Lectia 1: Vectori - Cunostinte de baza si Operatii

Viteza relativa si problema barcii pe riu

In unele cazuri obiectele se misca intr-un mediu care se misca la rindul lui fata de un observator. De exemplu un avion se misca intr-o masa de aer (vint) in miscare fata de sol pe care se afla observatorul. Un alt exemplu, o barca cu motor se misca in mijlocul unui riu, apa miscindu-se la rindul ei fata de maluri.  In exemple ca acestea modulul vitezei obiectului (fie avion sau barca cu motor)raportat la obesrvatorul de pe sol nu este acelasi cu cel citit pe vitezometrele de la bordul vehiculelor respective.  Se poate spune ca vitezometrul pe barca cu motor arata 20 Km/ora si totusi viteza barci relativ la observatorul de pe mal este 25 Km/ora. Miscarea este relativa la observator. Observatorul de pe pamint, deseori numit (sau fara nume) "observatorul stationar" ar masura o viteza diferita de a unei persoane din barca. Viteza masurata a barcii totdeauna trebuie sa se refere la un observator.

Pentru a ilustra acest principiu considera un avion zburind in mijlocul unui vint din spate. Un vint din spate impinge avionul din spate crescind astfel viteza rezultanta. Daca avionul calatoreste la viteza de 100 Km/ora in raport cu aerul (relativ la aer) si viteza vintului este de 25 Km/ora atunci care este viteza avionului raportata la un observator (relativ la un observator) care se afla pe pamint?  Viteza rezultanta avionului (aceasta este, contributia vitezei vintului si a vitezei datorita motorului) este suma vectoriala a vitezei avionului si a vintului. Viteza rezultanta este foarte usor de aflat daca vintul impinge avionul din spate. Asa cum este aratat in diagrama de mai jos , avionul zboara cu 125 Km/ora care este viteza rezultanta, relativ la sol.

Daca avionul infrunta un avint din fata viteza rezultanta va fi mai mica decit 100 km/ora. Pentru ca vintul impinge avionul din fata acesta va micsora viteza rezultanta a avionului. Presupunem ca avionul calatorind cu o viteza fata de aer de 100 km/ora intilneste un vint din fata cu o viteza de 25 km/ora. In acest caz viteza rzultanta este de 75 km/ora relativ la un observator de pe pamint. Aceasta este descrisa in diagrama urmatoare.

Acum consideram un avion calatorind cu o viteza de 100 km/ora spre Sud si care infrunta pe o parte un vint de 25 km/ora dinspre Vest.  Care ar fi viteza rezultanta a avionului acum?  Aceasta problema poate fi solutionata in aceeasi maniera ca cea precedenta. Viteza rezultanta a avionului este o suma vectoriala a doua viteze individuale. Pentru a afla viteza rezultanta, viteza avionului relativa la aer trebuie adunata cu viteza vintului. Aceasta este aceeasi procedura cu cele utilizate anterior pentru situatiile vint din fata si vint din spate, numai ca acum rezultanta nu este asa de usor de calculat. Pentru ca cei doi vectori sa fie adunati, viteza avionului spre sud si viteza vintului spre Vest care fac un unghi drept, poate fi folosita teorema lui Pitagora Aceasta este ilustrata in diagrama de mai jos.

In aceasta situatie a vintului dintr-o parte vectorul spre Sud poate fi adunat cu vectorul spre Vest folosind uzuala metoda a adunarii vectoriale. Modulul vitezei rezultante este determinat folosind teorema lui Pitagora. Pasii algebrici sint urmatorii:

(100 km/ora)² + (25 km/ora)² = R² 10 000 km²/ora² + 625 km²/ora² = R²

tan θ = (opus/alaturata)

tan θ = (25/100)

θ = arctan (25/100)

θ = 14.0 grade

Daca viteza rezultanta a avionului face un unghi de 14 grade cu directia Sud θ, in diagrama de deasupra, atunci directia rezultantei este 270-14=256 grade. Ca la orice vector directia este masurata in sens invers rotiri acelor de ceasornic.

Efectul vintului asupra avionului este similar cu efectul curentului riului asupra barcii cu motor. Daca o barca cu motor era cu virful drept sa traverseze riul (aceasta inseamna ca tintea cu prova direct cealalalta parte) nu ar ajunge malul direct din punctul de start. Riul influenteaza miscarea barcii cu motor si o poarta in aval.  Barca cu motor parcurge cu 4 m/s direct transversal riul, totusi rezultanta va fi mai mare de 4 m/s si unghiul in aval. In timp ce vitezometrul barcii poate arata 4 m/s viteza acesteea in raport cu un observator de pe mal va fi mai mare. 

