Sistemas No-decimales de Numeración

Contenido:
1. Autobiografía enigmática
2. El sistema de numeración más sencillo.
3. ¿Par o impar?
4. Problemas instructivos.
5. Fracciones sin denominador
6. Curiosidad Aritmética

¿Qué aclara las extraña contradicciones en los números de este fragmento?

La resolución del problema se sugiere por el nombre de este capítulo: un sistema no decimal de numeración; he aquí la causa singular, de las aparentes contradicciones de los números citados. Procediendo sobre la base de este pensamiento, no es difícil darse cuenta del sistema de numeración en que están representados los números del original matemático. El secreto se releva por la frase: "después de un año (luego de los 44 años de edad) como un hombre joven de 100 años"...; si a partir de la adición de una unidad el número 44 se transforma en 100, significa que la cifra 4 es la mayor en este sistema (como el 9 lo es en el decimal), y por consiguiente, la base del sistema es el 5. Al excéntrico matemático se le ocurrió la fantasía de escribir todos los números de su biografía en el sistema quinario de numeración ( El sistema quinario de numeración tiene cinco cifras básicas (0,1,2,3, y 4) y se caracteriza porque el número 5 es ya un número de dos cifras, que se representa por la unidad en el orden de las "quinarias" y, el cero en el orden de las unidades, (N. del T.) ), es decir, aquel en el cual la unidad de un orden superior no es 10 veces, sino 5 veces mayor que la unidad de un orden inmediato inferior: en el primer lugar de la derecha se hallan, en él, las unidades simples (no mayores que el cuatro), en el segundo, no las decenas, sino las "quinarias"; en el tercero no las centenas, sino las "vigesimoquinarias" y así sucesivamente. Por tal razón, el número "44" representado en el texto de la escritura denota, no 4 x 10 + 4, como en el sistema decimal sino 4 x 5 + 4, es decir, veinticuatro. En la misma forma, el número "100" en la autobiografía representa una unidad de tercer orden en el sistema quinario, es decir, 25. Los restantes números de la escritura denotan correspondientemente:

Restituyendo el significado verdadero de los números de la escritura, vemos que en ellos no existen contradicciones de ningún tipo.

"Acabé mis estudios en la universidad a los 24 años. Después de un año, siendo un joven de 25 años, me casé con una muchacha de 19 años. La insignificante diferencia de edades, 6 años, que había entre nosotros, hacía que tuviéramos sueños y aspiraciones comunes. Después de algunos años, ya tenía yo una pequeña familia de 5 niños. De salario percibía en total, al mes, 50 rublos, de los cuales 1/5 parte la empleaba mi hermana, por lo que nosotros y los niños vivíamos con 40 rublos al mes".

¿Es difícil representar los números en otros sistemas de numeración? En absoluto. Supongamos que se desea representar el número 119 en el sistema quinario. Se divide 119 entre 5, para saber cuántas unidades de primer orden caben en él:

Lo que significa que el número de unidades simples será 4. Además, 23 "quinarias" no pueden estar totalmente en el segundo orden, puesto que la cifra mayor en el sistema quinario es el cuatro, y unidades más grandes que cuatro no pueden existir en un solo orden. Luego, dividamos 23 entre 5:

Esto muestra que en el segundo orden ("de los cincos") estará la cifra 3, y en el tercero ("de los veinticincos") el 4.

Así, 119 = 4 ´ 25 + 3 ´ 5 + 4, o, en el sistema quinario "434".

Las operaciones realizadas, para comodidad, se disponen en la forma siguiente:

Las cifras en negritas (en la escritura se las puede subrayar) se escriben de derecha a izquierda y, simultáneamente, se obtiene la representación buscada, del número en otro sistema.

Pongamos aún otros ejemplos:

Ejemplo 1: Representar 47 en el sistema ternario.

Resolución:

Respuesta: "1202".

Verificación: 1 ´ 27 + 2 ´ 9 + 0 ´ 3 + 2 = 47.

Ejemplo 2: Representar 200 en el sistema septenario.

Resolución:

Respuesta: "404".

Verificación: 4 ´ 49 + 0 ´ 7 + 4 = 200,

Ejemplo 3: Representar el número 163 en el sistema duodecimal:

Resolución:

Respuesta: "117".

Verificación: 1 ´ 144 + 1 ´ 12 + 7 = 163.

