Capítulo Noveno
LA SÉPTIMA OPERACION MATEMATICA

Contenido:
1. La s�ptima operaci�n
2. Los rivales de los logaritmos
3. Evoluci�n de las tablas de logaritmos
4. Curiosidades logar�tmicas
5. Los logaritmos en escena
6. Los logaritmos en el corral
7. Los logaritmos en la m�sica
8. Las estrellas, el ruido y los logaritmos
9. Los logaritmos y el alumbrado el�ctrico
10. Legados a largo plazo
11. Inter�s continuo
12. El n�mero "e"
13. Comedia logar�tmica
14. Expresar cualquier n�mero tan s�lo con tres doses



1. La s�ptima operaci�n
Hemos recordado que la quinta operaci�n - elevaci�n a potencias - tiene dos operaciones inversas. Si

a ^b = c,
la b�squeda de a ser� una de las operaciones inversas: la extracci�n de ra�z. Para hallar la b se recurre a la otra: la logaritmaci�n. Supongo que el lector conoce las nociones de logaritmos correspondientes a un curso escolar. Para �l no representar� ninguna dificultad encontrar, por ejemplo, a qu� es igual

a ^log _a ^b .
Es f�cil comprender que si la base del logaritmo a se eleva a la potencia del logaritmo del n�mero b se obtendr� el n�mero b .
Los logaritmos fueron descubiertos para acelerar y simplificar el c�lculo. Neper, inventor de las primeras tablas de logaritmos, refiere as� el prop�sito que le animaba:

"En la medida de mis capacidades, me propon�a evitar las dif�ciles y aburridas operaciones de c�lculo, cuyo fastidio constituye una pesadilla para muchos que se dedican al estudio de las matem�ticas".

En efecto, los logaritmos facilitan y aceleran en grado sumo los c�lculos, sin hablar ya de que permiten realizar operaciones que ser�an en extremo complejas si no los aplic�ramos (extracci�n de ra�ces de cualquier �ndice).
Laplace escribi� con todo fundamento que "con la reducci�n del trabajo de varios meses de c�lculo a unos pocos d�as, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astr�nomos" .
El famoso matem�tico se refer�a a los astr�nomos por cuanto se ven obligados a hacer c�lculos agotadores y de singular complejidad. Mas sus palabras pueden ser aplicadas con pleno derecho a todos aquellos que operan con n�meros.
A nosotros, acostumbrados al empleo de logaritmos y al alivio que proporcionan, nos es dif�cil comprender el asombro y la admiraci�n que ocasion� su aparici�n. Briggs, contempor�neo de Neper, c�lebre m�s tarde por su invenci�n de los logaritmos decimales, escribi� al recibir la obra de aqu�l: "Con sus nuevos y asombrosos logaritmos, Neper, me ha obligado a trabajar intensamente con la cabeza y las manos. Conf�o verle este verano, pues jam�s he le�do un libro que tanto me agradara y asombrara como �ste" . Briggs realiz� su deseo, dirigi�ndose a Escocia para visitar al inventor de los logaritmos. Cuando se encontraron, Briggs le dijo:
"He emprendido este prolongado viaje con el fin exclusivo de verle a usted y conocer con ayuda de qu� ingenioso procedimiento y de qu� arte se ha valido para concebir ese admirable recurso para los astr�nomos: los logaritmos. Y, por cierto, que lo que ahora m�s me asombra es que nadie los hallara antes; hasta tal punto parecen sencillos despu�s de conocerlos".
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2. Los rivales de los logaritmos
Antes de haberse inventado los logaritmos, la necesidad de acelerar las operaciones determin� la aparici�n de unas tablas de otro g�nero, mediante las cuales la multiplicaci�n se supl�a por la resta y no por la suma. Dichas tablas se basaban en la identidad:


