Lectia 1: Vectori - Cunostinte de baza si Operatii

Proiectiile unui Vector

Asa cum am mentionat ultima oara in aceasta lectie, orice vector orientat in plan poate fi descompus in doua componente. De exemplu daca un lant trage in sus-dreapta de zgarda unui caine atunci exista o forta de intindere (tensiune) intr-un plan (sau spatiul cu doua dimensiuni). Aceasta forta de tensiune are doua componente: una intreptata in sus si alta indreptata spre dreapta. Un alt exemplu este cel mentionat cu avionul Bucuresti-Sibiu cu vectorul dplsare avind o componenta nordica si una vestica.

In aceasta parte vom invata  doua metode de determinare a modulelor componentelor unui vector intr-un plan. Procesul de determinere este cunoscut in general ca proiectiile vectorului pe doua directii. Cele doua metode de determinare ale proiectiilor unui vector sint:

• metoda paralelogramului
• metoda trigonometrica

Metoda paralelogramului implica folosirea unui desen precis, diagrama vectoriala la scara, sa se determine proiectiile vectorului (componentele dupa doua directii date). Pe scurt, metoda implica desenarea vectorului la scara in directia indicata, trasarea unui paralelogram in jurul lui cu ajutorul directiilor date in asa fel incit vectorul este diagonala si determinarea componentelor-laturi prin masurare si utilizind scara.
Exemplificarea intr-un grafic interactiv:
Pas cu pas procedura de utilizare a metodei paralelogramului este:

1. selectezi o scara si desenezi precis vectorul la scara aleasa si in directia indicata
2. trasezi directiile componentelor prin punctul de aplicatie verticale si orizontale daca paralelogramul este un dreptunghi
3. desenezi lungimile componentelor prin linii paralele la directiile trasate anterior prin punctul de aplicatie si care trec prin virful vectorului, aceste lungimi fiind date de intersectiile lor sau altfel spus de laturile paralelogramului in care vectorul a devenit diagonala
4. eticheteaza explicit fiecare componenta pentru a indica ce parte reprezinta de exemplu Fnord-spre nord sau daca este viteza Vr-spre dreapta etc.
5. masoara lungimile laturilor paralelogramului si folosete scara sa determini modulul componentelor in unitati de masura reale, si eticheteaza valorile pe diagrama

Procedura pas cu pas de deasupra este ilustrata mai jos si arata cum viteza  cu modulul 50 m/s si directia 60 de grade deasupra orizontalei Est poate fi descompusa in doua componente perpendiculare. Desenul arata pasii, la inceput se scrie scara si este desenat vectorul la scara etichetat cu unghiul directiei si valoarea modulului.  Apoi desenul din mijloc, sint trasate directiile si paralelele la acestea (in cazul de fata paralelogramul este o forma particulara: un dreptunghi). In final, desenul din dreapta, se aleg doua laturi consecutive (aici incepind spre dreapta), se marcheaza virfurile in acelasi sens cu vectorul , se masoara lungimile si cu ajutorul scarii se calculeaza modulele si se eticheteaza. Componentele sint marcate cu rosu. (OBSERVATIE-masurarea pe monitor sau pe hirtie dupa printare a vectorilor poate sa nu dea aceleasi rezultate din cauza rezolutiilor posibil diferite intre monitoare si sigur intre monitor si imprimanta.)

Metoda trigonometrica a proiectiilor vectorului implica utilizarea functiilor trigonometrice pentru determinarea componentelor vectorului Anterior in lectia1, a fost descrisa utilizarea functiilor trigonometrice pentru determinarea directiilor si sensului unui vector ditr-o diagrama vectoriala la scara. Acum in aceasta parte a lectiei vom folosi functiile trigonometrice sa determinam componentele unui singur vector. Reamintim din ultima discutie ca functiile trigonometrice asociaza lungimi laturilor unui triunghi dreptunghic unghiurile ascutite ale acestuia. La fel dar invers cunoscind unghiul si lungimea vectorului putem determina laturile unghiului drept. 

Metoda de folosire a functiilor trigonometrice sa determini componentele vectorului are urmatoarele etape:

1. shiteaza (nu este nevoie de scara acum) un vector pe directia indicata cu eticheta modul + unghiul facut cu orizontala.
2. deseneaza dreptunghiul a carui diagonala este incepind din punctul de aplicate al vectorului si terminind la virful acestuia.
3. deseneaza componentele doua laturi alaturate cu sensul sagetilor in sensul vectorului descompus 
4. eticheteaza inteligibil componentele cu indicatii in denumire a sensului, de ex Fnord...etc
5. pentru determinarea lungimii componentei opuse unghiului vectorului foloseste functia sinus cu inlocuirea ipotenuzei prin lungimea vectorului
6. repeta pasul anterior folosind functia cosinus pentru pentru modulul componentei alaturate unghiului de vector

Metoda anterioara este ilustrata mai jos pentru determinarea componentelor care actioneaza asupra stapinului cainelui printr-un vector cu o forta de 60 Newtoni la un unghi de 60 grade cu folosirea functiilor trigonometrice .

In concluzie un vector actionind intr-un plan (spatiul cu doua dimensiuni) poate fi descompus in doua componente pe directii care ne intereseaza din punct de vedere al efectului ca modul. Acest modul se determina cu ajutorul proiectiilor vectorului pe directiile date printr-o metoda grafica and a trigonometrica.

 Urmeaza>>