Presentaci�n
Prefacio
La quinta operaci�n
El idioma del �lgebra
En ayuda de la aritm�tica
Las ecuaciones de Diofanto
La sexta operaci�n
Ecuaciones de segundo grado
La magnitud mayor y la menor
Progresiones
La s�ptima operaci�n
Capítulo Octavo
PROGRESIONES
Contenido:
1. La progresi�n m�s antigua
2. Algebra en papel cuadriculado
3. E1 riego de la huerta
4. La comida para las gallinas
5. Brigada de cavadores
6. Las manzanas
7. La compra del caballo
8. La recompensa del soldado
1. La progresi�n m�s antigua
Problema
El problema de progresiones m�s antiguo no es el de la recompensa al inventor del ajedrez, que tiene ya m�s de dos mil a�os, sino otro mucho m�s viejo, repartici�n del pan, registrado en el c�lebre papiro egipcio de Rind. Este papiro, hallado por Rind a fines del siglo pasado, fue escrito unos 2 000 a�os antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra matem�tica a�n m�s remota que data seguramente del tercer milenio antes de nuestra era. Entre los problemas aritm�ticos, algebraicos y geom�tricos que figuran en dicho documento aparece el que transmitimos en traducci�n libre.
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| Figura 33 |
Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibi� m�s que la primera tanto como le correspondi� a la tercera m�s que a la segunda, a la cuarta m�s que a la tercera y a la quinta m�s que a la cuarta. Adem�s, las dos primeras obtuvieron siete veces menos que las tres restantes. �Cu�nto correspondi� a cada una?
Soluci�n
Es evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el reparto constituyen una progresi�n aritm�tica creciente. Supongamos que el primer miembro sea x, y la diferencia, y.
En ese caso tendremos:
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Parte de la 1� |
x |
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2� |
x+y |
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3� |
x + 2y |
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4� |
x + 3y |
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5� |
x + 4y |
De acuerdo con las premisas del problema establecemos estas dos ecuaciones:
7[x+(x+y)]=(x+2y)+(x + 3y)+(x+4y)
Despu�s de su simplificaci�n, la primera ecuaci�n ser�
y la segunda:
Al resolver este sistema resultar�
Por consiguiente, el trigo debe ser repartido en las siguientes proporciones:
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2. Algebra en papel cuadriculado
A pesar de que este problema de progresiones tiene ya 50 siglos de antig�edad, en la pr�ctica escolar, la progresi�n apareci� hace relativamente poco tiempo. Aunque en el manual de Magnitski, publicado hace doscientos a�os y empleado en Rusia durante medio siglo como texto en las escuelas, se trata de progresiones, no se dan f�rmulas generales que liguen las magnitudes que figuran en las mismas. Por esa raz�n, el propio autor sale airoso de esos problemas s�lo a costa de grandes esfuerzos. Y, sin embargo, la f�rmula de la suma de los miembros de la progresi�n aritm�tica puede deducirse por un medio sencillo y gr�fico, empleando para ello el papel cuadriculado. En �ste, cualquier progresi�n aritm�tica puede expresarse con una figura escalonada.
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| Figura 34 |
Para determinar la suma de los miembros completamos el dise�o hasta formar el rect�ngulo ABGE y obtendremos dos figuras iguales: ABDC y DGEC. La superficie de cada una representa la suma de los miembros de nuestra progresi�n. De ah� que la doble suma de los miembros es igual a la superficie del rect�ngulo ABGE, es decir:
Pero AC + CE expresa la suma de los miembros 1� y 5� de la progresi�n; AB representa el n�mero de miembros de la progresi�n, por eso, el duplo de la suma.
o
2
3. El riego de la huerta
Problema
En una huerta hay 30 caballones; cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 metros del extremo de la huerta (fig. 35) y da la vuelta al caball�n por el surco. El agua que carga cada vez le sirve para regar un solo caball�n.
�Cu�l es la longitud del camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? El camino comienza y termina junto al pozo.
Soluci�n
Para regar el primer caball�n, el hortelano ha de recorrer un camino igual a
Para regar el segundo recorre
Cada nuevo caball�n exige andar 5 metros m�s que para ir al anterior. Por ello tendremos la siguiente progresi�n:
La suma de sus miembros ser�
Para regar toda la huerta, el hortelano necesita recorrer 4,125 km,
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4. La comida para las gallinas
Problema
Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitro semanas para cada una. Esto se hac�a en el supuesto de que el n�mero de gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminu�a en una el n�mero de aves, la comida preparada dur� doble tiempo del proyectado.
�Qu� cantidad de comida prepararon como reserva y para cu�nto tiempo fue calculada?
