Capítulo Sexto
Trucos sin Engaños
Contenido:
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El Arte del calculista Hindú
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Sin Abrir los Monederos
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Adivinar el Numero de Cerillos
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"Lectura de Pensamientos" Conforme a Cerillos
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Sistema de Pesas Ideal
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Predecir la Suma de Números no Escritos
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Sorpresa Aparente
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División Instantánea
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La Cifra Favorita
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Adivinar la Fecha de Nacimiento
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Una de las "Operaciones Favoritas" de Magnitski
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Adivinación de Números
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Curiosidades Aritméticas
1. El Arte del calculista Hindú
Los trucos aritméticos son trucos sin engaño, honestos. Aquí no se pretende
engañar, ni se trata de adormecer la atención del espectador. Para realizar un
truco aritmético no son necesarios ni una milagrosa destreza de manos, ni una
sorprendente agilidad De movimientos, ni cualesquiera otras capacidades
artísticas que, algunas veces, requieren prácticas de varios años. Todo el
secreto del truco aritmético consiste en el estudio minucioso y la utilización
de las propiedades interesantes de los números, con un íntimo conocimiento de
sus particularidades. Quien conoce la clave de un truco, se lo representa
sencillo y claro, mientras que, para quien desconoce la aritmética, una
operación ordinaria le parece, inclusive, una especie de truco.
Antiguamente, cuando la capacidad de efectuar aun las operaciones aritméticas
ordinarias con grandes números, conocidas ahora por todo escolar, constituía
el arte de unos cuantos, para los demás se mostraba como una capacidad
excepcional. En la antigua narración hindú "Nal y Damaianti" encontramos un eco
de tal punto de vista sobre las operaciones aritméticas.
Nal, que sabía manejar perfectamente caballos, acompañado en una ocasión del
calculista virtuosa Ritupern pasó delante del frondoso árbol de Vibitaka. De
repente el contador vio a los lejos el árbol Vibitaka de espeso follaje.
"Escucha, dijo, en la tierra nadie tiene todos los conocimientos: en el arte de
guiar caballos tú eres el primero, en cambio, yo lo soy en el arte de
calcular..."
Y en demostración de su arte el calculista instantáneamente determinó el número
de hojas en el frondoso Vibitaka. Al pedirle Nal, sorprendido, que le
confiriera el secreto de mi arte, Ritupern accedió.
"...lo que había hecho Ritupern, tal y como le dijo a Nal, consistía en contar
las hojas ramas, de Vibitaka, y multiplicar los números..."
El secreto arte consistía, como puede suponerse, en que el cálculo directo de
las hojas, que requiere cierto tiempo y paciencia, se substituía por el cálculo
del número de hojas de una sola rama y, por la multiplicación de este número
por el número de ramas de cada ramificación, y después por el número de
ramificaciones del árbol (suponiendo que todas las ramificaciones se
constituían idénticamente por ramas, y las ramas por hojas).
La clave de la generalidad de los trucos aritméticos es tan sencilla como el
secreto del "truco" de Ritupern. Basta sólo saber en qué consiste el secreto
del truco, e inmediatamente se aprende el arte de realizarlo, a la manera que
aprendió el legendario Nal por el sorprendente arte del cálculo rápido. En la
base de todo truco aritmético se halla una determinada particularidad
interesante de los números, por lo que el conocimiento de trucos semejantes
resulta tanto instructivo, como recreativo.
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2. Sin Abrir los Monederos
El prestidigitador esparce sobre la mesa un montón de monedas por la suma de 3
rublos, y presenta el problema: distribuir el dinero en 9 monederos, de tal
modo que se pueda pagar cualquier suma hasta 3 rublos, sin abrir los monederos.
Esto puede parecer completamente irrealizable. Pero no se piense que el
prestidigitador preparó una trampa a partir del juego de palabras o de su
inesperada, interpretación.
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Figura 39.
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Obsérvese: el propio prestidigitador se pone a trabajar. Distribuyendo las
monedas en los monederos, y sujetando a cada uno, una etiqueta con la
designación de la cantidad colocada (ver fig. 39), él propone que se determine
cualquier suma que no exceda los 3 rublos.
Se nombra la primera que viene a la mente: 2 rudos 69 kopeks.
Sin tardanza, el prestidigitador elige y entrega 4 monederos. Al abrirlos se
halla:
en uno
en otro
en un tercero
en un cuarto
Total
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64 k
45 k
1r.28 k
32 k
2r.69 k
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Uno está predispuesto a sospechar del prestidigitador en cuanto al hábil
cambio, de monederos, y reclama la repetición del truco. Para esto, se ponen
todos los monederos bajo nuestra custodia, y cuando se nombra una nueva suma,
por ejemplo, 1 rublo, ó 7 kopeks, ó 2 r. 93 k., aquel indicara rápidamente
cuáles de los monederos, que se tienen bajo el brazo se deberán tomar, para que
se forme la suma enunciada. A saber:
-
Para un rublo, 6 monederos (32 kopeks, 1k., 45k., 16k., 2 k., 4 k.,)
-
Para 7 kopeks, 3 monederos (1 k., 2 k., 4 k.)