cuya veracidad es f�cil de comprobar abriendo los par�ntesis.
Disponiendo de cuartos del cuadrado, puede hallarse el producto de dos sin multiplicarlos. Basta restar de un cuarto del cuadrado de la suma de estos n�meros el cuarto del cuadrado de su diferencia. Esas mismas tablas alivian la elevaci�n al cuadrado y la extracci�n de la ra�z cuadrada. La tabla de cifras inversas simplifica tambi�n la divisi�n.
La superioridad de estas tablas sobre las de logaritmos estriba en que gracias a ellas se obtienen resultados exactos y no aproximados. Sin embargo ceden ante ellas en lo referente a muchas propiedades, que pr�cticamente son de mayor trascendencia. Si las tablas de las cuartas partes de los cuadrados permiten la multiplicaci�n de dos cifras, los logaritmos, en cambio, hacen posible encontrar al mismo tiempo el producto de cuantos factores se quieran y, por a�adidura, la potenciaci�n de cualquier grado y puede extraer las ra�ces de cualquier �ndice (entero o quebrado). Los problemas de inter�s compuesto no pueden resolverse con las tablas de cuartos del cuadrado.
A pesar de eso siguieron public�ndose las tablas de cuartos del cuadrado a�n despu�s de aparecer las de logaritmos de todas clases. En 1856 se editaron en Francia unas tablas tituladas: Tabla de los cuadrados de n�meros del 1 al 1 000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de n�meros mediante un sistema sencillo en extremo y m�s c�modo que el de logaritmos. Compuestas por Alejandro Cossar.
Esta idea se les ocurre a muchos que ni sospechan que est� ya superada. Se me han dirigido dos veces inventores de semejantes tablas creyendo se trataba de una novedad, enter�ndose con asombro que su invenci�n data de hace tres siglos.
Otro de los rivales de los logaritmos, aunque m�s joven, son las tablas de c�lculo que figuran en muchos manuales de consulta t�cnicos. Se trata de tablas generales que contienen las siguientes columnas: cuadrados y cubos, ra�ces cuadradas y c�bicas, n�meros inversos, la longitud de la circunferencia y la superficie de c�rculos para n�meros del 2 al 1 000. Estas tablas, a menudo muy c�modas para una serie de c�lculos t�cnicos, son insuficientes; las de logaritmos tienen una esfera de aplicaci�n considerablemente m�s extensa.
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3. Evoluci�n de las tablas de logaritmos
Hasta hace poco tiempo, en nuestras escuelas se empleaban tablas de logaritmos de cinco cifras. Actualmente se ha pasado a las de cuatro, por cuanto cubren las necesidades de los c�lculos t�cnicos. Mas para la mayor�a de las necesidades pr�cticas son m�s que suficientes las mantisas de 3 cifras, ya que las mediciones comunes raramente se realizan con m�s de tres cifras.
El empleo de mantisas con pocas cifras es bastante reciente. Recuerdo los tiempos en los que en nuestras escuelas se empleaban voluminosas tablas de logaritmos de 7 cifras, que fueron sustituidos por los de 5 s�lo despu�s de duro forcejeo. Al aparecer en 1794 las tablas de logaritmos de 7 cifras fueron tachadas de novedad inadmisible. Las primeras tablas de logaritmos decimales, confeccionadas por el matem�tico ingl�s Henri Briggs, en 1624, ten�an 14 cifras. Unos a�os despu�s Andrian Vlacq, matem�tico holand�s, redujo sus tablas a 10 cifras.
Como vemos, la evoluci�n de las tablas corrientes de logaritmos ha sido en sentido restrictivo, pasando de las mantisas de cifras numerosas a otras m�s cortas, proceso que no ha terminado a�n en nuestros d�as, porque todav�a hay quien no comprende que la precisi�n en los c�lculos no puede superar la exactitud de las mediciones.
La reducci�n de las mantisas acarrea dos importantes consecuencias pr�cticas:

1. la sensible disminuci�n del volumen de las tablas y
2. la correspondiente simplificaci�n de su empleo, y, por lo tanto, la aceleraci�n de los c�lculos que se efect�an con ellas.

Las tablas de siete cifras ocupan cerca de 200 p�ginas de gran formato; las de 5, 30 p�ginas, la mitad de formato que las anteriores; las de 4 decimales ocupan un espacio diez veces menor, reduci�ndose a dos p�ginas cuando se imprimen en formato grande, y, las de 3 pueden limitarse a una sola p�gina.
En cuanto a rapidez en las operaciones, los c�lculos con las tablas de 5 cifras requieren la tercera parte de tiempo que al operar con las de 7.
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4. Curiosidades logar�tmicas
Si las tablas de 3 � 4 cifras satisfacen completamente las necesidades logar�tmicas de la vida pr�ctica y los c�lculos t�cnicos, en cambio los investigadores te�ricos se ven obligados a manejar tablas mayores incluso que las de 14 cifras de Briggs. En realidad, los logaritmos son, en la mayor�a de los casos, un n�mero irracional que no puede ser expresado exactamente por muchos guarismos que lo formen: los logaritmos de la mayor�a de los n�meros, por muchas cifras que tengan se expresan s�lo aproximadamente, aumentando su exactitud a medida que se toman m�s cifras para la mantisa. En los c�lculos cient�ficos, hay ocasiones en que resultan insuficientes las tablas de 14 cifras, pero entre los 500 tipos de tablas logar�tmicas, publicadas desde que �stas fueron inventadas, el investigador puede encontrar siempre aquellas que le satisfacen. Recordemos, por ejemplo, las tablas de 20 cifras para n�meros del 2 al 1 200, publicadas en Francia por Callet (1795). Para un grupo de n�meros todav�a m�s limitado hay tablas con enorme cantidad de cifras, es un verdadero milagro logar�tmico cuya existencia, como he podido comprobar, era desconocida por muchos matem�ticos.
He aqu� estas tablas gigantes, todas ellas de logaritmos neperianos.