Viteza rezultanta a barcii cu motor poate fi determinata in aceeasi maniera ca si viteza avionului, si este suma vectoriala a barcii si apei riului.  Pentru ca virful barcii se indreapta perpendicular pe riu si directia de curgere este in jos cei doi vectori formeaza un unghi drept. Astfel, teorema lui Pitagora poate fi folosita sa determini viteza rezultanta. Presupunem ca riul se misca cu viteza  de 3 m/s spre Nord si barca cu 4 m/s spre Est. Care ar fi viteza rezultanta a barcii cu motor (viteza relativ la un observator de pe mal)? Modulul poate fi aflat dupa cum urmeaza: 

(4.0 m/s)² + (3.0 m/s)² = R²

16 m²/s² + 9 m²/s² = R²

25 m²/s² = R²

Radicalul √ (25 m²/s²) = R

5.0 m/s = R

Directia rezultantei este unghiul de rotatie θ in sens invers acelor de ceasornic pe care il face cu directia Est. Acest unghi poate fi determinat cu functia triginometrica urmatoare:

tan θ = (opusa/alaturata)

tan  θ = (3/4)

 θ = arctan (3/4)

 θ = 36.9 grade

Date viteza barci spre Est 4 m/s, viteza apei riului 3 m/s spre Nord, viteza rezultanta a barcii va fi de 5 m/s la 36.9 grade.

Asemenea problemelor barcii cu motor sint trei raspunsuri de dat:

1. Care este viteza rezultanta? 
2. Daca latimea riului este X m atunci cit timp este necesar barcii sa traverseze riul din mal in mal? 
3. Ce distanta in josul riului face barca sa ajunga pe malul opus?

Primei din intrebari s-a raspuns mai sus: modulul cu teorema lui Pitagira si directia cu funtie trigonometrica. Celei de a doua si a treia intrebari se raspunde prin ecuatia vitezei medii (si multa logica).

Considera urmatorul exemplu:

Examplul 1 O barca cu motor traverseaza cu 4 m/s spre Est infruntind un curent de riu curgind cu 3 m/s spre Nord. Care este viteza rezultanta a barcii? Daca latimea riului este 80 m/s cit timp trebuie sa traverseze din mal in mal? Ce distanta parcurge in jos sa ajunga pe malul opus?

Solutia la prima intrebare a fost deja aratata in discutia anterioara. Viteza rezultanta a barcii este 5 m/s la 36.9 grade. Vom incepe cu a doua intrebare:

Latimea riului 80 metri este distanta din mal in mal masurata perpendicular pe acestea. Timpul de traversare se scoate din formula vitezei medii:

Distanta este 80 m si poate fi inlocuit numaratorul. Dar la numitor? Ce valoare ar trebui folosita pentru viteza medie? Ar fi 3 m/s viteza apei, 4 m/s a barcii fata de apa, sau 5 m/s viteza rezultanta?  Cu care viteza medie traveseaza barca latimea de 80 m a riului? Majoritatea elevilor vor sa foloseasca viteza rezultanta in ecuatie pentru ca este intr-adevar de fapt viteza barcii in raport cu malul. Totusi 5 m/s este viteza cu care merge pe diagonala riului. Si distanta in diagonala peste riu nu este cunoscuta. Daca se cunoaste distanta C din diagrama de mai jos, atunci viteza medie C poate fi folosita sa calculezi timpul de traversare pe malul opus. In mod similar daca se cunoaste distanta B in diagrama de mai jos atunci viteza medie B ar putea fi folosita sa calculezi timpul de traversare a riului. In final daca se cunoaste distanta A in  diagrama de mai jos, atunci viteza medie A ar putea fi folosita sa calculezi timpul de traversare. 

In problema noastra, 80 m corespunde distantei A, si asa viteza medie de 4 m/s (viteza medie in directie perpendiculara pe riu ) ar trebui inlocuita in ecuatie sa determinam timpul de traversare.

Se cere deci 20 s sa traversezi riul. In timpul celor 20 s de traversare barca de asemenea deriva in josul riului. Partea c a problemei cere "Ce distanta in jos parcurge barca prin traversare?" Aceeasi ecuatie poate fi folosita sa calculezi aceasta distanta in josul riului. Inca odata se pune problema care din cele trei viteze medii trebuie pusa in ecuatie sa calculam distanta in josul riului sau altfel spus in aval? Pe desen corespunde distanta B. Viteza medie corespunzatoare distantei B parcursa de barca numai sub efectul curentului de apa este  3 m/s. Substituim valoarea in ecuatie: 

distanta = 60 m

Barca este purtata 60 metri timp de 20 secunde in aval, in acelasi timp traverseaza si riul. Observatie: Timpul este acelasi pentru distante si viteze.