-
Para 2 rublos 93 kopeks, 6 monederos (1r. 28 k., 32 k., 8 k., 45 k., 64 k., 16
k.)
Conforme al deseo del prestidigitador, los monederos resultan siempre adecuados
para constituir cualquier suma nombrada (hasta 3 rublos). ¿Cómo se explica esto?
El secreto radica en distribuir el dinero en la siguiente forma: 1 k., 2 k., 4
k., 8 k., 16 k., 32 k., 64 k., 1 r. 28 k. el dinero restante en el último
monedero, es decir, 300,
(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) = 300 - 255 = 45 k.
Con los primeros 8 monederos, como es fácil convencerse, se puede formar
cualquier suma desde 1 hasta 255 kopeks; si se da una suma mayor, entonces se
entrega el último monedero con 45 kopeks, y la diferencia se forma de los
primeros ocho monederos.
Se puede verificar la utilidad de tal agrupamiento de números haciendo
bastantes ensayos, y convencerse de que a partir de ellos se puede
efectivamente constituir todo número que no exceda de 300. Pero quizá interese
también por qué razón la serie de números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. posee
tan extraordinaria propiedad. Es fácil de comprender esto, si se recuerda que
los números de nuestra serie representan potencias del número 2:
2
0
, 2
1
, 2
2
, 2
3
, 2
3
etc
y por consiguiente se pueden considerar como órdenes del sistema binario de
numeración; y puesto que todo número se puede escribir en el sistema binario,
entonces es posible para todo número el que se forme en base a una suma de
potencias de 2, es decir, de números de la serie 1, 2, 4, 8, 16, etc. Y cuando
se toman monedas para formar, en base a ellos, el contenido del número dado, en
esencia, se expresa dicho número en el sistema binario de numeración. Por
ejemplo, el número 100 se forma fácilmente, si se le representa en el sistema
binario:
Recordemos que, en el sistema binario, el primer lugar desde la derecha lo
ocupan las unidades, el segundo los doses, el tercero los cuatros, y así
sucesivamente.
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3. Adivinar el Numero de Cerillos
La propiedad del sistema binario se puede utilizar también para el siguiente
truco: Propóngase a cualquiera, colocar sobre una mesa una caja de cerillos,
incompleta y que, en línea con ella y a su izquierda, se coloquen 7 papelillos
de forma rectangular. Después, ausentándonos, pidamos que se haga lo siguiente:
dejando la mitad de cerillos en la caja, que se traslade la otra mitad al
papelillo más próximo; si el número de cerillos es impar, el cerillo excedente
se coloca al lado del papelillo. Es necesario dividir en dos partes iguales los
cerillos que se encuentran sobre el papelillo (no tocando al que se halla
junto): una mitad se coloca en la caja y la otra se pone en el siguiente
papelillo; en el caso de un número impar, el cerillo que queda se pone, junto
al segundo papelillo. Después se procede en igual forma, restituyendo cada vez,
de vuelta a la caja, la mitad de cerillos y la otra mitad poniéndola sobre el
siguiente papelillo, sin olvidar colocar un cerillo a un lado cuando se
presente un número impar.
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Figura 40. Adivinación del número de cerillos. Acciones sucesivas del que
propone
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Al final, todos los cerillos, salvo los que se hallan junto a los papelillos,
se restituyen a la caja (ver figs. 40 y 41).
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Figura 41. Continuación del truco: aspecto final de los papelillos
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Cuando se haya hecho esto, uno se presenta en la habitación y, echando una
mirada sobre los papelillos vacíos, nombra el número total de cerillos.
¿Cómo se puede, conforme a los papelillos vacíos y a los singulares cerillos
fortuitos, adivinar el número inicial de cerillos en la caja?
Estos papelillos "vacío", en el caso dado, son muy elocuentes: conforme a ellos
y a los cerillos singulares se puede literalmente leer el número buscado,
porque está escrito, sobre la mesa, en el sistema binario de numeración.
Aclaremos esto con un ejemplo.
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Figura 42. Otro caso de adivinación. Principio del truco
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Supóngase que el número de cerillos en la caja es 66. Las operaciones sucesivas
con ellos y el aspecto final de los papelillos están mostrados en los esquemas
de las Figs. 40 y 41.