• Las tablas de 48 cifras de Wolfram, para n�meros inferiores a 10 000;
• las tablas de 61 cifras, de Sharp;
• las tablas de 102 cifras, de Parkhurst, y por �ltimo, la ultracuriosidad logar�tmica:
• las tablas de 260 cifras, de Adams.

Por cierto que en �stas, tenemos, no unas tablas, sino los logaritmos naturales de cinco n�meros: 2, 3, 5, 7 y 10, y la rec�proca (260 cifras) para transformarlos a decimales. Mas no es dif�cil comprender que disponiendo ya de los logaritmos de estos cinco n�meros, con una simple adici�n o multiplicaci�n, se puede obtener el logaritmo de multitud de n�meros compuestos: por ejemplo, el logaritmo de 12 es igual a la suma de los logaritmos de 2, 2 y 3, etc. Como curiosidad logar�tmica podr�a hacerse referencia a la regla de c�lculo, �logaritmos de madera�, si no se hubiera transformado, por su comodidad, en un instrumento de c�lculo habitual entre los t�cnicos, como los �bacos decimales para los contables. Debido a la costumbre ya no asombre ese instrumento, basado en el principio de los logaritmos, aunque lo que lo manejan pueden desconocerlos.
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5. Los logaritmos en escena
El truco m�s sorprendente de cuantos han sido presentados ante el p�blico por calculadores profesionales es, sin duda, el siguiente:
Enterado por las carteleras de que un notable calculador se dispon�a a extraer de memoria las ra�ces de elevados �ndices de n�meros muy grandes, prepara usted en casa, pacientemente, la 3l ^a potencia de un n�mero cualquiera y se dispone a hacer fracasar al calculista con su gran n�mero de 35 cifras. En el momento oportuno se dirige al calculador con las siguientes palabras:
- Eso est� bien, �pero pruebe a extraerr la ra�z, cuyo �ndice es 31, del siguiente n�mero de 35 cifras! Tome nota, se las voy a dictar.
El calculador toma la tiza, pero ya antes de que pronuncie usted la primera cifra, �l ya ha encontrado el resultado: 13.
El calculador sin saber el n�mero, ha extra�do su ra�z, siendo, adem�s, de grado 31; lo ha hecho de memoria y, por a�adidura, �con rapidez de rel�mpago! ...
Usted se maravilla y descorazona, aunque no ha sucedido nada extraordinario. El secreto reside en que no existe m�s que un n�mero, precisamente el 13, que elevado a una potencia cuyo exponente sea 31, d� un resultado de 35 cifras. Los n�meros menores a 13 dan menos de 35 cifras, y los mayores, m�s. �De d�nde sab�a eso el calculador? �C�mo hall� la cifra 13? Se sirvi� de los logaritmos, de logaritmos con dos cifras de mantisa, que recuerda de memoria, para los primeros 15 � 20 n�meros. Aprend�rselos no es tan dif�cil como parece, sobre todo si se tiene en cuenta que el logaritmo de un n�mero compuesto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores primos. Recordando bien los logaritmos de 2, 3 y 7 se conocen ya los logaritmos correspondientes a los 10 primeros n�meros; para saber los de la 2 ^a decena (del 10 al 20) hay que acordarse de los logaritmos de otros cuatro n�meros.
A cualquier calculador profesional le es f�cil conservar en la memoria la siguiente tabla de logaritmos de dos cifras:

Cifras	Log.	Cifras	Log.
2	0,30	11	1,04
3	0,48	12	1,08
4	0,60	13	1,11
5	0,70	14	1,15
6	0,78	15	1,18
7	0,85	16	1,20
8	0,90	17	1,23
9	0,95	18	1,26
		19	1,28

El truco matem�tico que los ha llenado de asombro consiste en lo siguiente:


