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Aula 6 - Expoente de Lyapunov

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Para refletir:

Será que existe uma maneira de medir o quanto caótico é o comportamento de um sistema dinâmico?

Seria possível medir a sensibilidade às condições iniciais?

Teoria:

Para medirmos o quão sensível é o sistema é necessário medirmos a taxa com a qual dois pontos muito próximos se distanciam mediante a evolução do sistema.

O matemático russo Alexander M. Lyapunov (1857-1918) desenvolveu um método de medida do afastamento entre dos pontos iniciais considerando que a taxa de aumento da distância entre  eles seja exponencial. A sensibilidade às condições iniciais de um sistema pode ser medida pelo expoente de Lyapunov.

Dedução matemática:

Por definição, adota-se a seguinte aproximação:

ε(n) ≈ εeλn

onde ε(n) é a distância entre os pontos na enésima medida e  λ é o expoente de Lyapunov.            

Se λ > 0 a distância irá aumentar, enquanto que, se λ < 0, irá diminuir.

No caso do mapa logístico, na enésima iteração entre duas posições distanciadas inicialmente de ε ocorre:

onde é a função iterada n vezes.

Tomando-se o logaritmo:

Para pequenos valores de ε essa expressão se torna:

Desenvolvendo-se a derivada obtém-se, pela regra da cadeia:

Aplicando-se a propriedade de logaritmo da multiplicação e tomando-se o limite para n tendendo a infinito:

Para o mapa logístico:

Se dois pontos iniciais muito próximos convergem para um atrator (λ < 0), o sistema não é sensível às condições iniciais, se a distância entre eles se mantém constante (λ = 0) o sistema está no limite e se os pontos se afastam exponencialmente (λ > 0) o sistema é sensível.

Prática:

Calculo do expoente de Lyapunov para o mapa logístico com o programa lyapunov.f.

Figura 12 - Expoente de lyapunov para diferentes valores de μ.

Conclusão:            

Para que haja o aumento da distância entre os pontos iniciais em virtude da iteração é necessário que o expoente de Lyapunov seja positivo.

Observando-se o gráfico da Figura 12 vemos que o expoente de Lyapunov só é positivo para determinados valores de μ.

Quando o expoente é positivo ocorre o comportamento caótico.

Bibliografia:

BAKER, Gregory L.; GOLLUB, Jerry P. Chaotic dynamics: an introduction. Cambridge University Press, 1996.


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