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Figura 43. Final del truco
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No es difícil darse cuenta de que las operaciones efectuadas con los cerillos,
en esencia, son las mismas que hubiésemos realizado de haber querido determinar
el número de cerillos de la caja, en el sistema binario de numeración; el
esquema final representa directamente este número en el sistema binario si los
papelillos vacíos se adoptan como ceros, y los papeles con un cerillo al lado,
como unidades. Leyendo el esquema de izquierda a derecha, obtenemos:
en el sistema decimal:
64 + 2 = 66
Si hubiera 57 cerillos, los esquemas serían los correspondientes a las figuras
42 y 43.
El número buscado, escrito en el sistema binario es:
Y en el sistema decimal:
32 + 16 + 8 + 1 = 57.
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4. "Lectura de Pensamientos" Conforme a Cerillos
La tercera variante del mismo truco representa, en sí, un método singular de
adivinación de un número pensado, conforme a cerillos. El que piense el número,
deberá dividirlo mentalmente por la mitad; esta mitad obtenida otra vez por la
mitad, y así sucesivamente (de un número impar se quita una unidad), y en cada
división debe colocar ante sí un cerillo, conforme a lo largo de la mesa si
divide un número par, y transversalmente si llega a dividir un número impar. Al
final de la operación se obtendrá un dibujo como el mostrado en la Fig. 44.
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Figura 44. Adivinación del número pensado conforme a cerillos: lo que hace el
que propone
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Se fija la mirada en esta figura, y se nombra correctamente el número pensado:
137
¿Cómo se llega a saber?
El método resulta claro por sí mismo, si en el ejemplo elegido (137)
sucesivamente se indica junto a cada cerillo, el número en cuya división aquel
hubiese sido determinado (Fig. 45).
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Figura 45. El secreto del truco: lo que hace el adivinador
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Ahora, puesto que el último cerillo en todos los casos denota el número 1, hay
que partir de él para, a través de las divisiones precedentes, llegar hasta el
número inicialmente pensado. Por ejemplo, de acuerdo con la figura 46 se puede
calcular que el número pensado era el 664.
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Figura 46. ¿Qué número está representado aquí?
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En efecto, realizando las duplicaciones sucesivamente (empezando desde el
final) y no olvidando agregar, donde sea necesario, la unidad, obtenemos el
número pensado (ver Fig. 47).
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Figura 47. Respuesta al problema de la figura 46
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De esta manera haciendo uso de los cerillos, se sigue el curso de los
pensamientos ajenos, y se restablece toda la cadena de cálculos.
EL mismo resultado se puede obtener en otra forma considerando que, el cerillo
que se halla en posición horizontal, deberá corresponder en el sistema binario
al cero (la división entre 2 no da residuo), y el que se halla en posición
vertical, a la unidad.
Así, en el primer ejemplo (figs. 44 y 45) tenemos el número (leyendo el dibujo
de derecha a izquierda)
o, en el sistema decimal:
128 + 8 + 1 = 137.
Y en el segundo ejemplo (fig. 46) el número pensado se representa en el sistema
binario en la forma siguiente:
o en el sistema decimal:
512 + 128 + 16 + 8 = 664.
Trátese de conocer qué número se pensó si se ha obtenido el dibujo de la Fig.
48.
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Figura 48. ¿Qué número está representado en esta figura?
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Esto es fácil. Al número "100101" en el sistema binario, le corresponde en el
decimal:
32 + 4 + 1 = 37
Es necesario observar que la unidad obtenida en la última división, deberá ser
indicada, también, por un cerillo en posición vertical.
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5. Sistema de Pesas Ideal
Quizá en ciertos lectores ya ha surgido una pregunta:
¿por qué, para la realización de las experiencias antes descritas, empleamos
precisamente el sistema binario? Puesto que todo número se puede representar en
cualquier sistema, entre otros también en el decimal, ¿qué explica aquí la
predilección por el binario?
Esto se explica debido a que en este sistema, además del cero, se utiliza sólo
una cifra más: la unidad, y por consiguiente, el número se constituye de
diferentes potencias de 2, tomando sólo una cada vez. Si en el truco con los
monederos distribuyéramos el dinero, por ejemplo, conforme al sistema quinario,
entonces podría formarse cualquier suma sin abrir los monederos, pero solamente
en el caso en que cada uno de los monederos que tenemos se repitiese no menos
de 4 veces (en el sistema quinario se emplean, además del cero, 4 cifras).
Por otra parte, ocurren casos en los que, para semejantes menesteres, es más
conveniente usar no el binario, sino el ternario, un poco modificado. Aquí
viene al caso el antiguo famoso "problema sobre las pesas" que puede servir de
tema, también, para un truco aritmético.