El logaritmo buscado puede encontrarse entre

34/31 y 34,99/31 o entre 1,09 y 1,13.
En este intervalo s�lo se encuentra el logaritmo de un n�mero entero 1,11, que es el logaritmo de 13. De esa manera es como se halla el resultado que los ha dejado perplejos. Claro que para hacer todo esto mental y r�pidamente hay que disponer del ingenio y la destreza de un profesional, pero en esencia, la cuesti�n es bastante sencilla. Cualquiera puede realizar trucos an�logos, si no de memoria, al menos, por escrito.
Supongamos que le proponen resolver el siguiente problema: extraer la ra�z de �ndice 64 de un n�mero de 20 cifras.
Sin indagar de qu� n�mero se trata puede usted ofrecer el resultado: la ra�z es igual a 2.
En efecto


por lo tanto debe estar comprendido entre 19/64 y 19.99/64 , es decir, entre 0,29 y 0,32. Tal logaritmo para n�mero entero no puede ser m�s que uno: 0,30.... o sea, el logaritmo del n�mero 2.
Usted podr�a desconcertar definitivamente al que le planteara el problema, anticip�ndole el n�mero que �l se dispon�a a dictarle: el famoso n�mero del �ajedrez�

2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616.
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6. Los logaritmos en el corral
Problema
La llamada raci�n alimenticia de �sost�n�, (es decir, el alimento m�nimo que cubre exclusivamente las calor�as, que consume el funcionamiento de los �rganos internos, el restablecimiento de las c�lulas que perecen, etc.) es proporcional a la superficie externa del cuerpo animal. Conociendo esto hallar las calor�as necesarias para la raci�n alimenticia de sost�n de un buey que pesa 420 kg. Se sabe que en esas condiciones, un buey que pesa 360 kg necesita 13500 calor�as.

Soluci�n
Para resolver este problema pr�ctico de la esfera de la ganader�a, adem�s de recurrir al �lgebra debe utilizarse la geometr�a. De acuerdo con las condiciones del problema, las calor�as buscadas ( x ) son proporcionales a la superficie externa ( s ) del cuerpo del animal, es decir,


donde s, es la superficie externa del buey, que pesa 630 kg. La geometr�a ense�a que las superficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus medidas lineales ( l ), y los vol�menes (y, por consiguiente, el peso) son proporcionales al cubo de las medidas lineales. Por eso


de donde





Empleando las tablas de logaritmos se encuentra que: x = 10.300.
El buey necesita 10 300 calor�as.
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7. Los logaritmos en la m�sica
A los m�sicos raramente les atraen las matem�ticas. Aunque en su mayor�a, sienten respeto por esa ciencia, prefieren mantenerse alejados de ella. Sin embargo, los m�sicos, incluso los que como el Salleri de Pushkin menosprecian el �lgebra en la armon�a, se las tienen que ver con las matem�ticas m�s a menudo de lo que ellos mismos suponen y, por a�adidura, con cosas tan terribles como los logaritmos.
A este prop�sito me permito transcribir el fragmento de un art�culo de nuestro difunto profesor de f�sica, A. Eihenvald.
�A mi compa�ero de gimnasio le gustaba tocar el piano, pero no le agradaban las matem�ticas; incluso manifestaba en tono despectivo que la m�sica y las matem�ticas no tienen nada de com�n: �Es cierto que Pit�goras hall� ciertas correlaciones entre las vibraciones del sonido; pero precisamente la gama de Pit�goras result� inaplicable para nuestra m�sica�.
Imag�nense lo desagradable de la sorpresa de mi compa�ero al demostrarle que al tocar sobre las teclas del piano moderno, se toca, hablando con rigor, sobre logaritmos... Efectivamente: los llamados �grados� de tonalidad de la escala crom�tica no son equidistantes ni por el n�mero de vibraciones ni por la longitud de las ondas de los sonidos respectivos, sino que representan los logaritmos de estas magnitudes. La base de estos logaritmos es 2, y no 10, como se admite en otros casos.
Supongamos que la nota do de la octava m�s baja - la representamos con el cero - est� determinada por n vibraciones por segundo. En este caso, el do de la primera octava producir� al segundo 2 n vibraciones; el do de la m octava producir� n *2 ^m vibraciones, etc. Expresemos todas las notas de la escala crom�tico del piano con los n�meros p , tomando el do de cada octava como nota cero; entonces, la nota sol ser� la nota 7 ^a , el la, la 9 ^a , etc.; la 12 ^a ser� de nuevo el do , aunque de una octava m�s alta. Y como en la escala crom�tica, cada nota siguiente tiene m�s vibraciones que la anterior, entonces el n�mero de �stas de cualquier tono puede ser expresado con la f�rmula


Aplicando los logaritmos a esta f�rmula, obtendremos:


