Aula 3 - Pêndulo Amortecido Forçado

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Para refletir:

Vimos, na Aula 1, que o mapa logístico pode apresentar comportamentos diferentes modificando-se o valor do parâmetro µ. Será que outros sistemas, “bem comportados” para determinados parâmetros, podem se tornar caóticos para outros? É o que veremos acontecer com o pêndulo amortecido forçado.

Teoria:

A evolução temporal de um sistema dinâmico dissipativo apresenta um atrator: trajetória típica da evolução de um sistema dinâmico para um conjunto definido de parâmetros. Um exemplo bem evidente de sistema dissipativo é o pêndulo amortecido, estudado na Aula 2. Naquele caso, o atrator é do tipo ponto fixo: qualquer conjunto de condições iniciais leva o sistema a um único ponto no espaço de fase.

No entanto, um sistema dissipativo pode ser alimentado pela ação de uma força externa que lhe reponha a energia. Nesse caso, o atrator não será necessariamente um ponto fixo. Um movimento com essas características poderá ter um comportamento periódico, quase-periódico ou caótico.  Se o comportamento for periódico, poderá apresentar um atrator do tipo ciclo limite. O comportamento quase-periódico determina outros tipos de atratores. Para certos parâmetros poderá ter comportamento caótico, cujo atrator é do tipo estranho.

É o que acontece com o Pêndulo Amortecido Forçado (PAF).

Dedução matemática:

Introduzindo ao pêndulo amortecido o torque de uma força periódica , com , onde ω_D é a freqüência angular de forçamento, a segunda lei de Newton para rotação deste movimento torna-se:

Que pode ser expressa pela equação adimensional:

onde g é o parâmetro de forçamento e não pode ser confundido com a aceleração da gravidade. Em termos de equações de primeira ordem teremos, necessariamente, um sistema de três equações nas variáveis relevantes ,  e   :

Trata-se de um sistema tridimensional. A existência de fatores com seno e cosseno torna o sistema não-linear. Por apresentar essas duas características, esse sistema pode apresentar comportamento periódico ou caótico.

O comportamento periódico, com atrator do tipo ciclo limite, é atingido após um intervalo irregular, chamado transiente. Veja um exemplo na seção Prática A.

O comportamento caótico é caracterizado pela grande sensibilidade às condições iniciais. O atrator não manifesta nenhuma regularidade: é estranho. Veja o exemplo na seção Prática B.

Prática A: Observar o transiente e o atrator do tipo ciclo limite com o programa pendulo1.f.

Figura 5 - Comportamento do Pêndulo Amortecido Forçado com ωd = 0,4; g = 0,5; q = 2,0; ilustrando o transiente do atrator tipo ciclo-limite para dois valores da posição inicial: (a) θ0 = – 0,1; ω0 = 0,04; (b) θ0 = 0,2; ω0 = 0,04.

Conclusão A:            

Mesmo partindo de posições iniciais diferentes (Figura 5 (a) e (b)), com transientes diferentes, o sistema se estabiliza no ciclo limite, que é o atrator do sistema para estes parâmetros (ω_d = 0,4, g = 0,5 e q = 2,0). Neste caso, o comportamento do sistema é periódico.

Prática B:

Observar a sensibilidade às condições iniciais do PAF, em comportamento caótico, com o programa pendulo2.f.

Figura 6 - Comportamento do pêndulo amortecido forçado com ωd = 2/3, g = 1,5 e q = 4,0. Dois pontos inicialmente muito próximos se distanciam rapidamente: (a) θ0 = - 0,6, ω0 = 0,5 e (b) θ0 = - 0,6, ω0 = 0,7.

Conclusão B:

O PAF pode apresentar comportamento caótico, com atrator estranho. Para certos parâmetros o comportamento dinâmico do PAF não se estabiliza num ciclo limite: a trajetória no espaço de fase, que é tridimensional, nunca se cruza. Em regime caótico o PAF apresenta grande sensibilidade às condições iniciais: pontos inicialmente próximos (Figura 6 (a) e (b)) se afastam rapidamente. Essas características se aplicam a todos os sistemas com comportamento caótico.