Supóngase que uno se ha propuesto inventar un juego de 4 pesas, por medio de
las cuales sea posible pesar cualquier número entero de kilogramos, desde 1
hasta 40. EL sistema binario determina el juego:
1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg, 16 kg.
con el que se pueden pesar todas las cargas comprendidas entre 1 y 31 kg Pero
esto, evidentemente, no satisface las condiciones requeridas, ni por lo que se
refiere al número, ni por lo referente a la carga límite (31 kg en lugar de 40
kg). Por otro lado, no se ha empleado aquí la posibilidad de colocar pesas, no
solamente sobre un platillo de pesos, sino sobre el otro también; es decir,
además de que se pasa por la suma de pesas, también se pasa por su diferencia.
Lo último da combinaciones mucho más diversas, por lo que uno se pierde
completamente en búsquedas, no pudiendo poner aquellas en cualquier sistema.
Si no se tiene la suerte de caer en el camino correcto, estará uno preparado
dudosamente, en general, para la resolución del problema con un número pequeño
de pesas, como es cuatro.
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Figura 49. Con la ayuda de estas cuatro pesas se puede pesar cualquier carga
comprendida entre 1 y 40 kilogramos.
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Un iniciado sale de esta dificultad, con una sencillez pasmosa, proponiendo las
4 siguientes pesas (Fig. 49)
1 kg, 3 kg, 9 kg, 27 kg
Cualquier número entero de kilogramos, hasta 40 kg, se puede pesar con tales
pesas; colocándolas en uno o en ambos platillos de pesos (ver la siguiente
tabla).
No proporcionamos ejemplos, porque es fácil que cada uno por sí mismo, se dé
cuenta de la completa utilidad de tal, juego de pesas, para nuestro objetivo.
Analicemos con detenimiento el por qué precisamente la serie indicada posee
esta propiedad. Probablemente, los lectores ya observaron que estos números son
la serie de potencia con base 3:
3
0
, 3
1
, 3
2
, 3
3
Así pues, habremos de recurrir al sistema ternario de numeración. Las pesas son
cifras de este sistema ternario. ¿Pero cómo puede aprovecharse dicho sistema,
cuando un peso deseado se obtiene en la forma de una diferencia de dos pesas?;
¿y cómo evitar la necesidad de retornar al duplicamiento de pesas (en el
sistema ternario, además del cero, se emplean dos cifras: 1 y 2)?
Lo último se logra por la introducción de cifras "negativas". El hecho conduce,
sin más, a que en lugar de la cifra 2 se emplee 3 - 1, es decir, la unidad del
orden superior, a la cual se le resta una unidad del orden inferior. Por
ejemplo, el número 2 en nuestro sistema ternario modificado no se denota por el
2, sino por el
, en donde el signo menos, arriba de la cifra de las unidades, significa que
esta unidad no se suma, sino se resta. En la misma forma, el número 5 se
representa no por 12, sino por
(es decir, 9, 3, 1 = 5).
Ahora está claro que, si cualquier número se puede representar en el sistema
ternario por medio del cero (es decir, por el signo de carencia de número) y de
una sola cifra solamente, precisamente con una unidad sumada o restada,
entonces de los números 1, 3, 9, 27 se puede, sumándolos o restándolos, formar
todos los números desde el 1 hasta el 40. Ciertamente, escribimos todos estos
números empleando pesas en lugar de cifras. El caso de la adición corresponde,
en el acto de pesar, al caso en que las pesas se colocan sobre un platillo; y
el caso de la substracción, cuando parte de las pesas se ponen sobre un
platillo con mercancía, y por consiguiente, el peso de estas se resta del peso
de las demás pesas. El cero corresponde a la ausencia de pesas.
Como se sabe, este sistema no se emplea en la práctica. Por doquier en el
mundo, donde esta adoptado el sistema métrico de medidas se usa un juego de 1,
2, 2, 5 unidades, y no de 1, 3, 9, 27, aunque con el primero se pueden pesar
cargas solamente hasta 10 unidades, y en el segundo hasta 40. El juego 1, 3, 9,
27 no se usaba tampoco cuando el sistema métrico todavía no se adoptaba. ¿Cuál
es la causa de la renuncia en la práctica, a este sistema de pesas que parecía
el más perfecto?
La razón es que el sistema de pesas ideal es conveniente sólo en el papel, pues
su empleo en la práctica es dificultoso. Si se pesara solamente un número dado
de unidades de peso, por ejemplo, 400 gr. de mantequilla o, 2500 gr. de azúcar,
el sistema de pesas consistente en 100, 300, 900, 2700 podría ser empleado en
la práctica (aunque también allí se tendría que buscar largamente, cada vez, la
combinación decisiva). Pero cuando se tenga que determinar cuánto pesa una
mercancía dada, entonces semejante sistema de pesas se muestra muy
inconveniente: aquí, frecuentemente, con motivo de la adición de una unidad a
las pesas suministradas, se produce una substitución total de la combinación
anterior, por otra nueva. Bajo tales condiciones, el acto de pesar se convierte
en una cuestión extremadamente lenta y además muy fatigosa. No todos se dan
cuenta rápidamente de que, por ejemplo, el peso de 19 kg, se obtiene si en un
platillo se colocan las pesas de 27 kg y 1 kg, y sobre el otro platillo, 9 Kg;
el peso de 20 Kg, si sobre un platillo se ponen las pesas de 27 kg y 3 kg, y
sobre el otro, 9 kg y 1 kg En cada acción de pesar se puede caer en el problema
de resolver rompecabezas semejantes. El sistema de pesas 1, 2, 2, 5, no conduce
a tales dificultades.
