Lectia 2: Miscarea proiectilului

Proiectile lansate orizontal- Rezolvarea problemei

Una din puterile fizicii este aceea de a folosi principiile sa prevada efectul miscarii unui obiect. Asemenea prevederi sint facute prin aplicarea principiilor fizicii in formule matemetice la conditii initiale date. In cazul proiectilelor un elev la fizica poate folosi informatia despre viteza initiala si pozitia initiala a proiectilului sa determine asemenea marimi: cit timp este in aer proiectilul, cit de departe va ajunge. Principiile fizicii ce trebuie aplicate sint discutate anterior in Lectia 2. Formulele matematice care sint folosite de obicei sint mentionate mai sus ca ecuatiile cinematicii. Combinind cele doua se permite previziuni in privinta miscarii proiectilului. Asemenea predictii sint deseori facute ca raspuns la problema expusa de profesor, cunoscuta ca problema proiectilului.

Exista doua probleme de baza ale proiectilului care vor fi discutate in acest curs. In timp ce principile generale sint aceleasi fiecarui tip de problema, abordarea se va deosebi pentru ca in fapt problemele difera prin termenii conditiile initiale. Cele doua tipuri sint:

Un proiectil este lansat orizontal dintr-o pozitie inalta si urmeaza o traiectorie parabolica spre pamint; necunoscutele pot fi viteza initiala, inaltimea pozitiei, timpul de zbor, distanta parcursa pe orizontala.

Exemple a acestui tip de problema:

1. O bila de biliard paraseste inaltimea 0.60 a unei mese cu o viteza initiala  de 2.4 m/s. Afla timpul necesar bilei sa cada la pamint si distanta orizontala intre marginea mesei si locul de aterizare al bilei.
2. O minge de fotbal este aruncata la inaltimea de 22.0-metri si aterizeaza la distanta de 35.0 metri de la locul lansarii. Determina viteza initiala a mingiei de fotbal.

Un proiectil este lansat la un unghi cu orizontala si urca in virf in timp ce se misca si pe orizontala apoi cade din virf cu o miscare simetrica cu cea la urcare. Necunoscutele miscarii pot fi timpul de zbor, gama orizontala de marimi, inaltimea la virf. Nota: de obicei sint necunoscute marimile mai greu masurabile, acesta fiind de fapt si ratiunea aplicarii fizicii in practica.

Exemple ale acestui tip de probleme sint:

1. O minge de fotbal este lovita cu viteza initiala de 25 m/s la un unghi de 45 grade cu orizontala. Determina timpul de zbor, distanta parcursa pe orizontala, inaltimea la care ajunge.
2. Un saritor in lungime paraseste pamintul cu viteza initiala de 12 m/s la un unghi cu orizontala de 28 grade. Determina timpul de zbor, lungimea sariturii si inaltimea sariturii.

Ultimul tip de probleme vor fi subiectul urmatoare parti a Lectiei 2. In aceasta parte a Lectiei 2, ne vom concentra pe primul tip de probleme- citeodata asociate cu problemele de proiectil lansat orizontal. Trei ecuatii cinematice comune care vor fi utilizate pentru ambele tipuri de probleme:

Ecuatiile de deasupra se aplica pentru miscarea liniara (altfel spus in spatiul cu o dimensiune) dar proiectilul se misca intr-un plan (altfel spus spatiul cu 2 dimensiuni) ait pe verticala cit si pe orizontala in acelasi timp. Deoarece aceste doua componente ale miscarii sint independente una fata de cealalalta 2 seturi de ecuatii sint necesare pentru descrierea miscarilor, un set pentru orizontala si unul pentru verticala. Astfel, cele trei ecuatii de deasupra sint transformate in doua seturi a cite trei.  Pentru componentele orizontale ale miscari cele trei ecuatii indexate cu "x" sint:

Din aceste trei ecuatii, ce din virf este ce mai des utilizata. O aplicatie a teoriei proiectilului ar duce la concluzia ca unii termeni cu a_x in el ar fi anulati din ecuatie pentru ca a_x = 0 m/s/s.

Pentru componentele verticale ale miscarii, cele trei ecuatii sint:

In in fiecare din ecuatiile de deasupra, acceleratia verticala a proiectilului este cunoscuta a fi -10 m/s/s (acceleratia gravitationala unde semnul"-" arata sensul spre pamint daca referinta y este in sus). Mai mult pentru cazul particular al primului tip de probleme (probleme de proiectil lansat orizontal), v_iy = 0 m/s; astfel uni termeni ai ecuatiilor cu v_iy in ei vor fi anulati.
Cele doua seturi de deasupra a cite trei ecuatii cinematice vor fi folosite sa rezolvam problema proiectilului.

