Aula 1 - Mapa Logístico

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Para refletir:

Seria possível prever a evolução da população de uma espécie animal? Daria para prever sua extinção ou a estagnação em um determinado número de indivíduos? Estas questões preocupam tanto biólogos quanto economistas há vários séculos e desde então muitos modelos matemáticos foram criados para tentar respondê-las. O modelo criado por Robert May, o Mapa Logístico, apresenta comportamento periódico para determinados parâmetros e caótico para outros.

Vamos ver como isso é possível?

Teoria:

Uma das primeiras tentativas de prever o futuro de uma população animal a causar grandes polêmicas foi o modelo Malthusiano, de 1798. Thomas Robert Malthus (1766-1834), economista e demógrafo britânico elaborou um modelo linear onde o total da população dependia exclusivamente das taxas de natalidade (A), de mortalidade (B) e do número de indivíduos (N). A expressão matemática para este modelo é:

que é uma progressão geométrica.

Em 1845 Pierre François Verhulst (1804-1849), matemático belga, propôs um modelo não linear onde a mortalidade seria proporcional ao quadrado do número de indivíduos. Este modelo pode ser expresso pela equação diferencial:

onde N é o número de indivíduos, A é a taxa de nascimentos e B a taxa de mortalidade.

Dedução matemática:

O modelo de Verhulst foi retomado em 1976 por Robert May, porém, não em sua forma diferencial, mas em forma de mapa, onde cada valor é obtido a partir do valor anterior:

N₁ = AN₀ – B N₀²

N₂ = AN₁ – BN₁²

.          .          .

N_n+1 = AN_n – BN_n² (1)

O maior valor positivo de N será no limite onde a população será extinta.

 N_máx = 0   ou   N_máx = A/B

Dividindo (1) por esse valor:

x_n+1 = Ax_n – Bx_n².A/B

Fazendo:

A = μ

Chegamos à expressão do Mapa Logístico:

x_n+1=μx_n(1– x_n)  (2)

A equação (2), conhecida como mapa logístico, onde os valores de x representam porcentagens da população ao longo do tempo, é uma equação determinística: sua situação futura será determinada pelas condições presentes. O comportamento desse sistema pode ser periódico ou caótico, dependendo do valor de µ (Figura 1). O que chamou a atenção de May foi que para certos valores de µ o comportamento futuro desse mapa perde a regularidade e passa a ser altamente sensível às condições iniciais.

Na condição em que o comportamento do mapa logístico é periódico é fácil prever as condições futuras, pois obedecem a uma certa regularidade que, a longo prazo, se estabiliza na forma de um atrator. Mas, quando acontece o regime caótico, quaisquer variações nas condições presentes (condições iniciais) provoca grandes variações nas condições futuras. Como na prática é muito difícil definir com exatidão as condições iniciais, esse comportamento acaba comprometendo a previsibilidade do sistema: apesar de determinístico, torna-se imprevisível. O atrator perde qualquer regularidade, por isso é denominado atrator estranho. Veja um exemplo na seção Prática A.

Prática A:

Iteração do mapa logístico com o programa mapalog1.f no intuito de observar o atrator para diferentes valores de μ.

Figura 1 - Comportamento do mapa logístico para coeficientes diferentes: (a) μ = 2,9; (b) μ= 3,0; (c) μ = 3,7.

Conclusão A:            

Construção do diagrama do mapa logístico a partir do programa mapalog2.f para observar a rota de duplicação de período.

Figura 2 - Diagrama do mapa logístico

Alterar os parâmetros de um sistema dinâmico (no caso, o parâmetro μ), equivale, na prática, a construir vários sistemas dinâmicos diferentes, que obedecem a uma mesma relação matemática entre suas variáveis.
Neste diagrama estão representados apenas os pontos referentes aos atratores dos mapas logísticos, para diferentes valores de μ. Não estão representados os pontos do transiente!
Vemos que o atrator foi ficando cada vez mais complicado: para os valores de μ entre 2,0 e aproximadamente 2,9 é do tipo ponto fixo, na primeira bifurcação, acima de 3,0, é duplo ciclo até aproximadamente 3,4, onde já passam a ser 4 pontos de repetição, depois 8 e assim por diante... A cada bifurcação ocorre uma duplicação de período até o sistema entrar em regime caótico. Por isso essa rota para o Caos ficou conhecida como rota de duplicação de período.
Notamos também a existência de áreas claras na região onde estaria ocorrendo o comportamento caótico. Nessas "janelas" o mapa logístico volta a ter comportamento periódico!

Simulam o gráfico iteração versus tempo do mapa logístico:

http://www.geom.uiuc.edu/%7Emath5337/ds/applets/iteration/Iteration.html

http://theory2.phys.cwru.edu/%7Epete/java_chaos/LogisticApplet.html

Simula o diagrama orbital do mapa logístico:

http://theory2.phys.cwru.edu/%7Epete/java_chaos/AttractorApplet.html

Simula o diagrama orbital e a iteração versus tempo:

.../simulacoes/caos.htm