Ahora el lector no tiene dificultad en representar cualquier número en un sistema de numeración deseado. El único obstáculo puede surgir, solamente, a consecuencia de que en ciertos casos no se encontraran notaciones para las cifras. En efecto, en la representación de números en sistemas con una base mayor que diez, por ejemplo, en el duodecimal puede presentar la necesidad en las cifras "diez" y "once". Fácilmente se sale de esta dificultad eligiendo, para las nuevas cifras, cualesquiera signos o letras condicionales, por ejemplo, las letras K y L que se hallan en los lugares 10° y 11° en el alfabeto ruso ( En el alfabeto español, los lugares 10º y 11º estás ocupados por las letras I y J. (N. del T.) ). Así, el número 1579 en el sistema duodecimal ( En el sistema duodecimal las cifras básicas con: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, 10 y 11. Por lo tanto, es necesario introducir dos nuevos símbolos para denotar las "cifras" diez y once. (N. del T). ) se representa en la forma siguiente:

Respuesta: "(10) (11)7", o IJ7 (según el alfabeto castellano).

Verificación: 10 ´ 149 + 11 ´ 12 + 7 = 1579.

Problema 1: Escribir el número 1926 en el sistema duodecimal.
Resultado Problema 1: "1146";

Problema 2: Escribir el número 273 en el sistema duodecimal.
Resultado Problema 2: "1109"

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Sin trabajo podemos notar que, en cada sistema, la mayor cifra que se utiliza es menor en una unidad que el número base del sistema. Así, en el sistema decimal, la mayor cifra es el 9; en el de base 6, el 5; en el ternario, el 2; en el de base l5, el 14, etc.

El sistema de numeración más sencillo es, naturalmente, aquel para el cual se requiere el menor número de cifras. En el sistema decimal son necesarias 10 cifras (considerando, también, al cero), en el quinario, 5 cifras, en el ternario, 3 cifras (0, 1 y 2), en el binario únicamente 2 cifras (1 y 0). ¿Existe un sistema "unitario"? Naturalmente: este sistema es aquel en el cual las unidades de todos los órdenes tienen idéntico valor. Este mismo "sistema" rudimentario lo empleaba el hombre primitivo, efectuando cortes en un árbol de acuerdo a1 número de objetos contados. Pero entre él y todos los otros sistemas de cálculo existe una enorme diferencia: carece de la principal ventaja de nuestra numeración (el llamado, valor posicional de las cifras). En efecto, en el sistema "unitario" un signo que se halle en el 3° ó 5° lugares, tiene el mismo valor que el que se encuentre en el primer lugar. Mientras que, aún en el sistema binario, la unidad en el 3 ^er , lugar (desde la derecha) es ya 4 (2 ´ 2) veces mayor que en el 1 ^er . lugar, y en el 5° lugar, 16 veces (2 ´ 2 ´ 2 ´ 2) mayor. Para la representación de cualquier número en el sistema "unitario" son necesarios exactamente tantos signos, como objetos sean contados: para escribir cien objetos, son necesarios cien signos: en el binario solamente siete ("1100100"); en el quinario, en total, tres ("400").

Es por esto que al sistema "unitario" es muy dudoso que se le pueda llamar "sistema"; por lo menos, no se le puede colocar junto a los restantes, puesto que se distingue fundamentalmente de ellos, en que no proporciona ninguna economía en la representación de los números. Si se le hace a un lado, entonces el sistema más sencillo de numeración resulta ser el sistema binario, en el que se emplean, en total, dos cifras: 1 y 0. ¡Por medio de la unidad y del cero se puede representar todo un conjunto infinito de números!

Para una numeración escrita y fija, este sistema es poco conveniente: se obtienen números excesivamente largos. El sistema binario es muy a adecuado en una serie de investigaciones teóricas. En los últimos tiempos el papel del sistema binario ha tornado gran preponderancia, puesto que se halla en la base de la producción de cálculo, en las máquinas computadoras electrónicas. Dicho sistema posee ciertas interesantes particularidades inherentes que a propósito, se pueden emplear para la realización de una serie de trucos matemáticos efectivos, sobre los cuales hablaremos detalladamente en el capítulo "Trucos sin engaño".

Nos hemos habituado a tal grado a las operaciones aritméticas, que las efectuamos automáticamente, casi sin reflexionar en lo que hacemos. Pero las mismas operaciones exigen de nosotros gran esfuerzo si deseamos aplicarlas a números escritos en un sistema no decimal. Probemos, por ejemplo, efectuar la adición de los dos siguientes números, escritas conforme al sistema quinario.

Sumemos conforme a los órdenes, empezando con las unidades, es decir, de la derecha: 3 + 2 es igual a cinco; pero no podemos escribir 5, porque tal cifra no existe en el sistema quinario; el cinco es ya una unidad de orden superior. Es decir, en la suma no hay unidades; escribimos 0, y el cinco, o sea, la unidad del siguiente orden, lo conservamos en la mente. Además, 0 + 3 = 3, más la unidad conservada en la mente, nos da en total 4 unidades de segundo orden. En el tercer orden obtenemos 2 + 1 = 3. En el cuarto, 4 + 2 es igual a seis, es decir, 5 + 1; escribimos 1, y al 5, o sea la unidad del orden superior- lo trasladamos más a la izquierda. La suma buscada = "11340":

Damos al lector la posibilidad de comprobar esta adición, trasladando, previamente, los números entre comillas al sistema decimal.

