Lectia 1: Vectori - Cunostinte de baza si Operatii

Adunarea vectorilor

O multime de operatii matematice pot fi executate cu si pe vectori. Una din aceste operatii este adumarea vectorilor. Doi vectori pot fi adunati sa determine rezultatul sau rezultantul.  Acest proces de adunare a doi sau mai multi vectori a fost discutat  in ultima lectie.  Reamintim din discutia Legilor lui Newton ale miscarii, ca forta efectiva care actioneaza un corp era determinata prin calculul sumei de vectori al tuturor fortelor individuale actionind asupra corpului. Aceasta este forta efectiva rezultatul (sau rezultantul) adunarii vectorilor forta. In timpul acelei lectii regulile pentru insumarea vectorilor au fort prezentate relativ simplist. Observati urmatoarele insumari de forte:

Aceste reguli de insumare a vectorilor au fost aplicate la diagrama corpului liber in scopul sa se determine forta efectiva (efectul fortei) o suma a fortelor individuale. Mostre de aplicatii sint aratate mai jos:

In aceasta lectie sarcina de adunare vectoriala se va extinde in cazurile vectorilor cu directii diferite de cele verticale sau orizontale. De exemplu un vector directionat sus-dreapta va fi adunat cu unul directionat sus-stinga. Pentru cazurile aratate in diagrama de mai jos care sint rezultatele si cum se determina ele?

Sint o multime de metode de determinare a modulului si orientarii rezultantului adunarii a doi sau mai multi vectori. Cele doua metode ce vor fi discutate in aceasta lectie (si folosite in toate aceste lectii) sint: 

• Teorema lui Pitagora si metoda trigonometrica
• Metoda poligonala cu diagrama vectoriala la scara
• Metoda adunarii componentelor vectorilor proiectate pe sistemul de axe de coordonate

Teorema lui Pitagora este o metoda utila pentru adunarea a doi vectori care fac un unghi drept (90 grade) nefiind aplicabila pentru mai multi sau cu unghiuri diferite de unghiul drept. Teorema este o ecuatie matematica care asociaza laturile unghiului drept cu ipotenuza.

Pentru a vedea cum se aplica aceasta metoda considera urmatoarea problema: Un drumet paraseste tabara si calatoreste 11 Km spre nord apoi 11 Km spre Est . Determina deplasarea rezultanta, unde a ajuns drumetul (ce distanta in linie dreapta ar fi putut face).

Aceasta problema cere sa afli rezultatul adunarii a doi vectori care fac un unghi drept. Rezultantul este tot un vector cu sensul spre Nord-Est asa cum este aratat in diagrama urmatoare. Pentru ca deplasarea spre Nord face un unghi drept cu deplasarea spre Est putem folosi teorema lui Pitagora sa aflam rezultatul, in acest caz ipotenuza triunghiului drept.

Rezultantul pentru 11 km Nord si apoi 11 km Est este un vector cu modulul 15.6 km. Vom discuta mai tirziu, metoda de determinare a directiei. Acum sa va testam intelegerea cu urmatoarele probleme practice. In fiecare caz folosete teorema lui Pitagora sa afli modulul rezultantului. Cind ai terminat click pe sageata menu-ului saritor sa vezi raspunsul.

Click pe sageata sa vezi raspunsul A ! R^2 = (5)^2 + (10)^2 R^2 = 125 R = SQRT (125) R = 11.2 km

Click pe sageata sa vezi raspunsul B ! R^2 = (30)^2 + (40)^2 R^2 = 2500 R = SQRT (2500) R = 50 km

Directia vectorului R in diagrama de deasupra poate fi determinata prin folosirea functiilor trigonometrice. Majoritatea elevilor isi reamintesc de procedeul mnemonic -SOI CAI TOA- din lectiile de trigonometrie.
Sinus< = Opusa / Ipotenuza ( SOI), Cosinus< =Alaturata / Ipotenuza (CAI), Tangenta< =Opusa / Ipotenuza (TOA) sint valorile functiilor trigonometrice ale aceluiasi "<" din triunghiul dreptunghic, exprimate prin raportul laturilor respective. Cele trei ecuatii de mai jos arata scrierea matematica si desenele identifica semnificatia Alaturata, Opusa si Ipotenuza. 

Aceste trei functii trigonometrice pot fi aplicate la problema drumetului in scopul determinarii directiei deplasarii drumetului. Procesul incepe prin alegerea unuia din unghiurile ascutite ale triunghiului. Odata unghiul ales oricare din cele trei functii poate fi folosita sa afli masura unghiului. Scrie functia si efectueaza calculul  algebric sa afli valoarea functiei pentru unghiul respectiv. Din aceasta valoare prin functia trigonometrica inversa aflam valoarea unghiului. Procedeul este aratat mai jos.

Odata masura unghiului determinata directia vectorului poate fi gasita. In acest caz vectorul face un unghi de 45 de grade cu axa Est (reamintim din  ultima referinta, ca directia vectorului este in sensul opus sensului rotatiei acelor de ceasornic)

Atentie! Masura unghiului determinata prin functii trigonometrice nu este automat cea care determina directia vectorului. De exemplu in urmatoarea situatie unghiul pentru directie este 180+26.6= 206.6 grade.

