Lectia 1: Vectori - Cunostinte de baza si Operatii

Vectori si Orientare

Un studiu al miscarii va implica introducerea unei varietati de marimi care sint folosite sa descrie lumea fizicii. Exemple de asemenea marimi sint spatiul, viteza, acceleratia, forta , masa, momentul, energia, lucrul mecanic, puterea, etc. Toate aceste marimi pot fi impartite in doua categorii: - vectori si scalari. O marime vectoriala este o marime care este pe deplin descrisa (sau caracterizata) de ambele caracteristici modulul (valoarea absoluta) si directie (cu sensul si  punctul de aplicatie pe ea implicit). Pe de alta parte o marime scalara este pe deplin descrisa prin modulul ei. Accentele puse pe aceste caracteristici implica intelegerea aspectelor fundamentale despre vectori si sa aplici cunostintele in scopul sa intelegi miscarea si fortele care actioneaza intr-un plan (spatiul cu doua dimensiuni).

Exemple de marimi vectoriale care au fost discutate anterior sint spatiul, viteza, acceleratia, si forta. Toate aceste marimi sint unic determinate (sau complet descrise) prin modul si directie (cu orientare si punct de aplicatie). De exemplu, sa presupunem ca profesorul tau iti zice ca "o punga cu galbeni (dolari azi) este localizata in afara clasei; s-o gasesti trebuie sa mergi 20m". Aceasta informatie iti trezeste interesul, dar totusi nu este suficient s-o gasesti. Distanta indicata sa gasesti punga nu este descrisa complet. Pe de alta parte sa presupunem ca profesorul iti spune ca "un portofel cu dolari se afla afara din clasa; sa-l gasesti trebuie sa te deplasezi din centrul usii clasei 20m intr-o directie care face un unghi de 30 grade cu axa Nord-Sud (care trece binenteles prin centrul usii) si cu sensul de rotire dinspre Nord spre Vest (sau in sens invers acelor de ceasornic). Aceasta informatie completa este un vector-deplasare si descrie deplasarea (spatiul) pe care trebuie sa o faci (sa-l parcurgi) pentru a ajunge la portofel. Observam ca informatia despre spatiu (deplasare) cuprinde modulul=20m cu care sintem cel mai mult obisnuiti, punctul de aplicatie_sau referinta)= centrul usii clasei, directia=dreapta care face 30 grade cu verticala Nord-Sud prin punctul de aplicatie, sensul=Nord-Vest sau aflat in cadranul II intre Nord si Vest. Spunem astfel ca deplasarea (sau spatiul) este o marime vectoriala si ca vectorul spatiu este descris complet prin modul si orientare, prin orientare intelegind cele trei componente din informatie: punct de aplicatie, directie si sens.

Marimile vectoriale sint reprezentate deseori prin diagrame vectoriale. Diagramele vectoriale descriu vectorii prin folosirea unor sageti desenate la scara si orientate pe directii in anumite sensurii. Diagramele vectoriale au fost introduse si s-au folosit cu cele mai noi unitati de masura sa descrie fortele actionind asupra unui obiect, asemenea diagrame fiind cunoscute ca diagramele corpului liber. Un exemplu de diagrama vectoriala la scara este aratata in dreapta si descrie un vector deplasare (despre care am amintit mai inainte). Observati ca sint citeva caracteristici ale acestei diagrame care o fac sa corespunda cu o diagrama vectoriala desenata.

• o scara este indicata explicit 1 cm = 4 m
• o sageata (cu virful ) este desenata pe o directie si intr-un sens pornind dintr-un punct de aplicatie (coada sagetii) specificate.
• modulul si directia vectorului sint inscrise clar d=20 m; <30 grade de la Nord spre Vest.