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6. Predecir la Suma de Números no Escritos
Uno de los "números" más sorprendentes, entre los realizados por el prodigioso
calculista soviético R. S. Arrago, es la adición con la rapidez del rayo, con
sólo una ojeada de una columna completa de números de varias cifras.
¿Pero qué decir sobre un hombre que puede escribir la suma, aún antes de que le
sean nombrados todos los sumandos?
Esto naturalmente, es un truco, y se efectúa en la siguiente forma:
El adivinador propone escribir cualquier número de varias cifras; lanzando una
mirada sobre este primer sumando, el adivinador escribe en un pedazo de papel
la suma de toda la futura columna de tres sumandos, y la transmite a alguien,
en depósito. Después de esto, pide al mismo, o a otro de los asistentes,
escribir un nuevo sumando cualquiera. Y él mismo, enseguida, escribe
rápidamente el tercer sumando. Se suman los tres números escritos y se obtiene,
justamente, el resultado que fue escrito con anterioridad por el adivinador, en
el papel que se ha guardado en depósito.
Si por ejemplo, se escribió en primer lugar 83267, entonces el adivinador
escribe la suma futura: 183266. Después se escribe, supongamos, 27935 y el
adivinador escrita el tercer sumando 72064:
I
III
IV
II
|
Alguien
Alguien
EL adivinador
Suma
|
83.267
+ 27.935
72.064
183.266
|
Se obtiene exactamente la suma predicha, aún cuando el adivinador no podía
saber cuál seria el segundo sumando. El adivinador puede predecir también, una
suma de 5 ó 7 sumandos, pero entonces él mismo escribe dos o tres de ellos. No
se pueden tener sospechas sobre algún cambio del papel con el resultado, puesto
que hasta el último momento se conserva en el bolsillo del depositario.
Evidentemente, el adivinador emplea una cierta propiedad de los números,
desconocida por uno. ¿Cuál es?
EL adivinador hace uso de la propiedad de que, de la adición de 5 nueves
(99.999) a un número de cinco cifras, este número se incrementa en 100.000 - 1,
es decir, antepuesta, a él aparece una unidad, y la última cifra se ve
disminuida por otra unidad. Por ejemplo:
Esta suma, es decir, la suma del primer número escrito por nosotros y de 99
999, el adivinador precisamente la escribe sobre el pedazo de papel que
depositará como el resaltado futuro de la adición; y para que dicho resultado
se justifique, él, viendo nuestro segundo sumando., elige su tercer sumando en
tal forma que, conjuntamente con el segundo, constituya el 99 999: es decir,
resta de 9 cada cifra del segundo sumando. Estas operaciones, fácilmente las
puede uno observar en el ejemplo anterior y también en los siguientes:
I
III
IV
II
|
Alguien
Alguien
El adivinador
Suma
|
379.264
4.873
995.126
1.379.263
|
I
III
IV
II
|
Alguien
Alguien
El adivinador
Suma
|
9.035
5.669
4.330
19.034
|
Resulta difícil adivinar una suma si el segundo sumando contiene mayor cantidad
de cifras que el primero, ya que el adivinador no podrá escribir un tercer
sumando que, disminuyendo al segundo, sea capaz de reducir la suma para que dé
el número predicho. Esto sólo sería posible recurriendo a la substracción, lo
cual ya sale de los planes del truco. A causa de esto, un adivinador
experimentado deberá limitar previamente, la libertad de elección para el
segundo sumando, a esta condición.
El truco resulta más imponente, cuando en la invención de los sumandos
participan varias personas. Después del primer sumando, por ejemplo 437.692, el
adivinador ya predice la suma de los cinco números, y escribirá 2.437.690 (aquí
se agregará dos veces 999.999, es decir, 200 000 - 2). Todo lo demás es claro
debido al siguiente esquema:
I
III
V
IV
VI
II
|
Uno escribió
Otro escribió
Un tercero escribió
EL adivinador escribió
EL adivinador escribió
Suma
|
437.692
822.541
263.009
177.458
736.990
2.437.690
|
Tomemos otro ejemplo:
I
III
V
IV
VI
II
|
Uno escribió
Otro escribió
Un tercero escribió
EL adivinador escribió
EL adivinador escribió
Suma
|
7.400
4.732
9.000
5.267
999
27.938
|
A los lectores les resultará interesante ahora, conocer cómo está descrito el
mismo truco por el escritor soviético Shíshkov, en su novela "Los extraños":
"Iván Petrovich arrancó una hojita de su cuaderno de notas y dándosela a un
chico, le preguntó.