�


al tomar el n�mero de vibraciones del do m�s bajo como unidad (n= 1) y pasando los logaritmos al sistema de base 2 (o simplemente tomando log 2 = l), tenemos:


De aqu� vemos que los n�meros de teclas del plano constituyen logaritmos de la cantidad de vibraciones de cada uno de los sonidos correspondientes. Podemos incluso decir que el n�mero de la octava forma la caracter�stica, y el n�mero del sonido en la octava dada es la mantisa de este logaritmo�.
Por ejemplo, en el tono sol de la tercera octava, es decir, en el n�mero 3+ 7/12 (≈3,583), el n�mero 3 es la caracter�stica del logaritmo del n�mero de vibraciones de este tono y 7/12 (≈0,583), la mantisa del mismo logaritmo de base 2; por consiguiente el n�mero de vibraciones es 2 ^3,583 o sea, es 11,98 veces mayor que el n�mero de vibraciones del tono do de la primera octava.
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8. Las estrellas, el ruido y los logaritmos
Este t�tulo, que trata de cosas a primera vista tan heterog�neas, no parece ser el m�s indicado para una parodia de las obras de Kuzm� Prutkov, mas, en realidad, se ocupa de las estrellas y del ruido en estrecha conexi�n con los logaritmos.
El ruido y las estrellas aparecen aqu� juntos porque tanto la intensidad del sonido como la luminosidad de las estrellas se calculan de la misma manera: mediante la escala logar�tmica.
Los astr�nomos dividen las estrellas, seg�n el grado de luminosidad visible, en astros de primera magnitud, de segunda, tercera, etc. Las magnitudes consecutivas de las estrellas son representadas como miembros de una progresi�n aritm�tica. Mas la luminosidad f�sica de las estrellas var�a de acuerdo con otra ley, la luminosidad objetiva constituye una progresi�n geom�trico, con una raz�n igual a 2,5. Es f�cil comprender que la "magnitud" de una estrella no es otra cosa que el logaritmo de su luminosidad f�sica.
Por ejemplo, una estrella de tercera es 2,5 ^(3-1) (es decir, 6,25) veces m�s luminosa que una estrella de primera magnitud. En pocas palabras: al establecer la luminosidad visible de una estrella, el astr�nomo opera con las tablas de logaritmos de base 2,5. No me detengo con m�s detalle en estas interesantes correlaciones por cuanto en otro de mis libros, Astronom�a Recreativa, se dedican a ello suficientes p�ginas.
De la misma forma se calcula intensidad del sonido. La influencia nociva de los ruidos industriales en la salud del obrero y en su productividad incit� a elaborar un m�todo para precisar exactamente la intensidad num�rica del ruido. La unidad de esa intensidad es el bel (pr�cticamente se emplea el decibel, d�cima parte del bel). Los siguientes escalones de sonoridad: 1 bel, 2 beles, etc., (en la pr�ctica, 10 decibeles, 20 decibeles, etc.), constituyen para nuestro o�do una progresi�n aritm�tica. La "fuerza" f�sica de estos sonidos (energ�a, m�s exactamente) constituye una progresi�n geom�trica cuya raz�n es 10. A la diferencia de intensidad de un bel corresponde la relaci�n de fuerza de sonido 10. Por lo tanto, la intensidad del sonido expresada en beles ser� igual al logaritmo decimal de su intensidad f�sica.
Esto aparecer� m�s claro si examinamos algunos ejemplos.
El tenue rumor de las hojas se considera como de 1 bel; la conversaci�n en voz alta, 6,5 beles; el rugido del le�n, 8,7 beles. De aqu� se deduce que, por la fuerza del sonido, la conversaci�n supera al susurro de las hojas en

10 ^6,5-1 = 10 ^5,5 = 316.000 veces.
El rugido del le�n es superior a la conversaci�n en voz alta en