Sensul vectorilor poate fi spre Est, Vest, Nord sau Sud. Dar alti vectori pot avea sensul spre Nord-Est ( se intelege 45 grade)  sau mai mult spre Nord decit spre Est deci peste 45 grade. Astfel este clara necesitatea unei conventii pentru utilizarea valorii unghiului si un sens de obtinere a acestui unghi pentru se determina dreapta care arata directia vectorului  si sensul virfului sagetii care este sensul vectorului.

Cele doua conventii sint aratate mai jos.

1. Directia se convine sa fie data de valoarea unghiului facut de dreapta pe care se afla vectorul obtinuta prin rotirea vectorului in jurul "punctului de aplicatie" situat la intersectia axelor Nord-Sud si Est-Vest. De exemplu se poate spune despre vector ca se afla pe directia care face un unghi de 40 grade cu axa Est-Vest. Dar acest unghi are cum stim din geometrie un opus la virf de valoare egala sau poate fi vazut in oglinda fata de aceeasi axa si este nevoie de o a doua conventie care sa elimine aceaste confuzii.
2. Sensul vectorului se va lua cunsiderind mereu rotirea in sensul invers acelor de ceasornic valoarea unghiului fiind unic determinata fata de axa Est-Vest "punctului de aplicatie"este in centru si vectorul rotit injurul lui cu 40 grade are virful sagetii in cadranul I tintind mai aproape de Est sau la 70 spre Nord. Un unghi de 320 grade ar forma cu rotire in sensul acelor de ceasornic 40 fiind practic oglinda primei situatii. Rezulta deci considerind sensul unghiului de rotatie o valoare unic determinata trigonometric fiind eliminata orice confuzie.

Doua ilustrari a celei de a doua conventii sint aratate mai jos pt 40 grade si 240 grade.

Obsevati ca punctului de aplicatie al celor doi vectori este acelasi dar arcele de cerc arata sensuri diferite prin marimea lor in cadrane diferite vectorii fiind rotiti in sens invers acelor de ceasornic. Clic pe urmatorul desen animat sa vedeti rotirile unui vector cu schimbarea directiei din 30 in 30 grade si a sensului respectiv.

Modulul unui vector dintr-o diagrama la scara este descris de lungimea sagetii. Sageata este desenata precis in concordanta cu lungimea la scara aleasa. De exemplu diagrama din dreapta arata un vector cu modulul de 20 Km. Pentru ca scara folosita este 1 cm = 5 Km sageata este desenata cu o lungime de 4 cm. Aceasta pentru ca , 4 cm x 5 Km/1 cm = 20 Km. Folosind aceeasi scara un vector deplasare cu 15 Km va fi reprezentat cu o sageata de lungime 3 cm.  Similar, la 25 Km avem 5 cm si in final pentru 18 Km vectorul deplasare este reprezentat pritr-o lungime de 3,6 cm a sagetii,  Vezi exemplele aratate mai jos:

I

Conluzii: Vectorii pot fi reprezentati prin diagrame vectoriale la scara. Intr-o asemenea diagrama o sageata desenata reprezinta vectorul si are punct de aplicatie, directie (dreapta pe care aluneca segmentul ce reprezinta corpul sagetii) si sens (virful sagetatii). Modulul este indicat de lungimea sagetii, o scara este indicata (ex 1 cm = 5 Km) si lungimea sagetii corespunde acestei scari. Sageata indica sensul precis, Sensul corespunde unui unghi de rotatie in sens invers acelor de ceasornic pornind dinspre Est spre Vest trecind prin Nord.

In recapitularea acestei lectii, in intregul ei, chiar in urmatoarele parti, diagramele vectoriale la scara si conventia de deasupra pentru orientare (directie si sens) vor fi folosite sa descrie miscarea si sa rezolve problemele de intelegere ale acesteea. Din aceste motive este imperios necesar sa aveti o cunoastere ale mijloacelor de reprezentare ale marimilor vectoriale. Probleme si exercitii gasiti aici:

Vedeti Pagina de exercitii cu Orientarea Vectorului !

Urmeaza >>