- ¿Tienes un lápiz? Escribe un número cualquiera.
EL niño escribió. Iván Petrovich vio el número, y escribió en otro papel un
número más.
- Ahora, escribe otro debajo de él. ¿Ya lo escribiste? Ahora yo escribiré un
tercer número. Ahora suma los tres números.
En dos minutos quedó lista la respuesta verificada. El ingeniero Voshkin
(sobrenombre del niño) mostró su cálculo:
46.853
+ 21.398
78.601
146.852
|
- Ciento cuarenta y seis mil ochocientos cincuenta y dos, Iván Petrovich.
- Sumaste en mucho tiempo. Aquí tengo la respuesta. Yo también la sabía, pero
desde que tú escribiste el primer numero. Helo aquí. Toma mi papel.
El niño vio incrédulo el papel en que Iván Petrovich había escrito el
resultado, y era exactamente el 146.852".
En la novela, el truco no va acompañado de la solución, pero para uno, es
completamente comprensible su sencilla hace aritmética.
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7. Sorpresa Aparente.
En el año 1916, durante el apogeo de la guerra imperialista, algunos periódicos
de la neutral Suiza se entretenían con una "adivinación" aritmética sobre el
destino futuro de los emperadores de Alemania y Austria. "Los profetas" sumaban
las siguientes columnas de números:
|
Para Guillermo II
|
Para Francisco José
|
año de nacimiento
|
1859
|
1830
|
año de llegada al trono
|
1888
|
1888
|
años de reinado
|
28
|
68
|
edad
|
57
|
86
|
Suma
|
3832
|
3832
|
En la coincidencia de las sumas, "los profetas" vieron un sombrío augurio para
los personajes coronados, y puesto que cada total representaba en sí, el doble
del año 1916, a ambos emperadores se les predijo la ruina, precisamente en
dicho año.
Mientras tanto, desde el punto de vista matemático la coincidencia de
resultados no es sorprendente. Basta modificar un poco el orden de los
sumandos, y resulta comprensible el por qué ellos dan en el total, el doble del
año 1916. En efecto, repartamos los sumandos en la siguiente forma:
-
Año de nacimiento
-
edad
-
año en que llegó al trono
-
años de reinado.
¿Qué deberá obtenerse, si al año de nacimiento se le agrega la edad? Sin duda,
la fecha del año en que se produce el cálculo. En la misma forma, si al año de
llegada al trono se le añade el número de años de reinado, se obtiene de nuevo
el año en que se realizan los cálculos. Es claro que el total de la adición de
nuestros cuatro sumandos no puede ser otro, que el doble del año de realización
del cálculo. Evidentemente, el futuro de los emperadores no depende en absoluto
de semejante aritmética.
Puesto que de lo indicado arriba no todos se dan cuenta, se puede aprovechar
esto para un truco aritmético recreativo. Propóngase a cualquiera escribir, a
escondidas de uno, cuatro números:
-
Año de nacimiento
-
Año de ingrese a la escuela (a la fábrica, etc.)
-
Edad
-
Años estudiando en la escuela (trabajando en la fábrica, etc.)
Uno puede ponerse a adivinar la suma de estos números, aunque ninguno de ellos
nos sea conocido. Para esto se duplica el año de realización del truco y se
anuncia el total. Si, por ejemplo, el truco se realiza en el año 1961, entonces
la suma será 3922. Para tener la posibilidad de realizar con éxito este truco
varias veces, sin revelar el secreto, uno obliga a los oyentes a efectuar sobre
la suma cualquier operación aritmética, encubriendo con esto, el método.
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8. División Instantánea
De la numerosa variedad de trucos de este género, describamos uno basado en una
propiedad, ya conocida por nosotros, del multiplicador que consiste de una
serie de nueves: cuando se multiplica por él un número con varias cifras, se
obtiene un resultado que consta de dos partes: la primera es, el número
multiplicado disminuido en una unidad; la segunda es, el resultado de la
substracción de la primera mitad respecto del multiplicador. Por ejemplo:
247
´
999 = 246.753
1.372
´
9999 = 13.718.628
La causa de esto se ve fácilmente del siguiente renglón:
247 x 999 = 247 x (1000 - 1) = 247.000 - 247 = 246.999 - 246.