10 ^{8,7 - 6,5} = 10 ^2,2 = 158 veces.
El ruido cuya intensidad es superior a 8 beles se considera perjudicial para el organismo humano. Este margen es rebasado en muchas f�bricas, donde se producen ruidos de 10 beles y m�s; el golpe de martillo sobre l�minas de acero ocasiona un ruido de 11 beles. Estos ruidos son 100 y 1.000 veces m�s fuertes que la norma permitida y de 10 a 100 veces m�s intensos que los m�s estrepitosos de las cataratas del Ni�gara (9 beles). �Es fortuito que al calcular la luminosidad visible de las estrellas y al medir la intensidad del sonido nos refiramos a la dependencia logar�tmica existente entre la magnitud de las sensaciones y la irritaci�n que �stas ocasionan?
No. Tanto lo uno como lo otro son efectos de una misma ley (llamada "ley psicof�sica de Fechner") que dice as�: la magnitud de la sensaci�n es proporcional al logaritmo de la intensidad de irritaci�n.
Vemos, pues, c�mo los logaritmos van invadiendo el campo de la psicolog�a.
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9. Los logaritmos y el alumbrado el�ctrico
Problema
La causa de que las l�mparas de gas (con frecuencia se les llama err�neamente "de medio vatio") alumbren m�s que las de vac�o, aun teniendo filamento met�lico del mismo material, consiste en la diferente temperatura del filamento. Seg�n una regla de f�sica, la cantidad general de luz proyectada con la incandescencia blanca aumenta en proporci�n a la potencia de exponente 12 de la temperatura absoluta. En consecuencia hagamos el siguiente c�lculo: determinar cu�ntas veces una l�mpara, "de medio vatio", cuya temperatura de filamento es de 2.500� por la escala absoluta (a partir de �273�) despide m�s luz que otra de vac�o, cuyo filamento llega hasta 2.200� de temperatura.

Soluci�n
Representando con la x la relaci�n buscada, tenemos la siguiente ecuaci�n:


de donde:

log x =12*(log 25 � log 22); x = 4,6
La l�mpara de gas despide 4,6 veces m�s luz que la de vac�o. De ah� que si esta �ltima equivale a 50 buj�as, la primera, en las mismas condiciones, produce 230 buj�as.

Problema
Hagamos otro c�lculo: �Cu�l ser� la elevaci�n de temperatura absoluta (en tanto por ciento) necesaria para duplicar la luminosidad de la l�mpara?

Soluci�n
Planteemos la ecuaci�n:


de donde


Problema
Veamos ahora en qu� proporci�n (en tanto por ciento) aumentar� la luminosidad de una l�mpara si la temperatura absoluta de su filamento se eleva en el i%.

Soluci�n
Si resolvemos la ecuaci�n por medio de logaritmos, tendremos:

x = 1,01 ¹² ,
de donde

x = 1, 13.

La luminosidad crece en el 13%.
Al calcular la elevaci�n de la temperatura en el 2% veremos que el aumento de la luminosidad es del 27%, y con una elevaci�n de temperatura en un 3%, aumentar� la luminosidad en el 43%.
Esto explica por qu� la industria de l�mparas el�ctricas se preocupa tanto de la elevaci�n de la temperatura del filamento, si�ndole de gran valor cada grado que logra superar.
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10. Legados a largo plazo
�Qui�n no ha o�do hablar del consabido n�mero de granos de trigo que, seg�n las leyendas, pidi� como recompensa el inventor del ajedrez? Esta cantidad se forma duplicando sucesivamente cada uno de los n�meros obtenidos; primer escaque del tablero, el inventor pidi� un grano; para el segundo, dos; etc. A cada uno de los escaques le corresponde el doble que al anterior, hasta llegar al 64 escaque.
Mas crecimiento tan vertiginoso se da, no s�lo duplicando sin cesar la cifra anterior, sino con una norma de crecimiento notablemente m�s moderada. Un capital que produce el 5% anual a inter�s compuesto, aumenta cada a�o 1,05 veces. Parece �ste un crecimiento de poca consideraci�n, mas al cabo de cierto tiempo el capital llega a alcanzar grandes proporciones. Esto explica que despu�s de transcurridos muchos a�os de ser legada una herencia crezca de forma ins�lita. Parece extra�o que dejando el finado una suma harto modesta se convierta �sta en un enorme capital. Es bien conocido el testamento de Franklin, famoso estadista norteamericano. Fue publicado en Recopilaci�n de diversas obras de Benjam�n Franklin. He aqu� un fragmento de �l: "Dono mil libras esterlinas a los habitantes de Boston. Si las aceptan, estas mil libras, deben ser administradas por los vecinos m�s distinguidos de la ciudad, que las conceder�n en pr�stamo al 5%, a los artesanos j�venes. Al cabo de cien a�os esta suma se elevar� a 131.000 libras esterlinas. Deseo que entonces sean empleadas, 100.000 libras en la construcci�n de edificios p�blicos, y las 31.000 restantes concedidas en cr�dito por un plazo de 100 a�os. Al cabo de este tiempo la suma habr� llegado a 4.061.000 libras esterlinas, de las cuales 1.060.000 dejo a disposici�n de los vecinos de Boston y 3.000.000, al municipio de Massachusetts. En lo sucesivo no me atrevo a seguir extendi�ndome con m�s disposiciones".
Franklin, que dej� una herencia de 1.000 libras, distribuy� millones de ellas. Y no se trata de ning�n malentendido. El c�lculo matem�tico confirma que las disposiciones del testador son ciertas. Las 1.000 libras aumentaron cada a�o en 1,05 veces y, al cabo de 100 a�os se convirtieron en

x = 1.000 * 1,05 ¹⁰⁰ libras.