Exactamente igual se realizan también las otras operaciones. Como ejercicios, ofrecemos aún una serie de problemas , cuyo número el lector puede aumentar por su cuenta, a voluntad:

En el sistema quinario:

Problema 3:

Problema 4:

Problema 5:

En el sistema ternario:

Problema 6:

Problema 7:

Problema 8:

Problema 9:

En la realización de esa, operaciones, primero representamos mentalmente en nuestro familiar sistema decimal a los números escrito, y obtenido el resultado, de nuevo los representamos en el sistema no decimal deseado. Pero también se puede proceder en otra forma: constituir "la tabla de adición" y "la tabla de multiplicación" en aquellos sistemas en los que estén dados los números, y emplear directamente las tablas.

Por ejemplo, la tabla de adición en el sistema quinario tiene la siguiente forma:

Por medio de esta tabla podemos sumar los números "4203" y "2132", escritos en el sistema quinario, esforzando la atención mucho menos que con el método aplicado anteriormente.

Como es fácil comprender, la realización de la substracción también se simplifica.

Formemos la tabla de multiplicar ("pitagórica") para el sistema quinario:

Teniendo esta tabla ante los ojos, se puede reducir, en sí, el trabajo de la multiplicación (y de la división) de los números en el sistema quinario, como es fácil persuadirse, aplicándola a los arriba. Por ejemplo, en la multiplicación.

Razonamos así: tres por tres (de la tabla) da "14", escribimos 4 y conservamos en la mente el uno para el siguiente orden. Tres por uno, tres, mas uno del orden anterior, 4; de la tabla, 3 ´ 2 da "11", con lo que el resultado final será "1144".

Cuanto menor es la base de un sistema, tanto menores son, también, las correspondientes tablas de adición y de multiplicación. Por ejemplo, las dos tablas para el sistema ternario son:

Tabla de la adición para el sistema ternario	Tabla pitagórica para el sistema ternario

Dichas tablas se pueden, simultáneamente, memorizar y emplear para la realización de las operaciones. Las tablas de adición y multiplicación más breves corresponden al sistema binario.

Tabla de la adición para el sistema binario	Tabla de multiplicación para el sistema binario

¡Por medio de "tablas" tan sencillas se pueden efectuar, en el sistema binario, las cuatro operaciones! Las multiplicaciones en este sistema, como tales, en esencia no existen, pues multiplicar por la unidad equivale a dejar el número sin modificación; La multiplicación por "10", "100", "1000" (es decir, por 2, por 4, por 8) conduce a un sencillo agregado, a la derecha del correspondiente número de ceros. Por lo que toca a la adición, para su realización, es necesario recordar solamente que, en el sistema binario, 1 + 1 = 10.

¿No es cierto que nosotros, con una fundamentación completa, llamamos anteriormente al sistema binario el más sencillo de todos los posibles? La gran longitud de los números de esta aritmética singular, se compensa por la sencillez; de realización de todas las operaciones aritméticas con ellos.

Se desea, por ejemplo, multiplicar

La realización, de la operación conduce únicamente a una transcripción de los números dados en una disposición ordenada: esto requiere esfuerzos mentales comparativamente menores que la multiplicación de tales números, en el sistema decimal (605 ´ 37 = 22 385). Si fuera adaptado por nosotros el sistema binario, el estudio de la numeración escrita requeriría una mínima tensión mental (a cambio de una máxima cantidad de papel y tinta). Sin embargo, en la numeración oral la aritmética binaria, por lo que se refiere a la comodidad de realización de las operaciones, cede en gran medida, ante nuestro decimal.

Proporcionemos también un ejemplo de la operación de división efectuada en el sistema de numeración binario:

En nuestro familiar sistema decimal, esta operación tendría la siguiente forma:

El dividendo, el divisor, el cociente y el residuo en ambos casos son, en esencia idénticos, aunque las cuentas intermedias sean diferentes.

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3. ¿Par o impar?
No viendo el número, naturalmente resulta difícil saber si es par o impar. Pero desde luego, nos resulta fácil decirlo apenas percibido un número dado. Por ejemplo, ¿el número 16 es par o impar?

Si sabemos que está escrito en el sistema decimal, se está en lo justo al afirmar que dicho número es par. Pero cuando se escribe en cualquier otro sistema, ¿se puede estar seguro de que él representa, infaliblemente, un número par?