Aprovechando esto, se propone a un grupo de camarada efectuar la división de
números de varias cifras: a uno 68 933 106 : 6894, a otro 8 765 112 348: 9999,
a un tercero 543 456:544, a un cuarto 12 948 705 : 1295, etc., y uno se pone a
tomar la delantera a todo: ellos, realizando los mismos problemas. Y antes de
que ellos se empiecen a ocupar del asunto, uno entrega ya a cada uno un
papelillo con el resultado correcto obtenido de la división: al primero 9999,
al segundo 87 652, al tercero 999, al cuarto 9999. Uno puede por si mismo, al
imaginar una serie de otros procedimientos, conforme al ejemplo indicado,
sorprender a tus no iniciados con la realización simultánea de la división:
para esto se aprovechan ciertas propiedades de aquellos números que se hallan
en la "Galería de las maravillas numéricas" (ver capítulo V).
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9. La Cifra Favorita
Propóngase a cualquiera, que le comunique su cifra favorita. Supongamos que le
han nombrado a uno la cifra 6.
-¡Es sorprendente!, exclama uno, Esta es justamente, una de las cifras
significativas más notables.
- ¿Por qué dicha cifra es notable?, se pregunta el interesado interlocutor.
- Lo es, por lo que verá Ud. enseguida: multiplique la cifra dada, por algún
número, por ejemplo 9; y el número obtenido (54) escríbalo como multiplicador
del número 12 345 679:
12 345 679
´
54
¿Qué se obtuvo en el producto?
Nuestro interlocutor efectúa la multiplicación, y con sorpresa obtiene el
resultado, que está constituido exclusivamente por su cifra favorita:
666 666 666.
Vea que fina percepción matemática tiene Ud., concluye uno, ¡Ud. supo elegir de
todas las cifras, justamente la que posee una propiedad tan notable!
Sin embargo, ¿cuál es la cuestión aquí?
Exactamente la misma refinada inclinación, se manifestaría en nuestro
interlocutor, si hubiera elegido alguna otra de las nueve cifras
significativas, porque cada una de ellas posee esa propiedad:
12 345 679
´
4
´
9 = 444 444 444
12 345 679
´
7
´
9 = 777 777 777
12 345 679
´
9
´
9 = 999 999 999
Por qué razón esto es así, uno lo comprende, si se recuerda que se habló sobre
el número 12 345 679 en la "Galería de maravillas numéricas".
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10. Adivinar la Fecha de Nacimiento
Los trucos que se relacionan con esta categoría, pueden ser modificados en
diversas formas. Yo describo una de las especies de este truco, demasiado
complicado, pero que precisamente por eso motiva un gran efecto.
Supongamos que Ud. nació el 18 de mayo y que ahora tiene 23 años. Yo,
naturalmente, no conozco ni la fecha de vuestro nacimiento, ni vuestra edad.
Sin embargo yo me pongo a adivinar eso, forzando a Ud. a realizar una cierta
serie de cálculos,
A saber: Yo le pido a Ud. que multiplique el número de orden del mes (mayo, 5º
mes), por 100; que agregue al producto el día del mes (18); que duplique la
suma, al resultado le añada 8, el número obtenido lo multiplique por 5, al
producto le agregue 4, multiplique el resultado por 10, le sume 4, y al número
obtenido le agregue vuestra edad (23).
Cuando Ud. haya realizado todo esto, me comunica el resultado final de los
cálculos. Yo resto de él 444, y la diferencia la distribuyo en grupos de
derecha a izquierda, conforme a 2 cifras en cada uno: Obtengo simultáneamente
tanto el día y el mes de vuestro nacimiento, como vuestra edad.
En efecto, realicemos sucesivamente todos los cálculos indicados:
5
´
100 = 500
500 + 18 = 518
518
´
2 = 1 036
1 036 + 8 = 1 044
1 044
´
5 = 5 220
5 220 + 4 = 5 224
5 224
´
10 = 52 240
52 240 + 4 = 52 244
52 244 + 23 = 52 267
|
Efectuando la resta 52 267 - 444, obtenemos el número 51 823.
Ahora, dividamos este número en grupos de dos cifras, de derecha a izquierda:
5, 18, 23,
es decir, 5º mes (mayo); número del día, 18; edad 23 años.
¿Por qué obtuvimos este resultado?
Nuestro secreto es fácil de entender tras considerar la siguiente igualdad
{[(100m + t)
´
2 + 8]
´
5 + 4}
´
10 + 4 + n - 444 =
= 10000m + 100t + n.
Aquí la letra m denota el número de orden del mes, t el día del mes, n la edad.
El primer miembro de la igualdad expresa todas las operaciones realizadas
sucesivamente por Uds., y el segundo miembro, lo que se obtiene, si se eliminan
paréntesis y se realizan las simplificaciones posibles. En la expresión
10 000 m + 100 t + n
ni n, ni m, ni t pueden ser números con más de dos cifras; por tal razón, el
número que se obtiene en el resultado, deberá siempre, en la división en
grupos, con dos cifras cada uno, descomponerse en tres partes expresadas por
los números buscados m, t y n.
