Aula 2 - Espaço de Fase

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Para refletir:

Para obter uma equação que possibilite descrever o comportamento futuro de um sistema dinâmico os cientistas estudam o comportamento do sistema para pequenos intervalos de tempo, constroem as equações diferenciais, utilizam métodos para integrar essas equações e chegam a uma solução, impondo as devidas condições de contorno.

Alguns sistemas, no entanto, se comportam de maneira tal que as equações diferenciais que os representa não podem ser solucionadas algebricamente. Neste caso se inscreve a maioria dos sistemas não-lineares, através dos quais o Caos se manifesta.

Como estudar o comportamento futuro de um sistema dinâmico quando não conseguimos solucionar algebricamente as equações diferenciais, ou seja, quando o sistema é não-integrável?

Veremos agora que é possível simular o comportamento do sistema atribuindo valores numéricos aos parâmetros envolvidos e representando-os no espaço de fase.

Teoria:

Espaço de fase é a representação das variáveis dinâmicas relevantes de um sistema. Uma trajetória no espaço de fase representa a evolução temporal do sistema, através da evolução temporal de suas variáveis relevantes. O espaço de fase é uma ferramenta útil na compreensão do comportamento dos sistemas.

Quando o sistema é não-integrável (não admite solução algébrica) podemos simular sua evolução temporal com o auxílio do computador, realizando uma integração numérica, e representar essa evolução no espaço de fase.

Para exemplificar a utilização desta importante ferramenta, tomaremos dois sistemas dinâmicos de tempo contínuo elementares: o pêndulo simples e o pêndulo amortecido.

Pêndulo Simples:

Um corpo preso por um fio inextensível de massa desprezível, sob a ação exclusiva da força peso. As variáveis relevantes são a posição e a velocidade. As únicas forças externas atuantes são o peso atuando sobre o corpo e a tração do fio sobre o eixo de rotação. A força de tração não realiza trabalho, por ser ortogonal à trajetória do movimento, e a força peso é conservativa, portanto, o sistema é conservativo.

Pêndulo Amortecido:

Além da força peso, uma força de atrito proporcional à velocidade age sobre o sistema, provocando uma dissipação de energia que a longo prazo fará sessar o movimento. Trata-se de um sistema dissipativo.

Dedução matemática:

Sendo θ o ângulo entre o fio e um eixo vertical, direção da força peso, a componente responsável pelo torque de restauração da posição de equilíbrio do corpo será proporcional a senθ (componente ortogonal da força em relação ao fio). Aplicando a segunda lei de Newton para movimento angular neste caso teremos:

Fazendo a aproximação linear do termo de restauração para ângulos pequenos, a componente seno do peso fica aproximadamente proporcional ao próprio ângulo formado com a vertical em radianos, , e a equação diferencial do pêndulo simples torna-se linear. Adotando-se o valor 1 para os parâmetros fixos (comprimento do fio (l) e aceleração da gravidade (g)) teremos a seguinte equação de segunda ordem:

    ou    

é conveniente, para realizar a integração numérica pelo método de Euler, expressá-la através de um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem:

Portanto, o gráfico de  θ x ω será um círculo de raio a.

fazendo-se a aproximação linear , podemos novamente expressar em termos de equações diferenciais de primeira ordem:

Na seção Prática A o pêndulo simples será utilizado como um exemplo de sistema conservativo: 100 pontos iniciais distintos em Movimento Harmônico Simples (MHS).

Para verificarmos o que acontece entre os diversos pontos iniciais no espaço de fase quando há dissipação de energia recorreremos ao pêndulo amortecido, na seção Prática B.

Prática A:

Representa-se no espaço de fase o comportamento dinâmico de um sistema conservativo, o pêndulo simples, com o programa espacodefase1.f.

Figura 3 - Comportamento de um conjunto de 100 pontos em MHS no espaço de fase.

Conclusão A

Na Figura 3, um conjunto de 100 pontos com condições iniciais diferentes percorre um ciclo de um MHS. Foram registradas posições em intervalos regulares e representadas no espaço de fase, como fotos estroboscópicas. Quando o sistema é conservativo, como neste caso, a área ocupada pelo conjunto de pontos se mantém constante.

Como não há conflito entre dissipação e reposição de energia, o comportamento a longo prazo repete o comportamento a curto prazo, por isso não se define atrator para sistemas conservativos.

Prática B:

Com o programa espacodefase2.f observa-se o comportamento do atrator e a redução da área no espaço de fase.

Figura 4 - Comportamento de um conjunto de 100 pontos em movimento harmônico amortecido com q = 8,0.

Conclusão B:

No caso do pêndulo amortecido (Figura 4) vemos que a área ocupada pelo conjunto de condições iniciais vai diminuindo com o tempo, ou seja, a distância entre os pontos vai diminuindo e isso representa dissipação de energia.