Para refletir:
Por
quê a previsão do tempo é tão incerta? Será que é apenas uma
limitação tecnológica? Será que um dia teremos uma previsão
segura com pelo menos um mês de antecedência? Se você leu
o texto
inicial deste mini-curso já tem uma idéia das respostas.
Nesta
aula iremos conhecer o famoso atrator que, por coincidência,
visto de uma certa perspectiva, tem a mesma forma do inseto
da metáfora que o consagrou: uma borboleta.
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Teoria:
Num
artigo
de 1963 intitulado “Fluxo Determinístico Não-periódico”
o matemático e meteorologista Edward Norton Lorenz estudou
um sistema de equações deduzidas inicialmente por Barry Saltzman
a partir das leis da termodinâmica e concluiu que a possibilidade
de previsão meteorológica é limitada pela própria natureza
do sistema.
O
sistema de equações de Lorenz consiste num modelo simplificado
do comportamento da atmosfera: simula o comportamento de um
fluido em um plano retangular, cuja temperatura do lado inferior
é maior que a do superior, gerando correntes de convecção.
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Dedução
matemática:
Este é
o sistema de equações de Lorenz:
dX/dt
= s.(Y – X)
dY/dt
= r.X – Y – X.Z
dZ/dt
= X.Y – b.Z |
Trata-se
de um sistema tridimensional, como o PAF,
onde:
- "X"
representa o fluxo convectivo;
- "Y"
a distribuição de temperaturas horizontal;
- "Z"
a distribuição de temperaturas vertical.
Os três
parâmetros que intervém nas equações são:
- "s"
relação entre a viscosidade e a condutividade térmica, ou
número de Prandtl;
- "r"
proporcional à diferença de temperaturas entre os
lados inferior e superior, ou número de Rayleigh reduzido;
- "b"
relação entre a altura e a largura do retângulo.
A dedução
completa deste sistema de equações você encontra aqui.
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| Além
de ser um sistema tridimensional, os produtos
X.Z e X.Y o tornam não-linear, condições necessárias
para a existência de comportamento caótico. |
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Prática:
Visualização
o atrator de Lorenz com o programa lorenz.f
a partir de dois pontos iniciais próximos.
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Figura
7
- Atrator de Lorenz no plano XZ, para os valores iniciais:
(a) X0 = 0,0; Y0 = 0,6; Z0
= 0,0;
(b) X0 = 0,0; Y0 = 0,6; Z0
= 1,0. |
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Conclusão:
Com
uma pequena variação dos dados iniciais (Figura 7 (a) e (b))
percebemos que a forma do atrator se mantém, no entanto, a
partir de algumas iterações as trajetórias passam a ser completamente
diferentes. Por ter sido deduzido a partir de leis físicas
que regem o comportamento dos fluidos, esse sistema simplificado
pode demonstrar a dificuldade de se fazer previsões para a
atividade atmosférica.
Todos
os sistemas em regime caótico, com sensibilidade às
condições iniciais, torna-se praticamente imprevisível,
pois é quase impossível, em condições
experimentais, determinar o valor exato das condições
iniciais.
Projetado
no plano XZ, como na figura 7, o atrator de Lorenz tem uma
forma que lembra uma borboleta.
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