Dejamos a la inventiva del lector el imaginar modificaciones del truco, es
decir, otras combinaciones de operaciones que den un resultado semejante.
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11. Una de las "Operaciones Favoritas" de Magnitski
Propongo al lector descubrir también, el secreto del siguiente sencillo truco,
que fue descrito ya en la "Aritmética" de Magnitski, en el capítulo "Sobre
ciertas operaciones recreativas utilizadas en aritmética".
Consistía en dar a ocho hombres, (designados por los números del 1 al 8) un
anillo, para que uno de ellos, sin mostrarlo, se lo pusiera en una de las tres
articulaciones de uno de los dedos. Por ejemplo, el anillo quedaría en la
segunda articulación del dedo meñique (es decir, el 5º dedo) del 4º hombre. Se
preguntaba: ¿En cuál de los ocho hombres, en qué dedo y en cuál articulación
del dedo se encuentra el anillo?. y enseguida, en ausencia del adivinador se
debían hacer las siguientes operaciones:
|
Figura 50. Truco matemático de la Aritmética de Magnitski. Se ha reproducido el
grabado como aparece en la obra mencionada, con las palabras escritas en ruso
antiguo, y que significan sucesivamente, de arriba hacia abajo: persona: -
multiplique: - sume: - multiplique: - sume el numero del dedo: - multiplique: -
sume el numero 2 de la articulación
|
"El número del hombre que tenga el anillo, multiplicarlo por 2; al resultado,
sumarle 5, y multiplicar por 5 la suma: agregar el número del dedo en que está
el anillo, y multiplicar el resultado por 10; agregar el número de la
articulación.
Este resultado se debe dar al hombre que no había visto lo anterior. EL,
después de restar a este número 250, obtiene 452, es decir, 4
to
hombre, 5
to
dedo, 2
ª
articulación".
No necesitamos decir que este truco ya era conocido 200 años atrás; problemas
como éste habían sido planteados por Bashede-Maziriaka en sus "Problemas
numéricos instructivos y recreativos", en el año 1612; y aún antes, por
Leopardo Pisano (Fibonacci) (año 1202). En general, se puede decir que muchos
de los juegos matemáticos, rompecabezas y acertijos, que se practican en
nuestro tiempo, tienen un origen muy antiguo.
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12. Adivinación de Números
Finalmente, sin preguntarle nada a Ud., yo adivino el resultado que se obtiene
en el total de cálculos efectuados con un número pensado.
Piense cualquier cifra, excepto el cero. Multiplíquela por 37. Lo obtenido
multiplíquelo por 3. Borre la última cifra del producto, y el número que quede
divídalo por el número pensado inicialmente no habrá resto.
Yo le puedo decir qué número obtuvo Ud., aunque todo esto lo escribí mucho
tiempo antes de que Ud. procediera a la lectura del libro.
Ud. obtuvo el número 11.
La segunda vez hagamos el truco en otra forma. Piense un número de dos cifras.
Escriba a la derecha de él el mismo número otra vez. El número de cuatro cifras
obtenido divídalo entre el número pensado: la división se realiza sin resto.
Sume todas las cifran del cociente. Ud. obtuvo 2.
Si no es así, verifique cuidadosamente sus cálculos y se convencerá de que se
equivocó Ud., y no yo.
¿Cuál es la clave de estos, trucos?
Clave: Nuestro lector ahora ya está suficientemente experimentado en el
desciframiento de trucos, y no requiere de mis largas explicaciones. En la
primera prueba de adivinación, el número pensado se multiplicó inicialmente por
37, después por 3.
Pero 37 x 3 = 111, y multiplicar una cifra por 111 equivale a constituir un
número por tres cifras idénticas (por ejemplo, 4 x 37 x 3 = 444). Qué hicimos
después? Borramos la última cifra y, por consiguiente, se obtuvo un número de
dos cifras idénticas (44) el que naturalmente, debería dividirse por la cifra
pensada, y dar 11 como cociente.
En la segunda prueba, el número pensado de dos cifras, lo escribimos dos veces:
por ejemplo, pensando 29, se escribió 2929.
Esto es completamente igual a multiplicar el número pensado por 101 (en efecto,
29 x 101 = 2929). Como esto yo lo se, puedo con justeza prever que de la
división de tal número de cuatro cifras entre el número pensado, se obtiene 101
y que, por consiguiente, la suma de las cifras del cociente (1 + 0 + 1) es
igual a 2.
Como se ve, la adivinación está basada en las propiedades de los números 111 y
101, por lo que estamos en el derecho de colocar ambos números en nuestro museo
aritmético.
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13. Curiosidades Aritméticas
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