Lectia 3 : Descrierea miscarii cu grafice Pozitie-Timp p-t

Intelegerea pantei graficului p-t

Cum am discutat in ultima parte a lectiei panta din graficul pozitie-timp da informatii pertinente despre viteza obiectului. De exemplu o panta mica inseamna o viteza redusa, panta negativa inseamna viteza negativa, panta constanta-linie dreapta inseamna viteza constanta si o curba inseamna viteza variabila, miscare cu acceleratie. Astfel forma liniei pe grafic (dreapta curba, inclinata abrupt, mediu inclinata etc.) este sugestiva despre miscarea obiectului. In aceasta expunere examinam semnificatia fizica si relatia matematica intre panta si viteza sau cum reprezinta panta o relatie matematica in care este implicata viteza.obiectului, inclusiv cu exemple numerice.

Exemplul 1

Graficul pozitie-timp arata ca cel din dreapta. Se observa ca linia graficului urca 10 metri pe axa pozitie, vertical, in fiecare secunda. Astfel avem o panta a liniei graficului de +10 metri/1 secunda. Deci in acest caz panta liniei este chiar viteza automobilului (10 m/s).

Sa examinam un alt exemplu sa vedem daca semnificatia matematica a pantei pentru viteza se pastreaza, este de fapt viteza insasi.

Exemplul 2

Daca punem datele de mai sus in grafic avem rezultatul in dreapta.  In primele 5 secunde linia urca pe axa pozitiei cite
5 metri in fiecare secunda corespondenta pe axa timpului. In aceasta perioada linia graficului este o dreapta cu panta de +5 metri/1 secunda. Astfel panta liniei pe grafic este agala cu viteza automobilului.  Thus, the slope of the line (5 m/s) on the graph equals the velocity of the car. De asemenea in timpul ultimelor 5 secunde (de la a 6-a inclusa la a 10-a secunda), linia urca 0 metri. Asa este, panta este 0 m/s — aceeasi cu viteza.

Amindoua exemplele arata semnificatia fizica a pantei: viteza. Cum se explica matematic acest lucru? Panta se refera la unghiul dreptei , mai precis este definita ca tangenta acestui unghi, si daca o notam cu i avem i = tg < unghi = pozitia/timp. Am spus mai inainte ca in cazul unei linii curbe avem viteza variabila si panta variabila pentru ca in fiecare punct avem alta viteza. Vedem ca definitia pantei este practic aceeasi cu cea a vitezei. Avantajul pantei este ca ne da o imagine grafica statica a vitezei. Definitia pantei ca tangenta unghiului ne ajuta ca printr-un singur numar sa apreciem inclinarea si acesta este chiar unghiul respectiv. La fel si in reprezentarea pozitie-timp, dintr-o privire vedem daca este viteza mare sau mica, (+) sau (-) etc. Matematic viteza v = i panta. Din matematica stim ca o dreapta din geometrie se poate reprezenta cu ecuatia y = ax + b -vezi desenul dreapta sus. In grafic asemanator avem pozitia p = y si timpul t = x. Cine sint a si b? Pentru a avea aceleasi unitati de masura in stinga ecuatiei la fel cu cele din dreapta rezulta ca b este o pozitie iar a trebuie sa aiba raportul m/s pentru a ramine tot m in final, m= (m/s)*s + m. Aceasta este si o metoda de a verifica o ecuatie fizica daca este corecta sau nu. Unitatea de masura (m/s) este a vitezei si v = a, deci ecuatia dreptei devine p =vt + b. De aici avem semnificatia lui b = p - vt. La t = o cind incepe miscarea obiectul se afla undeva in spatiu si fiind o pozitie este vector deci este necesar un sistem de referinta pentru a-l judeca in raport cu alte pozitii prezente, trecute sau viitoare. Deci b este o pozitie particulara, de inceput al lui p si anume b = p₀ adica pozitia obiectului la inceputul miscarii. In sfirsit ecuatia devine p = vt + p₀. Evident ca noi sintem lenesi si ne doare capul sa tinem cont si de acest p₀ si atunci vom alege referinta noastra noua cu intersectia y = 0 si x = 0 (numita des si origine) in virful sagetii lui p₀ si avem o ecuatie mai simpla p = vt. In aceasta regasim definitia vitezei v = p/t.
Si intorcindu-ne la panta i = v = p/t.

OBSERVATIE: Ecuatia m = (m/s)*s + m → m = m se numeste ecuatie de dimensiuni si se aplica regula de adunare m � m = m pentru "*" ramin valabile regulile din algebra. 

Urmeaza>>