Esta expresi�n puede calcularse mediante los logaritmos:

log x = log 1.000 + 100 log 1,05 = 5,11893,
de donde

x= 131.000
de acuerdo con el testamento. En el segundo siglo las 31.000 llegar�n a

y = 31 000*1,05 ¹⁰⁰ ,
de donde, al aplicar los logaritmos resultar�:

y = 4.076.500
suma que se diferencia muy poco de la se�alada en el testamento.
Dejemos a juicio del lector fa soluci�n del siguiente problema, que aparece en la obra Los se�ores Golovliov, de Saltikov-Schedr�n:

"Porfiri Vladimirovich est� en su despacho escribiendo cantidades en hojas de papel. Trata de saber cu�nto dinero tendr�a si los cien rublos que le regal� su abuelo al nacer, en lugar de ser gastados por su madre, hubieran sido depositados en la caja de Ahorros. Sin embargo, el resultado no es muy elevado: ochocientos rublos".

Si suponemos que Porfiri tiene a la saz�n 50 a�os y, admitiendo que hubiera hecho bien el c�lculo (poco probable, pues sin duda alguna desconoc�a los logaritmos, por lo que no podr�a resolver problemas de inter�s compuesto) hay que establecer qu� tanto por ciento conced�a en aquellos tiempos la Caja de Ahorros.
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11. Inter�s continuo
En las Cajas de Ahorro, el inter�s del capital se suma al dep�sito. Si la adici�n se hace con m�s frecuencia, el capital crece m�s de prisa por cuanto forma el r�dito una suma mayor. Tomemos un sencillo ejemplo puramente te�rico. Admitamos que se depositan 100 rublos en la Caja de Ahorros al 100% anual. Si se acumula el inter�s al dep�sito, al cabo del a�o sumar�n 200 rublos. Veamos ahora qu� ocurre si el porcentaje se va sumando al capital inicial cada medio a�o. Al finalizar el primer semestre llegar� a

100 rublos * 1,5 = 150 rublos.
Al segundo semestre:

150 rublos * 1,5 = 225 rublos.
Si la adici�n se realiza cada 1/3 de a�o, ser�n:

100 rublos * (1 1/3) ³ » 237 rublos 3 kopeks.
Hagamos m�s frecuentes los plazos de acumulaci�n del 'r�dito al capital depositado: a 0,1 de a�o; 0,01 de a�o; 0,001 de a�o, etc., y veremos que los 100 rublos, al cabo del a�o se transforman en

100 rublos *	1,1 10	» 259 rublos y 37 kopeks
100 rublos *	1.01 100	» 270 rublos y 48 kopeks
100 rublos *	1.001 1000	» 271 rublos y 69 kopeks

Las matem�ticas superiores demuestran que reduciendo indefinidamente los plazos de acumulaci�n del r�dito devengado al dep�sito, �ste no crece infinitamente, sino que se aproxima a un cierto l�mite, que equivale m�s o menos a 271 rublos 83 kopeks.
Un capital depositado al 100% no puede crecer en un a�o m�s all� de 2,7183 veces, aunque fuera acumul�ndose el inter�s al capital cada segundo.
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12. El n�mero " e "
El 2,718... obtenido, n�mero que desempe�a en las matem�ticas superiores un papel trascendental (quiz�s tan importante como el famoso p ) tiene un signo especial de expresi�n: la e. Es un n�mero irracional que no puede ser expresado con ninguna cifra exacta, pero se calcula con la aproximaci�n deseada, mediante la siguiente serie:


Por el ejemplo de capitalizaci�n expuesto puede verse que el n�mero e es el l�mite de la expresi�n




para un incremento ilimitado de n.
Por numerosas razones, que no procede explicar aqu�, es de suma conveniencia tomar el n�mero e como base del sistema de logaritmos. Tales tablas (de "logaritmos naturales") existen y se aplican en gran escala en, la ciencia y la t�cnica. Aquellas grandes tablas de 48, 61, 102 y 260 cifras, a las que nos hemos referido m�s arriba, tienen precisamente como base el n�mero e . Con frecuencia el n�mero e aparece all� donde menos se sospecha. Supongamos, por ejemplo, el siguiente problema:
�En qu� partes debe dividirse el n�mero a para que el producto de todas ellas sea el mayor?
Ya sabemos que cuando la suma de factores es invariable, su producto ser� el mayor cuando los factores sean iguales entre s�. Pero, �en cu�ntas partes hay que dividir a ? �En dos, en tres, en diez? Las matem�ticas superiores ense�an que se obtiene el producto mayor cuando los factores adquieren valores lo m�s cercanos posibles al del n�mero e . Por ejemplo: 10 debe dividirse en tal cantidad de partes iguales que cada una de ellas se aproxime cuanto pueda a 2,718... Para ello hay que encontrar el cociente


10 / 2.718... = 3.678...