Calculul matematic al problemei anterioare nu este mai complicat decit operatiile aritmetice. Dificultatea este in conceptul de fizica si consta in legatura intre numere si realitatea fizica, altfel spus ce numar pun in ecuatie sa corespunda marimii descrise. Aceasta decizie decurge dintr-o intelegere (din pacate uneori neintelegere) a notiunilor miscarii complexe care are loc. Miscarea barcii cu motor pe riu poate fi impartita in doua parti simultane; o miscare cu directie perpendiculara pe riu si una in aval de a lungul riului (in josul riului ca sens si cu aceeasi directie). Aceste doua parti sau componente se petrec simultan in aceeasi durata de timp 20 s. Decizia care valoare a vitezei sau distantei trebuie intrebuintata in ecuatie se ia cu ajutorul diagramei de deasupra. Motorul barcii o impinge transversal peste riu Distanta A sim orice calcul care implica distanta A trebuie sa implice si Viteza A, relativ la apa. In mod similar curentul apei impinge barca dealungul riului pe Distanta B si ce o implica implica si Viteza B a curentului de apa. Impreuna cele doua componente A si B dau miscarea rezultanta a barcii. Deplasarea transversala A si cea longitudinala B dau deplasarea rezultanta C. La fel viteza A transversala si viteza B longitudinala, in josul riului dau viteza rezultanta C. Astfel orice calcul care implica deplasarea C va implica si viteza medie C. In ambele cazuri se utilizeaza teorema lui Pitagora pentru calculul lui C.

Acum sa ilustram un punct important , sa incercam un al doilea exemplu care este similar primului exemplu al problemei. Fa o incercare sa raspunzi urmatoarelor trei intrebari si apoi foloseste meniul saritor, clic pe sageata sa-ti verifici raspunsurile.

Examplul 2 O barca cu motor traverseaza cu 4 m/s spre Est infruntind un curent de riu curgind cu 7 m/s spre Nord. Care este viteza rezultanta a barcii? Daca latimea riului este 80 m/s cit timp trebuie sa traverseze din mal in mal? Ce distanta parcurge in jos sa ajunga pe malul opus?

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! a. Viteza rezultanta este Radical [(4 m/s)^2 + (7 m/s)^2] = 8.06 m/s la o directie de 60 grade unghiul directiei = arctan[(7 m/s)/(4 m/s)] b. Timpul de traversare a riului este t=d/v = (80 m)/(4 m/s) = 20 s c. Distanta parcurasa in josul riului este d=v*t = (7 m/s)*(20 s) = 140 m

Un important concept decurge din analiza celor doua exemple ale problemei anterioare. In Exemplul 1, timpul de traversare era 20 s pe 80 m cu viteza 4 m/s  relativ la apa in prezenta unui curent de apa cu 3 m/s. In Exemplul 2, curentul apei este mai mare - 7 m/s - totusi timpul de traversare ramine neschimbat. Intr-adevar viteza curentului in sine nu are nici-un efect asupra timpului necesar barcii sa traverseze riul.  Apa se misca in jos paralel cu malurile riului, deci prin nici-o cale curentul de apa nu poate impinge barca sa traverseze riul. In timp ce viteza crescuta a curentului de apa afecteaza viteza rezultanta a barcii care este mai mare fata de un observator de pe mal- nu creste si viteza transversala peste riu. Timpul de traversare este acelasi pentru ca desi viteza rezultanta e mai mare si distanta rezultanta parcursa este mai mare. Viteza rezultanta crescuta schimba doar directia si punctul in care ajunge barca (mai departat) pe malul opus in josul riului. Se spune adesea ca "componentele perpendiculare ale miscarii sint independente una fata de alta".  .Aplicata la problema barcii pe riu asta inseamna ca variabila transversala este independenta de cea longitudinala.  Deplasarea transversala este constanta, riul nu se lateste, si motorul impinge la fel prin apa (caci la aceasta se refera elicea cu care impinge) deci viteza de traversare perpendiculara este aceeasi fie ca apa se deplaseaza sau nu si prin urmare timpul ramine constant. Conceptul fortelor perpendiculare va fi analizat detaliat  Urmatoarea parte a lectiei 1.