Verificati insusirea folosirii functiilor trigonometrice pentru determinarea directiei vectorului cu urmatoarele exercitii. Cind ai terminat click pe sageata menu-ului saritor sa afli raspunsul!

Click pe sageata sa vezi raspunsul A ! tan(Teta) = (5/10) = 0.5 Teta = tan-1 (0.5) Teta = 26.6 degrees Directia lui R = 90 deg + 26.6 deg Directia lui R = 116.6 deg

Click pe sageata sa vezi raspunsul B ! tan(Teta) = (40/30) = 1.333 Teta = tan-1 (1.333) Teta = 53.1 grade Directia lui R = 180 grade + 53.1 grade Directia lui R = 233.1 grade

In problemele anterioare modulul si directia sint determinate folosind teorema lui Pitagora si functii trigonometrice. Procedura de adunare este restrinsa la doi vectori care fac un unghi drept. In cazul cind unghiul celor doi vectori nu este un unghi drept sau sint mai multi vectori se foloseste metoda de adunare "cap la coada" sau mai cunoscuta ca metoda poligonala. O exemplificare este data pe internet. Cu maosul trageti de mijlocul unui vector sa-l asezati cu coada exact pe virful celui de-al doilea vector si va apare rezultantul. Clic pe grafic interactiv! Aceasta metoda este descrisa in detaliu mai jos:

Modulul si directia sumei a doi sau mai multi vectori poate deaseamenea fi determinata prin folosirea cu precizie a unei diagrame vectoriale la desenata scara . Folosind o diagrama la scara metoda poligonala este indicata sa afli rezultantul. Am folosit deja metoda prima oara in laborator la intrebarea pusa "-Unde sint?" . In figura de mai jos pornind din GBS cu cei trei vectori reprezentati la scara si numai in unghiuri drepte am realizat 18 conectari coada la cap. Ordinea este Est-Sud-Vest-Sud-Sud...etc

Metoda poligonala implica  reprezentarea la scara pe o foaie de hirtie incepind cu desenarea pozitiei de start. Punctul de aplicatie al primului vector este desenat in punctul de start si apoi fiecare punct de vector este desenat in virful sagetii vectorului precedent. Dupa desenarea vectorilor din suma se deseneaza vectorul rezultant unind punctul de aplicatie al primului vector cu virful ultimului adica extremitatile ramase libere.
Exemplificarea este data in urmatorul grafic interactiv:
Cu clic pe sageata numarului de forte max. 5 se alege o confoguratie de adunat.
Revenind la rezultantul determinat pe hirtie se masoara lungimea si folosind scara la care s-au desenat componentele sumei se afla modulul. Directia rezultantului poate fi determinata folosind un raportor pentru masurarea unghiului fata de axa Est in sensul invers acelor de ceasornic. Metoda este grafica si are o anumita precizie data de acuratetea desenului si trasarea rezultantului precum si de raportor.

Traseul pas cu pas pentru aplicarea metodei poligonale este data in continuare:

1. Alege scara sa fie cit mai mare reprezentarea dar totusi sa incapa pe hirtie, Aici trebuie sa lucrezi mai multe exercitii pentru a putea aprecia din experienta scara:ex. SCARA: 1 cm = 20 m
2. Fixeaza un punct de start si deseneaza primul vector in directia indicata pentru acesta. Eticheteaza scara si modulul primului vector.
3. Incepe cu al doilea vector cu punctul de aplicatie in virful primului si eticheteaza si pe acesta scara si modulul.
4. Repeta pentru toti vectorii pasi 2 si 3
5. Deseneaza rezultantul unind punctul de aplicatie al primului vector cu virful ultimului vector si eticheteaza-l ca "Rezultant" sau mai simplu "R".
6. Masoara cu o rigla lungimea rezultantului si afla modulul prin conversia in unitati reale folosind scara indicata  (de ex: 4,4 cm x 20 m/1 cm=88 m).
7. Masoara cu raportorul si afla unghiul directiei cu sensul invers acelor de ceasornic fata de axa Est. Vezi ultima discutie in aceasta lectie..

Un exemplu de u tilizare a metodei poligonale este ilustrat mai jos. Problema implica adunarea a trei vectori.

Metoda poligonala este folosita mai jos cu desenul asezarii vectorilor in poligon inchis practic cu rosu de rezultant. Modulul si directia sint etichetate pe fiecare vector. in diagrama.

Cind sint adunati in ordine diferita cei trei vectori dau acelasi rezultant ca mai inainte (20 m, 310 grade).

 

Exemple suplimentare de adunare a vectorilor folosind metoda poligonala intr-o diagrama la scara sint date intr-o pagina separata in acest site. Cele 12 probleme din aceasta pagina coincid cu 9-10 din lectia 3 ("Adunarea vectoriala").

Metoda adunarii componentelor vectorilor proiectate pe sistemul de axe de coordonate gasiti pe internet in acest grafic interactiv. Componente pe axele Ox si Oy se modifica tragind cu maosul de fiecare din cei trei vectori si rezultatul este calculat imediat in tabel.

Urmeaza>>