Soluci�n
Supongamos que la reserva fue de x decalitros de comida para y semanas. Como el alimento se calcul� para 31 gallinas a raz�n de 1 decalitro por cabeza a la semana, resulta que
En la primera semana fueron consumidos el 31 Dl; en la segunda, 30; en la tercera, 29, y as� sucesivamente hasta la �ltima semana del plazo doble, cuando se consumi�
La reserva, por consiguiente, ser�a de
La suma de 2 y miembros de la progresi�n, el primero de la cual es 31, y el �ltimo 31-2 y + l, ser� igual a
Y como y no puede ser igual a cero, entonces tenemos derecho a dividir por y ambos miembros de la igualdad, con lo que tendremos
de donde
Fueron preparados 496 Dl de comida para 16 semanas.
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5. Brigada de cavadores
Problema
Un grupo de alumnos de la secundaria se hizo cargo de construir una zanja en la huerta de la escuela y para eso formaron una brigada. Si hubiera trabajado toda la brigada, la zanja habr�a sido cavada en 24 horas. Mas el trabajo fue comenzado por un solo miembro de la brigada. Poco despu�s se le uni� otro y m�s tarde un tercero, al cabo del mismo tiempo se incorpor� un cuarto, y as� sucesivamente, hasta el �ltimo. Cuando se hizo el balance del trabajo efectuado, result� que el primero hab�a invertido en el trabajo 11 veces m�s de tiempo que el �ltimo.
�Cu�nto trabaj� el �ltimo?
Soluci�n
Supongamos que el �ltimo miembro de la brigada trabaj� x horas; siendo as�, el primero habr� trabajado 11 x horas. Prosigamos. Si el n�mero de miembros de la brigada es y , el n�mero global de horas de trabajo se determina corno la suma de y miembros de una progresi�n decreciente, cuyo primer t�rmino es 11 x, y el �ltimo, x , es decir
Sabemos tambi�n que la brigada, compuesta por y personas, trabajando simult�neamente hubiera terminado la zanja en 24 horas, lo que quiere decir que para realizar ese trabajo hacen falta 24 y horas de trabajo. Por tanto
Como y no es igual a 0, la ecuaci�n puede ser simplificada por ese factor, despu�s de lo cual obtendremos:
Por lo tanto, el �ltimo miembro de la brigada trabaj� 4 horas.
Hemos contestado a la pregunta del problema, mas si quisi�ramos saber el n�mero de obreros con que cuenta la brigada no podr�amos determinarlo, aunque en la ecuaci�n figuraba este �ltimo con la y . Para resolver esta cuesti�n no se cuenta con datos suficientes.
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6. Las manzanas
Problema
Un hortelano vendi� al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jard�n m�s media manzana; al segundo, la mitad de las restantes m�s media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron m�s media, etc. El s�ptimo comprador adquiri� la mitad de las manzanas que quedaban m�s media, agotando con ello la mercanc�a �Cu�ntas manzanas ten�a el jardinero?
Soluci�n
Si el n�mero inicial de manzanas era x, el primer comprador adquiri�
el segundo
el tercero
el s�ptimo
Tenemos la ecuaci�n
Hallada la suma de los miembros de la progresi�n geom�trica comprendida en los par�ntesis, resultar�:
El hortelano ten�a 127 manzanas.
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7. La compra del caballo
Problema
En la aritm�tica de Magnitski encontramos un divertido problema que damos a conocer sin sujetarnos al lenguaje del original:
Cierta persona vendi� su caballo por 156 rublos. Mas el comprador se arrepinti� de haberlo adquirido y devolvi� el caballo diciendo:
- No me interesa comprar el caballo porr ese precio, pues no lo merece.
El vendedor le propuso nuevas condiciones:
- Si te parece elevado ese precio, comppra s�lo los clavos de las herraduras y conseguir�s de balde el caballo. En cada herradura hay 6 clavos; por el primer clavo me pagas tan s�lo � de kopek; por el segundo, �; por el tercero, 1 kopek, etc.
El comprador, deslumbrado por las nuevas condiciones, en su af�n de tener gratis un caballo, acept� la propuesta, creyendo que tendr�a que pagar por los clavos no m�s de 10 rublos.
�Cu�l fue el importe de la compra?
Soluci�n
Por los 24 clavos hubo de pagar:
cuya suma ser� igual a
Es decir, cerca de 42.000 rublos. En tales condiciones no da pena entregar el caballo de balde.
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8. La recompensa del soldado
Problema
De otro antiguo manual ruso de matem�ticas, que lleva el ampuloso t�tulo de Curso completo de matem�ticas puras elaborado por Efim Voitiajovski, cadete de artiller�a y profesor particular, para uso y provecho de la juventud y cuantos se ejercitan en matem�ticas (1795), copio el siguiente problema.
"Un soldado veterano recibe como recompensa 1 kopek por la primera herida sufrida; 2, por la segunda; 4, por la tercera, etc. Cuando se hizo el recuento, el soldado result� recompensado con 655 rublos 35 kopeks. Des�ase saber el n�mero de heridas".
Soluci�n
Planteamos la ecuaci�n
de donde obtendremos:
resultado que obtenemos f�cilmente por tanteo.
Con este generoso sistema de recompensa, el soldado deb�a ser herido 16 veces, quedando adem�s vivo, para obtener 655 rublos y 35 kopeks.
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