Verificati cunostintele:

1. Un avion poate zbura cu o viteza de 80 km/ora in raport cu aerul.  Determina viteza rezultanta a avionului (numai modulul) daca intimpina un curent de aer astfel:

1. 10 km/ora vint din fata.
2. 10 km/ora vint din spate.
3. 10 km/ora vint lateral
4. 60 km/ora vint lateral .

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! a. Un vint din fata trebuie sa scada viteza rezultanta a avionului spre 70 km/ora. b. Un vint din spate trebuie sa creasca viteza rezultanta a avionului la 90 km/ora. c. Un vint lateral de 10 km/ora trebuie sa creasca viteza rezultanta a avionului la 80.6 km/ora. (foloseste teorema lui Pitagora: Radical din [(80 km/ora)^2 + (10 km/ora)^2] ) d. Un vint lateral de 60 km/ora trebuie sa creasca viteza rezultanta a avionului la 100 km/ora. (foloseste teorema lui Pitagora: Radical din [(80 km/ora)^2 + (60 km/ora)^2] )

2. O barca cu motor traveseaza un riu cu 5 m/s spre Est si intimpina un curent de apa deplasindu-se spre Nord cu 2.5 m/s:

1. Care este viteza rezultanta a barcii cu motor?
2. Daca latimea riului este 80 metri de cit timp are nevoie sa parcurga aceasta distanta?
3. Ce distanta parcurge in aval pe malul opus?

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! a. Viteza rezultanta este Radical din [(5 m/s)^2 + (2.5 m/s)^2] = 5.59 m/s la o directie de 26.6 grade unghi directie = arctan[(2.5 m/s)/(5 m/s)] b. Timp de traversare a riului este t=d/v = (80 m)/(5 m/s) = 16.0 s c. Distanta parcursa in aval d=v*t = (2.5 m/s)*(16.0 s) = 40 m

3. O barca cu motor traveseaza un riu cu 5 m/s spre Est si intimpina un curent de apa deplasindu-se spre Sud cu 2.5 m/s:

1. Care este viteza rezultanta a barcii cu motor?
2. Daca latimea riului este 80 metri de cit timp are nevoie sa parcurga aceasta distanta?
3. Ce distanta parcurge in aval pe malul opus?

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! a. Viteza rezultanta este Radical din [(5 m/s)^2 + (2.5 m/s)^2] = 5.59 m/s la o directie de 333.4 grade unghi directie = 360 - arctan[(2.5 m/s)/(5 m/s)] NOTA: directia vitezei rezultante (ca la orice vector) este exprimata in sensul invers acelor de ceasornic cu rotire de la Est. b. Timpul de traversare a riului este t=d/v = (80 m)/(5 m/s) = 16.0 s c. Distanta parcursa in aval pe malul opus d=v*t = (2.5 m/s)*(16.0 s) = 40 m

4. O barca cu motor traveseaza un riu cu 6 m/s spre Est si intimpina un curent de apa deplasindu-se spre Sud cu 3.8 m/s:

1. Care este viteza rezultanta a barcii cu motor?
2. Daca latimea riului este 120 metri de cit timp are nevoie sa parcurga aceasta distanta?
3. Ce distanta parcurge in aval pe malul opus?

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! a. Viteza rezultanta este Radical din [(6 m/s)^2 + (3.8 m/s)^2] = 7.1 m/s la o directie de 327.6 grade unghiul directiei = 360 - arctan[(3.8 m/s)/(6 m/s)] NOTA: directia vitezei rezultante (ca la orice vector) este exprimata in sensul invers acelor de ceasornic cu rotire de la Est. b. Timpul de traversare a riului este t=d/v = (120 m)/(6 m/s) = 20.0 s c. Distanta parcursa in aval pe malul opus este d=v*t = (3.8 m/s)*(20.0 s) = 76 m

5. Daca viteza curentului de apa de la intrebarea 4 creste la 5 m/s, atunci:

1. Cit timp este necesar sa traverseze aceeasi 120 m latimea riului ?
2. Ce distanta in josul riului va parcurge barca in acest timp?

Clic pe sageata sa vezi raspunsul ! a. Ar trebui acelasi timp in marime ca si mai inainte (20 s). Schimbind viteza apei nu este afectat timpul necesar traversarii riului pentru ca componentele perpendiculare ale miscarii sint independente una fata de alta. b. Distanta parcursa in aval este d=v*t = (5 m/s)*(20.0 s) = 100 m Observa ca schimbarea vitezei apei ar trebui sa afecteze numai distanta parcursa in aval (si viteza rezultanta).

Mergi la Lectia 2