Mas, como no es posible dividir en 3,678... partes iguales hay que hacerlo por la cifra entera m�s pr�xima, por 4, y obtendremos el producto mayor los sumandos de 10, si �stos son iguales a 10/4 es decir, 2,5.
Quiere decirse que:

(2,5) ⁴ = 39,0625

es el producto mayor que puede obtenerse multiplicando los sumandos iguales del n�mero 10. En efecto, dividiendo 10 en 3 � en 5 partes iguales, los productos de �stas son menores:


(10 / 3) ³ = 37

(10 / 5) ⁵ = 32

Para conseguir el producto mayor de las partes iguales del n�mero 20, �ste debe dividirse en 7 partes, puesto que


20 / 2,718... = 7,36 » 7.

Para obtener el producto mayor de las partes iguales del n�mero 50, �ste debe dividirse en 18 partes, y 100 en 37, puesto que


50 / 2,718... = 18,4,

100 / 2,718... = 36, 8.

El n�mero e desempe�a un enorme papel en las matem�ticas, la f�sica, la astronom�a y en otras ciencias. Veamos algunas de las cuestiones para cuyo an�lisis matem�tico hay que valerse de este n�mero (la cantidad de tales cuestiones podr�a ampliarse indefinidamente):

• la f�rmula barom�trica (la disminuci�n de la presi�n con la altura);
• la f�rmula de Euler;
• la ley del enfriamiento de los cuerpos;
• la desintegraci�n radiactiva y la edad de la Tierra;
• las oscilaciones libres del p�ndulo;
• la f�rmula de Tsiolkovski para la velocidad del cohete;
• los fen�menos oscilatorios en un circuito radiof�nico;
• el crecimiento de las c�lulas.

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13. Comedia logar�tmica
Problema
Como complemento a las comedias matem�ticas, que el lector tuvo ocasi�n de conocer en el cap�tulo V, presentamos un caso m�s del mismo g�nero: la "demostraci�n" de la desigualdad 2 > 3. Esta vez interviene la logaritmaci�n. La "comedia" empieza con la desigualdad


1 / 4 > 1 / 8
que es completamente cierta. Despu�s siguen las transformaciones

(1 / 2) ² > (1 / 2) ³
que tampoco inspira desconfianza. A un n�mero mayor le corresponde un logaritmo tambi�n mayor; por lo tanto

2 log ₁₀ (1/2) > 3 log ₁₀ (1/2)
Despu�s de dividir ambos miembros de la desigualdad por log ₁₀ (1/2), tenemos 2>3. �D�nde est� el error de esta demostraci�n?

Soluci�n
El error reside que al simplificar por log ₁₀ (1/2), el signo > no fue sustituido por <; entre tanto, era necesario hacerlo, por cuanto log ₁₀ es un n�mero negativo. [Si no se hubieran aplicado los logaritmos vulgares, sino otros menores que � el log ₁₀ (1/2 ), hubiera sido positivo, aunque entonces no habr�amos podido afirmar que a un n�mero mayor corresponde un logaritmo tambi�n mayor.]
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14. Expresar cualquier n�mero tan s�lo con tres doses
Terminemos el libro con un ingenioso rompecabezas algebraico que distrajo a los delegados de un congreso f�sico celebrado en Odesa.

Problema
Proponemos el siguiente problema: expresar cualquier n�mero, entero y positivo, mediante tres doses y signos matem�ticos.

Soluci�n
Mostremos en un ejemplo la soluci�n de este problema. Supongamos que el n�mero dado es el 3. En este caso el problema se resuelve as�:


Es f�cil convencerse de la veracidad de tal igualdad.
En efecto:


Si el n�mero dado fuera 5, resolver�amos el problema por los mismos
procedimientos:


Se tiene presente que siendo la ra�z cuadrada, se omite el �ndice de la misma.
La soluci�n general del problema es como sigue: si el n�mero dado es N, entonces


Adem�s, el n�mero de radicales es igual al n�mero de unidades del n�mero dado.
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