ..... B: 161 m C: 2.87 s ..... D: 5.74 ..... E: 41.2 m ..... F: 235 m G: 19.2 m/s .....H: 16.1 m/s ..... I: 1.61 s .....J: 3.21 s K: 79.9 grade ..... L: 19.7 m/s ..... M: 1.97 s ..... N: 3.94 s O: 18.7 m/s ..... P: 3.47 m/s ..... Q: 3.47 s ..... R: 6.95 s

Urmeaza >>