Pentru a ilustra utilitatea deplina a ecuatiilor de deasupra in aflarea solutiilor privind problemele miscarii proiectiluluisa le aplicam la urmatoarea:

Solutia acestei probleme incepe declarind valorile informatiilor cunoscute in termenii simbolurilor ecuatiilor cinematice (altfel spus identificarea marimilor si miscarii) - x, y, v_ix, v_iy, a_x, a_y, si t. In acest caz, informatiile urmatoare sint fie date sau se regasesc in enuntul problemei. :

Informatii despre orizontala	Informatii despre verticala
x = ??? vix = 2.4 m/s ax = 0 m/s/s, t	y = -0.60 m viy = 0 m/s ay = -10 m/s/s, t

Asa cum este indicat in tabel (si cerute in enunt) necunoscutele sint deplasarea x pe orizontala si timpul t de zbor in care parcurge aceasta distanta. Solutia problemei cere o strategie adecvata in utilizarea ecuatiilor cinematice si cu informatiile cunoscute sa aflam cu mai putin efort marimile necunoscute. Aproape totdeuna o astfel de strategie cere ca ecuatiile verticale sa fie folosite pentru determinarea timpului de zbor al proiectilului si apoi ca ecuatiile orizontale sa fie folosite sa afli alte cantitati necunoscute (sau vice versa - prima oara folosim cele orizontale si apoi cele verticale- in functie de date). O listare atenta a marimilor cunoscute, ca in tabel, ofera indiciul pentru strategie. De exemplu, tabelul de deasupra releva ca sint mai multe informatii cunoscute despre verticala decit despre orizontala. Astfel ar fi rezonabil sa fie folosita ecuatia verticala cu valorile despre miscarea verticala pentru a afla timpul t sii apoi o ecuatie orizontala pentru a afla distanta "x". Prima ecuatie verticala (y = v_iy*t +0.5*a_y*t²) va permite determinarea timpului. Odata ecuatia potrivita aleasa, problema fizica se transforma intr-o problema de algebra. Prin substituirea valorilor cunoscute ecuatia devine: 
-0.60 m = (0 m/s)*t + 0.5*(-10 m/s/s)*t²
Pentru ca primul termen din dreapta se reduce la "0", ecuatia poate fi simplificata la:
-0.60 m = (-5.0 m/s/s)*t²
Daca ambele parti ale ecuatiei sint divizibile cu -5.0 m/s/s, ecuatia devine
0.12 s² = t²
Efectuind radical din ambele parti avem timpul de zbor: .
t = 0.35 s (rotunjit din 0.3464 s)
Odata timpul determinat, o ecuatie orizontala poate fi folosita sa determini deplasarea orizontala a bilei de biliard. Reamintim informatii date, v_ix = 2.4 m/s si a_x = 0 m/s/s. Prima ecuatie orizontala (x = v_ix*t + 0.5*a_x*t²) poate fi folosita sa aflam distanta "x". Cu ecuatia selectata, problema fizica devine inca odata problema algebrica. Prin substituirea valorilor cunoscute ecuatia ia forma: 
x = (2.4 m/s)*(0.3464 s) + 0.5*(0 m/s/s)*(0.3464 s)²

Pentru ca termenul al doilea al pertii drepte se reduce la "0" simplificind avem:
x = (2.4 m/s)*(0.3464 s)
Astfel,
x = 0.83 m (rotunjit din 0.8313 m)
Raspunsul la problema data este ca bila este in aer timp de 0.35 secunde si aterizeaza la distanta pe orizontala de la marginea mesei de 0.83 m.

Urmatoarele proceduri rezuma abordarea rezolvarii problemei anterioare:

Citeste cu grija problema si lista informatiilor cunoscute si necunoscute in termenii simbolurilor ecuatiilor cinematicii.  Din consideratie pentru conventii, fa un tabel cu informatii desore miscarea pe orizontala pe de o parte si pentru miscarea pe verticala pe de alta parte.
2. Identifica marimile necunoscute pe care problema cere sa le aflii.
3. Alege dupa cum sint suficiente date fie o ecuatie verticala fie o ecuatie orizontala sa afli timpul de zbor al proiectilului.
4. Cu timpul aflat (acelasi pt ambele directii), foloseste o alta ecuatie, de obicei de la cealalalta directie de la punctul 3 sa afli necunoscta ceruta.

O atentionare este necesara: Singurul sprijin pe 4-5 pasi de procedura sa rezolvi probleme de fizica este o abordare periculoasa. Problemele de fizica sint in mod obisnuit chiar-probleme! Dar problemele pot fi deseori simplificate adoptind proceduri ca cele de mai inainte. Oricum, nu toate problemele pot fi rezolvate cu procedura anterioara. In timp ce pasii 1-2 anteriori sint critici pentru succesul tau in problemele de proiectil lansat orizontal, exista totdeauna probleme care nu se potrivesc "matritei". Rezolvarea problemelor nu este ca gatitul si chestiunea principala nu este de a gasi retete si le folosi. Mai degraba, rezolvarea cere lectura atenta a enuntului, o insusire ferma a teoriei fizice, analiza si critica in gindire si o multime de exercitii riguroase.  Problem-solving is not like cooking; it is not a mere matter of following a recipe. Nicidata sa nu renunti la intelegerea teoriei si a gindirii critice din abordarea problemelor de fizica cu gindul ca aplici o procedura pe care o gasesti undeva si gata. 

Verifica-ti asimilarea cunostintelor  

O minge de fotbal este lovita in unghi ajungind la 22.0-metri inaltime si aterizeaza la distanta de 35.0 metri de la locul lovirii. Determina viteza initiala pe orizontala.

Clic pe sageata sa vezi raspunsul! Informatii despre orizontala: x=35.0 m; a=0 m/s/s; v=?? Informatii despre verticala: y=-22.0 m; v=0 m/s; a=-10 m/s/s. Foloseste y=v*t+.5*a*t^2 sa afli timpul; acesta este pt zbor 2,10 secunde. Acum foloseste x=v*t+.5*a*t^2 sa afli v; vezi ca a in directia x este 0 m/s/s astfel ca ultimul termen din partea dreapta a ecuatiei se anuleaza. Prin substituire 35.0 m pentru x si 2.10 s pentru t, avem pentru v 16.7 m/s.

Urmareza>>