Evidentemente no. Si la base es, por ejemplo, siete, "16" denota 7 + 6 = 13, un número impar, Exactamente será, también, para toda base impar. (Porque todo numero impar + 6 es también un número impar).

De aquí la conclusión de que la divisibilidad entre dos (la última cifra par) conocida por nosotros, útil incondicionalmente sólo para el sistema de numeración decimal, para otros sistemas no lo es siempre. A saber, es justa solamente para sistemas de numeración con base par: de base seis, ocho, etc. ¿Cuál es la divisibilidad entre 2 para los sistemas de base impar? Es suficiente una corta reflexión para establecerla: la suma de las cifras deberá ser par. Par ejemplo, el número "136" es par en todo sistema de numeración, inclusive también con base impar; en efecto, en el último caso tenemos: un numero impar + un numero impar + un par = número par ( Un número impar multiplicado por sí mismo (es decir, por un impar), siempre da un número impar (por ejemplo, 7 x 7 = 49, 11 x 11 = 121, etc.) ).

Con la misma precaución es necesario referirse al problema: ¿Siempre es divisible el número 25 entre cinco? En el sistema de base siete u ocho, el número así representado no es divisible entre 5 (porque es igual a diecinueve o a veintiuno). En la misma forma, la bien conocida divisibilidad entre 9 (de acuerdo a la suma de las cifras) es justa, únicamente, para el sistema decimal. Por el contrario, en el sistema quinario se aplica la divisibilidad para el 4, y, por ejemplo, en el de base siete, para el 6. Así, el número "323" en el sistema quinario es divisible entre 4, porque 3 + 2 + 3 = 8, y el número "51" en el de base siete, es divisible entre 6 (es fácil convencerse de ello trasladando los números al sistema decimal): obtenemos respectivamente, 88 y 36). El lector mismo puede darse cuenta de por qué esto es así, si profundiza bien en la deducción de la divisibilidad entre 9 y aplica los mismos razonamientos, correspondientemente modificados, por ejemplo, al sistema de base siete para la deducción de la divisibilidad entre 6.

Es más arduo demostrar por un medio puramente aritmético, la legitimidad de las siguientes tesis:

en todos los sistemas de numeración (en donde se tengan las cifras correspondientes).

Para los entendidos con los rudimentos del álgebra, es fácil hallar la base, que explique la propiedad de estas igualdades. Los restantes lectores las pueden experimentar para diversos sistemas de numeración.

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1. ¿Cuándo 2 ´ 2 = 100? Cuando "100" está escrito en el sistema binario.
2. ¿Cuándo 2 ´ 2 = 11? Cuando "11" esta escrito en el sistema ternario.
3. ¿Cuándo 10 es número impar? Cuando está escrito en el sistema quinario, y también en los sistemas con base 3, 7 y 9
4. ¿Cuándo 2 ´ 3 = 11? Cuando "11" está escrito en el sistema quinario.
5. ¿Cuándo 3 ´ 3 = 14? Cuando 14 está escrito en el sistema quinario.

Las respuestas a estas preguntas no deben dificultarse al lector que ha estado al corriente de este capítulo.

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Consideremos aún, algunas fracciones no decimales sin denominador ¿A qué es igual

1. "2.121" en el sistema ternario?
2. "1.011" en el sistema binario?
3. "3.431" en el sistema quinario?
4. "2.(5)" en el sistema septenario?

Respuestas:

1. 2 + 1/3 + 2/9 + 1/27 = 2 16,27.
2. 1 + 1/4 + 1/8 = 1 3/8.
3. 3 + 4/5 + 3/25 + 1/125 = 3 116/125.
4. 2 + 5/7 + 5/49 + 5/343 + ... = 2 5/6.

El lector puede darse cuenta fácilmente de la justeza de la íntima igualdad si prueba aplicar al caso dado con la modificación correspondiente los razonamientos que se refieren a la transformación de fracciones decimales y periódicas a ordinarias.

Para concluir el capítulo, consideremos algunos problemas de índole especial (ver las respuestas al final del libro):

Problema 10. ¿En qué sistema de numeración está efectuada la siguiente adición?:

Problema 11. En qué sistema de numeración está efectuada la división:

Problema 12. Escriba el número "ciento treinta" en todos los sistemas de numeración del binario a1 decimal, inclusive.

Problema 13. ¿A qué es igual el número "123" si se le considera escrito en todos los sistemas de numeración, hasta el nonario inclusive? ¿Es posible escribirlo en el sistema binario? ¿Y en el sistema ternario? Si está escrito en el sistema quinario, ¿se puede saber si es divisible exactamente entre dos, sin transcribirlo en el sistema decimal? Si está escrito en el sistema de base nueve, ¿es divisible exactamente entre cuatro?

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